Instructivo de geo gebra para secundaria

Facultad Regional Multidisciplinaria de Estelí
Facultativa de Carrera
IV Física Matemática
MSc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo
21 Diciembre 2019

Facultad Regional Multidisciplinaria, FAREM-Estelí
Instructivo de Geogebra Complementario al Plan Pizarra
Trabajo de Fin de Curso
De la asignatura
Facultativa de Carrera
Docente
MSc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo
21 de diciembre 2019

Grupo 1:
MARTINEZ BENAVIDEZ AURA ALINA ESPINOZA PALACIO KEYLING YUNIET
ORDOÑEZ MORENO DEYLIN ELIETH
Temática a Abordar: Introducción a la Geometría en Séptimo Grado
Grupo 2:
PERALTA GUTIERREZ JACKELINE NOLASKA
HUERTA MAIRENA YADER CAMILO OBREGON OBREGON OSMARY ELENA
Temática a Abordar: Medidas de Figuras Geométricas en Séptimo Grado
Grupo 3:
MILLER SAENZ ANA CRISTINA CRUZ LOPEZ SAMANTHA LUCIA
PONCE MORALES KEYDIN IVANIA
Temática a Abordar: Paralelogramos en Octavo Grado
Grupo 4:
HERNANDEZ GONZALEZ EVELING DEL CARMEN
GALEANO MARTINEZ JARA PATRICIA RUIZ BENAVIDES DERWIN RENE
Temática a Abordar: Sólidos en Octavo Grado
Grupo 5:
SUAREZ SEVILLA KENIA MARITZA CORONADO CHAVARRIA TELVIN JULISSA
Temática a Abordar: Teorema de Pitágoras en Noveno Grado

Grupo 6:
CORDOBA FUENTES DANNY JOEL GONZALEZ RUIZ JEFFRY YAMIL
VASQUEZ BLANDON ENGEL ANTONIO
Temática a Abordar: Circunferencia en Noveno Grado
Grupo 7:
GONZALEZ MARTINEZ MEYSI MARIANELA
RAMIREZ OLIVAS BELKIS JASMINA ESPINOZA RIVAS DAYANA MARIA
Temática a Abordar: Introducción a la Trigonometría en Décimo Grado
Grupo 8:
INESTROZA PEREZ ERLING JOSUE LOPEZ MARADIAGA NELSO IVAN
SAENZ ABEL ANTONIO
Temática a Abordar: Funciones Trigonométricas en Décimo Grado
Grupo 9:
INESTROZA LOPEZ EVELING AMELIA GALO AYESTAS LENIN URIEL
PERALTA MONTALVAN FREDDY REYNALDO
Temática a Abordar: Trigonometría Analítica en Décimo Grado
Grupo 10:
CORRALES OCHOA DANNY ALEXAN CRUZ ALVARENGA YADER ARIEL
Temática a Abordar: Geometría Analítica en Undécimo Grado
Grupo 11:
GUTIERREZ INESTROZA JOSUE RAMON
TALAVERA SANCHEZ MARCO ANTONIO
Temática a Abordar: Cónicas en Undécimo Grado

Índice
Introducción..........................................................................................................................1
Objetivos................................................................................................................................2
Objetivo General ..............................................................................................................2
Objetivos específicos.........................................................................................................2
Introducción a la Geometría................................................................................................3
I. Guía de actividades.........................................................................................................7
Medidas de Figuras Geométricas......................................................................................18
Aplicación de geogebra en el contenido........................................................................18
Guía de Actividades: ............................................................................................................30
Paralelogramos ...................................................................................................................31
I. Conceptos básicos........................................................................................................31
1.1 Paralelogramos .........................................................................................................31
1.2 Propiedades de los paralelogramos.........................................................................31
II. Aplicación de GeoGebra en el contenido...............................................................32
III. Guía de actividades..................................................................................................33
3.1 Construcción de un paralelogramo.........................................................................33
3.2 Comprobar la propiedad de la medida de sus lados opuestos..............................40
3.3 Comprobar la propiedad de la medida de los ángulos opuestos .....................41
3.4 Comprobar la propiedad de las diagonales del paralelogramo.......................42
Sólidos..................................................................................................................................44
I. Conceptos básicos........................................................................................................44
Cilindro ........................................................................................................................46
II. Aplicación de Geogebra en el contenido............................................................47
2.1 Creación de prismas en Geogebra..................................................................49

2.2 Pasos para construir pirámides en Geogebra................................................52
2.3 Pasos sencillos para construir cilindros en Geogebra...................................57
Teorema de Pitágoras.........................................................................................................61
Circunferencia ....................................................................................................................66
I. Conceptos y Demostraciones de acuerdo al Plan Pizarra....................................66
II. Aplicación de GeoGebra .....................................................................................75
III. Guía de actividades..............................................................................................76
Introducción a la Trigonometría.....................................................................................111
I. Referentes Teóricos ...............................................................................................111
3.1. El triángulo. ........................................................................................................111
3.2. Clasificación de los triángulos...........................................................................111
3.3. Teorema de Pitágoras. .......................................................................................113
II. Aplicaciones del software de Geogebra............................................................113
4.1 Vista general de las herramientas de geogebra. ...............................................114
III. Guía de Actividades...........................................................................................114
Funciones Trigonométricas .............................................................................................121
Conceptos básicos del tema..........................................................................................121
Funciones trigonométricas. .........................................................................................121
Función seno. .............................................................................................................121
Como graficar la función seno utilizando Geogebra...............................................121
Función coseno...........................................................................................................122
Como graficar la función coseno utilizando Geogebra. ..........................................122
Función tangente. ......................................................................................................123
Como graficar la función tangente utilizando Geogebra.........................................123
Aplicación de Geogebra en el contenido.....................................................................124

