3. iii
然而先前取出的散射參數資料往往只侷限於某個頻段的範圍，吾人將此一片段
頻域資料引入資料外差法重建其完整的時域響應，如此散射參數法便可以更完整
的應用在電路模擬之上。
英文摘要
The Finite-Difference Time-Domain method ( FDTD ) is a numerical method
introduced by K. S. Yee in 1966. However , it needs so much time to simulate circuits
by applying the FDTD method and some extensional methods for simulating circuits
are still incomplete . Therefore, the author combine the FDTD method with the data
extrapolation method to improve the simulation effect.
When applying the FDTD method to simulate circuits, it needs a large number of
time steps; furthermore, if the structure we simulated is complicated, the simulation
time will be so much longer that the efficiency of simulation will be bad as well. The
author decrease the number of time steps of the FDTD method, and then extrapolate
the time-domain data to reconstruct the complete frequency response, therefore, we
can save the simulation time as well because the number of the time steps of the
FDTD method decreased.
Furthermore, in the thesis, we also introduce a new FDTD method combined with
the S-parameter Matrix, called “S-parameter Matrix method”. People can simulate
circuits without deriving the equivalent circuit by applying the S-parameter Matrix
method. One only have to obtain the S-parameter Matrix by measurement, data sheet,
calculation, etc, and then we translate it to time domain data by the IFT technique to
apply the FDTD calculation , this way, we avoid the difficulty of deriving the
equivalent circuit of general microwave circuits. However, the S-parameter data we
can obtain are often limited in a finite bandwidth, we make it to be extrapolated to
obtain the complete time-domain response, and this way, the S-parameter Matrix
method can by apply to simulate circuits.
13. 4
第二章 FDTD 演算法
時域有限差分演算法 ( Finite-Difference Time-Domain method，FDTD )，將
馬克斯威爾方程式(Maxwell’s Equations)中微分型式的法拉第定律與安培定律以
中央差分離散化後，電場與磁場各有 X、Y 與 Z 方向分量，此六個差分式經由跳
步(leapfrog)的方式計算出整個模擬空間的電磁場在時域上的場量，並可經由傅利
葉轉換得到頻域的響應。
2.1 FDTD 公式推導
首先，考慮空間中的介質為均勻(homogeneous)、線性(linear)、各向同性
(isotropic)，而且介質的本構參數( constitutive parameter )不會隨著時間改變，
則微分型式的法拉第定律與安培定律可表示如下：
H
E
t
µ
∂
∇× = −
∂
r
r
(2.1)
E
H
t
ε
∂
∇× =
∂
r
r
(2.2)
式中，μ 為 導 磁 係 數 (permeability)，ε 為 介 電 常 數 (permittivity)。本 論
文 皆 採 用 直 角 座 標 系 ， 因 此 將 上 述 兩 個 旋 度 方 程 式 離 散 化 可 將 (2.1)與
(2.2)改寫成：
1 1
1 1
1 1
Hx Ey Ez Ex Hz Hy
t z y t y z
Hy Ez Ex Ey Hx Hz
t x z t z x
Hz Ex Ey Ez Hy Hx
t y x t x y
µ ε
µ ε
µ ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.3a~f)
根 據 Yee[1]的 標 示 法 ， 則 空 間 上 任 一 點 的 座 標 位 置 可 表 示 為 ：
),,(),,( zkyjxikji ∆∆∆=
14. 5
而空間中任一點的位置與時間之函數則可表示為：
),,,(),,( tnzkyjxiFkjiFn
∆∆∆∆=
其中 i、j 與 k 分別對應直角座標系中 x、y 與 z 三個座標軸的位置，Δx、Δy 與
Δz 則為其上的最小單位長度，而 n 為對應於時間軸上的點，Δt 為時間軸上的
時間間隔。
Maxwell’s Equations的離散化是經由對時間以及空間的微分式進行二階中央
差分的近似，表示如下：
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1
2 2
2
1 1
, , , ,
, , 2 2
( )
1 1
, , , ,
, , 2 2
( )
1 1
, , , ,
, , 2 2
( )
, , , , , ,
( )
n n
n
n n
n
n n
n
n n
n
F i j k F i j k
F i j k
O x
x x
F i j k F i j k
F i j k
O y
y y
F i j k F i j k
F i j k
O z
z z
F i j k F i j k F i j k
O t
t t
+ −
+ − − ∂ = + ∆
∂ ∆
+ − − ∂ = + ∆
∂ ∆
+ − − ∂ = + ∆
∂ ∆
∂ −
= + ∆
∂ ∆
(2.4a~d)
其中函數 O( )為誤差項，這就是 FDTD 在計算上產生數值色散的主因；此外，觀
察(2.4a∼d)式，實際在計算的時候電場與磁場在空間網格與時間步階上是相差半
格交錯配置，每個電場分量周圍會被磁場所包圍，而每個磁場分量也會被電場分
量所包圍。所以，FDTD 演算法的空間配置必需遵循著上述的規律，吾人將其空
間配置圖表示成圖 2.1。時間步階的配置也是相似的方式，電場與磁場的時間步
階相差了 1/2 的間隔，循序交互的計算電場與磁場的場量值，這種技巧便稱為
跳步(leapfrog)式計算，其示意圖表示成圖 2.2。
15. 6
圖 2.1 FDTD 單位空間網格的電磁埸空間配置
圖 2.2 FDTD 電 磁 場 演 算 順 序 圖
EE EE
HHH
EE EE
HHH
EE EE
t=1.5Δt
t=Δt
t=0.5Δt
t=0
t=2Δt
x=3Δxx=Δx x=2Δxx=0
16. 7
經過時間與空間之二階中央差分近似後，(2.3a∼f)之 Maxwell’s equations 離散化
為：
1/2 1/2
, , , , , , , , 1 , , , 1,
1/2 1/2
, , , , , , 1, , , , , , 1
1/2 1/2
, , , , , ,
( ) ( )
( ) ( )
(
n n n n n n
x i j k x i j k y i j k y i j k z i j k z i j k
n n n n n n
y i j k y i j k z i j k z i j k x i j k x i j k
n n n
z i j k z i j k x i j k
t t
H H E E E E
z y
t t
H H E E E E
x z
t
H H E E
y
µ µ
µ µ
µ
+ −
− −
+ −
− −
+ −
∆ ∆
= + − − −
∆ ∆
∆ ∆
= + − − −
∆ ∆
∆
= + −
∆ , 1, , , 1, ,
1 1/2 1/2 1/2 1/2
, , , , , 1, , , , , 1 , ,
