1. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 1
Curs 3
MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE
3.1. INVERTOARE TRIFAZATE
3.1.1. Structura unui invertor trifazat.
3.1.2.
Funcţionarea invertorului trifazat cu comandă
secvenţială
3.2.
MODULAŢIA PWM SINUSOIDALĂ PENTRU INVERTOARE
TRIFAZATE
3.2.1. Metode optimale de modulaţie PWM
3.3. MODULAŢIA PWM CU FUNCŢII WALSH
3.3.1. Reprezentarea formelor de undă cu Funcţii Walsh
3.3.2
Legătura dintre unghiurile de comutaţie şi
amplitudinea armonicelor
3.3.3
Comparaţie între modulaţia PWM sinusoidală şi
modulaţia PWM cu Funcţii Walsh

2. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 2
3.1. INVERTOARE TRIFAZATE
În aplicaţii ca surse neîntreruptibile de tensiune, acţionarea motoarelor de curent
alternativ trifazate sunt folosite invertoarele de tensiune trifazate. Acestea pot fi
folosite pentru generarea tensiunilor trifazate cu amplitudine şi frecvenţă fixă, în cazul
surselor de tensiune, sau cu amplitudine şi frecvenţă variabilă în cazul acţionării
motoarelor.
Este posibilă alimentarea unei sarcini trifazate cu trei invertoare monofazate dacă
fiecare invertor produce o formă de undă defazată cu 120 faţă de celelalte două.
Acest aranjament necesită fie un transformator trifazat fie accesul la fiecare fază a
sarcinii. Mai mult sunt necesare 12 comutatoare electronice. Aceste dezavantaje a
dus la folosirea pe scară largă a unei structuri cu 6 comutatoare electronice,
prezentată în continuare.

3. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 3
3.1.1. Structura unui invertor trifazat
Mărimi specifice:
- tensiunile Au , Bu şi Cu
- tensiunile 0Au , 0Bu şi 0Cu şi 0u
- tensiunile ABu , BCu şi CAu
- curenţii Ai , Bi şi Ci

4. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 4
Ecuaţiile invertorului:
0 CBA iii (3.1)
0000





 sLR
u
sLR
u
sLR
u CBA
(3.2)
000  CBAo uuu (3.3)
0
00
00
uuu
uuu
uuu
CoC
BB
AA



(3.4)
 CBA uuuu 
3
1
0 (3.5)
BACC
CABB
CBAA
uuuu
uuuu
uuuu
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
0
0
0



(3.6)

5. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 5
3.1.2. Funcţionarea invertorului trifazat cu comandă secvenţială

6. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 6
Tabelul 3.1 Matricea de comutaţie
T
t
T1 T2 T3 T4 T5 T6
t1 1 1 1 0 0 0
t2 0 1 1 1 0 0
t3 0 0 1 1 1 0
t4 0 0 0 1 1 1
t5 1 0 0 0 1 1
t6 1 1 0 0 0 1
Pentru intervalul 





3
,0

t :
2
U
uA  ;
2
U
uB  ;
2
U
uC  (3.7)
0
22
22
22



UU
uuu
U
UU
uuu
U
UU
uuu
ACCA
CBBC
BAAB
(3.8)
62223
1
0
UUUU
u 





 (3.9)

7. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 7
323
1
23
1
23
2
3
2
23
1
23
1
23
2
323
1
23
1
23
2
0
0
0
UUUU
u
UUUU
u
UUUU
u
C
B
A





















(3.10)
Tensiunile de fază Au , Bu şi Cu se pot descompune în serie Fourier.




1
0 )sincos()(
n
nAnAAA tnStnCUtu  (3.11)




2
0
0 )()(
2
1
tdtuU AA (3.12)
Tensiunea de fază nu are componentă continuă şi 00 AU .




2
0
)()(cos)(
1
tdtntuC AnA (3.13)

8. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 8




2
0
)()(sin)(
1
tdtntuS AnA (3.14)
  





 0
12
0coscos
1
2
2
sin
2
2
n
U
nn
n
U
ttdn
U
SnA (3.15)




 ...7sin
7
1
5sin
5
1
3sin
3
1
sin
2
ttttUuA 

(3.16)
























 ...
6
7sin
7
1
6
5sin
5
1
6
sin
32 






tttUuAB (3.17)
UUu MAXA 67.0
2


(3.18)
UUu MAXAB 103.1
32


(3.19)

9. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 9
3.2. MODULAŢIA PWM SINUSOIDALĂ PENTRU INVERTOARE TRIFAZATE

10. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 10
Estimarea valorii fundamentale a tensiunii de ieşire
1
tr
S
a
U
U
m (3.20)
1
S
tr
f
f
f
m (3.21)
tUCCBBAA S sin222  (3.22)
   tUdtuAN  (3.23)

11. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 11
 
tr
Str
U
tUU
CC
CC
CA
BC
CA
CB
CA
CB
td
2
sin
21
2
1122
22
33
33 
 (3.24)
  tmtd a sin
2
1
2
1
 (3.25)
  t
U
m
U
tu aAN sin
22
 (3.26)







3
2
sin
22
)(

t
U
m
U
tu aBN (3.27)
     tututu BNANAB  (3.28)







3
cos
2
3
)(

tUmtu aAB (3.29)
Umu aAB
2
3
 (3.30)
UUu MAXAB 866.0
2
3
 (3.31)

12. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 12
Supramodulaţia
Creşterea raportului UU AB1 în funcţie de am nu mai este liniară, ci are o
evoluţie conform reprezentării din Fig.3.5, ajungându-se pentru
f
a
m
m
2
3
sin
1

 la
valoarea maximă

32
.

13. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 13
Influenţa indicilor de modulaţie am şi fm asupra calităţii tensiunii de ieşire
 
2
12
2
Tr
k
TS
 (3.32)
12  k
T
T
f
f
m
tr
S
S
tr
f (3.33)
Rezultă că raportul frecvenţelor, fm , trebuie să fie un număr impar.
 
2
2
3
trS T
k
T
 (3.34)
k
T
T
f
f
m
tr
S
S
tr
f 3 (3.35)
Din relaţiile (3.33) şi (3.35) se poate trage concluzia că, pentru un invertor PWM
trifazat, factorul fm trebuie să fie un număr impar şi multiplu de trei.

14. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 14
În Fig.3.6 este prezentat spectrul tensiunii de linie pentru 8.0am şi 15fm . Se
observă că armonicele cu ordin multiplu de fm sunt 0 fiind prezente doar
componente laterale de ordin km f 2 ,  ,...7,5,12 fm , km f 23  ,  ,...7,5,14 fm ,
etc. cu k=1, 2, ....

15. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 15
Tabelul 3.2 Amplitudinile armonicelor normate la UUnABrms
am
n
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 0.122 0.245 0.367 0.49 0.612
2fm 0.01 0.037 0.08 0.135 0.195
4fm 0.05 0.011
12 fm 0.116 0.2 0.227 0.192 0.111
52 fm 0.08 0.02
23 fm 0.027 0.085 0.124 0.108 0.038
43 fm 0.007 0.029 0.064 0.096
14 fm 0.1 0.096 0.005 0.064 0.042
54 fm 0.021 0.051 0.073
74 fm 0.01 0.03

16. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 16
3.2.1. Metode optimale de modulaţie PWM
Dacă considerăm două tensiuni de fază, Au şi Bu
vtUuA  )sin(1  (3.36)
vtUuB  )
3
2
sin(1

 (3.37)
atunci tensiunea de linie va avea expresia:
)
6
sin(3 1

  tUuuu BAAB (3.38)
Pentru  tUv 3sin3 se obţine tensiunea pe fază:
)3sin()sin( 31 tUtUuA   (3.39)
Pentru a determina amplitudinile 1U şi 3U se pune condiţia ca la
3

 t si
2

 t ,
tensiunea Au să fie
2
U
.
Din relaţia (3.39) se obţine sistemul:
3
sin
2
1

U
U
 şi 31
2
UU
U
 , (3.40)

17. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 17
cu soluţia:
3
1
U
U  şi
32
32
3

UU , (3.41)
13
2
32
UU

 (3.42)

18. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 18
Introducând amplitudinea fundamentalei din (3.41) în expresia tensiunii de fază
(3.27) şi calculând tensiunea de linie  tuAB rezultă







3
cos)(

tUmtu aAB (3.43)
Deci, pentru un factor fm mare, putem spune că tensiunea de linie  tuAB pentru
metoda injecţiei de armonice are o componentă fundamentală de amplitudine:
Umu aAB  (3.44)
În concluzie, amplitudinea maximă a fundamentalei pentru tensiunea de linie se
obţine când 1am
Uu MAXAB  (3.45)
În concluzie, amplitudinea fundamentalei tensiunii de linie pentru invertoare
trifazate comandate cu metodele de modulaţie studiate este:
 U866.0 în cazul modulaţiei PWM sinusoidale fără injecţie de armonice (relaţia
(3.31));
 U în cazul modulaţiei PWM sinusoidale cu injecţie de armonice (relaţia (3.45));
 U103.1 pentru invertoarele trifazate comandate cu secvenţe de 180 (relaţia
3.19)).

19. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 19
3.3. MODULAŢIA PWM CU FUNCŢII WALSH
3.3.1. Reprezentarea formelor de undă cu Funcţii Walsh

20. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 20
Tensiunea de fază de la ieşirea invertorului poate fi reprezentată cu ajutorul
seriei Fourier astfel
    tkAtf
k
k 12sin
1
12  


 (3.46)
unde
     tdtktfA k 


12sin
8 4
012   (3.47)
Reprezentarea formei de undă cu ajutorul Funcţiilor Walsh este
   tnWtf
n
n ,34WAL
1
34  


 (3.48)
unde
   dttntfW n ,34WAL
1
034   (3.49)
Introducând f(t) din (3.48) în (3.47) şi luând în considerare primele 34 N funcţii
Walsh obţinem
 

 


4
0
1
3412 ,34WAL
8 


tnWA
N
n
nk    


 tdtk 12sin (3.50)

21. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 21
Ecuaţia (3.50) poate fi rearanjată astfel:


 
N
n
nnkk WBA
1
3434,1212 , 2
2 
 R
N (3.51)
unde
     
4
034,12 12sin,34WAL
8 


tdtktnB nk (3.52)
Ecuaţia (3.51) scrisă sub formă matriceală este




















































 34
5
1
34,125,121,12
34,15,11,3
34,15,11,1
12
3
1
:
:
..
::::
::::
..
..
.
.
NNKKK
N
N
K W
W
W
BBB
BBB
BBB
A
A
A
(3.53)

22. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 22
3.3.2. Legătura dintre unghiurile de comutaţie şi amplitudinea armonicelor
Dacă perioada T este împărţită în M = R
2 subintervale egale, atunci în primul
sfert de perioadă vor fi 2
2 R
subintervale. Unghiurile de comutaţie k sunt alocate la
începutul algoritmului într-un subinterval Kmmm ,...,, 21
M
m
M
m k
k
k



1
, for k = 1, 2, … , K (3.54)

23. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 23
      dttntfW n ,34WAL
1
034
      dttntf
M
,34WAL
1
0
      dttntf
M
M
,34WAL
2
1
    dttntfMM
,34WAL
1
1
  
(3.55)
      dttfnW
M
n
1
034 1,34WAL
    ...2,34WAL
2
1
  dttfn
M
M
       
dttfMn MM
1
1
,34WAL...
       

dttfmn
Mm
Mm
M
m
1
1
,34W
     dttfmn
Mm
Mm
M
m
 

 1
4
1
,34W4 (3.56)

24. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 24
Coeficienţii 34 nW vor depinde de unghiurile de comutaţie k , k = 1, 2,.., K şi
pot fi scrişi sub formă matriceală astfel:


































































 34
5
1
2
1
,342,341,34
,52,51,5
,12,11,1
34
5
1
.
.
.
.
..
....
....
..
..
.
.
NKKNNN
K
K
N D
D
D
CCC
CCC
CCC
W
W
W



(3.57)
Înlocuind (3.57) în (3.53) rezultă expresia amplitudinilor componentelor
armonice în funcţie de unghiurile de comutaţie
         DBCBA      FE  (3.58)
Gradul de libertate în ecuaţia (3.58) este K. Un grad de libertate se foloseşte
pentru a controla amplitudinea fundamentalei şi K–1 se folosesc pentru a elimina K–1
armonice . Armonicele sunt eliminate egalând amplitudinea lor cu 0 şi ecuaţia (3.58)
devine
KKKKKKK
KK
KK
FEEEE
FEEEE
FEEEEA






,33,22,11,
2,233,222,211,2
1,133,122,111,11
...0
::::::
...0
...
(3.59)

25. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 25
3.3.3. Comparaţie între modulaţia PWM sinusoidală şi modulaţia cu PWM
cu Funcţii Walsh

26. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 26

27. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 27

28. CURS 3 MODULAŢIA PWM PENTRU CONVERTOARE DC-AC TRIFAZATE 28
Bibliografie
1. M. H. Rashid, Power electronics handbook, 2nd ed., San Diego, CA: Academic Press, 2006, Cap. 14.
2. N. Mohan, T. Undeland and W. Robbins, Power Electronics: Converters, Applications and Design, 2nd ed.,
New York, NY: John Wiley & Sons, Inc., 1995., Cap. 8.
3. T. L. Skvarenina, The Power Electronics Handbook, CRC Press LLC, 2002., Cap. 7.