Guía de Actividades......................................................................................................125
Geometría Analítica .........................................................................................................135
Aplicaciones con Geogebra..........................................................................................135
Características del material didáctico.................................................................................142
Figura 2. Icono de Geogebra. ..........................................................................................142
Figura 3. Pantalla principal de........................................................................................143
Funciones con Geogebra ..............................................................................................143
Actividad ...........................................................................................................................145
Transformaciones gráficas de funciones. .......................................................................149
Representación gráfica de coseno ...................................................................................150
Representación gráfica de tangente............................................................................150
Geometría Analítica .........................................................................................................154
Aplicación del programa en la temática.....................................................................154
Guía de actividades.........................................................................................................159
Cónicas...............................................................................................................................160
Conceptos ......................................................................................................................160
Vista general de la herramienta Geogebra.................................................................161
Contenido 1: Parábola con foco en el eje x.................................................................163
Contenido 2: Parábola con foco en el eje y.................................................................165
Contenido 3: Elementos de la parábola......................................................................167
Contenido 4: Puntos de intersección de una parábola y una recta (1) ....................169
Contenido 1: Elipse con focos en el eje x ....................................................................171
Contenido 3: Elementos de la elipse con focos en el eje x .........................................174
Actividades ....................................................................................................................176
Algunos los elementos de cónicas ................................................................................177

Otras actividades ..............................................................................................................181
Conclusiones......................................................................................................................182
Bibliografía........................................................................................................................183

1
Introducción
Hoy en día el uso de la tecnología se ha convertido en una de las más grandes herramientas
utilizadas a nivel mundial, donde está, ha tenido un gran crecimiento dado que se ha hecho
indispensable para muchos, en cuanto al ámbito educativo se ha convertido en una
herramienta de mucho apoyo para incursionar en software y aplicaciones para las
matemáticas, donde estos a su vez son de uso accesible al público.
El presente trabajo tiene como contenido un instructivo educativo acerca del software
matemático GeoGebra, el cual funcionaria como una herramienta complementaria en la
implementación del Plan Pizarra en las aulas de clases nicaragüenses, específicamente se
unidades de geometría, guiándose del libro de texto y de la malla curricular del IV y V ciclo.
Los ritmos de aprendizaje para cada estudiante son muy particulares, esto hace referencia a
la celeridad para obtener el conocimiento. Este se ve influenciado por diversos factores como:
la edad, la motivación por la clase, la condición psicomotora, las estrategias utilizadas por el
docente, entre otras.
Con este trabajo se pretende relacionar e incorporar las tecnologías de información y
comunicación (TIC’s) con la metodología propuesta por el “Proyecto para el Aprendizaje
Amigable de las Matemática en Educación Secundaria (NICAMATE)”, y así crear aulas o
entornos virtuales, con la finalidad de potenciar y desarrollar los conocimientos en el área de
la matemática y el manejo computacional del software.
De esta manera, se crearía un espacio interactivo, con el cual se trataría de suprimir aquellas
dificultades que presenten los estudiantes en la asimilación de los contenidos e información

2
Objetivos
Objetivo General
 Crear un instructivo utilizando el software de Geogebra para facilitar el aprendizaje
de las unidades de geometría, en educación secundaria.
Objetivos específicos
 Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura sobre el software de Geogebra.
 Desarrollar una guía de actividades, con la resolución de los ejemplos propuestos en
el libro de texto con el software GeoGebra.
 Incursionar en el uso del software de Geogebra, para realizar ejercicios de una manera
más rápida.

3
Introducción a la Geometría
Una formación matemática elevada y amplia es, cada vez más un componente esencial de la
formación universal del hombre. Del contenido y de la formación matemática depende en
gran medida como llegaron a vencerse las tareas planteadas a la ciencia y a la técnica. La
geometría juega un papel muy importante y por esa razón ocupa ya un lugar definitivo en la
enseñanza de la matemática.
A continuación veremos los conceptos más importantes en el estudio de la introducción de
la geometría de séptimo grado.
a) Punto:
Según MINED (2019) el punto es una representación mental de una marca que tiene posición
en el plano y carece de extensión. Los puntos se denotan con letras mayúsculas, ejemplos:
A, B, C… (pág. 126).
 A
b) Recta:
Según MINED (2019a) la recta es una línea que pasa por dos puntos y se extiende
indefinidamente en dos direcciones opuestas. La recta que pasa por los puntos A y B se
denota por l (se lee “recta l”) o AB (se lee “recta AB”) (pág. 126).
A
B
c) Segmento:
Según MINED (2019b) el segmento es la porción de la recta comprendida entre A y B, se
denota AB y se lee “segmento AB”. Se expresa la longitud del segmento como AB = 3cm
(pág. 126).
A
B

4
3 cm
d) Rayo:
Según MINED (2019c) el rayo es la parte de una recta que tiene origen A y se extiende
indefinidamente en una dirección. Si el punto B pertenece al rayo, este se denota con AB y
se lee “rayo AB” (pág. 126).
A
B
e) Plano:
Según MINED (2019d) el plano para determinar un plano se necesitan tres puntos que no
estén en una misma recta. Un plano se denota con letras griegas como α, β, θ, entre otras
(pág. 126).
A
B
•C
f) Ángulo:
Según MINED (2019e) el ángulo es la figura formada por dos rayos con un origen común
llamado vértice; se denota como: ∠BAC, ∠A, ∠CAB (pág. 128).
B
A ) 75 °
C

Dado un AC y un número  expresado en grados se puede encontrar con el transportador un
único punto B en el plano tal que ∡BAC= .