1 1/2 1/2 1/
, , , , , , 1 , , 1, ,
) ( )
( ) ( )
( ) (
n n n
x i j k y i j k y i j k
n n n n n n
x i j k x i j k z i j k x i j k y i j k y i j k
n n n n n
y i j k y i j k x i j k x i j k z i j k
t
E E
x
t t
E E H H H H
y z
t t
E E H H H
z x
µ
ε ε
ε ε
− −
+ + + + +
+ +
+ + + +
+ +
∆
− −
∆
∆ ∆
= + − − −
∆ ∆
∆ ∆
= + − −
∆ ∆
2 1/2
, ,
1 1/2 1/2 1/2 1/2
, , , , 1, , , , , 1, , ,
)
( ) ( )
n
z i j k
n n n n n n
z i j k z i j k y i j k y i j k x i j k x i j k
H
t t
E E H H H H
x yε ε
+
+ + + + +
+ +
−
∆ ∆
= + − − −
∆ ∆
(2.5a~f)
2.2 Courant 穩定準則
由於旋度運算子以中央差分法近似的關係，使得 FDTD 在運算上會產生數
值色散，進而影響了整個數值計算的準確度，因此必須對於這樣的誤差給予規
範，使得計算得來的結果能有一個可信賴的準確度。
因此，FDTD 演算法中，對於時間單位 ∆t 以及空間網格的單位 ∆x、∆y、∆z
的選擇就必須使得計算中的數據不會因為數值的不穩定而發散。假設所使用的最
高的主要頻率為 uf ，為了提升記算結果的準確度，須增加空間的取樣率，一般
而言，∆x、∆y、∆z 的選擇是在一個波長 uλ 的 1/10，不過確實的選擇情形仍須就
實際的模擬結構以及系統的資源加以衡量。而時間單位 ∆t 的選擇為了保證數值
不發散必須要能滿足下列穩定準則[8]:
17. 8
1 2
2 2 2
max
1 1 1 1
t
v x y z
−
∆ ≤ + +
∆ ∆ ∆
(2.6)
其中 maxv 為模擬結構中電磁波傳遞最快的波速，而在實際的計算之中，通常以自
由空間中的光速來代表。
2.3 激發源
使用 FDTD 做數值計算時，通常必須將一個電壓源或電流源加入模擬的結
構之中，藉此得到吾人有興趣的頻域或時域的響應，用來分析模擬物的特性。在
不同的模擬結構中，必須選擇能與模擬結構相互配合的激發源才能得到較為正確
的模擬結果。
寬頻的高斯脈波(Gaussian pulse)為一理想的激發源(2.7)，因為在頻域上它
仍是高斯脈波的型式，所以可以確保在頻域上所有頻率值皆存在。
2 2
0( )
( ) t t T
sf t e− −
= (2.7)
0t : 延遲時間
T : 脈波寬度
電壓是電場對長度積分的結果，若欲在微帶線結構(圖 2.3)中的訊號線與地
之間加入一壓降 V 可藉由改變電場 zE 來達成。模擬結構中 y=0 處稱為電源平面，
將這個平面位於訊號線以下的地方以 z 向的電場激發形成一個電壓源，並將電源
平面假設為一個磁牆(magnetic wall)以模擬電壓源開路的效應，根據虛像定理
(image theory)，令電源平面前後的磁場大小相等，方向相反，利用這種方式可以
將入射波失真降至最低。此外，還需要對於電源激發的時間以及反射波回來的時
間做一規劃，務必使電壓源在反射波回來前激發完全，並以吸收邊界取代，以確
保電壓源不會造成二次反射。
19. 10
的需求選擇使用不同的吸收邊界。
A B
圖 2.4 有限體積之計算空間示意圖
2. 4. 1 Mur 一階吸收邊界
Mur 吸收邊界[9]的優點為應用簡單、執行速度快，所需的記憶體較少，但
對於吸收的效果較為不好，尤其當電磁波不是正向入射至吸收邊界時，吸收效果
更差。
此種 ABC 的做法是在邊界上利用波動方程式計算出邊界上的電場值，並不
須要包圍電場的積分路徑，只與前一格的電場或磁場值有關，所以對於正向入射
的電磁波有最佳的吸收效果。如圖 2.5，假設吸收邊界位於 X=0 的平面，電磁波
在 X 方向傳播，則一維波動方程式可寫成:
1
0
U U
x c t
∂ ∂
− =
∂ ∂
(2.8)
接著使用二階中央差分法將上式離散化，則(2.8)式可改寫為:
1 1
0 1 1 0( )n n n nc t x
U U U U
c t x
+ +∆ − ∆
= + −
∆ + ∆
(2.9)
其中 U 可為電場或磁場，需要依照吸收邊界擺放的位置而決定，c 為電磁波傳播
的速度。由上式可看出，Mur 吸收邊界計算時只需用到前一步在邊界上的值，以
及邊界前一格的值，幾乎不需要額外的記憶體需求，所以不需大量的記憶體空
間，因此能有最佳的執行效率，但卻因為 Mur 吸收邊界只考慮正向入射的計算，
所以吸收效果才會不好。
20. 11
圖 2.5 入射到吸收邊界的電磁波
2. 4. 2 Anisotropic PML 吸收邊界
完美匹配層 PML (Perfect Matched Layer) 的觀念最先由 Berenger 於 1994 年
所提出[12]，其優點為可提供反射係數相當小的吸收層，且吸收效果與入射波的
頻率、方向和極化無關，但是缺點為計算時需要較多的記憶體，而且吸收層內的
每一個方向的電磁場要在分成兩個分量，這相對於模擬空間裡所使用的 FDTD
公式截然不同，因此在程式的撰寫上契合度較差。基於這些原因，Z. S. Sacks 在
1995 年提出 PML 的另一種新做法[13]，即是將 PML 設計成各向異性(Anisotropic)
介質，如此便不用將電磁場分成兩個分量，再藉由控制吸收層內的導電係數( Eσ )
與導磁係數( Mσ )，將入射的電磁波衰減，便可達到吸收的效果。在 1996 年 S. D.
Gedney 進行了較完整的推導，解釋了 APML 的原理[14]。
APML 的基本理論，吾人可藉由圖 2.6 來說明，假設 media 1 為同方性介質，
media 2 為單軸各向異性介質的吸收層，介面的位置在 z = 0 平面，在單軸各向異
性介質內傳播的電磁波也屬於平面波且符合 Maxwell’s Equation，所以可將旋度
方程式表示成：
0 0
a a
r rE H H Hβ ωµ µ µ β ωε ε ε× = × = −
r rr r r r
(2.10)
根據相位匹配(phase matching) i a
x x
β β= ，所以 a i a
x z
x zβ β β= +
r v v
。而介電係數與導磁係
數的張量可表示為：
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
a c
a c
b d
ε µ
= =
(2.11)
21. 12
因為 media 2 的材料特性對稱於 z 軸，且為了達到入射波在 media 1 與 media 2 的
界面處不產生反射，所以 1/xx yy zzε ε ε== 、 1/xx yy zzµ µ µ= = 。
y
x
Er
Hr
Ei
Hi
Ht
Ei
Media 1 Media 2
z
圖 2.6 平面波入射示意圖
又根據複數的介電係數 /c jε ε σ ω= − ，對於損耗性的單軸各向異性介質，可選擇
01 /a jσ ωε= + ，因此式(2.11)可改寫成：
0
0
0
1 0 0
0 1 0
1
0 0
1
j
j
j
σ
ωε
σ
ε µ
ωε
σ
ωε
+
= + =
+
(2.12)
為了能夠與 FDTD 做一完整的結合，故需將上述之結果予以離散化，首先以安
培定律(Ampere’s Law)的矩陣表示式開始：
0
0
0
0
1 0 0
0 1 0
1
0 0
1
y zz
x z z
r
y x
z
HH
jy z
H H
j
z x j
H H
x y
j
σ
ωε
σ
ωε ε
ωε
σ
ωε
∂ ∂
+− ∂ ∂
∂ ∂
− = +
∂ ∂
∂ ∂
− ∂ ∂ +
x
y
z
E
E
E
(2.13)
22. 13
由矩陣可看出電場的 Ex 與 Ey 分量是位於一個有損的介質之中。接著以二階中
央差分的方法，將這兩分量展開成適用於 FDTD 計算的形式，可得到：
1/2 1/2 1/ 2 1/2
1 , 1, , , , , 1 , ,0
1/ 2, , 1/2, ,
0 0
2 2
2 (2 )
n n n n
n n z i j k x i j k y i j k y i j kz
x xi j k i j k
z r z
H H H Ht t
E E
t t y z
ε σ
ε σ ε ε σ
+ + + +
+ + +
+ +
− −− ∆ ∆
= + −
+ ∆ + ∆ ∆ ∆
(2.14)
1/ 2 1/2 1/ 2 1/ 2
1 , , 1 , , 1, , , ,0
, 1/2, , 1/2,
0 0
2 2
2 (2 )
n n n n
n n x i j k x i j k z i j k z i j kz
y yi j k i j k
z r z
H H H Ht t
E E
t t z x
ε σ
ε σ ε ε σ
+ + + +
+ + +
+ +
− −− ∆ ∆
= + −
+ ∆ + ∆ ∆ ∆
(2.15)
而 Ez 的處理上較 Ex 與 Ey 複雜，因為其介電係數和頻率成非線性相關，故必須
經由電通密度(Electric Flux Density)來計算電場值，z 方向的電通密度可以寫成：
