alat berat

1. Interpolasi

2. Interpolasi
• Interpolasi : menaksir harga-harga diantara titik-titik data yang telah tepat
(diketahui)
• Metode yang paling sering digunakan adalah interpolasi polinomial
• Formula umum polinomial orde ke-n :
n
n x
a
x
a
x
a
a
x
f 



 
2
2
1
0
)
(
Untuk n+1 titik-titik data, terdapat satu dan hanya satu polinomial orde ke-n
atau kurang yang melewati semua titik
a) Orde pertama (linear yang menghubungkan dua titik , b) orde kedua
(kuadratik atau parabola) yang menghubungkan tiga titik c) orde ketiga
(kubik) yang menghubungkan empat titik

3. Interpolasi
• Meskipun terdapat satu dan hanya satu
polinomial orde ke-n yang mencocokkan n+1
titik, ada berbagai format matematika di mana
polinomial itu dinyatakan:
1. Polinomial Newton
2. Polinomial Lagrange

4. 4
Polinomial Interpolasi
Diferensi Terbagi Newton
Interpolasi Linear
• Menghubungkan dua titik data dengan sebuah
garis lurus
f1(x) menandakan sebuah polinomial interpolasi
orde pertama.
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
0
1
0
0
1
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f





Formula interpolasi
linear
kemiringan
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f 





5. Contoh Interpolasi Linear
• Contoh:
Taksirlah ln 2 dengan menggunakan interpolasi linear. Lakukan interpolasi
antara ln 1=0 dan ln 6= 1.7917595 . Harga ln2 sebenarnya adalah 0,69314718
Solusi :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f 




35835190
.
0
)
1
2
(
1
6
0
7917595
.
1
0
)
2
(
1 





f Persen kesalahan εt=48.3%
Jika digunakan interval yang lebih kecil antara x0=1 sampai x1=4, maka :
46209813
.
0
)
1
2
(
1
4
0
3862944
.
1
0
)
2
(
1 





f Persen kesalahan εt=33.3%

6. Contoh Interpolasi Linear
Interval yang semakin kecil memberikan suatu taksiran yang lebih baik

7. 7
• Jika tiga titik data tersedia, taksiran diperbaiki dengan memperkenalkan beberapa
lengkungan ke dalam garis yang menghubungkan titik-titik
Ini dapat dilakukan dengan sebuah polinomial orde kedua (polinomial kuadratik)
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f 





)
( 0
0
0 x
f
b
x
x 

Orde kedua
Interpolasi Kuadratik
)
(
)
(
0
1
0
1
1
1
x
x
x
f
x
f
b
x
x




0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b
x
x








)
(
)
(
)
(
)
(

8. )
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0 x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f 





)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
2
1
2
0
2
0
2
1
0
2
2
2
0
1
0
1
1
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
b
x
x
x
x
x
x
b
x
f
x
f
b
x
x
x
x
x
f
x
f
b
x
f
b



















)
)(
(
)
(
)
))(
(
)
(
(
)
(
)
))(
(
)
(
(
1
2
0
2
0
1
1
2
0
1
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
b










)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b







)
)(
(
)
(
)
))(
(
)
(
(
)
))(
(
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
)
))(
(
)
(
(
1
2
0
2
0
1
0
1
0
1
1
2
0
1
0
1
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
b















)
)(
(
)
(
)
))(
(
)
(
(
)
(
)
))(
(
)
(
)
(
)
(
(
1
2
0
2
0
1
0
1
1
2
0
1
1
2
1
2
0
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
b
x
x
















9. Contoh Interpolasi Kuadratik
• Taksirlah ln 2 dengan menggunakan interpolasi kuadratik.
x0=1 f(x0)= 0
x1= 4 f(x1)=1.3862944
x2= 6 f(x2)= 1.7917595
Harga ln2 sebenarnya adalah 0,69314718
Solusi:
)
( 0
0
0 x
f
b
x
x 

b0=0
)
(
)
(
0
1
0
1
1
1
x
x
x
f
x
f
b
x
x




.
b
x
x 46209813
0
1
4
0
3862944
.
1
1
1 





10. Contoh Interpolasi Kuadratik
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b
x
x








)
(
)
(
)
(
)
(
051873116
.
0
1
6
46209813
.
0
4
6
3862944
.
1
7917595
.
1
2
2 






 b
x
x
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f 





)
4
)(
1
(
051873116
.
0
)
1
(
46209813
.
0
0
)
(
2 




 x
x
x
x
f
56584436
.
0
)
(
2 
x
f Kesalahan : εt= 18.4%

11. Bentuk Umum Polinomial Interpolasi Newton
)
(
)
(
]
,
[
j
i
j
i
j
i
x
x
x
f
x
f
x
x
f



Diferensi terbagi hingga
pertama
]
,
,
,
,
[
]
,
,
[
]
,
[
)
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
2
2
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
2
0
1
0
x
x
x
x
f
b
x
x
x
f
b
x
x
f
b
x
f
b
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f
n
n
n
n
n
n




















]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
k
i
k
j
j
i
k
j
i
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f



0
0
2
1
1
1
0
1
1
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
n
n
n
n
n
n
n