5
Los ángulos se clasifican según su medida en:
Ángulo agudo: Medida menor que 90°.
Ángulo obtuso: Medida mayor que 90° y menor que 180°.
Ángulo recto: Medida igual a 90°. El símbolo representa que el ángulo es recto.
g) Rectas perpendiculares en el plano:
Según MINED (2019f) Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse forman un ángulo
de 90° o recto. La relación de perpendicularidad se denota con el símbolo ⊥. La notación AB
⊥ CD se lee "AB es perpendicular a CD” (pág. 130).
h) Rectas paralelas en el plano:
Según MINED (2019g) Dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común. La relación
de paralelismo se denota con el símbolo ⃦. La notación AB ⃦ CD se lee "la recta AB es paralela
a la recta CD” (pág. 132).
i) Triángulo y su clasificación según sus ángulos interiores:
Según MINED (2019h) Cada triángulo tiene 3 lados y 3 vértices. El triángulo tiene 3 ángulos
interiores y la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180° (pág.
134).
Los triángulos, según la medida de sus ángulos, se clasifican en:
a) Triángulo acutángulo: Sus tres ángulos interiores son agudos (menor que 90°).
b) Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (igual a 90°).
c) Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mayor que 90°).
j) Construcciones con regla y compás: Círculo y circunferencia
Según MINED (2019i) la circunferencia es un conjunto de puntos de un plano que están a
igual distancia (equidistan) de otro punto llamado centro. A la región interior y los puntos
de la circunferencia se llama círculo (pág. 136).

6
Radio: De una circunferencia es el segmento que une el centro con un punto de esta.
Arco: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.
k) Definición y construcción de la mediatriz de un segmento
Según MINED (2019j) la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento
que lo divide en dos partes iguales (pág. 138).
l) Definición y construcción de la bisectriz de un ángulo
Según MINED (2019k) la bisectriz de un ángulo es el rayo que teniendo como origen el
vértice del ángulo, divide a este en dos ángulos con iguales medidas (pág. 140).
m) Construcción de triángulos conociendo sus lados
Según MINED (2019l) para construir un triángulo debe cumplirse la condición de que la
longitud de uno de sus lados sea menor que la suma de las longitudes de los otros dos (pág.
142).
Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Triángulo equilátero: Tiene sus tres lados con igual medida.
Triángulo escaleno: Sus tres lados tienen distintas medidas.
Triángulo isósceles: Dos de sus lados tienen igual medida.
n) Transformación de figuras (traslación, rotación y reflexión)
Según MINED (2019m) las transformaciones o movimientos de una figura que no alteran su
forma y tamaño (pág. 144).
Entre ellas tenemos:
Rotación: Es el giro de una figura plana alrededor de un punto llamado centro de rotación y
a lo largo de un ángulo de giro.

7
Reflexión: Es invertir la posición de una figura con respecto a una recta llamada eje de
simetría.
Traslación: Es mover una figura geométrica una distancia dada y en un sentido determinado
I. Guía de actividades
Utilizando el graficador GeoGebra, ya sea en su teléfono, su Tablet o computadora realizara
lo siguiente:
a) Dibuje el punto A de coordenadas (2,1) y el punto B de coordenadas (-2,3)
Primeramente, se abre el graficador GeoGebra versión 5.0
En el menú vista, active la vista grafica
Seleccionamos herramientas básicas, damos clic en el punto

8
Nos ubicamos en la vista gráfica y graficamos los puntos que se nos piden con las
coordenadas dadas.

9
b) Dibuje la recta que pasa por las coordenadas A=(2,1) y B=(-2,3)
Nos ubicamos en herramientas básicas, damos clic donde dice recta y seleccionamos los
dos puntos, de esa manera nos quedara la recta.
c) Construya un segmento con los puntos A= (1,3) y B= (-2,-3)

10
Primeramente, creamos los dos puntos con las coordenadas dadas en la barra de entrada
escribimos las coordenadas de los puntos primero del punto A damos enter y luego del punto
B damos enter y tenemos ya los dos puntos.
Vamos a herramientas básicas y damos clic donde dice segmento, seleccionamos los puntos
A y B y se nos crea el segmento.
d) Encontrar el punto medio del segmento anteriormente realizado
Nos ubicamos en herramientas básicas damos clic en medio o centro
Seleccionamos los dos puntos (A y B) automáticamente aparecerá el punto medio.

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Angulo y su medida
Grafique un ángulo a partir de dos segmentos con las coordinadas A= (-2,-2), B= (-4,-4), C
= (4,-6)
1) En la barra se entrada ubicar las coordenadas A (2,-2) presionar enter, B (-4,-4)
presionar enter, C (4,-6) presionar enter.

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2) Ubicar en herramientas segmentos dar clic. Seleccionar los puntos (A, B) y (B, C) y
formar el ángulo con los segmentos.
3) Para saber cuánto mide el ángulo ubicamos herramientas básicas y damos clic en
ángulo, ahí nos aparecerá la medida del ángulo
Mediatriz y bisectriz
A) En el ángulo anterior crea la mediatriz del mismo.
1- Ubicar en herramientas básicas construcción y dar clic en mediatriz
2- Seleccionar los puntos (A, B), (B, C) y se crea la mediatrices
3- Seleccionar los puntos (A, B,) y luego (B, C) y se crea las mediatriz.

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4-Ubicamos en herramientas básicas construcción y dar clic en la bisectriz
5-Seleccionar los puntos (A, B, C) y se crea la bisectriz que pasa por el centro de las rectas.
6-Seleccionar la recta que desea y aparase un icono donde pueda poner el color que desea.

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Recta paralela y recta perpendicular
a) Dibuje una recta paralela y recta perpendicular en el mismo plano
Ubicamos herramienta recta paralela y dar clic
Primeramente, creamos un punto A con las coordenadas que deseemos
Ubicamos en el plano y seleccione el punto la dirección de la recta

15
Ubicamos en herramientas recta perpendicular y dar clic
Seleccionemos el punto (A) y la dirección de la recta

16
Circunferencia
a) Dibuje una circunferencia de un radio de 5 cm
Primeramente, dibujamos un punto en el plano que será el centro de la circunferencia,
damos clic en herramientas, seleccionamos circunferencias y damos clic en
circunferencia (centro, radio) creamos el radio 5 y damos clic en el punto A, de esa
manera se nos creará la circunferencia.
b) Dibuje un deslizador a= 4cm
En la barra de entrada colocamos a=4 le damos enter y así se nos creara el deslizador.