0
0
0
0
1
1
r z
z z z r z
z
D E j D j E
j
j
ε ε σ
ω ωε ε
σ ωε
ωε
= ⇒ + =
+
(2.16)
因此(2.13)式的 z 方向分量可寫成：
y x z
H H D
x y t
∂ ∂ ∂
− =
∂ ∂ ∂
(2.17)
以二階中央差分法展開後可得：
1
, , 1/ 2 , , 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1, , , , , 1, , ,n n
z zi j k i j k
n n n n
y i j k y i j k x i j k x i j k
D D t
x y
H H H H+
+ +
+ + + +
+ +
= + ∆ −
∆ ∆
− − (2.18)
接著將(2.16)式以傅利葉轉換將 jω 以 / t∂ ∂ 替換，即頻域轉換至時域的形式，再
以二階中央差分法展開後可得到：
1 1
, , 1/2 , , 1/2 , , 1/2 , , 1/2
0 0 0
1
1 1
2 2
n n n nz z
z z z zi j k i j k i j k i j k
r
t t
E E D D
σ σ
ε ε ε ε
+ +
+ + + +
∆ ∆
= + + − −
(2.19)
24. 15
第三章 集總元件模擬
上一章介紹了 FDTD 演算法基本的架構，主要運用在電磁波的模擬;而從場
的觀點而言，電壓及電流分別可以類比為電磁波中的電場及磁場，因此將 FDTD
延伸後，FDTD 也可運用模擬電路的問題。本章裡，吾人首先將推導集總元件法
如何在 FDTD 網格上加入集總元件的模擬[15][16][17]，如：電阻、電感、電容
及阻抗性電壓源等，此方法的優點在於不需額外的計算步驟便可直接模擬；缺點
為當集總元件的電路愈複雜時，愈難推導其所等效之電路的 FDTD 公式。接著
將介紹如何利用 SPICE 解集總電路的方法，與 FDTD 做一連結[18]，此種方法稱
為「等效電源法」，分成使用 FDTD 上所取出的電壓值做連結的等效電壓源法，
以及使用 FDTD 上所取出的電流值做連結的等效電流源法；由於 SPICE 與 FDTD
的模擬均是建立在時域的架構上，因此在連結上相當直接，吾人只要在 FDTD
模擬時，取出做連結的電壓值或電流值，代入 SPICE 的等效電路當成其電壓源
或電流源，解完後再反代回來 FDTD 上的網格電場，便可完成一個步階的計算。
3.1 三維集總元件演算法
集總元件演算法是以 Ampere`s Law 出發，推導出使得空間網格具有元件特
性的 FDTD 表示式。推導流程由馬克斯威爾方程式的安培迴路定律出發：
c L
D
H J J
t
∂
∇× = + +
∂
uv
uuv uuv uuv
(3.1)
其中 cJ
v
= Eσ
v
為傳導電流密度(electrical condition current density)，
D
t
∂
∂
v
為位移電流
密度 ( displacement current density )，而 cJ
v
的時間步階與磁場一致是屬於第 n+1/2
格，因為在 FDTD 裡面求電場皆是使用整數步階，當我們遇到第 n+1/2 個步階的
時候，可以將第 n+1 步階與第 n 步階求平均，稱之為 semi-implicit formation，這
樣一來，可以得到收斂的穩定結果，在其他很多 FDTD 相關的應用常常出現。
因此 cJ
v
離散化後將為:
( )1/ 2 1/2 1, ,
, , , , , , , ,, , 2
n n n ni j k
c i j k z z zi j k i j k i j ki j k
J E E E
σ
σ
+ + +
= = +
v
(3.2)
25. 16
為了要模擬集總元件，依據[16]在二維 FDTD 的作法，必需在上式的右手邊加上
集總電流密度， LJ ，則(3.1)重寫如下：
c L
D
H J J
t
∂
∇× = + +
∂
v
v v v
(3.3)
而在一般模擬的情況裡，皆是假定於自由空間中，條件分別假設為
( 0 0cJσ = =
v
， )，所以(3.3)式簡化成：
L
D
H J
t
∂
∇× = +
∂
v
v v
(3.4)
接著將(3.4)式改成積分式:
L
C S S
E
H dl dS J dS
t
ε
∂
⋅ = ⋅ + ⋅
∂∫ ∫ ∫
v
v v vv v
(3.5)
為求簡化，假設元件置於 z 方向上，則其電流密度為:
L
L
I
J
x y
=
∆ ∆
(3.6)
其中 LI 可能是電位勢(electric potential) , ,|z i j kV E z= ∆ 之時間導數、時間積分、純
量倍數或非線性的函數。將(3.6)式代入(3.4 式)並經由中央差分得到集總電路元件
在 FDTD 網格中之電磁場分布表示式:
1 1/ 2 1/2
, , , , , ,
0 0
n n n n
z z Li j k i j k i j k
t t
E E H I
x yε ε
+ + +∆ ∆
= + ∇× −
∆ ∆
(3.7)
其中
1/2 1/2 1/ 2 1/2
1/2, , 1/2, , , 1/ 2, , 1/2,1/ 2
, ,
| | | |
|
n n n n
y i j k y i j k x i j k x i j kn
i j k
H H H H
H
x y
+ + + +
+ − + −+
− −
∇× = −
∆ ∆
26. 17
3.1.1 電阻
電阻的電壓電流關係式為 V = I R。假設電阻位在網格的 z 方向上，流過電阻的
電流為：
, ,|L z i j kV E z= ∆
1/ 2 1
, , , , , ,| ( | | )
2
n n nL
z i j k z i j k z i j k
s s
V z
I E E
R R
+ +∆
= = + (3.8)
其中 sR 為電阻值，將(3.8)式代入(3.7)式中，可以得到電阻在 FDTD 網格中相對應
之電場時間步階關係式：
1 1/20 0
, , , , , ,
0 0
1
2
| | |
1 1
2 2
n n ns
z i j k z i j k i j k
s s
t z t
R x y
E E H
t z t z
R x y R x y
ε ε
ε ε
+ +
∆ ∆ ∆
− ∆ ∆
= + ∇×
∆ ∆ ∆ ∆ + + ∆ ∆ ∆ ∆
(3.9)
如此該網格便具有電阻的特性，傳播經過該網格的電磁場如同跨過一電阻的效應
一般。
3.1.2 電容
電容的電壓電流關係式為 /I C dV dt= ⋅ ，若以二階中央差分法將電壓對時間
的微分項離散化，則假設電容位在網格的 z 方向上，流過電容的電流為：
1/2 1
, , , , , ,| ( | | )n n n
z i j k z i j k z i j k
C z
I E E
t
+ +∆
= −
∆
(3.10)
其中 C 為電容值，將(3.10)式代回(3.7)式中，可以得到電容在 FDTD 網格中相對
應之電場時間步階關係式：
1 1/20
, , , , , ,
0
| | ( ) |
1
n n n
z i j k z i j k i j k
t
E E H
C z
x y
ε
ε
+ +
∆
= + ∇×
∆
+
∆ ∆
(3.11)
27. 18
如此該網格便具有電容的特性，傳播經過該網格的電磁場如同跨過一電容的效應
一般。
3.1.3 電感
電感的電壓電流關係式為 /V L dI dt= ⋅ ，改寫成 (1/ )I L Vdt= ⋅ ∫ 。接著假設電
感位在空間網格的 z 方向上，將其離散化後可得：
1/2
, , , ,
1
| |
n
n m
z i j k z i j k
m
z t
I E
L
+
=
∆ ∆
= ∑ (3.12)
其中 L 為電感值，將(3.12)式代回(3.7)式中，可以得到電感在 FDTD 網格中相對
應之電場時間步階關係式：
2
1 1/2
, , , , , , , ,
10 0
( )
| | | |
n
n n n m
z i j k z i j k i j k z i j k
m
t z t
E E H E
L x yε ε
+ +
=
∆ ∆ ∆
= + ∇× −
∆ ∆
∑ (3.13)
如此該網格便具有電感的特性，傳播經過該網格的電磁場如同跨過一電感的效應
一般。
3.1.4 二極體
首先我們列出二極體之電流/電壓關係式為：
( / )1/2
, , 0| ( 1)zqV kTn
z i j kI I e+
= − (3.14a)
1/ 2
, ,|n
z i j k
L
I
J
x y
+
=
∆ ∆
(3.14b)
其中 0I 為二極體之逆向飽和電流、k 為波茲曼常數、q 是電子的帶電量、T
代表凱氏溫度(通常都以室溫 0
300 K 來表示)，而 zV 則是二極體上的跨壓。將式
(3.14a)、(3.14b)代入式(3.7)中，我們可以得到二極體在 FDTD 網格中相對應之電
28. 19
場時間步階關係式：
, ,( | / )1 1/ 2
, , , , , , 0
0 0
| | | ( 1)
n
z i j kqE z kTn n n
z i j k z i j k i j k
t t
E E H I e
x yε ε
− ∆+ +∆ ∆
= + ∇× − −
∆ ∆
(3.15)
特別要考慮的是，由於我們在計算指數函數項時，所取的電場是取前一個
