Analisi condotta su alcuni pazienti a cui è stato somministrato un nuovo farmaco, riguardo il rischio di emorragia cerebrale.

1. Analisi frequentista e bayesiana del problema
Stroke
Francesco Curia, Stefania Cartolano
17 novembre 2015

2. INDICE
1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Approccio frequentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Verosimiglianza e analisi frequentista basate su dati ECASS3 . . . . . 4
3. Approccio bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Distribuzione a priori basata su dati ECASS2 . . . . . . . . . . . . . 9
4. Distribuzione a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5. Verifica di ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Distribuzione a priori soggettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7. Analisi non informativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8. Approssimazione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. 1. INTRODUZIONE
Lo schema di riferimento ´e un esperimento bernoulliano riguardo l’analisi bayesia-
na del problema denominato Stroke, presentato dagli autori Lasaffre e Lawson, in
merito ad uno studio clinico effettuato su le cause di danneggiamento delle cellule
cerebrali a causa di due fattori, uno ischemico e l’altro emoraggico.

4. 2. APPROCCIO FREQUENTISTA
2.1 Verosimiglianza e analisi frequentista basate su dati ECASS3
Considerando un campione i.i.d abbiamo i seguenti risultati: La funzione di verosi-
miglianza associata al campione esaminato ´e
L(θ) = θs
(1 − θ)n−s
dove
s =
n
i=1
yi
Per lo stima di massima verosimiglianza, passiamo al calcolo della log-verosimiglianza
e alla derivazione della stessa, ponendola uguale a zero.
l(θ) = sln(θ) + (n − s)ln(1 − θ)
che derivando rispetto a θ risulta
dl(θ)
dθ
=
s
θ
−
n − s
1 − θ
= 0
si ottiene che la stima ´e ˆθMV =
n
i=1 yi
n
ossia la media campionaria. Utilizzando i
dati a disposizione, si ottiene che la stima ´e pari a 0.2. Possiamo calcolare l’intervallo
di confidenza per θ approssimato, che risulta per α = 0.05:
¯y ± Z1−α
2
¯y(1 − ¯y)
n
con i dati a disposizione abbiamo
0.2 ± 1.96 ∗ 0.0566
allora θ ∈ [0.089; 0.31].
Calcoliamo ora l’insieme di verosimiglianza approssimato
˜Lq = ¯y − kq
¯y(1 − ¯y)
n
, ¯y + kq
¯y(1 − ¯y)
n

5. 2. Approccio frequentista 5
dove kq =
√
−2lnq
Per un fissato livello q=0.5, abbiamo quanto segue:
0.2 ± 1.1774 ∗ 0.0566
allora θ ∈ [0.133; 0.267]. Mentre considerando un calcolo esatto dell’insieme di
verosimiglianza per un livello q=0.5, procediamo con un metodo numerico il quale
considerando i dati e la funzione di verosimiglianza relativa, il polinomio associato
¯L(θ) =
(θ)10
(0.2)10
(1 − θ)40
(0.8)40
> 0.5
fornisce gli estremi dell’intervallo che sono per θ ∈ [0.14; 0.27]. In quanto si sono
considerate solo le radici reali del polinomio, escludendo tutti i valori fuori l’in-
tervallo [0;1].Per il calcolo appena svolto si ´e utilizzato l’applicativo Mathematica
Wolphram Alpha.Si noti che l’intervallo [0.14;0.27] coincide con quello trovato con
l’approssimazione normale.Mentre risulta molto diverso da quello ottenuto mediante
l’intervallo di confidenza approssimato. Ora considerando un livello q=0.147 si ha
per l’insieme di verosimiglianza approssimato
0.2 ± 1.95 ∗ 0.0566
allora in questo caso θ ∈ [0.089; 0.31] mentre attraverso metodo numerico otteniamo
questa volta che θ ∈ [0.10; 0.32]. Da un confronto oltre che analitico, anche grafico,
appare evidente che l’approssimazione normale differisce non di poco dal valore
esatto dell’intervallo.

