Jocuri. Satisfacerea constrangerilor

Inteligență artificială
3. Jocuri. Satisfacerea constrângerilor
Florin Leon
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
Facultatea de Automatică și Calculatoare
http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

2
Jocuri. Satisfacerea constrângerilor
1. Tipuri de jocuri
2. Algorimul minimax
3. Retezarea alfa-beta
4. Jocuri nedeterministe
5. Formalizarea problemelor de satisfacere a constrângerilor
6. Backtracking
7. Euristici de optimizare
8. Concluzii

3
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

4
Introducere
 De-a lungul timpului, jocurile care necesită
explorarea unor alternative au fost considerate
provocări pentru inteligența umană
 Dame (Mesopotamia, cc. 3000 î.Hr.)
 Go (China, cc. 600 î.Hr.)
 Șah (India, cc. 600 d.Hr.)
 Jocurile sunt folosite deseori pentru a proiecta și
testa algoritmi de inteligență artificială

5
Introducere
 Unul din cele mai vechi subdomenii ale IA-ului
(Zuse, Shannon, Wiener, Turing, anii 1950)
 Forme abstracte și pure de competiție care necesită
inteligență
 Probleme dificile cu o structură inițială minimă de
cunoștințe
 Stări și acțiuni ușor de reprezentat
 Puține cunoștințe necesare despre mediu
 Jocurile sunt un caz particular al problemelor de căutare
 Deseori au spații de căutare foarte mari
 Sunt distractive 

6
Jocuri deterministe cu
informații perfecte
Șah Dame Go
Othelo X și 0Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

7
Jocuri nedeterministe cu
Table Monopoly

8
Jocuri nedeterministe cu
informații imperfecte
Bridge
Scrabble
Poker

9
Caracteristici
 Jocurile pot fi probleme de căutare foarte
dificile, dar ușor de formalizat
 Găsirea soluției optime poate fi nefezabilă
 O soluție care învinge adversarul este acceptabilă
 O soluție „inacceptabilă” nu numai că induce
costuri mai mari, ci provoacă înfrângerea

10
Dimensiunea spațiului
de căutare
 Șah („drosofila IA-ului”)
 Factor de ramificare ≈ 35
 ≈ 50 de mutări pe jucător
 ≈ 35100 (10154) noduri
 1040 stări distincte (dimensiunea grafului de căutare)
 Go
 Factorul de ramificare începe de la 361 (tablă 19 x 19)
 ≈ 200 de mutări pe stare, 300 de niveluri 
200300 (10690) noduri în arbore

11
Jocurile și căutarea
 Căutarea clasică: un singur agent care
încearcă fără piedici să își atingă obiectivul
 Jocurile: căutare în prezența unui adversar
 Reprezentarea jocurilor ca probleme de
căutare
 Stări: configurațiile tablei de joc
 Operatori: mutările permise
 Starea inițială: configurația curentă a tablei
 Starea scop: configurația câștigătoare

12
Noi tehnici necesare (I)
 Spațiul de căutare este foarte mare
 Nu cunoaștem mutarea adversarului
 Algoritmii pentru jocuri:
 Caută numai până la o anumită adâncime în
arbore
 Utilizează o funcție de evaluare la adâncimea
respectivă
 Propagă evaluările în sus spre rădăcină

13
Noi tehnici necesare (II)
 Modalitatea de joc:
 Se consideră toate mutările legale care se pot face
 Fiecare mutare conduce către o nouă configurație (poziție)
 Se evaluează fiecare poziție rezultată și se determină care este cea
mai bună
 Se face mutarea respectivă
 Se așteaptă mutarea adversarului și se repetă algoritmul
 Probleme cheie:
 Reprezentarea tablei
 Generarea tuturor configurațiilor următoare valide
 Evaluarea unei poziții
 Considerarea mai multor mutări în avans

14
Funcția de evaluare (I)
 Evaluează valoarea unei poziții
 Considerând funcțiile g și h de la căutarea clasică,
aici contează numai h; g este irelevant
 Este o funcție euristică și cuprinde
cunoștințele expert despre domeniul
problemei
 Inteligența calculatorului depinde în mare
măsură de funcția de evaluare