時間步階就已經算好的電場，因此，當二極體上的跨壓超過 0.8V 的時候，會造
成數值上的不穩定。為了解決這一個不穩定的問題，於是我們便找出了一個能夠
處理數值穩定的方法，那就是將電場利用 semi-implicit 的更新方法：
1/ 2 1
, , , , , ,
1
| ( | | )
2
n n n
z i j k z i j k z i j kE E E+ +
= + (3.16)
利用這個方法，我們可以將式(3.15)改寫成：
1
, , , ,( ( | | ) / 2 )1 1/2
, , , , , , 0
0 0
| | | ( 1)
n n
z i j k z i j kq E E z kTn n n
z i j k z i j k i j k
t t
E E H I e
x yε ε
+
− + ∆+ +∆ ∆
= + ∇× − −
∆ ∆
(3.17)
式(3.17)為一超越方程式(transcendental equation)，我們利用牛頓法(Newton’s
method)(見 3.2.3 節)來求解這個方程式的電場之時間步階關係式，如此一來便可
解決二極體跨壓超過 0.8V 時所造成之數值不穩定的問題。如此處理之下該網格
便具有二極體的特性，傳播經過該網格的電磁場如同跨過一二極體的效應一般。
3.1.5 阻抗性電壓源
在一般微波電路的模擬中，常用的電源形式就是阻抗性電壓源。阻抗性電壓源
與傳輸線匹配，是一個無反射的匹配電源，一樣假設元件位在 z 方向上，其在
FDTD 網格上的示意圖如下：
29. 20
圖 3.1 阻抗性電壓源在網格上之示意圖
由上圖可知阻抗性電壓源的電壓與電流的關係式為 LV I Rs Vs= ⋅ − ，因此可將電
流整理成離散化的型式：
1/2
1/2 1
, , , , , ,| ( | | )
2
n
n n n s
z i j k z i j k z i j k
s s
Vz
I E E
R R
+
+ +∆
= + + (3.18)
其中 sR 為電內部電阻， 1/2n
sV +
為電壓源，將(3.18)式代入(3.7)式，整理後可得
阻抗性電壓源在 FDTD 網格中，相對應之電場時間步階關係式：
1 1/20 0
, , , , , ,
0 0
1/20
0
1
2
| | |
1 1
2 2
1
2
n n ns
z i j k z i j k i j k
s s
ns
s
s
t z t
R x y
E E H
t z t z
R x y R x y
t
R x y
V
t z
R x y
ε ε
ε ε
ε
ε
+ +
+
∆ ∆ ∆
− ∆ ∆
= + ∇×
∆ ∆ ∆ ∆ + + ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
+
∆ ∆ + ∆ ∆
(3.19)
此種匹配的訊號源能使用在微帶線饋入的結構，對於需要同軸饋入的結構也有不
錯的模擬效果。
由以上這些集總元件 FDTD 式的推導得知，吾人只要將集總元件的電流與
電壓關係式求出，並將其轉換成離散化的型式，如(3.18)，則無論是主動或是被
動元件，線性或是非線性元件，均可在 FDTD 下模擬。然此種方法的限制卻在
當集總元件的電路愈龐大時，其所代表整體電路的電流與電壓關係式也愈趨複
雜，因此很難推導出離散化的型式以代入計算。
-
V
+ x
z
y
Ex i-1,j,k Ex i,j,k
Ex i-1,j,k+1 Ex i,j,k+1
Ez i-1,j,k Ez i+1,j,k
Hy i-1,j,k Hy i,j,k
+
Vs
Rs
IL
30. 21
3.2 等效電源法
上節提出了以電壓/電流關係式來模擬集總元件的方法，然而在集總元件法裡
面，每一個元件的大小只能設定為一個網格，與實際中的大小可能不符合，例如
一 x 方向的電阻，在集總元件法裡只能設為 dx 也就是一 x 方向網格大小，但是
實際上，元件的尺寸大多數倍於這個大小，多少會產生誤差。另外一方面，主動
元件如 FET 的等效電路往往非常複雜，如果運用集總元件法的話，將會使整個
程式異常複雜，而增加運算時間與撰寫程式方面的難度。Thomas 在 1994 年的時
候提出把 SPICE 的集總電路當成是 FDTD 的副網格模組( Sub-grid Models )的觀
念[18]，此方法無非是把 SPICE 解電路的能力與 FDTD 計算場論的能力做一完整
的結合。相對於集總元件演算法，此方法的優點在於當模擬結構下的集總電路改
變時，吾人只要變動 SPICE 下的敘述即可，而不用再重新推導出集總電路的
FDTD 表示式。等效電源法共分為使用電壓值做連結的等效電壓源法[20]，以及
使用電流值做連結的等效電流源法[21]，吾人接著就分別介紹。
3. 2. 1 等效電流源法
等效電流源法的精神，主要是從 FDTD 網格上的磁場之中取出可代入 SPICE
計算的電流源，再將以此電流源為基礎解出橫跨在元件上的電壓，反代回 FDTD
的電場網格上。如圖 3.2:
Ground
1/2, ,y i j k
H +
1/2, ,y i j k
H −
, 1/2,x i j k
H +
, 1/2,x i j k
H −
微帶線 等效電流源
z
y
x
totalI
圖 3.2 等效電流源法概念圖
31. 22
基於 Maxwell`s Equation 的安培定理(Ampere`s Law)，如果對磁場作封閉線
積分，可以得到位移電流與元件電流的總和，而此總和電流，就是我們要用來取
代主被動元件效應的等效電流源。假設元件在 z 方向，因此可由(3.20)式推導得
到(3.21)式：
c L
D
H J J
t
∂
∇× = + +
∂
uv
uuv uuv uuv
(3.20)
( ) ( )z
dev
z
E zx y
H x y J x y
z t
ε ∂ ∆∆ ∆
∇× ⋅∆ ∆ = + ⋅∆ ∆
∆ ∂
uuv
(3.21)
其中 devJ 為通過元件的電流，式(3.21)右式的
x y
z
ε∆ ∆
∆
的物理意義上等效一平行板的
電容值，我們將它以 tC 表示，則
t
x y
C
z
ε∆ ∆
=
∆
(3.22)
接著假設通過元件的總電流，也就是磁場環積分所得為 totalI ：
( )total
z
I H x y= ∇× ⋅∆ ∆
uuv
(3.23)
然後把(3.23)式轉換成離散式：
( ) ( )1/2 1/21/2 1/2 1/2
, , , 1/2, , 1/ 2, 1/2, , 1/2, ,
n nn n n
total z x x y yi j k i j k i j k i j k i j k
I I H H x H H y
+ ++ + +
− + + −
= = − ∆ + − ∆ (3.24)
最後把(3.21)式簡化成：
dev
t dev total
dV
C I I
dt
+ = (3.25)
為了能更方便理解等效電流源法的意義，我們可以將式(3.25)用一簡單之等
效電路表示，如圖 3.3 所示：
32. 23
+
-
devVtotalL
devI
等效電路
主被動元件
totalC
圖 3.3 等效電流源法之等效電路示意圖
在圖 3.3 裡面，右邊的方框表示我們所欲取代的原始主被動元件之等效電
路，這個部分假設已知，另外 totalI 可以經由 FDTD 運算磁場的封閉線積分得到，
而 tC 也可以直接求得，如此即可求出整個等效電路裡面，所有節點的電壓與電
流值，也就是可以得到整個元件的端電壓 devV ，我們將此數值除以 dz，就是等效
電路輸出(入)埠所在網格的 zE ，如此即可融入在整個 FDTD 的運算裡，繼續隨著
時間步階增加而向前推移。至於求解節點電壓、電流的方法，則可以應用牛頓法，
用來解每一個時間點的電壓電流。
在每一次時間步階裡，電場磁場會隨著更新而不同，也因此磁場環積分也會
更新，也就是 totalI 會被更新，再一次被導入等效電路裡推導，最後得到 devV ，產
生更新的 zE ，我們將流程寫在圖 3.4：
data
{FDTD
牛 頓法
3/2n
H −
3/2n
totalI − 1/2n
totalI − 1/2n
totalI +1n
devV − n
devV
time step
time step
time step
等效電流源法
等效電流源法
等效電流源法
1
1
n
ndev
dev
V
E
l
−
−
=
∆
n
ndev
dev
V
E
l
=
∆
1/2n
H +
1n
E −
3/2n
H +
n
E
圖 3.4 等效電流源法的計算流程圖
33. 24
假設以時間步階 n-1/2 為例，我們對磁場封閉面線積分後，得到 1/2n
totalI −
，而據
此得到的 devV 應該是屬於時間步階 n-1/2，但是一般情況下，都被直接當作下一個
時間步階 n 之數值以求得 n
E ，如此一來步階相差了半步，但是多數的情況下影
響不大，因為我們一般所設定的時間間格都很小，約在 12
10−
秒左右；如果要考
慮此微小誤差的話，就需要更複雜一些的計算流程，因此 n
devV 可用下式來求得：
1/2 1/ 2
2
n n
n dev dev
dev
V V
V
− +
+
= (3.26)
在限定可接受的誤差範圍內，我們可用 1/ 2n
devV −
代替 n
devV 。
3. 2. 2 等效電壓源法
類似於等效電流源法的步驟，等效電壓源法的精神，主要是從 FDTD 網格
上的磁場之中取出可代入 SPICE 計算的電壓源，再將以此電壓源為基礎解出橫