18
Medidas de Figuras Geométricas
Las figuras geométricas son el objeto de estudio de geometría, rama de la matemática que se
dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano
Perímetro
El perímetro P de una figura geométrica es la suma de la medida de todos sus lados.
Área del Círculo
El área del circulo es una figura plana limitada por una circunferencia.
Área del sector circular
El sector circular es la parte del circulo comprendida entre dos radios y el arco que estos
delimitan.
Aplicación de geogebra en el contenido
Séptimo Grado
Unidad 7- Medidas de Figuras Geométricas
Sección 1-Perimetro de Polígonos
Las figuras geomètricas son el objeto de estudio de geometria, rama de la matematica que
se dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano.
Contenido 1. Cuadriláteros y sus características
1. Construcción de un Cuadrilátero
a. Activamos la vista de cuadricula y la visibilidad de los ejes.
b. Seleccionamos (Polígono) en la barra de herramientas

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c. Seleccionamos 4 puntos y luego el primero nuevamente
Actividad
Realiza un rectángulo de 6 cm de base y 3 cm de altura

20
Contenido 2. Polígonos regulares y sus características

22
2. Construcción de un polígono regular (Pentágono)
a. Activamos la vista de cuadricula y la visibilidad de los ejes.
b. Seleccionamos (Polígono) en la barra de herramientas
c. Selecciona 5 puntos cualesquiera equidistantes y luego el primero nuevamente
Actividad
Realiza un polígono regular de 7 lados.

23
3. Diagonales de un polígono
4. Trazaremos las diagonales de la figura anterior
a. En la barra de herramientas seleccionamos la función (Segmento)
b. Unimos los vértices no consecutivos de nuestra figura (pentágono)

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Contenido 3 y 4. Perímetro de triángulos y cuadriláteros y perímetro de polígonos
regulares.
El perímetro P de una figura geométrica es la suma de la medida de todos sus lados.
5. Calculo del perímetro de una figura geométrica
a. Habiendo elaborado nuestra figura elegimos la función (distancia y longitud) de
nuestra barra de tareas
b. Seleccionamos los vértices de manera consecutiva para obtener las medidas de
sus lados
c. En la barra de Entrada introducimos 𝑓 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 y automáticamente
obtenemos el valor del perímetro.

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Sección 2-Areas de triángulos y cuadriláteros
6. Calcular el área de un trapecio
a. Una vez elaborada nuestra figura elegimos la opción (área) en la barra de
herramientas
b. damos clic en la figura y automáticamente obtendremos el valor del área.

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Actividades
1. Construya un triángulo rectángulo y calcula su área
2. Construya un rombo, trace sus diagonales y calcule el perímetro
3. Elabora un eneágono y realiza lo siguiente:
a. Trace sus diagonales
b. Calcule el perímetro
c. calcule el área
d. dibuja un cuadrado en su interior y calcule su área

27
Sección 3- Circulo y Sector circular
7. Construcción de una circunferencia
a. Elegimos la opción (circunferencia y punto) en la barra de herramientas
b. ubicamos un punto de origen y el punto de la circunferencia.

28
Actividad
Construya una Circunferencia y trace una recta tangente y una recta secante
Longitud de una circunferencia
a. En la barra de herramientas seleccionamos la función (Distancia o Longitud)
b. Seleccionamos la circunferencia y automáticamente obtendremos su longitud
Área del Circulo
El área del circulo es una figura plana limitada por una circunferencia
8. Calculo del área del circulo
a. Habiendo construido nuestra circunferencia elegimos la función (área) de la barra
de herramientas
b. damos clic en el círculo y automáticamente obtendremos la medida su área

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Área del sector circular
El sector circular es la parte del circulo comprendida entre dos radios y el arco que estos delimitan
9. Construcción y cálculo del área del sector circular
a. Habiendo construido nuestro circulo elegimos la función (Sector Circular) en la barra
de tareas
b. Seleccionamos los 3 puntos que lo formaran iniciando por el origen del circulo y se
formara nuestro sector circular
c. En la barra de herramientas elegimos la función (Área) y damos clic en el sector circular
y automáticamente obtenemos el valor de su área

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Guía de Actividades:
Actividades
1. Construya un triángulo rectángulo y calcula su área.
2. Construya un rombo, trace sus diagonales y calcule el perímetro.
3. Elabora un eneágono y realiza lo siguiente:
a. Trace sus diagonales
b. Calcule el perímetro
c. calcule el área
d. dibuja un cuadrado en su interior y calcule su área
1. Construye una circunferencia y realiza lo siguiente
a. Calcula su longitud
b. Calcule el área del circulo
c. Trace un sector circular y calcule su área

31
Paralelogramos
I. Conceptos básicos
Los contenidos a desarrollar en el presente instructivo son los siguientes, pertenecientes a la
VII unidad Paralelogramos.
Sección 1: Propiedades de los paralelogramos
 Contenido 1: Introducción a las propiedades de los paralelogramos
 Contenido 2: Igualdad de medidas de los lados y ángulos opuestos de un
paralelogramo.
 Contenido 3: Propiedad de las diagonales de un paralelogramo
1.1 Paralelogramos
Los paralelogramos forman parte de las figuras planas. Huete Fuentes, Jarquín López,
López Sánchez y Gallo Cajina (2019a) afirman: “Un cuadrilátero que tiene ambos pares de
lados opuestos paralelos, se llama paralelogramo” (p.126). Es decir, se debe tener presente
de que el cuadrilátero cumpla con esa condición.
1.2 Propiedades de los paralelogramos
Para que un cuadrilátero sea considerado un paralelogramo debe cumplir con ciertas
propiedades. Huete Fuentes et al. (2019b) refieren que ambos pares de lados opuestos son
paralelos, que los lados opuestos tienen la misma medida, de igual manera sus ángulos
opuestos y que las diagonales se interceptan en su punto medio. Por lo que se pueden
demostrar que cumpla dichas propiedades mediante mediciones o cálculos matemáticos.