15
Funcția de evaluare (II)
 Presupunem că jocul este de sumă nulă
 Putem folosi o singură funcție de evaluare
pentru ambii jucători
 f(n) > 0: poziția n este bună pentru calculator
și rea pentru adversar (om)
 f(n) < 0: poziția n este rea pentru calculator
și bună pentru adversar

16
Exemple: funcții de evaluare
 X și 0:
 f(n) = [numărul de direcții de 3 pătrățele deschise pentru
calculator] – [numărul de direcții deschise pentru adversar]
 Direcțiile sunt linii, coloane sau diagonale complete
 Șah (funcția lui Turing):
 f(n) = w(n) / b(n)
 w(n) = suma punctelor pieselor albe
 b(n) = suma punctelor pieselor negre
 Pion = 1 punct, cal/nebun = 3 puncte, turn = 5 puncte,
regină = 9 puncte

17
Exemple: funcții de evaluare
 Majoritatea funcțiilor de evaluare sunt sume
ponderate ale trăsăturilor unei poziții:
 f(n) = w1 ∙ t1(n) + w2 ∙ t2(n) + ... + wk ∙ tk(n)
 Trăsături pentru șah sunt numărul de piese, plasarea pe
tablă a pieselor, pătrățele controlate etc.
 Deep Blue avea în jur de 8000 de trăsături în funcția
de evaluare
 Pot exista combinații neliniare de trăsături
 Nebunul valorează mai mult spre sfârșitul jocului decât la
început
 2 nebuni valorează mai mult decât dublul valorii unuia singur

18
3. Jocuri. Satisfacerea constrângerilor
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

19
Minimax
 Restricții:
 Doi jucători:
 MAX (calculator)
 MIN (adversar)
 Joc determinist cu
 Se selectează o limită
de adâncime (de
exemplu 2) și o funcție
de evaluare
MAX
MIN
MAX
2 5 3 1 4 4 3

20
MAX
MIN
MAX
- Se construiește arborele
până la limita de adâncime
- Se calculează funcția de
evaluare pentru frunze
2 5 3 1 4 4 3
- Se propagă evaluarea în sus
- selectând minimele în MIN
2 1 3
- selectând maximele în MAX
3
Alege
mutarea
Modul de funcționare

21
Initialize depth_bound
Minimax (board, depth) :=
IF depth = depth_bound
THEN return StaticEvaluation(board)
ELSE IF maximizing_level(depth)
THEN FOR EACH child c of board
compute Minimax(c, depth+1)
return maximum over all children
ELSE IF minimizing_level(depth)
THEN FOR EACH child c of board
compute Minimax(c, depth+1)
return minimum over all children
Apel: Minimax(current_board, 0)
Pseudocod

22
Jocuri cu mai mulți jucători
 Funcția de evaluare este vectorială și redă
utilitățile tuturor jucătorilor

23
Alianțele
 Alianțele pot rezulta din aplicarea strategiilor
optime individuale
 Cooperarea poate rezulta din urmărirea
comportamentului rațional individual (egoist)

24
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

25
Retezarea alfa-beta
 engl. “alpha-beta pruning”, elagajul alfa-beta
 Optimizare aplicată algoritmului minimax
 Minimax
 Creează mai întâi întregul arbore, până la limita de adâncime
 Apoi realizează propagarea
 Retezarea alfa-beta
 Întrețese generarea arborelui cu propagarea valorilor
 Motivație
 Unele valori obținute în arbore furnizează informații privind
redundanța altor părți, care nu mai trebuie generate

26
MIN
MAX
MAX
2
Ideea alfa-beta
 Se generează arborele în adâncime, de la stânga la dreapta
 Se propagă valorile finale ale nodurilor ca estimări
inițiale pentru părinții lor
2
5
=2
2
1
1
- Valoarea MIN (1) este deja
mai mică decât valoarea MAX
a părintelui (2)
- Valoarea MIN poate doar să
descrească în continuare
- Valoarea MAX poate doar
să crească
- Nu are sens să mergem
mai jos sub acest nod