跨在元件上的電壓，反代回 FDTD 的電場網格上。如圖 3.5:
Ground
微帶線
z
y
x
, 1/2, 1y i j k
E + +
, 1/2,y i j k
E +
, 1, 1/2z i j k
E + +
等效電壓源
圖 3.5 等效電壓源法概念圖
34. 25
圖 3.5 描述一主被動元件中的輸入或輸出埠上，利用等效電壓源取代之情
形，每一等效電壓源都是垂直放置於微帶線邊緣的格子上，並且用細導線(via)
分別連接到接地平面與微帶線之輸入(出)埠。這些細導線是由完美導體(PEC)所
組成，並提供等效電壓源一個電壓參考的準位。等效電壓源法主要是由法拉弟定
律(3.27)去推導，
s
C
d
E dl B ds
dt
⋅ = − ⋅∫ ∫
uv uv
(3.27)
接著對圖 3.5 中的 1C 迴路作線積分，接著作離散化得到：
, 1, 1/ 2 , , 1/ 2, 1/ 2, , 1,1
, 1/2, 1/ 2
z y z yi j k i j ki j k i j kC
x i j k
E dl E z E y E z E z
H y z
t
µ
+ + ++ +
+ +
⋅ = ⋅∆ − ⋅∆ − ⋅∆ + ⋅∆
∂
=− ∆ ∆
∂
∫
uv
(3.28)
其中， , 1/2, 1/ 2xi j kH y zµ + + ∆ ∆ 這一項可視為是 1C 的磁通量 1ψ ，而磁通量和網格電流 1CI
的比值為電感 1L ：
1 1 1x CH y z L Iψ µ= ∆ ∆ = (3.29)
根據式(3.28)、(3.29)，我們可以得到：
1
1 1
C
loop dev
dI
L V V
dt
− = + (3.30)
其中， 1L 是 FDTD 網格內之空間電感(space inductance)， 1loopV 是對沿著網
格邊緣的電場作迴路線積分所得到的，而 1CI 是流過 1C 的迴路電流。同理，我們
對於主動面左手邊 2C 的網格也是利用相同的方法來處理。
接著，擴展到有 N 個等效電壓源，放置於與微帶線等寬之 FDTD 網格上，
並且我們可以將所有網格的迴路電流之總和用 devI 表示，稱為裝置電流。根據式
(3.30)，我們可以得到：
35. 26
dev
total total dev
dI
L V V
dt
− = + (3.31)
其中
2
,
1 /
N
loop i
total
i i total
V
V
L L=
= ∑ (3.32)
2
1
1
1total N
i i
L
L=
=
∑
(3.33)
2 22
( ) ( )iL y z
µ
π
= ∆ + ∆ (3.34)
其中， totalV 為總迴路電壓、 totalL 為 FDTD 網格中之總空間電感、而 iL 則為每
一網格之空間電感。為了能更方便理解等效電壓源法的意義，我們可以將式(3.31)
改成(3.35)，
dev
total total dev
dI
V L V
dt
− = + (3.35)
如此一來，我們可以將此方程式概念化成一個電路圖(圖 3.6)：
+
-
devV
totalL
totalV−
devI
等效電路
主被動元件
圖 3.6 等效電壓源法之等效電路示意圖
等效電壓源主要是得自於電場的線積分，剛好與等效電流源的磁場線積分成
對比，但是大致上兩者的整個流程運算過程其實是有點類似的。等效電壓源法的
運算流程如圖 3.7:
36. 27
data
{FDTD
牛 頓法
3/2n
H − 1/2n
H − 1/2n
H +
1n
E −
1n
devV − n
devV
n
E time step
time step
time step
等效電壓源法
1
1
n
ndev
dev
V
E
l
−
−
=
∆
1n
totalV − n
totalV
n
ndev
dev
V
E
l
=
∆
等效電壓源法
圖 3.7 等效電壓源法的計算流程圖
在每一個時間步階裡面，我們由電場得到 totalV ，接著將它與等效電路一起代
入牛頓法求解得到新時間步階的 devV 值，然後除以網格大小，使電壓轉為電場代
回 FDTD 的主程式。
3.2.3 解多重根之牛頓法推導
L
R
totalI totalC
devV devI
L
R
圖 3.8 串聯電感和電阻的等效電流源模型
圖 3.8 為等效電流源模擬串聯的電感和電阻，我們可以用這個等效模型來設
定兩個變數 devV 和 devI ，因此可以推導得到兩個電路方程式：
37. 28
dev
total total dev
dev
dev dev
dV
I = C + I
dt
dI
V = L +I R
dt
×
(3.36)
而方程式裡的 totalI 可由 FDTD 的磁場環積分得到， totalC 為空間網格固定電容值常
數，只要解出 devV 與 devI ，就可根據此兩值求出電路上任何節點的電壓與電流，
因此吾人應用牛頓法逼近來求解，圖 3.9 為只有一個變數時的牛頓法解析圖：
1x 3x
2x
g(x)=0
y= g(x)
x
圖 3.9 牛頓法解析圖
由上圖，為求解 g( x )=0，先以 1x 為初始值，利用 g( 1x )的斜率可求得 2x ，如式
(3.37)：
1 1
1 2 1
1 2 1
( ) 0 ( )
'( )
'( )
g x g x
g x x x
x x g x
−
= = −
−
→ (3.37)
再繼續用同樣的方法求得 3x ，由 1x 、 2x 、 3x ，可得到接近 g ( x )=0 的解，此即為
牛頓法之逼近，由式(3.37)可推導出一逼近式：
1
( )
'( )
m
m m
m
g x
x x
g x
+ = − (3.38)
其中 m 代表第 m 次逼近，當運算到 1mx + 與 mx 兩者差距很小的時候，此時 1mx + 即
為 g ( x )=0 的解。為了方便，吾人把描述電路的方程式，改寫成通式(3.39)：
( ) ( ) ( )
dX
A X B X X F X
dt
= ⋅ + (3.39)
38. 29
而為了牛頓法求解，所以改寫成式子(3.40)：
( ) ( ) ( ) ( ) 0
dX
G X A X B X X F X
dt
= − ⋅ − = (3.40)
其中G(X)是為了牛頓法求解方便，而X為電路所設定的變數如式(3.36)中的 devV 和
devI ，A、B 為根據元件線路所決定，F 通常由 totalV 和 totalI 組成，吾人以圖 3.8 為
例子，整理成以下形式：
- 0
- 0
dev
total dev total
dev
dev dev
dV
C I I
dt
dI
L I R V
dt
+ =
+ × =
(3.41)
接著套入式(3.39)，來表示所有的方程式：
1
2
0 0 -1
0 1 - 0
total total xC I
A B F X
xL R
= = = =
， ， ， (3.42)
其中， 1 devx V= ， 2 devx I= ，所以式(3.39)是一個矩陣方程式。為了便於數值運算，
所以把式(3.40)改寫為離散式：
1
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
n n
n n n n nX X
G X A X B X X F X
t
+
+ + + + +−
= − ⋅ − =
∆
(3.43)
以上，n 表示為 FDTD 的第 n 時間步階，而第 n+1 時間步階就是吾人要求下一刻
的值，牛頓法即是用來逼近第 n+1 時間步階的值；在求第 n+1 時間步階的值時，
以第 n 時間步階當作初始值，來作逼近運算，
1
0
n n
mX X+
= = (3.44)
逼近式如下：
39. 30
1
1 1
1 1
( )
( )
n
n n m
m m n
m
G X
X X
J X
+
+ +
+ +
= − (3.45)
其中 J 稱為 Jacobian 矩陣，而 J 的每一個元素則為：
p
pq
q
G
J
X
∂
=
∂
(3.46)
以上式子的 pqJ 表示 J 矩陣的第 p 行第 q 列，就是 G 矩陣的第 P 個方程式對 X 矩
陣的第 q 個變數偏微分。最後式(3.45)經多次的運算逼近，就可以求得第 n+1 時
間步階的值；多變數方程式的求解，就是把所有方程式以矩陣的形式用上述的運
算法求解，實際上 SPICE 的計算方法也是基於這種運算方式。
[範例說明]
為了更便利於撰寫等效電源法程式，因此吾人規劃了一套標準化流程。
畫 出 等 效 電源 圖
定 義V與 I
列出 KVLKCL方 程 式
整 理方 程 式
套 入A、 B、 F矩 陣
代 入 牛 頓法求 解
圖 3.10 等效電流源法導入牛頓法之設計流程圖
40. 31
吾人以一個 FET 的例子，加上等效電流源法來加以解說：
G
Lg Rg Cgd
Cgs
Ri gm
Rds Cds
Rd Ld
D
Rs
Ls
S
圖 3.11 FET 之等效電路
1. 畫出等效電源圖：將 FET 的等效電路圖之輸入輸出埠分別接上等效電流源與
空間網格電容。
Lg Rg Cgd
Cgs
Ri gm
Rds Cds
Rd Ld
Rs
Ls
total2Itotal2Ctotal1I total1C
圖 3.12 接上等效電流源與空間網格電容
2. 定義 V 與 I：為了方便檢查所寫的矩陣有無錯誤，我們設定 V 與 I 形式為
V0~Vn，In+1~Im(n、m 為正整數，且 n<m)。要特別注意的是，為了避免某些