32
II. Aplicación de GeoGebra en el contenido
La aplicación de GeoGebra Clásico 5 se ha realizado a través del tiempo para el desarrollo
de temáticas relacionadas al área de Matemática. Consiste en un programa educativo que
cuenta con diferentes disposiciones, herramientas, patrones, vista gráfica, algebraica, en 2D
y 3D, hoja de cálculo, vista CAS entre otras opciones que lo integran (Ministerio de
Educación, 2012). Por lo que los aspectos en los que se emplea dicho programa son diversos,
de acuerdo a las necesidades de los usuarios.
Además, permite trabajar las matemáticas de forma experimental interactuando con objetos
matemáticos, desde su construcción, análisis de comportamientos, comprobar propiedades,
hacer conjeturas, realizar simulaciones, etc. Es decir, es programa con un sinnúmero de
aplicaciones para desarrollar un contenido en el aula de clases.
En el desarrollo de los contenidos elegidos en el instructivo se utilizará la mayor parte de
barra de herramientas que GeoGebra posee, como ubicación de puntos, trazo de segmento,
rectas, polígonos; además de la vista algébrica y 2D en la que se graficará los paralelogramos,
por lo que se hará uso de las aulas TIC, cerciorándose de que éste instalado previamente el
programa.

33
III. Guía de actividades
Dependiendo de la cantidad de computadoras, organizar a los estudiantes en pareja o de
manera individual y haciendo uso del programa educativo GeoGebra Clásico 5 realizar las
siguientes actividades:
3.1 Construcción de un paralelogramo
Para desarrollar dicha actividad se realizan los siguientes pasos:
a) Activar la Vista grafica 2D, opción que aparece en el tercer comando.
b) Eliminar Vista gráfica, seleccionando la x en la parte superior de esta vista y se
arrastra hacia la izquierda la vista gráfica 2D.

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c) Se traza un segmento AB usando el tercer grupo y selecciona la opción Segmento
con longitud dada.

35
d) Se ubica un punto A y se le asigna una longitud al segmento (ejemplo: 6) y da clic en
OK.
e) Se traza un ángulo dada su amplitud, opción que se encuentra en el octavo grupo.

36
f) Se selecciona un punto lateral (B) luego un vértice (A) y se asigna la amplitud
(ángulo) por el que se ubica el punto C.
g) Se traza una recta que pasa por el punto A y C usando la herramienta de Rectas
h) Se traza una recta paralela, que pase por B y que sea paralela a la recta AC, haciendo
clic primero en el punto y luego en la recta, usando la herramienta que se encuentra
en el cuarto grupo

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i) Se ubica un punto D en la parte superior del segmento AB y en medio de las rectas
paralelas, con la herramienta Punto.
j) Se traza una recta paralela al segmento AB y que pase por el punto D, haciendo clic
primeramente el punto y luego en el segmento, con la opción seleccionada en rojo.

38
k) Se determina el punto de intercesión entre las rectas AC y la recta que pasa por D,
luego el punto intercepto entre la recta que pasa por D y la que pasa por B,
seleccionando en el segundo grupo la opción “Intercesión”, dando clic primero en
una recta y posteriormente en la otra.
l) Se activa la opción Polígono y se da clic consecutivamente en los puntos A, B, C, D
hasta regresar al punto A, quedando graficado el paralelogramo.

39
m) Se ocultan las rectas trazadas y punto C dando clic derecho sobre las lineas y punto,
seleccionando objeto visible, para solo dejar el paralelogramo.
n) El paralelogramo queda graficado de la siguiente manera:

40
3.2 Comprobar la propiedad de la medida de sus lados opuestos
Después de haber construido el paralelogramo realizar los siguientes pasos para la
comprobación de dicha propiedad.
a) Se da clic derecho sobre el lado CD y se selecciona la opción Propiedades.

41
b) En Etiqueta visible se selecciona “valor” y así sucesivamente en cada uno de los
lados, cuando haya determinado la medida de todos los lados, le clic en la x de la
parte superior de las propiedades.
c) ¿Se cumple con la propiedad correspondiente a la medida de sus lados?
d) Escriba la hipótesis y la tesis correspondiente a la medida de los lados del
paralelogramo.
3.3 Comprobar la propiedad de la medida de los ángulos opuestos
Para dicha actividad se realizan los siguientes pasos:
a) Se selecciona el grupo y la opción Ángulo.
b) Se da clic sobre los segmentos que determinan el ángulo que desea encontrar, por
ejemplo da clic en el lado EF y EA para determinar el ángulo E y así sucesivamente
en los otros lados.

42
c) ¿Se cumple con la propiedad de la medida de los ángulos opuestos?
3.4 Comprobar la propiedad de las diagonales del paralelogramo
Seguir los siguientes pasos para dicha comprobación:
a) Para trazar las diagonales correspondientes la paralelogramo se traza un segmento
desde el punto A al F y otro segmento desde B a E, usando la opción segmento que
aparece en el tercer grupo

43
b) Se selecciona la opción Punto medio o centro que aparece en el segundo
grupo para ello se da clic en los puntos A y F.
c) Para verificar si éste coincide con la intercepción de las diagonales, se determina el
punto intercepto usando la opción que aparece en el grupo, dando
clic sobre ambas diagonales.
d) ¿Coincide el punto H (intercepto) con el medio (G)?

44
Sólidos
I. Conceptos básicos.
Sólidos
Un sólido o cuerpo geométrico es una región del espacio limitada por superficies curvas y/o
planas.Huete Fuentes, A. J., Jarquin López, H. A., López Sanchez, C. d., & Gallo
Cajina , H. E. (2019). Matematica 8. Managua : MINED.
 Los sólidos que tienen todas sus superficies planas se llaman poliedros.
Prisma
Un prisma es un cuerpo geométrico (un poliedro) que tiene dos bases iguales y paralelas entre
sí, llamadas bases (que pueden ser cualquier polígono) y un número de caras laterales igual
al número de lados del polígono de sus bases, y que son siempre paralelogramos (cuadrados,
rectángulos, rombos o romboides).
Características:
 su número de caras se obtiene sumándole ‘2’ al número de lados del polígono de su
base.
 su número de vértices se calcula multiplicando por ‘2’ el número de lados del
polígono de la base.
 su número de aristas se calcula multiplicando por ‘3’ el número de lados del polígono
de la base.
 los polígonos que forman sus bases se llaman directrices.
 sus caras laterales solo pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos o romboides
(paralelogramos).
 los prismas rectos tienen cuadrados o rectángulos en sus caras laterales, y los
oblicuos, cualquier paralelogramo.
 existen infinitas posibilidades de tipos de prismas (y de sus variantes): distintas bases,
distinta altura, etc.