27
Terminologie
 Valorile (temporare) în nodurile MAX sunt valori alfa
 Valorile (temporare) în nodurile MIN sunt valori beta

28
Principiile alfa-beta (I)
 Dacă valoarea alfa este mai mare sau egală decât valoarea
beta a unui nod descendent, atunci se oprește generarea fiilor
nodului descendent
  

29
Principiile alfa-beta (II)
 Dacă valoarea beta este mai mică sau egală decât valoarea
alfa a unui nod descendent, atunci se oprește generarea fiilor
nodului descendent
  

30
8 7 3 9 1 6 2 4 1 1 3 5 3 9 2 6 5 2 1 2 3 9 7 2 8 6 4
Exemplu: minimax cu alfa-beta
1
2 8
3
5= 8
4
6 8
7
8 9
9 11 13 17 19 21 24 26 28 32 34 36
10 2
12 4
14= 4
15= 4
 4 16
18 1
20 3
22= 5
30= 5
 5 23
 5 31
25 3
27 9 29 6
33 1
35 2
37= 3
 3 38
39= 5
MAX
MIN
MAX
11 evaluări evitateFlorin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

Retezare în adâncime
 Pentru arbori cu cel
puțin 4 niveluri
min/max, retezarea
alfa-beta se aplică și
pentru niveluri mai
adânci
4
 4
 4
 4
 4
2
 2

32
Cazul cel mai favorabil:
arbore perfect ordonat
MAX
MIN
MAX
21 20 19 24 23 22 27 26 25 12 11 10 15 14 13 18 17 16 3 2 1 6 5 4 9 8 7
21 24 27 12 15 18 3 6 9
21 12 3
21

33
Cazul cel mai favorabil
MAX
MIN
MAX
- Când pe fiecare nivel cel mai bun nod este primul din stânga
Doar ramurile îngroșate sunt explorateFlorin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

Reordonarea
 De exemplu, pentru șah:
 Mutările cele mai bune descoperite în căutarea
anterioară
 Capturile
 Atacurile
 Mutările înainte
 Mutările înapoi
34Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

35
Cazul cel mai favorabil
 Numărul de evaluări statice:
 nes = 2·bd/2 – 1, dacă d este par
 nes = b(d+1)/2 + b(d–1)/2 – 1, dacă d este impar
 În exemplul anterior:
 d = 3, b = 3  nes = 9 + 3 – 1 = 11

36
Comparație între
minimax și alfa-beta
 Graficul are scară logaritmică
 Retezarea alfa-beta are tot complexitate exponențială
 Cazul cel mai defavorabil
 Pentru unii arbori retezarea alfa-beta nu are niciun efect
 Pentru unii arbori este imposibilă reordonarea pentru a permite
retezarea
 Cazul cel mai
favorabil

37
Performanțele retezării alfa-beta
 Alfa-beta garantează calcularea aceleiași valori pentru rădăcină
ca și minimax, cu o complexitate mai mică sau egală
 Cazul cel mai defavorabil: nu se face nicio retezare, se
examinează O(bd) noduri
 Cazul mediu:
 Cazul cel mai favorabil: O(bd/2)
 Poate căuta pe o adâncime de două ori mai mare decât minimax
 Când cea mai bună mutare este și prima alternativă generată
 În cazul Deep Blue, s-a descoperit empiric că retezarea alfa-beta
a redus factorul mediu de ramificare de la 35 la 6

38
Efectul orizontului
 Decizia din dreapta pare mai bună decât cea din
stânga, dar nu este. Alte mutări ar putea fi mai bune
 Soluția: continuarea euristică

39
Continuarea euristică
 În situații strategice cruciale (regele în pericol,
pierdere iminentă de piese, pion transformat în
regină etc.), se extinde căutarea dincolo de limita de
adâncime

