1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ
ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ
Ακαδημαϊκό Έτος 2012-2013
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΘΕΜΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2Δ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ
ΚΑΙ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ ΣΕ ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ k-ε
ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΥΡΒΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ CFD ΚΩΔΙΚΑ FLUENT
ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑ 5588
ΚΑΤΣΙΔΟΝΙΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ 5786
ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΜΑΡΓΑΡΗΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ Αναπληρωτής Καθηγητής
ΚΥΠΑΡΙΣΣΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ Μεταπτυχιακός φοιτητής

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 2
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΛΗΨΗ……..…………………………………………………………………...5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΘΕΩΡΙΑ
1.1 ΥΔΡΟΤΟΜΕΣ…………………………………………………………………...8
1.1.1 Εισαγωγή…………………………………………………………………….….8
1.1.2 Ανάλυση υδροτομής………………….…………………………………………9
1.1.3 Κύρια γεωμετρικά χαρακτηριστικά υδροτομής……………..…………………10
1.1.4 Οικογένειες υδροτομών NACA………………………………………………..11
1.1.5 Σχεδιασμός υδροτομής…..…………………………………………….…….....13
1.1.6 Δυνάμεις και ροπές στην υδροτομή....................................................................17
1.1.7 Αριθμός Reynolds, στρωτή-τυρβώδης ροή……………….……………………20
1.1.8 Υδροδυναμικοί συντελεστές…………………………………………………...21
1.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΡΟΩΝ…………………………….……28
1.2.1 Εισαγωγή στην υπολογιστική ρευστομηχανική…………………………..……28
1.2.2 Βασικές εξισώσεις ρευστοδυναμικής……………………..…………………....30
1.2.2.1 Στρωτή ροή…………………………………………………………..……….36
1.2.2.2 Τυρβώδης ροή…………………………………………………..……………36
1.2.3 Μοντέλα τύρβης…………………………………………………..…..………..39
1.2.3.1 Μοντέλο τύρβης k-ε………………………………………….………………42
1.2.3.2 k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable……………………………….……….43
1.2.4 Αριθμητικές μέθοδοι στους κώδικες υπολογιστικής ρευστοδυναμικής..…....…44
1.2.5 Αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων Navier-Stokes…………………………..…..48
1.2.6 Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων……………………….……….….51
1.2.7 Κατασκευή του αριθμητικού πλέγματος……………………..…………..…….52
1.3 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ.…………..……………..…………58

3. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 3
1.3.1 Η σπηλαίωση γενικά……………………………………………………….…58
1.3.2 Είδη σπηλαίωσης…………………..……………………………………….…59
1.3.3 Αδιάστατος αριθμός σπηλαίωσης…………………………….…..………...…63
1.3.4 Εξίσωση Rayleigh - Plesset …………………………………………….…….64
1.3.5 Μηχανισμός δημιουργίας των φυσαλίδων ατμού……………………...….….65
1.3.6 Ένα υπολογιστικό μοντέλο για την σπηλαίωση……………………..………..68
1.3.7 Σπηλαίωση πάνω σε υδροτομές……………………………………..………..70
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2- ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ
ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GAMBIT
2.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GΑΜΒΙΤ…………………………………….……………72
2.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ……………………...73
2.2.1 Σχεδιασμός υδροτομής NACA 66 (τροποποιημένη) στο Gambit……..……...73
2.2.2 Κατασκευή περιβάλλουσας γραμμής και επιφανειών……………………........76
2.2.3 Κατασκευή πλέγματος στο Gambit………………..………………..….……...78
2.3 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ……………………………....….85
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3- ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT
3.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT………………………………………….……..…87
3.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ
ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ………………………………………………………..……..…...89
3.3 ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΟ FLUENT……….…….….91
3.3.1 Εισαγωγή πλέγματος στο FLUENT……………….…………………….....….91
3.3.2 Γενικές επιλογές επίλυσης…………………………………….…...………..…92
3.3.3 Επιλογή μοντέλου τύρβης…………………………………………....…..…….92
3.3.4 Επιλογή μοντέλου σπηλαίωσης……………………………….……….………94
3.3.5 Επιλογή των υλικών των ρευστών…………………………………….……….95

4. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 4
3.3.6 Καθορισμός των παραμέτρων του μοντέλου σπηλαίωσης……………….....96
3.3.7 Καθορισμός συνθηκών λειτουργίας……………………………………........97
3.3.8 Καθορισμός οριακών συνθηκών…………………………………………….98
3.3.9 Επιλογή του αλγόριθμου και των σχημάτων επίλυσης
και καθορισμός των συντελεστών υποχαλάρωσης……………………………....100
3.3.10 Καθορισμός αρχικής συνθήκης……………………………………..……..102
3.3.11 Καθορισμός κριτηρίου σύγκλισης……………………………………..…..103
3.3.12 Εγκατάσταση των τιμών αναφοράς…………………………………..……104
3.3.13 Έναρξη των υπολογισμών……………………………………………..…..104
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 – ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗΝ
ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ………….…………….105
4.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΣΠΗΑΛΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ…………………………………….…….…….119
4.2.1 Προσομοίωση του φαινομένου της σπηλαίωση πάνω στην υδροτομή για αριθμό
σπηλαίωσης σ=1.41…………………………………………………..…….…......121
4.2.2 Προσομοίωση του φαινομένου της σπηλαίωση πάνω στην υδροτομή για αριθμό
σπηλαίωσης σ=1.34…………................................................................................126
4.2.3 Προσομοίωση του φαινομένου της σπηλαίωση πάνω στην υδροτομή για αριθμό
σπηλαίωσης σ=1.30…………................................................................................130
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 – ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ…………………………………..…..…….134
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………….….139

5. ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 5
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Η παρούσα διπλωματική εργασία, αρχικά ασχολείται με την υπολογιστική προσομοίωση
δισδιάστατης μονοφασικής ροής και στη συνέχεια με την προσομοίωση διφασικής ροής
γύρω από υδροτομή. Συγκεκριμένα, αφού ολοκληρωθεί το πρώτο μέρος της ανάλυσης
που αφορά τη μονοφασική ροή, ακολουθεί το δεύτερο το οποίο μελετά διφασική ροή
νερού – ατμού και επικεντρώνεται στην εμφάνιση του φαινομένου της σπηλαίωσης γύρω
από την υδροτομή. Οι ροϊκές συνθήκες που επικρατούν και στις δύο περιπτώσεις
αναλύσεων είναι συγκεκριμένες, ενώ υπάρχουν πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα
που εκτιμούν τη συμπεριφορά των ροών και στις δύο περιπτώσεις ώστε στο τέλος να
επέλθει σύγκριση με τα υπολογιστικά αποτελέσματα.
Για την υπολογιστική επίλυση χρησιμοποιήθηκαν ο CFD κώδικας του λογισμικού Fluent
σε συνδυασμό με τα k-ε μοντέλα τύρβης, ώστε ουσιαστικά να επιλυθούν οι εξισώσεις
Navier – Stokes που περιγράφουν το ροϊκό πεδίο. Για την κατασκευή της υδροτομής και
του πλέγματος γύρω από αυτή χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Gambit.
Η ανάλυση έγινε πάνω σε μια μη συμμετρική τροποποιημένη υδροτομή NACA 66 με
χαρακτηριστικά: Μήκος χορδής c=0.15 m, μέγιστο πάχος ανά μονάδα χορδής 12%, θέση
μέγιστου πάχους 45%, μέγιστη απόσταση χορδής-μέσης γραμμής 2% και θέση μέγιστης
απόστασης χορδής-μέσης γραμμής 50%. Το αριθμητικό πλέγμα που εφαρμόστηκε, ήταν
δομημένο τύπου (C) και η αδιάστατη απόσταση y+ επιλέχτηκε έτσι ώστε να ισχύει y+<1
για όλη την επιφάνεια της υδροτομής, ώστε να λυθεί και το ομαλό οριακό υπόστρωμα.
Το τελευταίο προήλθε από μια επαναληπτική διαδικασία κατασκευής του πλέγματος και
υπολογιστικής επίλυσης, διότι η αδιάστατη ποσότητα y+ εξαρτάται και από τις ροϊκές
συνθήκες. Ο συνολικός αριθμός των υπολογιστικών κελίων του πλέγματος ανήλθε,
περίπου, στα 153900.
Η υπολογιστική ανάλυση της δισδιάστατης μονοφασικής ροής έγινε σε συνθήκες των
πειραμάτων, η μελέτη έγινε για 21 διαφορετικές γωνίες προσβολής του νερού στην
υδροτομή ενώ η ταχύτητα του μακρινού πεδίου ήταν U = 5.33 m/sec. Η ανάλυση έγινε
για καθένα από τα μοντέλα k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable. Στο τέλος πάρθηκαν
αποτελέσματα που αφορούν κυρίως τους συντελεστές άνωσης και αντίστασης για κάθε
γωνία προσβολής. Έπειτα ακολούθησε η σύγκρισης τους με πειραματικά και θεωρητικά
αποτελέσματα και έτσι κρίθηκε ότι το μοντέλο k-ε realizable έχει την πιο μικρή
απόκλιση και συνεπώς περιγράφει πιο σωστά τη ροή. Αξίζει να σημειωθεί σε αυτό το
σημείο ότι, αυτό που παρατηρήθηκε και για τα τρία μοντέλα k-ε είναι ότι καθώς
αυξάνεται η γωνία προσβολής από τις αρνητικές στις θετικές τιμές οι συντελεστές
άνωσης και αντίστασης αυξάνονται επίσης.

6. ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 6
Στην συνέχεια ακολουθεί το δεύτερο μέρος της εργασίας που αφορά την προσομοίωση
του φαινομένου της σπηλαίωσης πάνω σε υδροτομή σε συγκεκριμένες συνθήκες, για
διάφορους αριθμούς σπηλαίωσης, για τους οποίους υπάρχουν πειραματικά δεδομένα
από άλλη δημοσίευση και να γίνει έλεγχος, δηλαδή σύγκριση των υπολογιστικών
αποτελεσμάτων με αυτά του πειράματος. Με τον τρόπο αυτό εξακριβώνεται η ακρίβεια
των υπολογιστικών λύσεων και η ορθή επιλογή των υπολογιστικών μοντέλων.
Πριν περιγραφεί η διαδικασία που έγινε στην παρούσα διπλωματική κατά την εμφάνιση
της σπηλαίωσης, αρκεί να προηγηθεί με λίγα λόγια η περιγραφή του φαινομένου. Η
σπηλαίωση λοιπόν είναι η ατμοποίηση ενός υγρού, όταν η πίεση σε κάποιο σημείο του
ροϊκού πεδίου γίνει μικρότερη από τη πίεση κορεσμού, στη θερμοκρασία στην οποία
βρίσκεται. Όταν εμφανίζεται η σπηλαίωση πάνω στη υδροτομή αλλά και σε
ρευστοδυναμικές μηχανές, επιφέρει φθορές και μείωση της απόδοσης τους. Οι φθορές
συμβαίνουν λόγω σύγκρουσης και κατάρρευσης των φυσαλίδων ατμού πάνω στα
τοιχώματα της συσκευής, ενώ η απόδοση μειώνεται λόγω μεταβολής των
ρευστοδυναμικών συντελεστών. Επομένως, η μελέτη του φαινομένου της σπηλαίωσης
τίθεται αναγκαία, ενώ η υπολογιστική ανάλυση δίνει με καλή προσέγγιση αποτελέσματα,
έχοντας το πλεονέκτημα της οικονομικής και γρήγορης μελέτης.
Ενώ προηγουμένως η επίλυση αφορούσε μονοφασική δισδιάστατη ροή γύρω από
υδροτομή, τώρα η ροή είναι διφασική καθώς εμφανίζεται ο ατμός και δημιουργεί έτσι τη
σπηλαίωση. Η μελέτη επικεντρώνεται σε μία γωνία προσβολής και συγκεκριμένα α =
6.5° , ενώ αυτό που αλλάζει είναι ο αριθμός σπηλαίωσης. Οι αριθμοί σπηλαίωσης που
εξετάζονται είναι σ = 1.41, σ=1.34, σ=1.30 και για τα τρία μοντέλα τύρβης, k-ε standard,
k-ε RNG, k-ε realizable. Πάλι εδώ εξετάζονται οι συντελεστές άνωσης, αντίστασης
καθώς και το μήκος σπηλαίωσης για καθένα από τους αριθμούς σπηλαίωσης και για
καθένα από τα μοντέλα τύρβης. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με πειραματικά
αποτελέσματα τα οποία υπάρχουν στην διεθνή βιβλιογραφία.
Από την σύγκριση των αποτελεσμάτων ευρίσκεται ότι το k-ε realizable μοντέλο τύρβης
είναι πιο κοντά στα πειραματικά δεδομένα και συνεπώς θεωρείται ως καταλληλότερο για
την περιγραφή της ροής. Στη συνέχεια με βάση αυτό το μοντέλο το λογισμικό Fluent
δίνει σε γραφική μορφή τα αποτελέσματα της ανάλυσης. Για κάθε αριθμό σπηλαίωσης
δίνει το μήκος σπηλαίωσης πάνω στην υδροτομή το οποίο αυξάνεται καθώς μειώνεται ο
αριθμός για σταθερή γωνία προσβολής. Αυτό συνεπάγεται ότι και η κατανομή πίεσης
ακολουθεί ανάλογη πορεία, δηλαδή η πίεση που ισούται με την πίεση ατμών

7. ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 7
καταλαμβάνει όλο και μεγαλύτερο μέρος της υδροτομής καθώς μειώνεται ο αριθμός
σπηλαίωσης.
Η διπλωματική χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια τα οποία περιγράφονται παρακάτω:
Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο αυτής της εργασίας. Περιέχει
θεωρητικά στοιχεία και εργαλεία για τις υδροτομές και την κατασκευή της γεωμετρίας
τους, για την υπολογιστική ανάλυση των ροϊκών πεδίων και για τη φύση του φαινομένου
της σπηλαίωσης.
Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφεται όλη η διαδικασία της κατασκευής της γεωμετρίας της
υδροτομής, του υπολογιστικού χωρίου και του αριθμητικού πλέγματος με το λογισμικό
GAMBIT.
Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης
όλων των ροών με το λογισμικό FLUENT και η ρύθμιση των παραμέτρων επίλυσης.
Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται όλα τα αποτελέσματα της υπολογιστικής ανάλυσης.
Χωρίζεται σε δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα αφορά υπολογιστικά αποτελέσματα στις
διάφορες γωνίες προσβολής, τα οποία συγκρίνονται και ελέγχονται με πειραματικά
δεδομένα και αφορά την μονοφασική ροή. Το δεύτερο τμήμα παρουσιάζει τα
υπολογιστικά αποτελέσματα που αφορούν το φαινόμενο της σπηλαίωσης για διάφορους
αριθμούς σπηλαίωσης και επίσης συγκρίνονται με πειραματικά.
Στο Κεφάλαιο 5 διατυπώνονται τα συμπεράσματα από τα αποτελέσματα που εξήχθησαν
από την υπολογιστική ανάλυση.
Τέλος, παρουσιάζεται η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση και
κατανόηση των θεωρητικών και υπολογιστικών εργαλείων.

8. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 8
Κεφάλαιο 1
ΘΕΩΡΙΑ
1.1 ΥΔΡΟΤΟΜΕΣ
1.1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Οι υδροτομές είναι δισδιάστατες τομές οι οποίες λειτουργούν μέσα στο νερό. Έχουν
την ίδια εμφάνιση και σκοπό λειτουργίας με τις αεροτομές. Χρησιμοποιούνται κυρίως
στην ναυπηγική καθώς και σε αξονικούς υδροστρόβιλους και αντλίες. Συγκεκριμένα,
όσον αφορά τη ναυπηγική χρησιμοποιούνται σε πολλά είδη θαλάσσιων μεταφορών, από
στρατιωτική χρήση μέχρι θαλάσσια σπορ.
Οι υδροτομές τοποθετούνται κάτω από το σκελετό του πλοίου έτσι ώστε καθώς
προσπίπτει το νερό πάνω τους να δίνουν την κατάλληλη άνωση (Lift) και ταυτόχρονα
να μειώνουν την αντίσταση (Drag). Η υδροτομή κινείται ομαλά στο νερό δημιουργώντας
μία πτώση πίεσης μεταξύ της πάνω και κάτω επιφάνειάς της, με αποτέλεσμα να
εμφανίζεται μία ανωστική δύναμη, η οποία ανυψώνει το σκελετό του πλοίου. Η
ανωστική δύναμη εξισορροπείται με το βάρος του σκάφους, φτάνοντας σ’ ένα σημείο
όπου η υδροτομή δεν μπορεί να ανυψωθεί άλλο έξω από το νερό αλλά παραμένει σε
ισορροπία. Ένα ακόμα βασικό πλεονέκτημα που η υδροπτέρυγα προσδίδει στο σκάφος
είναι η αύξηση της ταχύτητας του και μείωση της ισχύος του κινητήρα λόγω μειωμένης
αντίστασης. Συνεπώς η υψηλή ταχύτητα, το ομαλό ταξίδι και η ευστάθεια καθιστούν τις
υδροτομές κυρίαρχη μέθοδο στα θαλάσσια ταξίδια.
Όπως έχει ήδη αναφερθεί οι υδροτομές μοιάζουν με τις αεροτομές έχοντας όμως
μικρότερο μέγεθος. Αυτό δικαιολογείται καθώς το νερό έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από
τον αέρα και συνεπώς για να επιτευχθεί η ίδια άνωση οι υδροτομές χρειάζονται
μικρότερη επιφάνεια και μικρότερη ταχύτητα πρόσπτωσης του ρευστού. Ακόμα η
γεωμετρία της υδροτομής είναι όμοια με αυτή της αεροτομής καθώς ο τρόπος σχεδίασης
είναι κοινός.
Αντικείμενο μελέτης της υδροτομής είναι ουσιαστικά η επίλυση του ροϊκού πεδίου γύρω
από αυτή έτσι ώστε να υπολογιστούν οι κατάλληλοι συντελεστές άνωσης και αντίστασης
καθώς και άλλα ροϊκά φαινόμενα (π.χ. αποκόλληση οριακού στρώματος).Σήμερα
υπάρχει τάση βελτίωσης του σχεδιασμού και της αποδοτικότητας των υδροτομών,

9. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 9
προσπαθώντας να ελεγχθούν φαινόμενα που επηρεάζουν την επίδοσή τους, όπως είναι η
σπηλαίωση.
Εικόνα 1.1 Δύο σκάφη που χρησιμοποιούν υδροτομές για την πλεύσης τους.
Εικόνα 1.2 Δυνάμεις που ενεργούν στην υδροτομή.
1.1.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ
Στην πραγματικότητα η ροή του νερού γύρω από την υδροτομή είναι τρισδιάστατη
καθώς το σώμα εκτείνεται και στις τρεις διαστάσεις. Όμως στη παρούσα διπλωματική
γίνεται ανάλυση του ροϊκού πεδίου σε δύο διαστάσεις υποθέτοντας ότι το σώμα δεν έχει
τρίτη διάσταση. Η παραδοχή αυτή αναφέρεται σε μία ιδανική ροή όπου το ροϊκό πεδίο
δεν επηρεάζεται από τη τρίτη διάσταση.
Η ανάλυση στις δυο διαστάσεις γίνεται συχνά καθώς πρακτικά δίνει ικανοποιητικά
αποτελέσματα για τις υπάρχουσες εφαρμογές των υδροτομών, όπως είναι η κατασκευή
υδροπτερύγων σκαφών, όπου η τρίτη διάσταση τους είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τις
διαστάσεις της δισδιάστατης τομής τους. Εξαίρεση αποτελούν τα άκρα των υδροτομών
όπου λόγω αλλαγής της γεωμετρίας υπάρχει έντονη τρισδιάστατη ροή επομένως
εφαρμόζεται τρισδιάστατη ανάλυση.

10. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 10
Η δισδιάστατη ανάλυση ορισμένες φορές προτιμάται διότι έχει αρκετά πλεονεκτήματα
σε σχέση με την τρισδιάστατη. Το πρώτο πλεονέκτημα αφορά το μαθηματικό κομμάτι
και τις ροϊκές εξισώσεις του πεδίου όπου στη δισδιάστατη ανάλυση είναι απλούστερη η
επίλυση τους. Δεύτερο πλεονέκτημα είναι ότι οι βασικοί μηχανισμοί δημιουργίας της
δυναμικής άνωσης (Lift) και της αντίστασης (Drag), καθώς επίσης και η μεθοδολογία
σχεδιασμού, για βέλτιστο σχήμα υδροτομής, εξηγούνται πολύ καλύτερα στην
δισδιάστατη θεώρηση.
Οι μέθοδοι ανάλυσης των υδροτομών είναι αρκετές και ικανές στο να προσδιοριστεί το
ροϊκό πεδίο και τα ροϊκά μεγέθη γύρω από αυτές. Υπάρχουν μέθοδοι που είναι πιο
ακριβείς αλλά πιο πολύπλοκες στην επίλυσης τους καθώς και μέθοδοι που είναι
απλούστερες αλλά με μικρότερη ακρίβεια.
Αυτές οι μέθοδοι μπορούν να χαρακτηρισθούν με τους παρακάτω τρόπους:
α. Αναλυτικές ή υπολογιστικές
β. Δυναμικής ροής (αστρόβιλης ροής), ιξώδους ροής ή συνδυασμένης δυναμικής ροής
και οριακού στρώματος
γ. Ακριβείς γραμμικές ή μερικώς γραμμικές
Στην παρούσα εργασία η μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι υπολογιστική, με ιξώδη ροή
και ακριβής.
1.1.3 ΚΥΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ
Σχήμα 1.1 Κύρια γεωμετρικά χαρακτηριστικά υδροτομής

11. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 11
Τα βασικά χαρακτηριστικά μίας υδροτομής, όπως φαίνονται και στο παραπάνω σχήμα
είναι τα εξής :
 Μέση Γραμμή υδροτομής είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που
ισαπέχουν από την πάνω και την κάτω επιφάνεια της υδροτομής.
 Χείλος προσβολής της υδροτομής είναι το εμπρός άκρο της Μέσης Γραμμής ή
με άλλα λόγια το σημείο με την μεγαλύτερη καμπυλότητα που είναι το πρώτο
σημείο με το οποίο έρχεται σε επαφή το ρευστό.
 Χείλος εκφυγής της υδροτομής είναι το πίσω άκρο της Μέσης Γραμμής.
 Χορδή της υδροτομής ονομάζεται η ευθεία γραμμή που συνδέει το χείλος
προσβολής με το χείλος εκφυγής. Χαρακτηρίζει το μέγεθος της υδροτομής και
εμπλέκεται σαν χαρακτηριστικό μήκος σε αδιάστατες ποσότητες (π.χ. αριθμός
Reynolds).
 Μέγιστη καμπυλότητα υδροτομής είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ της χορδής
και της Μέσης Γραμμής.
 Πάχος της υδροτομής είναι η απόσταση μεταξύ της πάνω και της κάτω
επιφάνειας υδροτομής μετρούμενη κάθετα στη χορδή.
 Ακτίνα καμπυλότητας του χείλους προσβολής είναι η ακτίνα του υποτιθέμενου
κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στο χείλος προσβολής.
1.1.4 ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ NACA
Κατά τη διάρκεια του 1930 πολλές οικογένειες αεροτομών αναπτύχθηκαν από την
Εθνική Συμβουλευτική Επιτροπή Αεροναυτικής (NACA) στην Αμερική. Πολλά από
αυτά τα σχήματα των αεροτομών έχουν χρησιμοποιηθεί επιτυχώς για χρόνια σαν
πτερύγια στην αεροπορία καθώς και σαν έλικες σαν ρότορες ελικοπτέρων. Η NACA
προσπάθησε, μέσα από αναλυτικές μεθόδους δυναμικής ροής, να σχηματίσει εξισώσεις
μέσης γραμμής και πάχους όπου έκαναν τις υδροτομές να έχουν όσο γίνεται πιο
κατάλληλα χαρακτηριστικά για την λειτουργίας τους. Έτσι, με τις γεωμετρίες αυτές, οι
υδροτομές παρουσιάζουν μεγαλύτερη άνωση, μικρότερη δυναμική αντίσταση, καλύτερη
υδροδυναμική απόδοση και άλλα χαρακτηριστικά, όπως ομοιόμορφη κατανομή
συντελεστή πίεσης πάνω στις επιφάνειές της, ώστε να παρουσιάζουν την ίδια άνωση, με
όσο το δυνατόν υψηλότερες τοπικά πιέσεις και έτσι να αποφεύγεται η ανάπτυξη
σπηλαίωσης.

12. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 12
Από το πλήθος των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που επιδιώκει μια υδροτομή, η NACA
δημιούργησε πλήθος συναρτήσεων μέσης γραμμής και πάχους ενώ τις γεωμετρίες, που
συνθέτονταν, τις οργάνωσε σε ομάδες (σειρές) με συγκεκριμένη ονοματολογία,
συγκεκριμένα χαρακτηριστικά δημιουργίας και συγκεκριμένα πλεονεκτήματα, η κάθε
μια. Ακολουθεί σύντομη περιγραφή των κυριότερων ομάδων :
NACA τεσσάρων ψηφίων
Η σειρά ‘τεσσάρων ψηφίων’ καθορίζει τη Μέση Γραμμή και το μέγιστο πάχος. Το πρώτο
ψηφίο δηλώνει τη μέγιστη καμπυλότητα σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους τη
χορδής. Το δεύτερο ψηφίο δείχνει τη θέση της μέγιστης καμπυλότητας κατά μήκος της
χορδής σε δέκατα της χορδής. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος και πάλι
σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους της χορδής. Για παράδειγμα η NACA 2410 έχει
μέγιστο πάχος 10% και καμπυλότητα 2% του μήκους χορδής στη θέση 0.4c.
NACA πέντε ψηφίων
Η σειρά ‘πέντε ψηφίων’ αποτελεί βελτίωση της σειράς ‘τεσσάρων ψηφίων’. Το σημείο
μέγιστης καμπυλότητας μετατέθηκε προς τα εμπρός δίνοντας μεγαλύτερο συντελεστή
άνωσης με διατήρηση σχετικά χαμηλής ροπής. Το πρώτο ψηφίο πολλαπλασιαζόμενο με
3/2 δίνει τη θεωρητική τιμή για το συντελεστή άνωσης σε δέκατα. Το δεύτερο και το
τρίτο ψηφίο διαιρεμένα δια του δύο δίνουν τη θέση της μέγιστης καμπυλότητας σε
ποσοστό επί τοις εκατό της χορδής. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος της
τομής σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους της χορδής. Για παράδειγμα η NACA
23012 έχει μέγιστο πάχος 12%, συντελεστή άνωσης 0.3 και η θέσης της μέγιστης
καμπυλότητας είναι στο 15% της χορδής.
NACA σειρά 6
Η σειρά 6 αποτελεί βελτίωση ως προς τη διανομή του πάχους και της καμπυλότητας έτσι
ώστε να έχουμε στρωτό οριακό στρώμα σε ευρεία περιοχή του χείλους προσβολής και να
διατηρηθεί χαμηλός ο συντελεστής αντίστασης. Το πρώτο ψηφίο είναι το δηλωτικό της
σειράς. Το δεύτερο ψηφίο δίνει τη θέση της ελάχιστης πίεσης σε δέκατα του μήκους της
χορδής. Το τρίτο ψηφίο δίνει τη τιμή για το συντελεστή άνωσης σε δέκατα. Τα δύο
τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος της τομής σε ποσοστό επί τοις εκατό του
μήκους της χορδής. Τέλος, ο δείκτης στο δεύτερο ψηφίο δηλώνει το εύρος των τιμών του
συντελεστή άνωσης που αντιστοιχούν στις μικρότερες τιμές του συντελεστή αντίστασης
σε δέκατα. Για παράδειγμα στη NACA 632-210 το 6 είναι δηλωτικό σειράς, η θέση
ελάχιστης πίεσης είναι 0.3c, ο συντελεστής άνωσης είναι 0.2 και το μέγιστο πάχος 0.10c.

13. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 13
Τέλος υπάρχουν και άλλες σειρές όπως η σειρά 7, η σειρά 8 και η τροποποιημένες
προηγούμενες σειρές που όμως είναι για πιο εξειδικευμένες εφαρμογές.
1.1.5 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ
Η αρχή λειτουργίας της υδροτομής, όπως έχει ήδη αναφερθεί, στηρίζεται στην
κατάλληλη πρόσπτωση της ροής του ρευστού πάνω στην υδροτομή. Δημιουργείται
διαφορά πίεσης μεταξύ της πάνω και της κάτω επιφάνειας της υδροτομής με αποτέλεσμα
να εμφανίζεται η άνωση που θέλουμε. Προφανώς επιζητείται η μείωση της αντίστασης
όσο το δυνατό περισσότερο.
Η γεωμετρία της υδροτομής καθορίζεται από δύο συναρτήσεις:
 Συνάρτηση Μέσης Γραμμής f(x), η οποία δίνει τις συντεταγμένες της Μέσης
Γραμμής σε συνάρτηση της τετμημένης του άξονα x που συμπίπτει με τη χορδή.
 Συνάρτηση πάχους της υδροτομής t(x), η οποία δίνει το πάχος μετρούμενο
κάθετα κάθε φορά στη Μέση Γραμμή συναρτήσει της τετμημένης του άξονα x.
Λόγω του ότι το πάχος της υδροτομής δίνεται στην κάθετη διεύθυνση της μέσης
γραμμής, το περίγραμμα της δεν μπορεί να εκφραστεί από μια συνάρτηση, αλλά οι
συντεταγμένες του δίνονται από δύο παραμετρικές συναρτήσεις με παράμετρο την
τετμημένη x του άξονα που συμπίπτει με την χορδή και έχει θετική φορά προς το χείλος
εκφυγής.
Επομένως οι συντεταγμένες για την πάνω επιφάνεια είναι :
( )
sin( )
2
u
t x
x x   (1.1.1)
( )
( ) cos( )
2
u
t x
y f x   (1.1.2)
Οι συντεταγμένες για την κάτω επιφάνεια είναι :
( )
sin( )
2
l
t x
x x   (1.1.3)
( )
( ) cos( )
2
l
t x
y f x   (1.1.4)
Όπου, η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένης της μέσης γραμμής σε ένα σημείο x με τον
άξονα x, εκφράζεται από την σχέση:

14. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 14
arctan( )
df
dx
  (1.1.5)
Οι παραπάνω παραμετρικές συναρτήσεις δίνουν το περίγραμμα της υδροτομής. Οι
συναρτήσεις Μέσης Γραμμής και πάχους αλλάζουν ανάλογα με τη γεωμετρία της και
έτσι οι παραμετρικές συναρτήσεις προσαρμόζονται για όλα τα είδη των υδροτομών.
Προφανώς από αυτές τις παραμετρικές συναρτήσεις, δεν μπορούμε να πάρουμε μια
αναλυτική σχέση που να δίνει την τεταγμένη y συναρτήσει της τετμημένης x , αλλά
υπολογίζουμε πεπερασμένο αριθμό συντεταγμένων, ανάλογα με την ακρίβεια του
σχήματος της υδροτομής, που θέλουμε.
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο σχηματίζονται οι παραμετρικές
σχέσεις.
Σχήμα 1.2 Γραφικός προσδιορισμός των συντεταγμένων της πάνω επιφάνειας της
υδροτομής. Τα ίδια συμβαίνουν και στην κάτω επιφάνεια.
Για την γεωμετρία των διάφορων υδροτομών, μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις που
υπολογίζουν τις συντεταγμένες τους, αλλά συνήθως βρίσκονται σε διάφορα βιβλία
αεροτομών ή υδροτομών, σε μορφή πίνακα, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένο αριθμό
σημείων. Έτσι η παρουσίαση της γεωμετρίας μιας υδροτομής, γίνεται με τις
συντεταγμένες των σημείων της, ανά μονάδα μήκους χορδής της, δηλαδή οι

15. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 15
συντεταγμένες γράφονται στην μορφή ( , )
x y
A
c c
όπου c: το μήκος της χορδής, με το
παρακάτω τρόπο (παρουσιάζεται η NACA 0016) .
NACA 0016 NACA 0016
Πάνω επιφάνεια (Upper surface) Κάτω επιφάνεια (Lower surface)
x/c y/c x/c y/c
0 0 0 0
0,015708419 0,021087908 0,015708419 -0,021087908
0,035111757 0,030472871 0,035111757 -0,030472871
0,06184666 0,038858547 0,06184666 -0,038858547
0,095491503 0,046048933 0,095491503 -0,046048933
0,135515686 0,051862527 0,135515686 -0,051862527
0,181288005 0,056160229 0,181288005 -0,056160229
0,232086603 0,058866418 0,232086603 -0,058866418
0,287110354 0,05998004 0,287110354 -0,05998004
0,345491503 0,059574717 0,345491503 -0,059574717
0,406309343 0,057789063 0,406309343 -0,057789063
0,46860474 0,054810187 0,46860474 -0,054810187
0,53139526 0,050854339 0,53139526 -0,050854339
0,593690657 0,046148695 0,593690657 -0,046148695
0,654508497 0,040917407 0,654508497 -0,040917407
0,712889646 0,035373527 0,712889646 -0,035373527
0,767913397 0,029716735 0,767913397 -0,029716735
0,818711995 0,024135255 0,818711995 -0,024135255
0,864484314 0,018809442 0,864484314 -0,018809442
0,904508497 0,013914322 0,904508497 -0,013914322
0,93815334 0,009619002 0,93815334 -0,009619002
0,964888243 0,006081988 0,964888243 -0,006081988
0,984291581 0,003442844 0,984291581 -0,003442844
0,996057351 0,001811846 0,996057351 -0,001811846
1 -0,00126 1 -0,00126
Πίνακας 1.1 Οι συντεταγμένες της πάνω και της κάτω επιφάνειας της γεωμετρίας μίας
υδροτομής όπως παρουσιάζονται στα διάφορα βιβλία αεροτομών ή υδροτομών.
Με τα σημεία αυτά μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η γεωμετρία της υδροτομής. Η
κατανομή τους κατά μήκος της χορδής δεν είναι ομοιόμορφη, αλλά παρουσιάζονται
περισσότερα σημεία κοντά στο χείλος προσβολής και εκφυγής, όπου οι μεταβολές της
γεωμετρίας είναι μεγαλύτερες από ότι στο μέσο της υδροτομής.
Λόγω του ότι, τα σημεία αυτά που δίνονται από πίνακες, είναι πεπερασμένα σε αριθμό
και συνήθως λίγα, για να σχεδιαστεί όλη η γεωμετρία της υδροτομής, πρέπει να γίνει μια
προσέγγιση της γεωμετρίας για τις περιοχές μεταξύ των σημείων. Ένας τρόπος, που
όμως εισάγει αρκετά σφάλματα και δυσκολίες, είναι η γραμμική προσέγγιση, όπου το
ένα σημείο ενώνεται με το διπλανό του με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Με τον τρόπο αυτό,
όμως, δημιουργείται ένα πολύγωνο, που σε κάθε αρχικό σημείο υπάρχει μια γωνία και
αυτό προκαλεί αδυναμία, στη μοντελοποίηση και στη λύση της γεωμετρίας και του
ροικού πεδίου, αντίστοιχα. Έτσι, μια μέθοδος που μπορεί να σχεδιάσει αποδοτικά την

16. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 16
συνολική γεωμετρία της υδροτομής από τα σημεία που διαθέτουμε, είναι η
χρησιμοποίηση των συναρτήσεων SPLINES και ειδικότερα των καμπύλων NURBS
(Non-Uniform Rational Basis Splines). Η καμπύλη NURBS είναι μια ειδική περίπτωση
της χρήσης των βασικών πολυωνυμικών συναρτήσεων B-SPLINES, οι οποίες είναι
συνήθως κυβικές (τρίτου βαθμού). Έχοντας καθορίσει το βαθμό των συναρτήσεων Β-
SPLINES που θα χρησιμοποιήσουμε, τα σημεία της γεωμετρίας που έχουμε (σημεία
ελέγχου), τα βάρη έλξης (weights) του κάθε σημείου και τα σημεία της παραμετρικής
μεταβλητής (knots), δηλαδή τα σημεία της ανεξάρτητης μεταβλητής της συνάρτησης που
δίνει την καμπύλη NURBS, μπορούμε να εκφράσουμε την συνάρτηση της καμπύλης της
γεωμετρίας μας ως:
,
0
,
0
( )
( )
( )
n
i p i i
i
n
i p i
i
N t w P
C t
N t w


 




(1.1.6)
όπου p η τάξη των συναρτήσεων B-SPLINES, , ( )i pN t οι συναρτήσεις B-SPLINES,
iP τα σημεία της γεωμετρίας, iw τα βάρη των σημείων και t η παραμετρική μεταβλητή.
Οι συναρτήσεις Β-SPLINES δίνονται από τις σχέσεις:
1
,1
1 αν
( )
0 άλλη περίπτωση
i i
i
t t t
N t  
 

(1.1.7)
1
, , 1 1, 1
1 1
( ) ( ) ( )i i k
i k i k i k
i k i i k i
t t t t
N t N t N t
t t t t
 
  
   
 
   
 
όπου 1k  (1.1.8)
Για την Σχέση (1.1.8) ισχύει:
, ( ) 0 ανi k i i kN t t t t    (1.1.9)
, 0( ) 0 αν καιi k i i k n kN t t t t t t t      (1.1.10)
Επομένως στην ουσία, η γεωμετρία της υδροτομής εκφράζεται ως η καμπύλη μιας
συνάρτησης, η οποία είναι το πηλίκο δύο γραμμικών συνδυασμών κάποιων βασικών
συναρτήσεων Β-SPLINES, όπου κάθε μία δεν είναι μηδενική σε συγκεκριμένη περιοχή
του πεδίου ορισμού της. Οπότε, κάθε κομμάτι της γεωμετρίας της υδροτομής εκφράζεται
από ένα μη μηδενικό μέρος, για την περιοχή αυτή της συνάρτησης ( )C t .

17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 17
Με την παραπάνω διαδικασία, δημιουργούμε την γεωμετρία της υδροτομής με μια πολύ
ομαλή καμπύλη (smooth), αποφεύγοντας τις μυτερές μύτες που προκύπτουν από την
γραμμική παρεμβολή, μόνο από τα πεπερασμένα σημεία που δίνονται γι’ αυτήν από
πίνακες. Η καμπύλη αυτή (NURBS), δεν περνάει αναγκαστικά από όλα τα σημεία της
υδροτομής, αλλά επηρεάζεται από αυτά (δηλαδή έλκεται από αυτά) ανάλογα με το
βάρος(που έχουμε υποθέσει) του κάθε σημείου. Έτσι, με μικρότερα βάρη (έλξη) σε
ενδιάμεσα σημεία της γεωμετρίας, παίρνουμε ομαλότερη καμπύλη. Για να κρατήσουμε
όμως και το σχήμα της υδροτομής μας αναλλοίωτο, χρησιμοποιούμε κατάλληλα βάρη
στα σημεία. Τέλος η εφαρμογή των καμπύλων NURBS είναι μια προσεγγιστική μέθοδος
και όχι μέθοδος παρεμβολής, αφού δεν αναγκάζονται οι καμπύλες να περάσουν από τα
προϋπάρχοντα σημεία. Βέβαια υπάρχουν και μέθοδοι παρεμβολής με συναρτήσεις
SPLINES.
Οπότε με τη προσέγγιση της γεωμετρίας με καμπύλες NURBS πετυχαίνουμε το σχήμα
της υδροτομής που είναι κατάλληλο για τη μοντελοποίηση του στον υπολογιστή και την
περαιτέρω αριθμητική ανάλυση του ροϊκού πεδίου, που υφίσταται γύρω του.
Ένα παράδειγμα της εφαρμογής των καμπύλων NURBS σε γεωμετρία υδροτομής,
παρουσιάζεται.
Σχήμα 1.3 Από τα συγκεκριμένα κόκκινα σημεία ελέγχου που δημιουργούν το
πολύγωνο ελέγχου (διακεκομμένη κόκκινη γραμμή) δημιουργείται η ομαλή καμπύλη
NURBS (μπλε γραμμή).
1.1.6 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΤΟΜΗ
Οι δυνάμεις και οι ροπές που αναπτύσσονται στην υδροτομή είναι το αποτέλεσμα δύο
βασικών πηγών, της πίεσης του νερού και της τριβής μεταξύ της επιφάνειας της
υδροτομής και του νερού. Όπως φαίνεται στο σχήμα 1.4, η πίεση ενεργεί κάθετα στην
επιφάνεια ενώ η διατμητική τάση που αναπτύσσεται λόγω της τριβής ενεργεί
εφαπτομενικά σε αυτή. Η πίεση και η διατμητική τάση κατά μήκος της επιφάνειας

18. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 18
μπορούν να αναλυθούν σε μια ισοδύναμη δύναμη R και μία ροπή M, όπως φαίνεται στο
σχήμα 1.5.
Σχήμα 1.4 Πιέσεις και διατμητικές τάσεις στην επιφάνεια της υδροτομής
Σχήμα 1.5 (α) Ισοδύναμο ζεύγος δύναμης R και ροπής Μ (β) Ανάλυση της δύναμης R σε
συνιστώσες L και D, κάθετα και παράλληλα στην ελεύθερη ροή, αντίστοιχα.

19. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 19
Η δύναμη R συνήθως αναλύεται σε συνιστώσες κάθετα και παράλληλα στη διεύθυνση
της ελεύθερης ροής V∞ . Ορίζουμε λοιπόν τα μεγέθη :
 Άνωση L της υδροτομής (Lift) ορίζεται η κάθετη στη διεύθυνση τη ελεύθερης
ροής συνιστώσα της δύναμης R.
 Αντίσταση D της υδροτομής (Drag) ορίζεται η παράλληλη στη διεύθυνση της
ελεύθερης ροής συνιστώσα της δύναμης R.
Η άνωση είναι εκείνη η δύναμη, που κάνει λειτουργικές τις υδροτομές και έτσι τις
χρησιμοποιούμε για να ανυψώσουμε τις διάφορες κατασκευές μας (π.χ τα υδροπτέρυγα
σκάφη) ή να παράγουμε έργο (π.χ σε έναν υδροστρόβιλο). Η άνωση αυτή οφείλεται στις
διαφορές της πίεσης, που υπάρχουν στην κάτω και πάνω επιφάνεια της υδροτομής.
Η άνωση της υδροτομής εξαρτάται, όπως θα δούμε και παρακάτω, από την γωνία
προσβολής, από την ταχύτητα της ροής αλλά και από την πυκνότητα του ρευστού.
Η αντίσταση είναι εκείνη η δύναμη, όπου μας δημιουργεί πρόβλημα στις διάφορες
εφαρμογές και προσπαθούμε να την μειώσουμε, όσο γίνεται. Όπως είδαμε, η αντίσταση
οφείλεται σε δύο φαινόμενα της ροής. Το ένα είναι η τριβή (ιξώδης συμπεριφορά) του
νερού πάνω στην υδροτομή, που αυξάνεται καθώς μεγαλώνει η συνολική επιφάνεια της
και το δεύτερο είναι η διαφορά πιέσεων εμπρός και πίσω της υδροτομής, όπου
αυξάνεται, κυρίως, όσο μεγαλώνει η κάθετη επιφάνεια της που προσπίπτει η ροή.
Από αυτές τις δύο δυνάμεις, μπορούμε να ορίσουμε και μια απόδοση της υδροτομής, που
ονομάζεται υδροδυναμική απόδοση, ή λόγος και ισούται με την παρακάτω έκφραση:
L
D
  (1.1.11)
Ή ισοδύναμα
L
D
C
C
  (1.1.12)
Η προσπάθεια για την βελτιστοποίηση κάθε υδροτομής, αποσκοπεί στο να αυξήσει
αυτόν το λόγο. Δηλαδή να δημιουργήσει περισσότερη άνωση, με όσο γίνεται, μικρότερη
αντίσταση.
Η ροπή M συνήθως θεωρείται, είτε ως προς το χείλος προσβολής, είτε ως προς το
τέταρτο της χορδής ή ως προς το υδροδυναμικό κέντρο. Το υδροδυναμικό κέντρο έχει

20. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 20
την ιδιότητα να μην μεταβάλλει τη ροπή, καθώς αλλάζει η γωνία. Αυτό το σημείο έχει
βρεθεί, πειραματικά και θεωρητικά, ότι βρίσκεται στο 25% της χορδής από το χείλος
προσβολής, για τις περισσότερες χαμηλών ταχυτήτων περιπτώσεις.
1.1.7 ΑΡΙΘΜΟΣ REYNOLDS, ΣΤΡΩΤΗ – ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ
Στη ρευστομηχανική ο αριθμός Reynolds είναι ένας από τους πιο βασικούς αδιάστατους
αριθμούς. Συγκρίνει τις δυνάμεις αδράνειας με τις δυνάμεις συνεκτικότητας του
ρευστού.
= =
Ο Reynolds δίνεται από τη σχέση:
= = Re (1.1.13)
όπου V είναι η ταχύτητα της ελεύθερης ροής, L είναι το χαρακτηριστικό μήκος του
αριθμού Reynolds, όπου στην περίπτωση της υδροτομής είναι το μήκος της χορδής,
 είναι η πυκνότητα του νερού στην συγκεκριμένη περίπτωση ενώ ν,  το κινηματικό
και δυναμικό ιξώδες του νερού, αντίστοιχα.
Όταν ο αριθμός Reynolds έχει μικρή τιμή υποδηλώνει ότι οι δυνάμεις συνεκτικότητας
είναι σημαντικές. Σε αυτή την περίπτωση τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε παράλληλες
στρώσεις και η ροή δεν παρουσιάζει μακροσκοπική μίξη μεταξύ στρώσεων. Τυχαίες
αποκλίσεις της τροχιάς των σωματιδίων αποσβένονται από τις ισχυρές δυνάμεις
συνεκτικότητας και έτσι αυτά επανέρχονται στην στρωσιγενή πορεία τους. Αυτός ο
τύπος λέγεται στρωτή ροή.
Από την άλλη μεριά, μεγάλες τιμές του αριθμού Reynolds υποδηλώνουν ότι οι δυνάμεις
συνεκτικότητας είναι ασήμαντες σε σχέση με τις δυνάμεις αδράνειας. Σε αυτή την
περίπτωση τα ρευστά σωματίδια ακολουθούν ακανόνιστες τροχιές χωρίς οι δυνάμεις
συνεκτικότητας να έχουν το απαιτούμενο μέγεθος για να επιβάλλουν στρωτή κίνηση.
Αυτός ο τύπος ροής καλείται τυρβώδης ροή. Στην τυρβώδη ροή είναι εμφανής η

21. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 21
μακροσκοπική μίξη μεταξύ γειτονικών στρώσεων, ενώ η ταχύτητα σε οποιδήποτε σημείο
παρουσιάζει συνεχείς τυχαίες διακυμάνσεις.
Έτσι, με τον αριθμό Reynolds μπορούμε να ομαδοποιήσουμε όμοιες ροϊκές καταστάσεις
ανεξάρτητα, δηλαδή, από το μέγεθος της υδροτομής ή την ταχύτητα προσβολής, σε μια
μόνο τιμή του. Με τον τρόπο αυτό τα πολλά διαφορετικά προβλήματα ροής, που
υπάρχουν με όμοιες γεωμετρίες, ελαχιστοποιούνται και είναι πιο εύκολο να μελετηθούν.
1.1.8 ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Οι υδροδυναμικοί συντελεστές είναι αριθμοί οι οποίοι εκφράζουν σε αδιάστατη μορφή
την εξάρτηση των δυνάμεων της υδροτομής και ροπών από τις συνθήκες του ροικού
πεδίου. Υπάρχουν τρεις βασικοί συντελεστές : ο συντελεστής πίεσης Cp , ο συντελεστής
άνωσης CL, ο συντελεστής αντίστασης CD και ο συντελεστής ροπής Cm.
Συντελεστής πίεσης Cp
Η πίεση του πεδίου της ροής αδιαστατοποιείται συνήθως με τη δυναμική πίεση ρ u2
.
Είναι σύνηθες η κατανομή της πίεσης στην επιφάνεια της υδροτομής να εκφράζεται με
το συντελεστή πίεσης (Cp) ο οποίος ορίζεται ως εξής :
21
2
P
p p
C
u


 
(1.1.14)
Όπου p είναι η πίεση στο σημείο που υπολογίζεται ο συντελεστής πίεσης, p είναι η
πίεση του μακρινού πεδίου και u η ταχύτητα του μακρινού πεδίου.
Ο συντελεστής πίεσης μετατρέπει την κατανομή πίεσης πάνω σε μια γεωμετρία, σε μια
κατανομή αδιάστατων τιμών, όπου ισχύει για κάθε ταχύτητα u , στην ίδια γεωμετρία. Με
τον τρόπο αυτό, με μια μόνο κατανομή του αδιάστατου συντελεστή πίεσης βρίσκουμε
όλες τις κατανομές πίεσης, για κάθε ταχύτητα του ρευστού u . Επίσης, ο συντελεστής
πίεσης μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια για ασυμπίεστα ρευστά, όπως είναι στην
περίπτωση των υδροτομών, το νερό.

22. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 22
Συντελεστής άνωσης CL
Ο συντελεστής άνωσης της υδροτομής Cl ορίζεται ως :
21
2
L
L
C
u A

  
(1.1.15)
όπου L η άνωση (lift) της υδροτομής, u η ταχύτητα μακρινού πεδίου και A μια
επιφάνεια αναφοράς, χαρακτηριστική της υδροτομής, ώστε να μετατρέπονται οι μονάδες
της δυναμικής πίεσης σε μονάδες δύναμης και έτσι να έχουμε αδιάστατο συντελεστή.
Συντελεστής αντίστασης CD
Ο συντελεστής αντίστασης CD ορίζεται ως :
21
2
D
D
C
u A

  
(1.1.16)
Όπου D η αντίσταση της υδροτομής, u η ταχύτητα της μακρινής ροής και A η
επιφάνεια αναφοράς.
Η επιφάνεια αναφοράς A ,είναι η ίδια και για τους δύο συντελεστές άνωσης και
αντίστασης και ορίζεται ως το εμβαδό του παραλληλογράμμου, που έχει πλευρές την
χορδή (c ) και το εκπέτασμα (b ) της υδροτομής.
Γνωρίζοντας τους συντελεστές άνωσης και αντίστασης είναι δυνατή η εύρεση της
άνωσης και της αντίστασης, δηλαδή των δύο δυνάμεων που δρουν στην υδροτομή, για
διάφορες γωνίες προσβολής και αριθμούς Reynolds. Σε αντίθετη περίπτωση, χωρίς τη
χρήση των συντελεστών, ο υπολογισμός των δυνάμεων θα ήταν δύσκολος αφού θα ήταν
απαραίτητη η ολοκλήρωση της επιφάνειας της υδροτομής καθώς και η χρήση άλλων
πολύπλοκων μεθόδων.
Οι δυνάμεις άνωσης και αντίστασης υπολογίζονται αντίστοιχα, από τις παρακάτω
σχέσεις:
21
2
LL C u A     (1.1.17)
21
2
DD C u A     (1.1.18)

23. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 23
Οι συντελεστές άνωσης και αντίστασης εξαρτώνται από την κατανομή πίεσης γύρω από
την υδροτομή. Όμως η κατανομή πίεσης μεταβάλλεται ανάλογα:
I. με τη γωνία προσβολής του νερού (α)
II. τον αριθμό Reynolds
III. την τραχύτητα της επιφάνειας της υδροτομής (ks)
Από τους τρεις παραπάνω παράγοντες αυτός που επηρεάζει περισσότερο τους
συντελεστές είναι η γωνία προσβολής του νερού (α), επομένως μπορούμε να τους
θεωρήσουμε σταθερούς καθώς μεταβάλλεται η ταχύτητα της ροής δηλαδή ο αριθμός
Reynolds.
Ο παράγοντας τραχύτητα της επιφάνειας επηρεάζει σε πολύ μικρό βαθμό τους
συντελεστές άνωσης και αντίστασης. Αυτό που προκαλεί η τραχύτητα είναι η
δημιουργία μεγαλύτερου ποσοστού τύρβης στο οριακό στρώμα, που επηρεάζει έστω και
ελάχιστα την κατανομή πίεσης στις επιφάνειες της υδροτομής. Επιπλέον λόγω της
τραχύτητας εμφανίζεται μεγαλύτερη τριβή με το ρευστό το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα
να επηρεάζεται η κατανομή πίεσης λόγω διαφορετικού οριακού στρώματος αλλά η
δύναμη αντίστασης που οφείλεται στην τριβή. Όμως, λόγω της ελάχιστης επίδρασης και
του γεγονότος ότι οι υδροπτέρυγες κατασκευάζονται από υλικά, που έχουν σχεδόν την
ίδια τραχύτητα, το μέγεθος της τραχύτητας δεν λαμβάνεται υπόψη, ακόμα και για
ακριβείς υπολογισμούς.
Για κάθε υδροτομή έχουν υπολογιστεί πειραματικά οι συντελεστές άνωσης και
αντίστασης και παρουσιάζονται σε διαγράμματα σε διάφορα βιβλία υδροτομών.
Παρακάτω παρουσιάζεται ένα διάγραμμα συσχέτισης συντελεστή άνωσης με γωνία
προσβολής, ένα διάγραμμα συσχέτισης συντελεστή αντίστασης με γωνία προσβολής, ένα
διάγραμμα συσχέτισης και των δύο συντελεστών με την γωνία προσβολής και τέλος ένα
διάγραμμα συσχέτισης του συντελεστή άνωσης με το συντελεστή αντίστασης (πολικό
διάγραμμα).

24. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 24
Σχήμα 1.6 Στο διάγραμμα αυτό παρουσιάζεται η συσχέτιση του συντελεστή άνωσης
LC (κάθετος άξονας) με την γωνία προσβολής (a )της υδροτομής, για διάφορους αριθμούς
Reynolds. Οι οριζόντιες γραμμές δίνουν τον αδιάστατο συντελεστή ροπής, που θα
εξηγήσουμε παρακάτω.

25. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 25
Σχήμα 1.7 Στο διάγραμμα αυτό δίνεται η συσχέτιση του συντελεστή αντίστασης με την
γωνία προσβολής, για διάφορους αριθμούς Reynolds. Το διάγραμμα αυτό είναι συνέχεια
του προηγουμένου.
Τα δύο αυτά διαγράμματα δίνονται στο βιβλίο Theory of wing sections των Abbot και
Doenhoff. Από αυτά βλέπουμε ότι, η επίδραση του αριθμού Reynolds στους συντελεστές
είναι πολύ μικρότερη από αυτήν της γωνίας προσβολής, αφού οι καμπύλες με
διαφορετικούς Reynolds σχεδόν ταυτίζονται.

26. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 26
Από το σχήμα 1.6 παρατηρούμε ότι, καθώς η γωνία προσβολής αυξάνεται, ο
συντελεστής άνωσης αυξάνεται γραμμικά και σε κάποιο σημείο εμφανίζει μέγιστο,
ελαττώνοντας στη συνέχεια την τιμή του. Αυτό συμβαίνει, συνήθως, σε μια γωνία 15-20
μοιρών και οφείλεται στην αποκόλληση του οριακού στρώματος, που εμφανίζεται σε
αυτήν τη γωνία και έτσι καταστρέφεται η χαμηλή κατανομή πίεσης στην πάνω επιφάνεια
της υδροτομής, ρίχνοντας την άνωση. Επίσης, από το σχήμα 1.7 βλέπουμε ότι η καμπύλη
του συντελεστή αντίστασης έχει μια παραβολική μορφή, συμμετρική εκατέρωθεν της
ευθείας 0a  , που υποδηλώνει ότι η αντίσταση, σε μηδενική γωνία προσβολής, είναι
ελάχιστη (τουλάχιστον στις συμμετρικές υδροτομές), αφού σε άλλη γωνία προσβολής,
θετική ή αρνητική, η κάθετη επιφάνεια της υδροτομής, στη ροή είναι μεγαλύτερη από
αυτήν της μηδενικής γωνίας.
Από τα σχήματα 1.6 και 1.7 μπορούμε να προσεγγίσουμε τις καμπύλες των δύο
συντελεστών με τις σχέσεις:
Για τον συντελεστή άνωσης:
0 0 0( ) ( ) ( )L L
L L
dC C
C a a a a K a a
da a

        

(1.1.19)
Και για τον συντελεστή αντίστασης:
0
2
0( )D D DC C K a a    (1.1.20)
για γωνίες από 0a μέχρι a , όπου οι συντελεστές LK και DK μπορούν να θεωρηθούν
σταθεροί.
Από το συνδυασμό αυτών των σχέσεων, προκύπτει η παρακάτω σχέση για πτέρυγες
χωρίς συστροφή:
0 0
2 2
2
D
D D L D L
L
K
C C C C K C
K
      (1.1.21)
όπου 2
D
L
K
K
K


27. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 27
Πολλές φορές δίνονται και διαγράμματα, όπου παρουσιάζονται και οι δυο καμπύλες
άνωσης και αντίστασης όπως στο Σχήμα 1.8. Τέλος χρησιμοποιείται και ένα διάγραμμα,
που ονομάζεται πολικό και είναι βολικό στο να υπολογίζεται ο λόγος /L DC C . Αυτό
φαίνεται στο Σχήμα 1.9:
Σχήμα 1.8 Οι συντελεστές LC , DC συναρτήσει της γωνία προσβολής a
Σχήμα 1.9 Πολικό διάγραμμα ( )L L DC C C των τυποποιημένων υδροτομών NACA
23015 και NACA 662-215

28. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 28
Συντελεστής ροπής Cm
Ο συντελεστής ροπής δίνεται από την παρακάτω σχέση:
21
2
m
M
C
u A c

   
(1.1.22)
Στις τρεις διαστάσεις η χαρακτηριστική επιφάνεια που χρησιμοποιείται για την
αδιαστατοποίηση της δύναμης είναι η επιφάνεια κάτοψης της πτέρυγας (Α), ενώ το
χαρακτηριστικό μήκος για την αδιαστατοποίηση του μοχλοβραχίονα της ροπής είναι το
μήκος της χορδής (c). Ακόμα M είναι η ροπή που εμφανίζεται γύρω από άξονα που
περνά από υδροδυναμικό κέντρο της υδροτομής και u είναι η ταχύτητα της μακρινής
ροής.
Χαρακτηριστικό του συντελεστή, σύμφωνα με τα παραπάνω διαγράμματα είναι ότι
παραμένει σταθερός καθώς μεταβάλλεται η γωνία προσβολής της υδροτομής.
1.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΡΟΩΝ
1.2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ
Η υπολογιστική ρευστομηχανική, γνωστή με τον όρο CFD (Computational Fluid
Dynamics), είναι ένα εργαλείο της μηχανικής των ρευστών που χρησιμοποιεί
αριθμητικές μεθόδους και αλγόριθμους για την ανάλυση και την λύση προβλημάτων που
περιέχουν ροές ρευστού. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές χρησιμοποιούνται για την
εκτέλεση των απαιτούμενων υπολογισμών, ώστε να γίνει η σωστή προσομοίωση της
αλληλεπίδρασης των υγρών και των αερίων με τις επιφάνειες που ορίζονται από οριακές
συνθήκες. Υπάρχει συνεχής πρόοδος στην έρευνα όσον αφορά το λογισμικό το οποίο
βελτιώνει την ακρίβεια και την ταχύτητα των πολύπλοκων προσομοιώσεων, όπως για
παράδειγμα είναι η τυρβώδη ροή. Λόγω της χρήσης αριθμητικών μεθόδων για την
επίλυση των ροών, η λύση που προκύπτει δεν είναι αναλυτική με μεγάλη ακρίβεια αλλά
διακριτές τιμές που έχουν απόκλιση από τις πραγματικές. Δηλαδή η λύση είναι ένα
σύνολο αριθμών και όχι μία μαθηματική συνάρτηση.
Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή είναι γνωστές ως οι Navier- Stokes. Οι
εξισώσεις αυτές είναι μη γραμμικές, πολύπλοκες και πολυάριθμες συνεπώς είναι
δύσκολο να επιλυθούν ακόμα και για απλά ροϊκά πεδία. Για την απλοποίηση τους
αναπτύχθηκαν οι εξισώσεις Euler μη συνεκτικού ρευστού, οι εξισώσεις οριακού

29. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 29
στρώματος και δυναμικού πεδίου, αλλά και πάλι η αναλυτική τους λύση ήταν αδύνατη
για τα περισσότερα πραγματικά προβλήματα. Ο μόνος τρόπος επίλυσης τους είναι η
χρήση αριθμητικών μεθόδων, οι οποίες απαιτούν ηλεκτρονικό υπολογιστή για να γίνει ο
μεγάλος όγκος πράξεων σε σχετικά μικρό χρονικό διάστημα και χωρίς την πιθανότητα
ανθρώπινου λάθους. Με άλλα λόγια το μαθηματικό υπόβαθρο για την λύση των Navier-
Stokes υπήρχε από παλιά, όμως με την ανάπτυξη των γρήγορων και με μεγάλη μνήμη
ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η επίλυσή τους.
Παλιότερα ο μόνος τρόπος για να μελετηθούν οι ροές ήταν το πείραμα με σήραγγες.
Συγκεκριμένα τοποθετούνταν οι γεωμετρίες σε μικρότερη κλίμακα μέσα σε σήραγγες
όπου έρεε το ρευστό και έτσι γινόταν οι μετρήσεις των μεγεθών της ροής. Όμως ακόμα
και σήμερα που η ανάπτυξη των υπολογιστών είναι ραγδαία το πείραμα αποτελεί
σημαντικό κομμάτι της έρευνας διότι είναι το μόνο που δίνει αποτελέσματα με μεγάλη
ακρίβεια. Φυσικά πρέπει να αναφερθεί ότι το κόστος για την πειραματική μελέτη είναι
μεγάλο καθώς επίσης και το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να δώσει
αποτελέσματα. Ακόμα, αδυνατεί πολλές φορές να προσομοιώσει τα φυσικά μεγέθη των
γεωμετριών και τις συνθήκες και όσο για τα αποτελέσματα των μετρήσεων αφορούν
μόνο συγκεκριμένα ολοκληρωτικά μεγέθη, όπως συνολικές δυνάμεις. Σ΄ αυτό το σημείο
φαίνεται η χρησιμότητα της υπολογιστικής ρευστομηχανικής η οποία λύνει σχετικά
γρήγορα και οικονομικά τις ροές σε οποιεσδήποτε συνθήκες καθώς επίσης δίνει όλα τα
ροϊκά μεγέθη σε κάθε σημείο της ροής. Από την άλλη, δεν υπάρχει μεγάλη ακρίβεια στα
αποτελέσματα και βεβαιότητα για την ορθότητα της λύσης, αφού ροϊκά φαινόμενα, όπως
η τύρβη μοντελοποιούνται εμπειρικά λόγω της αδυναμίας επίλυσης των Navier-Stokes,
σε μεγάλη πυκνότητα σημείων υπολογισμού, ώστε να γίνεται μέτρηση της πολύ μικρής
χωρικής κλίμακας λειτουργία της, που επηρεάζει μακροσκοπικά την ροή. Συνεπώς ο
συνδυασμός υπολογιστικής ρευστομηχανικής με το πείραμα δίνει τα καλύτερα
αποτελέσματα καθώς συνδυάζονται τα πλεονεκτήματα και των δύο.
Μια συνήθης διαδικασία μελέτης ενός ροϊκού προβλήματος, όπως κάνουμε και στην
εργασία αυτή με τις υδροτομές, είναι η μελέτη της ίδιας γεωμετρίας με τις ίδιες
συνθήκες, υπολογιστικά και πειραματικά. Αφού, από την σύγκριση των δύο
αποτελεσμάτων, μπορεί να ελεγχθεί η ακρίβεια της υπολογιστικής λύσης και να
καθοριστούν οι παράμετροι και τα μοντέλα τύρβης, που δίνουν την μεγαλύτερη ακρίβεια
, μέσα στις ανοχές που θέτουμε. Τότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην υπολογιστική
μελέτη κοντινών συνθηκών και γεωμετριών, υποθέτοντας ότι στις καινούργιες ροϊκές
καταστάσεις οι παράμετροι και τα μοντέλα τύρβης, που καθορίστηκαν από το πείραμα
,δεν μεταβάλλονται ή μεταβάλλονται ελάχιστα και έτσι να μην χρειάζεται να γίνει, για

30. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 30
κάθε μια διαφορετική κατάσταση, πείραμα. Οπότε, με ένα πείραμα μελετάμε πολλές
διαφορετικές καταστάσεις. Από αυτή τη διαδικασία παίρνουμε όφελος από την
υπολογιστική ρευστομηχανική και ελαχιστοποιούμε τα πειράματα.
Η διαδικασία της εκτέλεσης όλων αυτών των πράξεων και αλγορίθμων της
υπολογιστικής ρευστομηχανικής, γίνεται στον υπολογιστή, φτιάχνοντας κώδικα επίλυσης
σε μια γλώσσα προγραμματισμού. Βέβαια υπάρχουν εμπορικά, κυρίως προγράμματα,
όπως το FLUENT, για την δουλειά αυτή όπου χρησιμοποιείται και στην εργασία αυτή.
1.2.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
 Εξίσωση συνέχειας για διδιάστατη επίπεδη ροή
Επειδή η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία ασχολείται με διδιάστατη ροή (2D), πρέπει
να σημειωθεί ότι για την περιγραφή της, αρκούν δύο χωρικές μεταβλητές (για
ασυμπίεστα συνεκτικά ή μη συνεκτικά ρευστά). Για δισδιάστατες επίπεδες ροές
(παράλληλες στο επίπεδο z) η εξίσωση της συνέχειας γράφεται:
div = + = 0 (1.2.1)
Όπου = u + v η ταχύτητα κίνησης σωματιδίου του ρευστού.
 Εξίσωση Bernoulli
Για αστρόβιλο (κίνηση ρευστού χωρίς περιστροφή) , μόνιμο πεδίο, ασυμπίεστου και μη
συνεκτικού ρευστού εφαρμόζεται ο νόμος Bernoulli. Η εξίσωση Bernoulli εφαρμοζόμενη
μεταξύ των τυχαίων σημείων 1 και 2 του ρευστού, για τις συνθήκες που περιγράφηκαν
προηγουμένως γράφεται ως εξής:
ρ u1
2
+ ρ g h1 + p1 = ρ u2
2
+ ρ g h2 + p2 (1.2.2)
Το μέγεθος p ονομάζεται στατική πίεση, σε αντίθεση με το μέγεθος 1/2ρu2
που
ονομάζεται δυναμική πίεση. Το μέγεθος ρgh ονομάζεται γεωστατική πίεση. Το άθροισμα
po = p + 1/2ρu2
+ ρgh λέγεται ολική πίεση. Η ολική πίεση είναι σταθερη σε τέτοιου
είδους πεδία.

31. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 31
 Εξισώσεις Navier-Stokes
Η ροή των ρευστών περιγράφεται από τις εξισώσεις Navier-Stokes, όπου παρακάτω θα
δούμε τη μεθοδολογία δημιουργίας τους. Οι Navier-Stokes ιστορικά αναφέρονται στις
τρείς εξισώσεις ορμής, αλλά συνηθίζεται να αποκαλούμε έτσι και τις πέντε συνολικά
διαφορικές εξισώσεις διατήρησης που υπάρχουν. Μία εξίσωση διατήρησης μάζας
(εξίσωση συνέχειας), μία εξίσωση διατήρησης ορμής για κάθε μία από τις τρείς
διευθύνσεις του χώρου και μία εξίσωση διατήρησης ενέργειας.
Οι περισσότεροι νόμοι της μηχανικής αναφέρονται σε υλικά συστήματα, με τη έννοια ότι
περιγράφουν τις κινήσεις υλικών σωμάτων, ανεξάρτητα του σημείου που βρίσκονται
μέσα στο χώρο. Όμως, για τη ευκολία της μελέτης των ροών, είναι καλύτερα να
εκφράζονται οι νόμοι αυτοί, όχι για ένα συγκεκριμένο υλικό σύστημα, αλλά για ένα
συγκεκριμένο όγκο του χώρου (όγκος ελέγχου). Την μετατροπή της μελέτης από ένα
υλικό κινούμενο σύστημα σε ένα σταθερό όγκο ελέγχου, αναλαμβάνει το θεώρημα
μεταφοράς του Reynolds.
Το θεώρημα Reynolds μετατρέπει το ρυθμό μεταβολής μιας εντατικής ποσότητας ενός
συγκεκριμένου υλικού συστήματος, σε ρυθμό μεταβολής της εντατικής ποσότητας σε
συγκεκριμένο όγκο ελέγχου.
Ο ρυθμός μεταβολής της εντατικής ποσότητας  , ενός υλικού συστήματος είναι:
( , )i
V
d d
x t dV
dt dt
 