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Tipos de prismas y formas de nombrarlos:
Los prismas se pueden clasificar según distintos criterios. además, estos mismos criterios se
utilizan para nombrarlos.
1) los prismas se clasifican y se nombran según el número de lados del polígono de la base:
triangular, cuadrangular, rectangular, romboidal, romboidal, trapezoidal, trapezoidal,
pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
2) se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es regular (o simétrico) o
irregular (o asimétrico).
3) se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es convexo o cóncavo.
4) se clasifican (y se nombran) según si son rectos (todas sus caras laterales son rectángulos)
u oblicuos o inclinados. Normalmente, solo se cita este tipo si es oblicua o inclinada, y cuando
es recta no se suele decir nada.
5) si están truncados o no. en realidad, los prismas truncados, no son prismas, ya que no
cumplen su definición (sus caras ya no están paralelas ni son iguales). pueden estar truncados
(cortados) con distintos grados de inclinación, una o más veces…
6) algunos autores también incluyen la altura del prisma, pues según su altura, tendremos
distintos tipos de prismas.
Pirámide
“Una pirámide es un cuerpo geométrico (y un poliedro) que tiene una base (que puede ser
cualquier polígono) y un número de caras laterales (igual al número de lados del polígono de
su base). las pirámides acaban en un vértice llamado cúspide (o ápice).”
Características:
 su número de caras y de vértices se obtiene sumándole ‘1’ al número de lados del
polígono de su base.
 su número de aristas se calcula multiplicando por ‘2’ el número de lados del polígono
de la base.
 la base de los triángulos que conforman sus caras laterales es cada uno de los lados
del polígono de su base.
 todos los triángulos de sus caras laterales se unen en la cúspide o ápice. - existen
infinitas posibilidades de tipos de pirámides (y de sus variantes).

46
Tipos de pirámides y formas de nombrarlas:
Las pirámides se pueden clasificar según distintos criterios. Además, estos mismos criterios
se utilizan para nombrarlas.
1) las pirámides se clasifican y se nombran según el número de lados del polígono de la base:
triangular, cuadrangular, rectangular, romboidal, romboidal, trapezoidal, trapezoidal,
pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
2) se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es regular (o simétrico) o
irregular (o asimétrico).
3) se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es convexo o cóncavo.
4) se clasifican (y se nombran) según si son rectas (la cúspide y el centro de la base están
unidas por una línea perpendicular) u oblicuas o inclinadas. Normalmente, solo se cita este
tipo si es oblicua o inclinada, y cuando es recta no se suele decir nada.
5) si están truncadas o no. una pirámide truncada se llama tronco de pirámide. en realidad,
las pirámides truncadas o troncos de pirámide, no son pirámides, ya que no cumplen la
definición de pirámide (sus caras ya no están paralelas ni son iguales). Pueden estar truncadas
(cortadas) con distintos grados de inclinación, una o más veces…
6) algunos autores también incluyen la altura de la pirámide, pues según su altura, tendremos
distintos tipos de pirámides.
7) pirámides elongadas (y otras composiciones): una pirámide elongada es cualquier tipo de
pirámide o de sus variantes, a la que se le añade cualquier forma poliédrica y da lugar a un
nuevo poliedro.
 Los sólidos que tienen al menos una superficie curva se llaman cuerpos redondos.
Cilindro
Un cilindro es un sólido que tiene dos bases circulares iguales contenidas en planos paralelos.
La superficie lateral o área lateral del cilindro está formada por todos los puntos que unen las
dos bases del cilindro. el eje del cilindro circular es el segmento que une los dos centros de
las bases. Si el eje es perpendicular a las bases el cilindro se llama cilindro circular recto,
mientras que cuando el eje no es perpendicular a las bases se llama cilindro oblicuo. la altura

47
h del cilindro circular es el segmento perpendicular a las dos bases. El radio r del cilindro es
el radio de cualquiera de las bases iguales. en la figura se muestra un cilindro circular recto.
II. Aplicación de Geogebra en el contenido
Geogebra es un software que se puede usar de manera fácil en el aula de clase, ya que solo
se debe contar con un dispositivo como tabletas, computadora o celular para usarla, recursos
que hoy en día en su mayoría los estudiantes poseen, al igual tiene un menú de herramientas
de lectura muy fácil. En sitios web hay abundante información acerca de cómo manejarlo.
En cuanto al desarrollo de una clase de matemáticas, en este caso como recurso adicional al
programa usado (actualmente en nuestro país es el plan pizarra) podemos incluir en
cualquiera de sus etapas problema, solución, conclusión, ejemplo y ejercitación. A
continuación, se citan unos ejemplos:
Ejemplo 1
Conclusión: Nos da un concepto de solido luego nos ejemplifica con un cuerpo el cual
necesita una vista 3D por que constan de 3 dimensiones, podemos usar Geogebra que nos
ayuda a obtener una mejor visión y perspectiva de lo que hacemos, al igual podemos construir
cualquiera de ellos y establecer sus respectivas medidas y conocer sus partes.

48
Ejemplo 2:
Problema: nos indica calcular el área de un prisma con estas medidas podemos construirlo y
luego calcular su área usando el software Geogebra.
También hay otros temas que nos pide calcular el volumen y área de otros cuerpos
geométricos que también son funciones que Geogebra el cual facilita la solución de estos.