40
Căutarea secundară
 Uneori este utilă verificarea unei mutări
 De exemplu, dacă se face căutarea pe
6 niveluri (engl. “ply”) și s-a găsit cea mai
bună mutare, se poate expanda numai acea
poziție pentru încă 2 niveluri pentru a verifica
dacă rămâne bună în continuare

41
Retezarea înainte
 engl. “forward pruning”
 Un jucător uman nu ia în calcul toate mutările
posibile, ci doar pe cele care i se par utile
 Se ignoră un sub-arbore
 Când există mai multe mutări simetrice sau echivalente
 Pentru mutări care par iraționale (care conduc în situații
aparent defavorbile)
 Numai la adâncimi mari în arbore
 Nerecomandate în apropierea rădăcinii

42
Limite de timp
 Chiar și când există limite de adâncime,
timpii pot varia mult
 Soluție: căutarea iterativă în adâncime
 În orice moment, este disponibilă o mutare
 Calitatea mutării crește în timp

43
Efectul euristicilor: șahul
 Cu minimax putem căuta pe aproximativ 5 niveluri
 Un jucător mediu analizează 6-8 niveluri
 Cu reducerea alfa-beta putem căuta pe aproximativ 10 niveluri
(reducerea alfa-beta face diferența)
 Deep Blue
 Căutare în medie pe 14 niveluri, maxim 40
 Evaluarea a 30 de miliarde de poziții pe mutare
 Bază de date cu 700.000 de jocuri
 4000 de strategii de deschidere
 Toate rezolvările pentru pozițiile cu 5 piese și multe pentru pozițiile
cu 6 piese
 Metodele euristice recente pot scădea factorul de ramificare de
la 35 la aproximativ 3
 De exemplu: mutarea nulă – oponentul mută de 2 ori la început

44
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

45
Jocuri nedeterministe
 Includ elemente
probabilistice
 Zaruri, cărți de joc
 De exemplu: table
 Albul a dat 6-5 și are 4
mutări valide:
 5-10, 5-11
 5-11, 19-24
 5-10, apoi 10-16
 5-11, apoi 11-16

46
Arbori de joc cu noduri-șansă
 Nodurile șansă (cercurile) reprezintă
evenimente aleatorii
 Pentru un eveniment aleatoriu cu n
rezultate posibile, fiecare nod-șansă
are n fii distincți, iar fiecare fiu are
asociată o probabilitate
 Pentru 2 zaruri, sunt posibile 21 de
rezultate

47
Arbori de joc cu noduri-șansă
 Se folosește minimax pentru a
calcula valorile nodurilor MAX și MIN
 Se folosesc valorile așteptate
pentru nodurile-șansă
 Pentru nodurile-șansă la un nod MIN
 expectimin(A) = Σi(P(di) ∙ minvalue(i))
 Pentru nodurile-șansă la un nod MAX
 expectimax(B) = Σi(P(di) ∙ maxvalue(i))

48
Exemplu

49
Performanțe
 Complexitate: O(bmnm)
 n = numărul de posibilități distincte (de exemplu, pentru un
zar, n = 6)
 Pentru jocul de table, căutarea se poate face probabil
pe maximum 3 niveluri
 Se poate aplica reducerea alfa-beta estimând limitele
superioare și inferioare ale valorilor
 Pentru aproximarea valorilor, se poate folosi
simularea Monte Carlo
 Valoarea stării este probabilitatea de a câștiga din acea stare

Stadiul actual al programelor
de jocuri
 Dame (Chinook), Othello (Logistello): programele
sunt mai bune decât oamenii
 Table (TD-Gammon): învățare cu întărire și rețele
neuronale, top 3 mondial
 Bridge (GIB): campion mondial
 Șah, Elo rating: Kasparov (cel mai bun înregistrat):
2851; Stockfish 7: 3229 (aprilie 2016)
 Go (AlphaGo): l-a învins pe jucătorul profesionist
Lee Sedol (martie 2016)