線路沒有被敘述到，所以每一個節點的電壓(除了虛接地的部分)與每一個相
41. 32
鄰的節點之間的電流都要定義。
V0 V1
V2
V3
V4
V5
I6
I7
I8
I9
I10
I12
I11
I13
I14
圖 3.13 設定 V、I 變數
3. 列出 KVL/KCL 方程式：接著我們列出 m 個 KVL/KCL 方程式，有一點特別
要說明的是，為了方便於寫出方程式，且避免某些變數被遺漏，所以方程式
敘述以相鄰兩個節點為敘述範圍。
1 6 7 9 0 10 11 13
0
6 1 3 4 10
7 3 4
0 1 7 11
7 8 9
1. 9.
2. 10.
( )
3. 11.
4.
total m
total ds
g g ds
I I I I g V I I I
dV
I C V V R I
dt
dI d V V
V V L R I I C
dt dt
I I I
= + = + + +
= − =
−
− = + =
= + 13
3 5 13
5
1 4 2 8 14 2
3 1
9 13 2 14
8 0 10 11 12
12.
5. 13.
( )
6. 14.
7. 15
d d
i total
gd total
m
dI
V V R I L
dt
dV
V V V R I I C
dt
d V V
I C I I I
dt
I g V I I I
− = +
− = + =
−
= + =
+ + + = 2
8
12
4 12
.
8.
gs
s s
dV
I C
dt
dI
V R I L
dt
=
= +
42. 33
4. 整理方程式：接下來將以上方程式重新排列成式(3.40)的形式，以方便列為矩
陣運算。
6 7 1 0 9 10 11 13
0
1 6 3 4 10
7 3 4
0 1 7 11
1. 0 9. 0
2. 0 10. 0
3. 0 11.
4.
total m
total ds
g g ds ds
I I I g V I I I I
dV
C I V V R I
dt
dI dV dV
L V V R I C C I
dt dt dt
I
+ − = − + + + =
− = − − =
− + + = − =
13
7 8 9 3 5 13
5
1 2 4 8 2 14
31
9 13 14 2
0 8 10 1
0 12. 0
5. 0 13. 0
6. 0 14. 0
7.
d d
i total
gd gd total
m
dI
I I L V V R I
dt
dV
V V V R I C I
dt
dVdV
C C I I I I
dt dt
g V I I I
− − = − + + =
− − − = − =
− + − = − + =
+ + + 2
1 12 8
12
4 12
0 15. 0
8. 0
gs
s s
dV
I C I
dt
dI
L V R I
dt
− = − =
− + =
5. 套入 A、B、F 矩陣：將以上方程式以式(3.40)為基礎，分別得到 A、B、F 矩
陣。
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
total
g
gd gd
s
ds ds
d
C
L
C C
LA
C C
L
=
2
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
total
gs
C
C
43. 34
0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -1 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0
0 -1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 -1 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 -1 0
0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 -1 0 0 0
g
i
m
s
m
ds
R
R
g
B R
g
R
=
0 0 0 0 - 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
dR
[ ]1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0
T
total totalF I I=
[ ]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
T
X V V V V V V I I I I I I I I I=
6. 代入牛頓法求解：應用之前所介紹的牛頓法原理，來求解以上矩陣，得到我
們所要的 V 與 I 變數。
3.3 模擬驗證
本節將應用上述的三種方法，即等效電壓源法、等效電流源法以及集總元件
法來應用模樣一個 LC 串聯的帶通濾波器;電路架構如下圖:
圖 3.14 LC 串聯電路示意圖
RLRS
VS
C L
46. 37
本節將介紹一套外差演算法(extrapolation method)，分別對時域的響應以及
頻域的響應重建，並加上模擬的結果做為驗證。
4.1.1 時域響應的重建
首先考慮一個片段的頻域資料如下:
0
( ) ,
( )
0 , e ls e
s eK
K
ω ω ω ω
ω
≤ ≤
=
(4.5)
其中， ( )K ω 是完整的頻域資料， 0 ( )K ω 是 ( )K ω 取頻段 s eω ω ω≤ ≤ 內的片段資
料，而 sω 及 eω 為開始及截止頻率。吾人使用 Ashraf Ramadan 和 A.S.Omar 在 2001
年提出的一套帶通信號重建的演算法[3]，由式(4.5)出發，流程推導如下:
首先定義幾個將要使用的運算子，
{ }( ) ( ) ( / 2 )TD h t h t t T= ∏ (4.6)
其中，吾人定義
1 , t
( / 2 )
0 , else
T
t T
≤
=∏
(4.7)
{ }( ) ( ) ( )x
x x
B h t h t Sinc tω
ω ω
π π
= ∗ (4.8)
{ } [ ]( ) (1 ) ( )BRF s eB h t B B h tω ω= + − (4.9)
式(4.6)為時域的加窗運算(window)，式(4.8)為頻域的加窗運算其中*為
convolution 運算，(4.9)則可類比為一個帶通濾波器的運算。假設 0 ( )k t 與 ( )k t 分別
為 0 ( )K ω 及 ( )K ω 時域響應，得到式(4.10)，
{ } { }0 ( ) ( ) ( )e sk t B k t B k tω ω= − (4.10)
47. 38
令 T 為 ( )k t 延展的寬度，做一技巧上的處理如式(4.11)
{ }( ) =k( )TD k t t (4.11)
將(4.11)代入(4.10)，
{ }{ } { }{ } ( )0 ( ) ( ) ( ) ( )e T s T e s Tk t B D k t B D k t B B D k tω ω ω ω = − = − (4.12)
接著將(4.2)做一個技巧性的改變，得到(4.13)
( )0 1 1( ) ( )e s Tk t B B D k tω ω = + − − (4.13)
由(4.13)，可以得到 ( )k t 的表示式，
( )
( )
1
0
1
0
( ) 1 1 ( )
1 )( (1 )
e
e
s
s T
Tk t B B D k t
k tB B D
ω ω
ω ω
−
−
= − + −
= − − −
(4.14)
在此引入一個級數展開式(4.15)，
( )
1
0
1 n
n
x x
∞
−
=
− = ∑ (4.15)
將(4.14)中的反運算子以(4.15)的級數展開式展開，
( )
( )
1
0
0
0
( ) 1 ( )1
1 ( )
( )e T
n
n
s
e s T
B Bk t k t
B B D k t
D
ω
ω
ω
ω
−
∞
=
= −
=
−
− −
−
∑
(4.16)
因為在實際上的運算時，要做到無限多次的運算是很困難的，因此將(4.16)改寫
如下:
( ) 0
0
( ) 1 ( )
nN
N e s T
n
k t B B D k tω ω
=
= − − ∑ (4.17)
48. 39
其中，N 代表在運算時疊代的次數，當 N 趨近無限大時，(4.17)便還原為(4.16)
式。接著對上式做一些討論歸納：
當 N=0，
0 0( ) ( )k t k t= (4.18)
N=1，
( )
( )
1 0 0
0 0
( ) ( ) 1 ( )
( ) 1 ( )
e s T
e s T
k t k t B B D k t
k t B B D k t
ω ω
ω ω
= + − −
= + − −
(4.19)
N=2，
( ) ( )
( ) ( ){ }
( )
2
2 0 0 0
0 0 0
0 1
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
( ) 1 ( ) 1 ( )
( ) 1 ( )
e s T e s T
e s T e s T
e s T
k t k t B B D k t B B D k t
k t B B D k t B B D k t