49
2.1 Creación de prismas en Geogebra
Para construir prismas en Geogebra procedemos a realizar los siguientes pasos
1. Abrimos el programa Geogebra instalado previamente en la computadora.
2. Seleccionamos el icono polígono regular
3. Posteriormente nos indica que marquemos o seleccionemos dos puntos en las
coordenadas (0,0) y P (0,2)
4. Luego nos aparece un cuadro te texto en el que nos indica marquemos el número de
vértices en este caso escribimos el número 6 que es el número de vértices del prisma
que estamos trabajando.

50
5. luego se dirigen a la barra de herramientas y elegimos vista 3D, nos aparece un nuevo
eje en las coordenadas (x, y, z)
6. Nos dirigimos a la barra de herramientas y elegimos prisma
7. Ahora elegimos cada uno del punto iniciando en A y finalizando en el mismo punto
A, luego procedemos a darle altura al prisma subiendo hasta la parte superior del eje.
8. Nos dirigimos a la barra de herramientas y elegimos (desarrollo)

51
9. Luego hacemos clic el en prisma de la graficadora 3D y nos aparece el diseño
completo del prisma y un deslizador.
10. Luego movemos el deslizador y vemos como las caras se mueven inician a moverse
y formar el prisma.
11. Podemos darle formato a nuestro prisma quitando los ejes y la cuadricula, al mismo
tiempo que dándole otro color a nuestro prisma hexagonal.

52
2.2 Pasos para construir pirámides en Geogebra
Pasos para construir una pirámide en Geogebra.
1. Abrimos el programa de Geogebra para empezar a trabajar en la construcción de la
pirámide, sino esta en cuadricula lo ponemos.
2. Construimos un deslizador para el numero de lados de la base de la pirámide.
Ponemos el nombre del deslizador y ponemos el valor mínimo, máximo luego clic en
ok.

53
3. Para crear el polígono base que va estar en función del deslizador, al dar clic sobre el
va aumentando la forma del polígono en este caso pentagonal. Luego nos vamos a la
barra de polígono, damos clic en polígono regular.
4. Si queremos colorear damos clic izquierdo luego configuración y damos clic en color,
ahí elegimos el color que deseemos en este caso morado.
5. Determinar el punto centro para ello nos vamos a la herramienta de recta y damos clic
sobre mediatriz, hacemos clic en dos de los lados del pentágono donde se intersectan,
es el punto medio.

54
6. Calculamos el punto intersección para eso nos vamos a herramienta de punto, damos
clic en intersección se da clic sobre ambas rectas. Si queremos quitar las mediatrices
damos clic derecho sobre ella y damos clic objeto invisible.
7. Si deseamos ponerle un nombre al punto de intersección damos clic derecho sobre el
punto clic en renombrar en este caso será C. Si queremos quitar los puntos hacemos
lo mismo clic derecho y damos clic en objeto invisible.

55
8. Hacemos otro deslizador para la altura hacemos el mismo procedimiento del paso dos
solo que cambiamos nombre en este caso H.
9. Nos vamos a la vista y damos clic en 3D.
10. Desactivamos ejes clic derecho y clic en eje.

56
11. Para determinar la altura variable de la pirámide que es a partir del punto centro.
12. Construcción en 3D de la pirámide. Damos clic en 3D, vamos a herramienta de
sólidos y damos clic sobre pirámide desde su base, damos clic en su base aparece un
cuadro que pide la altura que en nuestro caso será el nombre del segundo deslizador.
13. Para apreciar damos clic en menú de 3D y siempre en los sólidos geométricos damos
clic en desarrollo, damos clic sobre la figura 3D en cualquier lado y aparece otro
cursor que al darle clic podemos ver como la pirámide cambia. Va tener las caras
dependiendo el número que le demos al deslizador en caso de pentágono serán cinco
triángulos así sucesivamente.

57
2.3 Pasos sencillos para construir cilindros en Geogebra
1. Abrimos el programa de Geogebra instalado en la computadora.
2. Creamos dos deslizadores haciendo clic en deslizador
3. Posteriormente ingresamos los datos siguientes:
Nombre: r, Min: 1, Max:5 e Incremento:1 y aceptamos
4. Creamos un segundo deslizador que se va a llamar h y llenamos los siguientes datos:
Nombre: h, Min: 1, Max:6 e Incremento:1 y aceptamos en OK
5. Ahora nos vamos a la barra de herramientas y creamos el punto A (0,0)

58
6. Activamos en vista la gráfica 3D, nos queda la figura de la parte derecha de la página.
7. En entrada se procede a ingresar el punto B (0,0, h) en este caso h es la altura del
deslizador que realizamos en el paso 4, y hacemos enter para crear el punto.
8. Ahora hacemos clic en la vista 3D y en la barra de herramientas elegimos
cilindro

59
9. Ahora nos aparece un cuadro en donde nos pide elegir dos puntos, elegimos el punto
A y el punto B, haciendo clic en ellos. Los nos pide el radio del cilindro y escribimos
r que es el radio, así se forma un cilindro.
10. Ahora hacemos clic derecho en el cilindro en configuración (propiedades), y podemos
cambiarle el color al cilindro.

60
11. Podemos rotar en la barra de herramientas 3D seleccionar Rotar la Vista
grafica 3D. Ya está construido el cilindro.
En Geogebra también se puede construir esferas

61
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de
los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio la matemática.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo
es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90
grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que, si uno de los ángulos es recto, ninguno
de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres
y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
(torema de pitagoras, 2019)
Aplicación
Pasos.
1. Abra la aplicación GeoGebra la cual es gratuita.
2. Ejemplo, construya un triángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y uno de sus catetos
4cm, a) cuanto miden sus catetos b) y sus triángulos.
3. Quitar cuadriculas y ejes.

62
4. Crear catetos con las medidas de los catetos.
5. Se traza la perpendicular y la base del cateto y se utiliza la herramienta compas.

63
6. Se coloca el punto de intercepción
7. Determine el polígono.