51
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

52
Satisfacerea constrângerilor
 engl. “Constraint Satisfaction Problems” (CSP)
 O mulțime de variabile { X1, X2, …, Xn }
 Fiecare variabilă Xi are un domeniu Di de valori
posibile
 De obicei, Di este finit
 O mulțime de constrângeri { C1, C2, …, Cp }
 Fiecare constrângere este definită pe o submulțime
de variabile și arată combinațiile valide ale valorilor
acestora
 Scop: atribuirea unei valori fiecărei variabile astfel
încât toate constrângerile să fie satisfăcute

53
 Variabile: WA, NT, Q, NSW, V, SA, T
 Domenii: Di = { roșu, verde, albastru }
 Constrângeri: regiunile adiacente trebuie să aibă culori diferite
 De ex. WA ≠ NT sau (WA,NT) {(roșu,verde),(roșu,albastru),
(verde,roșu),(verde,albastru),(albastru,roșu),(albastru,verde)}
Exemplu: colorarea unei hărți

54
 Soluțiile sunt atribuiri complete și consistente
 De exemplu: WA = roșu, NT = verde, Q = roșu,
NSW = verde, V = roșu, SA = albastru, T = verde
Soluție
respectă toate
constrângerile

55
Graful constrângerilor
 Probleme binare: fiecare constrângere este definită
pentru două variabile
 Graful constrângerilor: nodurile sunt variabile, arcele
sunt constrângeri

56
Tipuri de probleme
 Variabile discrete
 Domenii finite
 Satisfiabilitatea booleană (NP-completă): problema determinării
dacă variabilele unei formule booleene date pot lua valori astfel
încât formula să fie adevărată
 Domenii infinite
 Planificarea sarcinilor de lucru (engl. “job shop scheduling”):
variabilele sunt momentele de început/sfârșit ale fiecărei sarcini
 Variabile continue
 Momentele de început și sfârșit pentru observațiile unui
telescop (de exemplu Hubble)
 Constrângeri liniare

57
Tipuri de constrângeri
 Constrângerile unare implică o singură variabilă
 SA ≠ verde
 Constrângerile binare implică perechi de variabile
 SA ≠ WA
 Constrângerile de nivel înalt implică trei sau mai
multe variabile
 Probleme criptaritmetice

58
Probleme criptaritmetice
 Variabile: F T U W R O X1 X2 X3
 Domenii: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
 Constrângeri:
 DiferiteToate (F, T, U, W, R, O)
 O + O = R + 10 · X1
 X1 + W + W = U + 10 · X2
 X2 + T + T = O + 10 · X3
 X3 = F, T ≠ 0, F ≠ 0

59
Probleme reale
 Problema orarului sau probleme de atribuire
 Ce curs este predat când și unde
 Cine predă ce obiect la ce clasă
 Planificarea transporturilor
 Planificarea în mediul industrial

60
Căutarea incrementală
standard
 Stările sunt definite de valorile atribuite până în prezent
 Starea inițială: atribuirea vidă { }
 Operatori: atribuirea unei valori unei variabile neatribuite
care nu intră în conflict cu atribuirea curentă
 Eșec dacă nu există atribuiri valide
 Scop: atribuirea curentă să fie completă
 Aceeași procedură pentru toate problemele de satisfacere
a constrângerilor
 Fiecare soluție apare la adâncimea n cu n variabile
 Se folosește căutarea în adâncime
 Calea este irelevantă

61
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

62
Rezolvarea PSC
 Căutare clasică: n variabile, d valori
 Arbore cu n!∙dn frunze
 Factorul de ramificare pe primul nivel este n∙ d, pe al doilea (n –1)∙d etc.
 Există doar dn atribuiri complete posibile
 În multe probleme, aceleași stări pot fi atinse
independent de ordinea în care se iau deciziile
 Acțiuni comutative
 În problemele de satisfacerea constrângerilor, stările au
o structură standard iar algoritmii pot profita de aceasta
 Se pot aplica algoritmi generali, nu doar euristici specifice unei
probleme

63
Căutarea backtracking
 Comutativitatea atribuirilor
 (WA = roșu apoi NT = verde) este la fel cu
(NT = verde apoi WA = roșu)
 Căutarea backtracking este:
 Căutare în adâncime cu
 Atribuirea unei singure variabile într-un nod
 Poate rezolva problema reginelor cu n ≈ 25

