1. U.MT102, Ìàòåìàòèê-2.
2016 îíû 2-ð ñàðûí 15
Áèå äààëòûí àæèë
ØÓÒÈÑ, ÕØÓÑ
1. Òîõèðîõ îðëóóëãààð òîäîðõîé áóñ èíòåãðàëûã áîäîæ C = 0 ³åä F(a) - ýõ ôóíêöèéí
óòãûã îë.ˆ
arccos2 3x
√
1 − 9x2
dx, a = 0.
2. Òîäîðõîéã³é èíòåãðàëûã áîäîæ F(a) = A ³åä F(b) - óòãûã îë.ˆ
(x2
+ 2)e−x
dx a = 0; A = 1, b = 1..
3. Äàðààõ òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîä.
0ˆ
−2
x2
e−x
2 dx
4. Òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîä.
3ˆ
2
2x4 − 5x2 + 3
x2 − 1
dx,
5. Äàðààõ òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîä.
1ˆ
√
3
3
1
x2 (1 + x2)3
dx
6. ðã°òã°ñ°í èíòåãðàëûã áîä.
∞ˆ
0
xe−x2
dx
7. ðã°òã°ñ°í èíòåãðàëûã áîä.
1ˆ
0
dx
√
1 − x2
8. Øóãàìóóäààð õ³ðýýëýãäñýí D ìóæèéí òàëáàéã îë.
D : 2y =
√
x, x + y = 5, x ≥ 0,
9. ijðñèéí òàëáàéã îë. r = 3 cos 3ϕ
10.
Öýâýð óñàí äîòîð îðøèõ õàâòàí
äýýð áîñîî ÷èãëýëä ³éë÷ëýõ
óñíû äàðàëòûí õ³÷íèé ìîäóëèéã
òîîöîîë. Ýíä îð÷íû òåìïåðàòóð
íü 25o
C ³åä óñíû õóâèéí
æèíã γwater = 9.81kH/ì3
ãýæ
³çíý.(Õàðèóã á³õëýýð òîéìëîí
èëãýýíý ³³!)
1

2. U.MT102, Áèå äààëòûí àæèë, 2016 îí
11. Íóìûí óðòûã îë.
x = 3(cos t + t sin t)
y = 3(sin t − t cos t)
, 0 ≤ t ≤
π
3
12. Íýãä³ãýýð ýðýìáèéí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îëæ zy(c, d) óòãûã òîîöîîë.
z = sin
y
x3
c = 1; d = π2
.
13. F(x, y, z) = 0 äàëä ôóíêöèéí zx òóõàéí óëàìæëàëûã îëæ ò³³íèé °ãñ°í öýã äýýðõ
óòãûã òîäîðõîéë.
ez−1
= cos x cos y + 1, M0(0, π/2, 1)
14. S- ãàäàðãóóãèéí M0 öýãò òàòñàí íîðìàë øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷èæ óã øóëóóí
äýýð îðøèõ Q- öýãèéí êîîðäèíàòûã ã³éöýýæ îë.
S : x2
− y2
+ z2
− 4x + 2y = 14, M0(3, 1, 4), Q(2, 1, z)
15. z = z(x, y) ôóíêöèéí °ãñ°í ìóðóéãààð õ³ðýýëýãäñýí D ìóæ äýýðõ ýêòðåìóì óòãóóäûã
îëæ õàìãèéí èõ óòãûã òîäîðõîéë.
z =
1
2
x2
− xy, D : y = 8, y = 2x2
16.
Ëàãðàíæèéí ³ðæèãäýõ³³íèé àðãààð f(x, y, z) ôóíêöèéí g(x, y, z) = 0 í°õö°ëò ýêñòðåìóìûí
áîäëîãûã áîä. Çààñàí óòãûã òîäîðõîéëæ èëãýýíý ³³ .
f(x, y, z) = 3−x2
−2y2
−z2
, g(x, y, z) = 2x+y+z−2 = 0 áîë fmax =?
17. Öóâààíû íèéëáýðèéã îë.
∞
n=1
7
49n2 + 35n − 6
18. Òîîí öóâààã °ðã°òã°ñ°í ãàðìîíèê
∞
n=1
1
np
öóâààòàé æèøèæ íèéëýëòèéã òîãòîî. (p-
ïàðàìåòðèéí óòãûã îëæ èëãýý.)
∞
n=1
n + 3
n(n + 1)
19. Íèéëýëòèéí ìóæèéã îëæ óã ìóæèéí óðòûã òîäîðõîéë.
∞
n=1
(ln x)n
20. ãñ°í óòãûã çýðãèéí öóâàà àøèãëàí α íàðèéâ÷ëàëòàéãààð áîäîæ ãàðãà.√
1.3 − óòãà, α = 0.001
21. f(x) ôóíêöèéã çààñàí ìóæ äýýð Ôóðüåãèéí öóâààíä çàäàëæ, òîîí öóâààíû íèéëáýðèéã
îë.
f(x) =



1, −1 ≤ x < 0
1/2, x = 0
x, 0 < x ≤ 1
,
∞
n=1
1
(2n − 1)2
2

3. U.MT102, Áèå äààëòûí àæèë, 2016 îí
22. Çóðàã äýýðõ ôóíêöèéã Ôóðüåãèéí öóâààíä çàäàë.
a2 - êîýôôèöèåíòèéí óòãûã èëãýý.
23. ã°ãäñ°í ìóðóéíóóäààð õ³ðýýëýãäñýí ìóæààð õî¼ðëîñîí èíòåãðàëûã áîäîæ îë.¨
D
(18x2
y2
+ 32x3
y3
) dxdy, D : x = 1, y = x3
, y = −
√
x
24. Ãóðâàëñàí èíòåãðàëûã °ã°ãäñ°í ìóæèä áîä.ˆˆ
V
ˆ
y2
e
xy
2 dxdydz, V : x = 0, y = 2, y = 2x, z = −1, z = 0
25. Òóéëûí êîîðäèíàòûí ñèñòåì àøèãëàí õî¼ðëîñîí èíòåãðàëûã áîä.
1ˆ
−1
√
1−x2
ˆ
−
√
1−x2
sin x2 + y2 dy dx
26. Ìóðóéãààð õ³ðýýëýãäñýí ä³ðñèéí òàëáàéã îëîõäîî õî¼ðëîñîí èíòåãðàëûã àøèãëàí
áîä.
ρ = 2(1 − cos φ)
27. Ãàäàðãóóãààð õ³ðýýëýãäñýí áèåòèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îë.
x + y = 2, y =
√
x, z = 12y, z = 0.
28. ãñ°í ãàäàðãóóãààð õ³ðýýëýãäñýí íýãýí ò°ðëèéí V -ìóæààð ³³ñýõ áèåòèéí çààñàí
òýíõëýãòýé õàðüöóóëñàí èíåðöèéí ìîìåíòûã îë. δ-íÿãòûã 1 ãýæ ³çíý.
V : z = x2
+ y2
, z = 3, Oz.
29. Íýãä³ãýýð ò°ðëèéí ìóðóé øóãàìàí èíòåãðàëûã áîä.ˆ
L
y2
d , ýíä L : x = t − sin t, y = 1 − cos t öèêëîèäûí íýãä³ãýýð àðê.
30.
Ìóðóé øóãàìàí èíòåãðàëûã àøèãëàí ä³ðñèéí òàëáàéã îë. r = (7 cos t−cos(7t), 7 sin t−
sin(7t)) , 0 ≤ t ≤ 2π
3