  (1.2.3)
όπου V ο όγκος που καταλαμβάνει το υλικό σύστημα, κάθε χρονική στιγμή και  η
πυκνότητα του ρευστού. Δηλαδή, ο όγκος δεν είναι σταθερός, αλλά κινείται. Ετσι η
σχέση (1.2.1) γράφεται:
0
'
1
( , ) lim ( , ) ' ( , )i i i
t
V V V
d
x t dV x t t dV x t dV
dt t
      

 
      
 
   (1.2.4)
Στη σχέση αυτή ο όγκος 'V είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το υλικό σύστημα τη
χρονική στιγμή t , ενώ ο όγκος V της χρονικής στιγμής t t .
Ορίζοντας τους παρακάτω όγκους όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.10:
1V όγκος του V που δεν περιέχεται στον 'V

32. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 32
2V όγκος του 'V που δεν περιέχεται στον V
Σχήμα 1.10 Οι όγκοι που χρησιμοποιούνται για την διεξαγωγή του θεωρήματος
μεταφοράς Reynolds
Το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της σχέσης (1.2.4) γράφεται:
1 2
'
( , ) '
( , ) ( , ) ( , )
i
V
i i i
V V V
x t t dV
x t t dV x t t dV x t t dV
 
  
        
  
        

  
(1.2.5)
οπότε η (1.2.4) γράφεται:
1
2
0
0
0
( , )
( , ) ( , )
1
lim
( , ) ( , )
1
lim ( , ) ( , )
1
lim ( , )
i
V
i i
V V
t
i i
V V
i i
t
V V
i
t
d
x t dV
dt
x t t dV x t t dV
t x t t dV x t dV
x t t dV x t dV
t
x t t dV
t





 
     
     
    

   




 
     
  
  
     
  
 
     
 
    

 
 
 
2 1
( , )i
V V
x t t dV
 
 
  
 
  
 
(1.2.6)
Πλέον η σχέση (1.2.6) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της εντατικής ποσότητας  σε
ένα συγκεκριμένο όγκο ελέγχου V .

33. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 33
Το πρώτο όριο εκφράζει την μεταβολή της ιδιότητας μέσα στον όγκο αυτό, ενώ το
δεύτερο όριο το ρυθμό με τον οποίο περνά η ιδιότητα αυτή από την επιφάνεια του όγκου
αυτού. Έτσι η (1.2.4) γράφεται:
( , )i
V S
d d
x t dV u n ds
dt dt
   

        (1.2.7)
όπου u η ταχύτητα του ρευστού στην επιφάνεια ds και n το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα
στην επιφάνεια.
Έτσι λόγο του θεωρήματος Green η σχέση (1.2.7) γίνεται:
( , ) ( ) ( ( , )) ( )i i
V V V
d d d
x t dV u dV x t u
dt dt dt
       
  
            
  
(1.2.8)
Επομένως η εξίσωση μεταφοράς του Reynolds, από την οποία δημιουργούνται οι
εξισώσεις Navier-Stokes, γράφεται:
( ) ( )
V V
d d
dV u
dt dt
     
 
       
  (1.2.9)
Για την εξίσωση της διατήρηση της μάζας, ο ρυθμός μεταβολής του  θα είναι μηδέν,
αφού δεν παράγεται ή δημιουργείται μάζα και θα έχουμε 1  .
Η (1.2.9) γίνεται:
( ) ( ) 0
V
d
u
dt
   
 
      
 (1.2.10)
Και αυτό συνεπάγει:
( ) ( ) 0
d
u
dt
        (1.2.11)
Και κατ’ επέκταση:
0
d D
u u u
dt Dt
 
          (1.2.12)

34. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 34
Όπου
( ) ( )
( )
D d
u
Dt dt
   η ουσιαστική παράγωγός, η οποία εκφράζει το ρυθμό
μεταβολής που βλέπει ένας παρατηρητής, κινούμενος μαζί με το ρευστό.
Η εξίσωση αυτή της συνέχειας απλοποιείται ανάλογα με τις ιδιότητες του ρευστού.
Έτσι, αν έχουμε ασυμπίεστο ρευστό και μόνιμη ροή, όπως στην περίπτωση της εργασίας
αυτής όπου έχουμε λειτουργούν μέσο, το νερό, τότε η (1.2.11) γίνεται:
0 0
u v w
u
x y z
  
     
  
(1.2.13)
Για τις εξισώσεις ορμής, χρησιμοποιούμε, πάλι, το θεώρημα Reynolds (σχέση 1.2.9) με
u  , με τον παρακάτω τρόπο:
( , , )j j
V V S
d
udV FdV p n x t dS
dt
       (1.2.14)
όπου F οι δυνάμεις που ενεργούν σε όλο τον όγκο ελέγχου (π.χ. πεδιακές δυνάμεις),
( , , )j jp n x t ο τανυστής πρώτου βαθμού των δυνάμεων επαφής, δηλαδή των δυνάμεων
που δρουν μόνο πάνω στην επιφάνεια του όγκου ελέγχου.
Επειδή όμως ισχύει:
( , , )j j ij jp n x t T n  (1.2.15)
όπου ijT τανυστής δεύτερης τάξης και jn τανυστής πρώτης τάξης.
Η σχέση (1.2.14) γίνεται:
ij
ij j
jV V S V V
Td
udV FdV T n dS FdV dV
dt x
  

       
     (1.2.16)
Και κατ’ επέκταση και λόγω του ότι, το πρώτο μέλος της (1.2.16) μπορεί να γραφεί:
V V
d Du
udV dV
dt Dt
     (1.2.17)

35. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 35
Η σχέση (1.2.16) γίνεται:
1j ij
i
j
Du T
F
Dt x

 

(1.2.18)
Οπότε, μετά από διαδικασίες όπου εκφράζεται ο τανυστής ijT με τα μεγέθη , , ,u v w p,
δηλαδή τις ταχύτητες σε κάθε διεύθυνση και την πίεση, οι εξισώσεις ορμής για κάθε
διεύθυνση , ,x y z από την (1.2.18) γράφονται:
2
(2 ) ( ) ( )
3
2
(2 ) ( ) ( )
3
2
(2 )
3
x
y
z
Du p u u v w u
F divv
Dt x x x y y y z x z
Dv p v v w v u
F divv
Dt y y y z z y z x y
Dw p w
F divv
Dt z z z
   
   
 
            
                       
             
                         
  
   
  
( ) ( )
w u v w
x x z z z y
 
        
                 
Σχέσεις (1.2.19),(1.2.20),(1.2.21)
Τέλος, είναι και η εξίσωση της διατήρησης της ενέργειας με την οποία κλείνει το
σύστημα των πέντε εξισώσεων, με τους πέντε αγνώστους, που είναι οι τρεις ταχύτητες
, ,u v w σε κάθε διεύθυνση , ,x y z , η πίεση p και η πυκνότητα  , για συμπιεστά ρευστά.
Λόγω του ότι, η εργασία αυτή ασχολείται με ασυμπίεστο ρευστό (νερό), η πυκνότητα
του είναι σταθερή. Οπότε έχουμε τέσσερις αγνώστους , ,u v w και p ,που μπορούν να
βρεθούν από το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων (μία της συνέχειας και τρείς της
ορμής). Άρα η εξίσωση της ενέργειας, δεν χρειάζεται στην περίπτωση αυτή. Έτσι, δεν θα
ασχοληθούμε αρκετά με την εξίσωση της ενέργειας, απλά θα την αναφέρουμε χωρίς να
την αποδείξουμε.
2 2 2
2 2 2
2 22 2
2 2
2
2
3
P x y z
y yx xz z
y yx z z
T T T T T T T
C u u u k
t x y z x y z
u uu uu u
x y z x y z
u uu uu u
y x z y x

 

        
                  
               
             
                 
      
        
       
.
x
q
z
   
  
   
(1.2.22)

36. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 36
1.2.2.1 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ
Οι εξισώσεις συνέχειας και Navier – Stokes ισχύουν γενικά για τη ροή ασυμπίεστων
συνεκτικών ρευστών και δεν απαιτούν καμία τροποποίηση προκειμένου για στρωτή ροή
πραγματικών ρευστών.
1.2.2.2 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ
Στην τυρβώδη ροή η κίνηση των ρευστών σωματιδίων είναι ακανόνιστη, οι γραμμές
ροής μεταβάλλονται συνεχώς και πραγματοποιείται έντονη μίξη μεταξύ γειτονικών
στρώσεων. Μία ουσιώδης παράμετρος που διακρίνει την ροή πραγματικού ρευστού σε
στρωτή ή τυρβώδη είναι ο αριθμός Reynolds που εκφράζει το σχετικό μέγεθος των
δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις συνεκτικότητας. Αυξανόμενου του αριθμού
Reynolds πάνω από κάποιο όριο ( Rcr ) οι δυνάμεις συνεκτικότητας δεν μπορούν πλέον
να αποσβέσουν τυχούσα μικροδιαταραχή της ροής, η οποία διατηρείται μεταφερόμενη
προς τα κατάντη ή μεγεθύνεται και διαχέεται μεταβάλλοντας την ροή σε τυρβώδη.
Η γένεση της τύρβης προκαλείται από αστάθεια της ροής οφειλόμενη είτε στις συνθηκες
ροής είτε σε τυχαία διατάραξη και εμφανίζεται κατά κανόνα σε περιοχές σημαντικών
δυνάμεων συνεκτικότητας, όπως είναι οι περιοχές σημαντικών κλίσεων της ταχύτητας ή
ασυνεχειών της.
Θεωρούμε δυο γειτονικές στρώσεις ρευστού κινούμενες με αντίθετες ταχύτητες όπως
στο Σχήμα 1.11α.
Σχήμα 1.11 Μορφή ροών
Ας υποθέσουμε ότι η διαχωριστική επιφάνεια υφίσταται τυχαία διακύμανση(σχήμα β).
Λόγω συνέχειας, η ταχύτητα της κάθε στρώσης θα είναι αυξημένη στην περιοχή της
στένωσης και μειωμένη στην περιοχή της διεύρυνσης. Κατά συνέπεια λοιπόν,αν
αμελήσουμε προς στιγμή τις απώλειες ενέργειας κατά μήκος της στρώσης θα πρέπει