64
Exemplu de backtracking

65
Căutarea neinformată și
backtracking-ul
65
vezi materialele demonstrative

66
1. Tipuri de jocuri
6. Backtracking
8. Concluzii

67
Creșterea eficienței
algoritmului backtracking
 Metodele de optimizare dau creșteri
spectaculoase de viteză
 Ce variabilă să fie atribuită în pasul următor?
 În ce ordine să se încerce valorile?
 Se poate detecta eșecul mai devreme?

68
Cea mai constrângătoare
variabilă
 Se alege variabila cu cele mai multe
constrângeri asupra variabilelor rămase
 Utilă pentru decizii în caz de egalitate, de
exemplu în starea inițială

69
Cea mai constrânsă variabilă
 Se alege variabila cu cele mai puține valori
permise
 Se mai numește euristica celor mai puține
valori rămase

70
Cea mai puțin constrângătoare
valoare
 Pentru o variabilă, se alege valoarea care
elimină cele mai puține valori în variabilele
rămase
 Combinarea acestor euristici face posibilă
rezolvarea problemei reginelor cu n ≈ 1000
Permite 1 valoare pentru SA
Permite 0 valori pentru SA

71
Verificarea înainte
 engl. “forward checking”
 La început, pentru fiecare variabilă se memorează
mulțimea curentă de valori permise
 Când se atribuie o valoare în procesul de căutare,
se actualizează mulțimile de valori permise pentru
toate variabilele
 Dacă o mulțime devine vidă, se revine pe nivelul
anterior (se face backtracking)

72
Backtracking și
Verificarea înainte
72
vezi materialele demonstrative

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{1,2,3,4}
X4
{1,2,3,4}
X2
{1,2,3,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{ ,2, ,4}
X4
{ ,2,3, }
X2
{ , ,3,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{ , , , }
X4
{ ,2, , }
X2
{ , ,3,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{ ,2, ,4}
X4
{ ,2,3, }
X2
{ , , ,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{ ,2, , }
X4
{ , ,3, }
X2
{ , , ,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{1,2,3,4}
X3
{ ,2, , }
X4
{ , , , }
X2
{ , , ,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{ ,2,3,4}
X3
{1,2,3,4}
X4
{1,2,3,4}
X2
{1,2,3,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{ ,2,3,4}
X3
{1, ,3, }
X4
{1, ,3,4}
X2
{ , , ,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{ ,2,3,4}
X3
{1, , , }
X4
{1, ,3, }
X2
{ , , ,4}

Exemplu: 4 regine
1
3
2
4
32 41
X1
{ ,2,3,4}
X3
{1, , , }
X4
{ , ,3, }
X2
{ , , ,4}

89
Complexitatea de timp
 Există și alți algoritmi, de exemplu
propagarea constrângerilor, care reduc
și mai mult factorul de ramificare, însă
calculele suplimentare sunt laborioase
 Trebuie realizat un compromis între calculele
necesare rezolvării problemei propriu-zise și
calculele necesitate de euristici

90
Min-Conflicts
 Este o metodă de căutare locală
 Poate rezolva problema reginelor cu 1 milion de
regine în aproximativ 50 de pași
 A redus timpul de planificare al telescopului Hubble
pentru o săptămână de observații de la 3 săptămâni
la 10 minute
 Funcționează bine mai ales când soluțiile sunt dens
distribuite în spațiul stărilor

91
Min-Conflicts

Concluzii
 Jocurile ilustrează faptul că atunci când soluția
optimă este imposibil de găsit, aproximările sunt
deseori suficiente pentru a câștiga
 Metodele de satisfacere a constrângerilor se
aplică problemelor care pot fi exprimate printr-o
mulțime de variabile cu restricții asupra valorilor
pe care le pot lua

Jocuri. Satisfacerea constrangerilor

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Florin Leon

More from Florin Leon (20)

Jocuri. Satisfacerea constrangerilor