6. 2. Approccio frequentista 6
Fig. 2.1: in rosso abbiamo il livello q=0.5 esatto, in blu il livello q=0.147 esatto , in verde
il livello q=0.147 approssimato

7. 2. Approccio frequentista 7
Fig. 2.2: Approssimazione per l’insieme di livello q=0.5

8. 2. Approccio frequentista 8
Fig. 2.3: Approssimazione per l’insieme di livello q=0.147

9. 3. APPROCCIO BAYESIANO
3.1 Distribuzione a priori basata su dati ECASS2
Continuiamo la nostra analisi considerando ora la determinazione della distribuzione
a priori π(θ), considerando i dati ECASS2: abbiamo che n0 = 100 e y0 = 8, dalla
nota relazione
π(θ|yn) = c ∗ π(θ)l(θ|yn)
otteniamo
π(θ) = c ∗ θ9−1
(1 − θ)93−1
dove
c =
1
0
θ9−1
(1 − θ)93−1
dθ
Per quanto riguarda la determinazione della stima puntuale, come ´e noto per una
densit´a Beta, lo stimatore risulta ˆθMV = α
α+β
ovvero ˆθMV = 9
102
= 0.08.
Passando ora alla determinazione dell’insieme di credibilit´a ET per una Beta(9,93),
otteniamo che θ ∈ [0.04; 0.15], poich´e come ben noto tale intervallo si trova appli-
cando la seguente formula:
CET
1−α = [qα
2
; q1−α
2
]
Per quanto riguarda l’insieme HPD determiniamo un insieme
S = [θ : π > h]
troviamo approssimativamente che θ ∈ [0.038; 0.145] che per un livello h=2.17

10. 3. Approccio bayesiano 10
Fig. 3.1: Verosimiglianza (linea tratteggiata) e distribuzione a priori

11. 4. DISTRIBUZIONE A POSTERIORI
Ricaviamo la distribuzione a posteriori tramite la nota relazione
π(θ|yn) = c ∗ π(θ)π(θ|yn)
allora dai dati che abbiamo ottenuto in precedenza possiamo scrivere
π(θ|yn) = θα+sn
(1 − θ)β+n−sn
sostituendo con i dati ECASS2 e ECASS3 si ottiene:
π(θ|yn) = θ19
(1 − θ)133
Passiamo alla stima puntuale, calcolando moda e valore atteso, rispettivamente
ˆθModa =
α + sn − 1
α + β + n − 2
ˆθB = (1 − wn)
α
α + β
+ wn ¯yn
con wn = n
α+β+n
sostituendo con i dati a disposizione abbiamo
ˆθModa = 0.12
ˆθB = 0.125
Da i risultati ottenuti si evince che moda e valore atteso sono molto simili. Proce-
diamo al calcolo dell’insieme di credibilit´a ET che risulta, per un valore α = 0.05
θ ∈ [0.077; 0.182]. Per il calcolo dell’insieme HPD relativo alla distribuzione a po-
steriori, possiamo procedere come si ´e fatto per quello della distribuzione priori.
Troviamo che per un livello h = 2.28 abbiamo θ ∈ [0.076; 0.181].

12. 4. Distribuzione a posteriori 12
Fig. 4.1: Verosimiglianza (rossa) a priori (blu) e a posteriori (verde)

13. 5. VERIFICA DI IPOTESI
Vogliamo ora formalizzare il seguente problema: si vuole calcolare la probabilit´a che
l’emorragia non superi il dieci percento: il problema pu´o considerarsi come:



H0 : θ < 0.1
H1 : θ > 0.1
considerando α = 0.05 costruiamo la regione di rifiuto
R =