 



]
,
,
,
[
]
,
,
,
[
]
,
,
,
,
[





12. Contoh Interpolasi Kuadratik

13. Contoh Polinomial Interpolasi
Diferensi Terbagi Newton
Taksirlah ln 2 menggunakan polinomial interpolasi terbagi hingga Newton orde ketiga
x0=1 f(x0)= 0
x1= 4 f(x1)=1.3862944
x2= 6 f(x2)= 1.7917595
x3= 5 f(x3)= 1.6094379
Harga ln2 sebenarnya adalah 0,69314718
Solusi:
)
2
)(
1
)(
0
(
3
)
1
)(
0
(
2
)
0
(
1
0
)
(
2 x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f 









Polinomial orde ketiga:
j
x
i
x
j
x
f
i
x
f
j
x
i
x
f



)
(
)
(
]
,
[
Diferensi terbagi pertama:
46209813
0
1
4
0
3862944
.
1
]
0
,
1
[ .
x
x
f 



20273255
0
4
6
3862944
.
1
7917595
.
1
]
1
,
2
[ .
x
x
f 



18232160
.
0
6
5
7917595
.
1
6094379
.
1
]
2
,
3
[ 




x
x
f

14. Contoh Polinomial Interpolasi
Diferensi Terbagi Newton
Diferensi terbagi kedua:
051873116
.
0
1
6
46209813
.
0
20273255
.
0
]
0
,
1
,
2
[ 




x
x
x
f
020410950
.
0
4
5
20273255
.
0
18232160
.
0
]
1
,
2
,
3
[ 




x
x
x
f
Diferensi terbagi ketiga:
0
]
0
,
,
2
,
1
[
]
1
,
,
1
,
[
]
0
,
1
,
,
1
,
[
x
n
x
x
n
x
n
x
f
x
n
x
n
x
f
x
x
n
x
n
x
f










0078655415
.
0
1
5
)
051873116
.
0
(
020410950
.
0
]
0
,
1
,
2
,
3
[ 





x
x
x
x
f
Untuk n=3 :

15. Contoh Polinomial Interpolasi
Diferensi Terbagi Newton
Hasil-hasil untuk f[x1,x0] , f[x2,x1,x0] dan f[x3,x2,x1,x0] menunjukkan koefisien b1,b2,b3.
Bersama dengan b0=f(x0) = 0, persamaan adalah :
n
x
x
x
x
x
x
n
b
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
n
f )
1
(
)
1
)(
0
(
)
1
)(
0
(
2
)
0
(
1
0
)
( 









 

3
f
x
x
x
x
x
x
x
f
62876869
.
0
)
2
(
)
6
)(
4
)(
1
(
0078655415
.
0
)
4
)(
1
(
051873116
.
0
)
1
(
46209813
.
0
0
)
(
3











Kesalahan relatif : εt= 9.3%

16. Polinomial Interpolasi Lagrange
Polinomial interpolasi Lagrange adalah formulasi kembali dari polinomial Newton
yang mencegah komputasi diferensi terbagi.
Persamaan dinyatakan sebagai:









n
i
j
j j
x
i
x
j
x
x
x
i
L
:
dimana
n
i
i
x
f
x
i
L
x
n
f
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
Versi linear (n-1) adalah:
)
(
)
(
)
( 1
0
1
0
0
1
0
1
1 x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f






Versi orde kedua adalah:
  
  
  
  
  
  
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f )
2
(
1
2
0
2
1
0
)
1
(
2
1
0
1
2
0
)
0
(
2
0
1
0
2
1
)
(
2
















17. Polinomial Interpolasi Lagrange
Taksirlah ln 2 menggunakan polinomial interpolasi Lagrange orde pertama dan kedua
x0=1 f(x0)= 0
x1= 4 f(x1)=1.3862944
x2= 6 f(x2)= 1.7917595
Solusi:
)
(
)
(
)
( 1
0
1
0
0
1
0
1
1 x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f





 4620981
.
0
3862944
.
1
1
4
1
2
0
4
1
4
2
)
(
1 






x
f
Taksiran pada x=2 adalah:
Polinomial orde kedua adalah:
  
  
  
  
  
  
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f )
2
(
1
2
0
2
1
0
)
1
(
2
1
0
1
2
0
)
0
(
2
0
1
0
2
1
)
(
2















  
  
  
  
  
  
.
f 56584437
.
0
7917595
1
4
6
1
6
4
2
1
2
3862944
.
1
6
4
1
4
6
2
1
2
0
6
1
4
1
6
2
4
2
)
2
(
2 
















18. 18
Interpolasi Spline
• Terdapat kasus dimana fungsi
polinomial membawa hasil yang
keliru karena pembulatan dan
overshoot
• Suatu pendekatan alternatif
adalah menerapkan polinomial
orde lebih rendah terhadap
sekumpulan titik data yang
disebut fungsi spline
Gambar (a) sampai (c)
menunjukkan perubahan
mendadak mempengaruhi
osilasi dalam polinomial
interpolasi. (d) spline kubik
memberikan aproksimasi yang
lebih dapat diterima