k t B B D k t
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω
= + − − + − −
= + − − + − −
= + − −
(4.20)
由以上歸納出，
( )1 0( ) ( ) 1 ( )N e s T Nk t k t B B D k tω ω+ = + − − (4.21)
由式(4.21)，可以重建完整的時域響應，為了更清楚表示(4.21)的物理意義及實際
上的操作過程，吾人整理成圖 4.1，並分為數個步驟解說：
49. 40
K0(f)
K0(t)
L(f)
BRF
fs tof e
C(f)
K0(f)
K1(f)
Step1
Step2
Step3
Step4
Step5
Step6
圖 4.1 時域重建演算法流程
Step 1:將一開始已知的片段頻域資料 0 ( )K f 做傅利葉反轉換(IFT)得到時域資料
0 ( )k t 。
Step 2:將 Step1 得到的時域資料加上一個時域的窗(window) 。
Step 3:將 Step2 得到的資料做傅利葉轉換(FT)得到 L(f)。
Step 4:將 L(f)經過一個帶拒濾波器(BRF)的處理，把 sf 到 ef 之間的成份濾掉，得
到 C(f)。
Step 5:將 C(f)和原來已知的 0 ( )K f 疊加在一起，得到一個新的頻域資料 1( )K f 。
Step 6:和 step1 是一樣的動作，也就是做傅利葉反轉換(IFT)得到一組新的時域資
料 1( )k t 。
由以上的流程反覆的疊代得到更新的時域資料，當 N 趨近無限大時，理論上可
以得到很正確的時域響應。
63. 54
第五章 外差法與 FDTD 之結合
在前面的章節，吾人介紹了時域有限差分法的理論，我們了解 FDTD 演算
法有它的優點以及需要改進的地方，例如運算時間較長以及一些延伸模擬電路的
方法仍不夠完整，因此，本章節將會把資料外差的技巧引入時域有限差分法，首
先將介紹散射參數法，並引入資料外差法使整個模擬更完整;接著將未完全收斂
之 FDTD 模擬的時域資料以資料外差法重建其頻域響應，以上結果都將與第三
章介紹的等效電源法做比較以驗證模擬的準確性。
5.1.1 散射參數法
第三章介紹的集總元件法、等效電壓源法及等效電流源法皆能夠很準確的
模擬微波電路元件，無論是主動的或被動的電路元件、線性的或是非線性的，都
可以透過前述的三種方法模擬。然而，一般微波元件的等效電路並不容易獲得，
無論是元件本身適用頻寬的限制，或者是電路太過複雜而難以決定其等效電路模
型。為了克服這些問題，J. Zhang 與 Y. Wang 在 1997 年時提出了在 FDTD 下以
散射參數矩陣( Scattering Matrix )模擬微波元件的方法[19]，而散射參數的取得可
由元件的 data sheet 上得知，也可以由向量網路分析儀量測，或是以元件的等效
電路計算得來，吾人將得來的散射參數透過此方法便可以在 FDTD 下模擬微波
元件，散射參數法也適用於多端元件，因此對於雙埠以上的微波電路模擬也很適
用。
接下來吾人將藉由一雙埠網路，推導散射參數法的理論根據，首先吾人由(5.1)
式出發，並將元件電流密度 dJ 以電流 dI 的型式來表示得到式(5.2)：
1 1 1/2 1/2
, ,, , , ,
n n n n
z z i j k Li j k i j k
t t
E E H J
ε ε
+ + + +∆ ∆
= + ∇× − (5.1)
1/2
1 1 1/2
, ,, , , ,
n
n n n d
z z i j ki j k i j k
It t
E E H
x yε ε
+
+ + +∆ ∆
= + ∇× −
∆ ∆
(5.2)
在(5.2)式裡，只要將流經元件的電流以電場的型式代入，便可在 FDTD 下模擬集
總元件。接著，為了獲得流經微波元件的電流，吾人需把已知的散射參數矩陣
(Scattering Matrix)轉換成導納矩陣(Admittance Matrix)，如下式：
64. 55
11 12 11 12
21 22 21 22
S S Y Y
S S Y Y
⇒
(5.3)
則根據導納矩陣的定義，吾人可藉由圖 5.1 將流過元件的電流表示成：
圖 5.1 微波網路示意圖
1 111 12
2 21 22 2
d d
d d
I VY Y
I Y Y V
=
(5.4)
將上式展開後，可得電流在頻域下的公式：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
d d d
d d d
I Y V Y V
I Y V Y V
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
(5.5)
因為 FDTD 是建立在時域的架構，因此吾人需利用傅利葉反轉換將(5.5)式轉換至
時域，才可代入(5.2)式做計算。而頻域相乘等於時域做褶積(convolution)，因此
(5.5)式以時域來表示可寫成：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
d d d
d d d
I t Y t V t Y t V t
I t Y t V t Y t V t
= ⊗ + ⊗
= ⊗ + ⊗
(5.6)
接著定義 d dV E z= ⋅∆ ，且由於 FDTD 上時間步階在 n = 0 之前的電場值均為
零，則可將上式離散化成：
TWO PORT
NETWORK
+
Vd1
-
+
Vd2
-
1dI 2dI
65. 56
{ }
{ }
1/ 2
1 11 1 12 2
0
1/ 2
2 21 1 22 2
0
n
n k n k k n k
d d d
k
n
n k n k k n k
d d d
k
I z Y E Y E
I z Y E Y E
+ − −
=
+ − −
=
= ∆ +
= ∆ +
∑
∑
(5.7)
由上式得知，吾人只要有導納矩陣[Y]的時域表示式，便可與雙埠網路上兩
端的電場計算出流入微波元件的電流，最後再將此電流分別代入雙埠網路兩端上
的電場表示式(5.2)，便可在 FDTD 的網格上以散射參數矩陣模擬微波元件。
為了獲得一完整的流程，吾人假設有一已知的雙埠散射參數矩陣[S]，接著
使用下列的公式將散射參數矩陣轉換成導納矩陣[Y]：
11 22 12 21 12
11 0 12 0
11 22 12 21 11 22 12 21
21 11 22 12 21
21 0 22 0
11 22 12 21 11 22 12 21
(1 )(1 ) 2
(1 )(1 ) (1 )(1 )
2 (1 )(1 )
(1 )(1 ) (1 )(1 )
S S S S S
Y Y Y Y
S S S S S S S S
S S S S S
Y Y Y Y
S S S S S S S S
− + + −
= =
+ + − + + −
− + − +
= =
+ + − + + −
(5.8)
上述所討論的數值均是頻域下的值，因此需透過傅利葉反轉換公式將導納矩陣轉
換至時域，而傅利葉反轉換公式為：
1
( ) ( )
2
j t
y t Y j e dω
ω ω
π
∞
−∞
= ∫ (5.9)
在上式的積分項可看到，要獲得正確的 y(t)，積分範圍需從 −∞ 積分到+∞ ，
但在真實的導納矩陣中，不可能有到無窮大的數值，因此在未知數值的頻段裡需
有合理的假設，在此吾人將利用求得的[Y]矩陣在頻域的片段資料以外差法重建
其時域響應。
此外，一般導納矩陣均為正的頻率的值，但在傅利葉反轉換的積分項裡需有
負的頻率的值，而為了得到全為實數的 y(t)，吾人便可假設導納矩陣上的元素均
有對稱的特性，即在負頻率點上的值與正頻率點上的值其大小相等，相位相差一
個負號，如圖 5.2 所示，縱軸上的值為任一導納矩陣元素的大小(mag.)與相位
(phase)，且符合 *
( ) ( )Y j Y jω ω= − 。在做反轉換時，需以 t∆ 的時間間隔將導納矩陣
的時域值離散化，得到以時間步階 n 為橫軸的資料，最後再將其代入(5.7)式計算
出元件電流。
66. 57
圖 5.2 對稱導納矩陣示意圖
散射參數法解決了沒有等效電路時 FDTD 模擬會遭遇到的問題，但是此方
法有個限制，由於散射參數為一小訊號的參數，當微波元件操作在大訊號時，如
功率放大器、振盪器等，使用散射參數法模擬可能會產生誤差。
5.1.2 模擬與比較
5.1.1 節介紹了散射參數法的原理，並說明了資料外差法引入的功用，本小
節將使用等效電壓源法及散設參數法模擬一低通濾波器來比較模擬的準確性，低
通濾波器的電路圖如下:
圖 5.3 低通濾波器模擬結構圖
L=30nH ， C=22pF ，R=5Ω ， LR =50Ω ，訊號使用 50Ω 內阻的阻抗性
電壓源，Source 波源為
( )
2
0 decayn n n
sV e
− −
=
L1=L2=20mm ， W=3mm ，H=1.5mm ， 4.2rε = ， Z0 = 50Ω
L LR R
C RL
L1 L2 HRs
Vs
freq.
freq.
mag.
phase *
( ) ( )Y j Y jω ω= −
freq.
freq.
mag.
phase
76. 67
參考文獻
[1] K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving
Maxwell’s equation in isotropic media,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.14,
No.3, pp.300-307, May 1966.
[2] Athanasios Papoulis,”A New Algorithm in spectral Analysis and Band-Limited
Extrapolation”,IEEE Transactions on circuits and systems, vol. CAS-22, NO.9,
September 1975
[3] Ramadan, A.; Omar, A.S.,”A new algorithm for the reconstruction of band-pass
signles”, IEEE AP-S Int. Symp. vo1.,8-13,pp 292-295 July 2001
[4] Sarkar, T.K., Pereira ,O.:Using the matrix pencil method to estimate the
parameters of a sum of complex exponentials. Antennas and Propagation
Magazine,IEEE, Vol.37(1995)48-55
[5] Xing-Wie Zhou , Xiang-Gen Xia,”The extrapolation of High-Dimensional
Band-limited functions”,IEEE Trans.Acoustics ,Speech,and Signal
processing ,vol.37,No.10pp.1576-1580.October 1989
[6] Richard G. Wiley ,”On an iterative technique for recovery of bandlimited signals”,
Proc,of the IEEE letters,vol.66,NO.4,April 1978
[7] Jiazong Zhang, Yunyi Wang, “FDTD Analysis of Active Circuits Based on the
S-parameters.” in 1997 Asia Pacific Microwave Conference, 5A18-4,
pp.1049-1052
[8] A. Taflove, Computational Electrodynamics The Finite-Difference Time-Domain
Method, 1995.
[9] G. Mur, “Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation
of the time-domain electromagnetic field equations,” IEEE Trans.
Electromagnetic Compatibility, vol. EMC-23, pp. 377-382, Nov. 1981.
[10] Z. Bi, K. Wu, C. Wu, and J. Litva, “ A dispersive boundary condition for
microstrip component analysis using the FD-TD method,” IEEE Trans. Antennas
and Propagat., vol. MTT-40, no. 4, pp. 774-777, Apr. 1992.
[11]O. M. Ramahi, “Complementary operators: A method to annihilate artificial
reflections arising from the truncation of the computational domain in the
solution of patial differential equations,” IEEE Trans. Antennas and Propagat.,
vol. 43, pp. 697-704, Jul. 1995.
77. 68
[12] J. P. Berenger, “A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic
waves,” J. Computat. Phys., vol. 114, pp. 185-200, 1994.
[13] Z.S. Sacks, D.M. Kingsland, R. Lee, and J. F. Lee, “A perfectly matched
anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition,” IEEE Trans.
Antennas and Propagat., vol. 43, pp. 1460 –1463, Dec. 1995.
[14] S. D. Gedney, “An anisotropic perfectly matched layer-absorbing medium for the
truncation of FDTD lattices,” IEEE Trans. Antennas and Propagat., vol. 44, pp.
1630 -1639, Dec. 1996.
[15] W. Sui , D. A. Christensen , and Carl H. Durney , “Extending the
Two-Dimensional FDTD Method to Hybrid Electromagnetic System with Active
and Passive Lumped Elements ,” IEEE Transactions on Microwave Theory Tech. ,
vol. 40 , NO. 4 , April 1992 .
[16] M. P. May , A. Taflove , and J. Baron , “FD-TD Modeling of Digital Signal
Propagation in 3-D Circuits with Passive and Active Loads ,” IEEE Transactions
on Microwave Theory and Techniques , vol. 42 , No. 8 , August 1994 .
[17] B. Toland, B.Houshmand, and T. Itoh, “Modeling of nonlinear active regions with
the FDTD method,” accepted for publication in IEEE Microwave and Guided
Wave Letters.
[18] Vincent A. Thomas, Michael E. Jones, Melinda Piket-May, Allen Taflove, and
Evans Harrigan, “The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for
FDTD analysis.” accepted for publication in IEEE Microwave and Guided Wave
Letters, Vol. 4, No. 5, May 1994.
[19] Vincent A. Thomas, Michael E. Jones, Melinda Piket-May, Allen Taflove, and
Evans Harrigan, “The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for
FDTD analysis.” accepted for publication in IEEE Microwave and Guided Wave
Letters, Vol. 4, No. 5, May 1994.
[20] Chien-Nan Kuo , Ruey-Beei Wu , Bijan Houshmand , and Tatsuo
Itoh ,”Modeling of Microwave Active Devices Using the FDTD Analysis Based
on the Voltage-Source Approach ,” IEEE Microwave and Guided Wave Letters ,
Vol. 6 , No. 5 , pp. 199-201 , May 1996.
[21] Chien-Nan Kuo , Bijan Houshmand , and Tatsuo Itoh ,”FDTD analysis of active
circuits with equivalent current source approach , ” in 1995 IEEE AP-S Int. Symp.
Dig. , Newport Beach , CA , pp. 1510-1513 , June 1995 .