¯Y − θ0
θ0(1−θ0)
n
> Z1−α


ovvero
R = [Z > 1.64]
approssimando per un campione n=50 con una distribuzione N(0,1), abbiamo at-
traverso i dati, per un livello fissato α = 0.05, Toss = 2.35
R = [Toss > 1.64]
Allora rifiutiamo l’ipotesi nulla θ0 ad un livello di significativit´a del 95 percento. Il
valore-p , ottenuto con la formula
p = 1 − Φ(2.35)
risulta 0.009, quindi minore del livello α = 0.05 e quindi conferma il rifiuto dell’ipo-
tesi nulla.
Calcoliamo ora la probabilit´a a posteriori delle due ipotesi :
0.1
0
θ19
(1 − θ)133
dθ = FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = FBeta(19,133)(0.1) = 0.18
mentre per l’ipotesi alternativa abbiamo
0
0.1
θ19
(1 − θ)133
dθ = 1 − FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = 1 − FBeta(19,133)(0.1) = 0.82

14. 5. Verifica di ipotesi 14
FBeta(19,133)(0.1)
1 − FBeta(19,133)(0.1)
=
0.18
0.82
= 0.22
Anche in questo caso il test conferma l’evidenza sperimentale contro l’ipotesi nulla.
Ripetiamo gli stessi calcoli ( di cui riportiamo solo i risultati numerici, in quanto il
procedimento ´e il medesimo) per quanto riguarda il test e il fattore di Bayes per la
distribuzione a priori: FBeta(9,93)(0.1) = 0.30 e 1 − FBeta(9,93)(0.1) = 0.69
FBeta(9,93)(0.1)
1 − FBeta(9,93)(0.1)
=
0.69
0.30
= 2.3
.
Il corrispondente fattore di Bayes, dato dal rapporto (Odds) ´e il seguente:
0.21
2.3
= 0.09
Quindi in questo caso otteniamo il contrario di quanto ottenuto in precedenza, cio´e
un’evidenza sperimentale a favore dell’ipotesi nulla.

15. 6. DISTRIBUZIONE A PRIORI SOGGETTIVA
Considerando la valutazione di un esperto, il quale fornisce come valore pi´u plausibile
per θ = 0.4 e che un intervallo (0.2;0.6) contenga il vero valore del parametro con
probabilit´a al 90 percento; costruiamo quindi una distribuzione a priori ”soggettiva”
che indicheremo con πs(θ). Dobbiamo determinare α e β: consideriamo



α
α+β
= E(θ) = 0.4
αβ
(α+β)2(α+β+1)
= Var(θ) = 0.1
considerando i valori trovati e che ˆθ = 0.4 e considerando che se l’intervallo contiene il
vero valore di θ per ricavare la varianza σ imponiamo l’equazione 0.4−1.96
√
σ = 0.2
ricavando che σ = 0.01 che ´e uguale all’equazione 0.4 + 1.96
√
σ = 0.6. Mettendo
questo risultato nel sistema dei momenti, si ottiene: α = 9 e β = 13. allora si ha
πs(θ) = θ9−1
(1 − θ)13−1
La nuova distribuzione a posteriori ottenuta risulta
πs(θ|yn) = c ∗ θ19
(1 − θ)53
Calcoliamo la moda e il valore atteso della distribuzione a posteriori, considerando
questa volta la distribuzione πs, otteniamo:
ˆθModa = 0.23
ˆθMV = 0.24
Rispetto ai valori ottenuti con la distribuzioni a priori π, notiamo una leggera dif-
ferenza se consideriamo invece come distribuzione a priori πs. Consideriamo adesso
le probabilit´a a posteriori ottenute utilizzando la πs per la verifica delle’ipotesi:
la nuova distribuzione a posteriori ´e:
πs(θ|yn) = c ∗ θ19
(1 − θ)53

16. 6. Distribuzione a priori soggettiva 16
Quindi abbiamo
0.1
0
θ19
(1 − θ)53
dθ = FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = FBeta(19,53)(0.1) = 0.00001
0
0.1
θ19
(1 − θ)53
dθ = 1 − FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = 1 − FBeta(19,53)(0.1) = 0.99999
Per il fattore di Bayes abbiamo :
FBeta(19,53)(0.1)
1 − FBeta(19,53)(0.1)
=
0.18
0.82
= 0.0000001
Per le probablit´a a priori abbiamo
0.01
0.99
≈ 0
Allora il rapporto risulta per il fattore di Bayes tende ad esplodere a +∞. ´E facile
notare che i valori non sono molto diversi da quelli ottenuti in precedenza. Quindi
anche in questo caso abbiamo una forte evidenza sperimentale contro H0, in favore
dell’ipotesi alternativa.

17. 6. Distribuzione a priori soggettiva 17
Fig. 6.1: Distribuzione a priori (linea blu) e a priori S (rossa)
Fig. 6.2: Soluzione del sistema dei momenti

18. 7. ANALISI NON INFORMATIVA
Per quanto riguarda l’analisi non informativa, utilizziamo una distribuzione del tipo:
π(θ) = θ−1
(1 − θ)−1
cio´e poniamo α = β = 0 dando un peso di totale ignoranza sul fenomeno in esame.
La corrispondente distribuzione a posteriori risulta:
π(θ|yn) = c ∗ θ9
(1 − θ)39
La stima puntuale, media e moda, risultano rispettivamente:
ˆθB = 0.187
ˆθModa = 0.173
La totale assenza di conoscenza sui parametri giustifica i risultati che abbiamo ot-
tenuto, oss´ıa valori molto bassi rispetto a quelli ottenuti precedentemente.
Passiamo a calcolare ET ed HPD;
CET
0.95 = [q0.025; q0.975] = [0.09; 0.308]
Per l’HPD abbiamo ( tramite calcolo con R) l’intervallo
CHPD
0.95 = [0.092; 0.307]
per un livello h ≈ 1.205.
Per la verifica di ipotesi, consideriamo ancora il fattore di Bayes, in quanto si vuole
confrontare il rapporto (Odds) tra le due ipotesi: abbiamo
0.1
0
θ9
(1 − θ)39
dθ = FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = FBeta(9,39)(0.1) = 0.0411

19. 7. Analisi non informativa 19
mentre per l’ipotesi alternativa abbiamo
0
0.1
θ9
(1 − θ)39
dθ = 1 − FBeta(α+sn,β−n+sn)(θ0) = 1 − FBeta(9,39)(0.1) = 0.9588
Per il fattore di Bayes abbiamo :
FBeta(9,39)(0.1)
1 − FBeta(9,39)(0.1)
=
0.0411
0.9588
= 0.0428
Mentre il rapporto della distribuzione a priori ´e 1, in quanto posti α=β=0, non si ´e
dato nessun peso all’informazione del modello di Haldane considerato nell’analisi.
Rispetto a prima abbiamo un valore ancora pi´u basso, ma il peso a favore dell’ipotesi
alternativa contro l’ipotesi nulla ´e maggiore, questo dipende anche dal fatto che
abbiamo adottato una distribuzione a priori totalmente non informativa.

20. 8. APPROSSIMAZIONE NORMALE
Come noto l’approssimazione normale della distribuzione a posteriori risulta
π(θ; yn) ∝ exp −
1
2
(θ − ˜θ)2 ˜In(yn)
dove ˜θModa ´e la moda a posteriori che abbiamo calcolato considerando πs. Quindi
possiamo affermare che la distribuzione a posteriori ha distribuzione
θ|yn ∼ N(0.23, 0.05)
ovvero
π(θ; yn) ∝ exp −
1
2
(θ − 0.24)2
(0.05)
Procediamo al calcolo degli insiemi ET ed HPD dell’approssimazione normale della
distribuzione a posteriori, che per α = 0.05 risultano:
CET
0.95 = [0.24 ± 1.96 ∗ 0.05] = [0.14; 0.33]
che non differisce da tutti gli altri ET che abbiamo calcolato in precedenza. Mentre
l’HPD risulta
CHPD
0.95 = [0.142; 0.34]
per un livello ( che come tutti gli HPD che abbiamo calcolato in precedenza ´e stato
calcolato come semi somma dei livelli h, in quanto mai simmetriche le distribuzioni)
h ≈ 1.11. Possiamo affermare con molta accuratezza che i duei intervalli ottenuti
sono pressoch´e uguali.

21. 8. Approssimazione normale 21
Fig. 8.1: Approssimazione normale e distribuzione a posteriori esatta