64
8. Poner medidas en opción medidas y longitud.
9. Colocar ángulos.

65
Resuelva.
construya un triángulo cuya hipotenusa mide 20 cm y uno de sus catetos 8cm,
a) cuanto miden sus catetos
b) y sus triángulos.
Sigue los pasos de la guía.

66
Circunferencia
I. Conceptos y Demostraciones de acuerdo al Plan Pizarra
Sección 1: Ángulos Inscritos
Contenido 1: Elementos y rectas notables de la circunferencia
Figura #1. Elementos y rectas notables de la circunferencia. [Captura de pantalla].
(Ministerio de Educación, (MINED) y Agencia de Cooperación Internacional del Japón
(JICA), 2019a, p.136).

67
Contenido 2: Medida de un ángulo inscrito con uno de sus lados como diámetro

68
Figura #2. Medida de un ángulo inscrito con uno de sus lados como diámetro [Captura de
pantalla]. (Ministerio de Educación, (MINED) y Agencia de Cooperación Internacional del
Japón (JICA), 2019b, pg. 137-138)
Contenido 3: Medida de un ángulo inscrito

69
Figura #3. Medida de un ángulo inscrito. [Captura de pantalla]. (Ministerio de Educación,
(MINED) y Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA), 2019c, pg. 139-140).

70
Seccion 2: Aplicaciones de angulos inscritos
Contenido 1: Ángulo semiinscrito

71
Figura #4. Ángulo semiinscrito. [Captura de pantalla]. (Ministerio de Educación, (MINED)
y Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA), 2019d, pg. 142-143).

72
Contenido 2: Ángulo Interior

73
Figura #5.Ángulo interior. [Captura de pantalla]. (Ministerio de Educación, (MINED) y
Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA), 2019e, pg. 144-145).
Contenido 3: Ángulo exterior

74
Figura #6. Ángulo exterior. [Captura de pantalla]. (Ministerio de Educación, (MINED) y
Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA), 2019f, pg. 146-147).

75
II. Aplicación de GeoGebra
La implementación de GeoGebra en el desarrollo de la metodología (Plan Pizarra) utilizada
para la enseñanza y aprendizaje de la matemática en la educación nicaragüense, cumple con
la función de reforzar e instruir en el manejo de las tecnologías de información y
comunicación (TIC’S).
Este software matemático nos proporciona una gran cantidad de herramientas útiles para el
desarrollo de la geometría plana. Por ello, su aplicabilidad en la unidad 7: La circunferencia,
correspondiente al programa de estudio de noveno grado, permite la creación de entornos de
aprendizajes interactivos y virtuales entre el docente y el alumnado.
Cabe señalar, que para lograr un alto desempeño en el manejo del software es muy necesario
que el estudiante tenga dominio de las definiciones y conceptos matemáticos referentes al
tema. Además de conocer un poco la interfaz de usuario del programa utilizado, la cual es
muy intuitiva y práctica.
El uso de software puede desarrollarse durante la clase, la cual estaría dirigida por el docente,
apoyándose del libro de texto (haciendo la demostración de la parte
de su plan de clase) y cada estudiante haciendo uso de sus herramientas digitales
(PC, tablets, Smartphone, entre otros).
Por último, la parte referente a la ejercitación la cual deberá ser elaborada de
forma tanto escrita como digital por los estudiantes. Para el proceso de evaluación el docente
se propone la resolución de cada uno de los ejercicios propuestos de los contenidos
“Comprobemos lo aprendido “de las secciones respectivas de la unidad.

76
III. Guía de actividades
Para realizar los siguientes ejercicios de este instructivo necesitaremos lo siguiente:
1. Tener dispositivos móviles que se compatible con el software Geogebra (Android,
Windows y iOS).
2. Instalar la versión GeoGebra Clásico 6. https://www.geogebra.org/download.
3. Una vez instalado el programa procedemos a abrirlo
Sección 1: Ángulos inscritos
Contenido 1: Elementos y rectas notables de la circunferencia
1. Una vez abierto el software procedemos a realizar los ejercicios del contenido 1 y nos
dirigimos hacia la barra de herramientas y buscaremos la herramienta "Circunferencia
(centro, punto)" para trazar la circunferencia de centro A y que pase por el punto
B.
2. Seleccionar el icono recta y la herramienta segmento para trazar el radio
(A, B), una vez realizada esta operación damos clic derecho renombrar y cambiamos
el nombre “radio”.
3. Seleccionar el segmento radio y dar clic derecho configuración y dirigirnos hacia la
herramienta color para diferenciar este segmento de otros.

77
4. Luego de haber calculado el radio, nos dirigiremos a seleccionar el icono recta
y la herramienta segmento para calcular el diámetro de la circunferencia.
5. Seleccionar el segmento diámetro y dar clic derecho configuración y dirigirnos hacia
la herramienta color para diferenciar este segmento de otros.

78
6. Seleccionar el icono recta y la herramienta segmento para trazar la cuerda
(E,F) en la circunferencia.
7. Traza un arco en la circunferencia utilizando la herramienta sobre los puntos (A,
B, D).
8. Coloca un punto cualquiera sobre la circunferencia ¨G¨ y utilizando la
herramienta calcula la tangente de la circunferencia.

79
9. Tomamos los puntos (E, F) y utilizando la herramienta trazamos una recta
secante en la circunferencia.

80
Contenido 2: Medidas de un ángulo inscrito con uno de sus lados como diámetro.
1. Utiliza la herramienta Circunferencia y seleccione la opción (centro, punto)
para trazar la circunferencia de centro ¨O¨ y de punto ¨B¨.
2. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta simetría central para
obtener la simetría central (P) de la circunferencia (O, B) para luego calcular su
diámetro.

81
3. Seleccionar el icono recta y elegir la herramienta segmento para trazar
el diámetro que pasa por el punto O (centro) y sus extremos los puntos B y P.
4. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta ángulo dada su amplitud
para crear el ángulo central.
A continuación, se muestra la ventana:

82
En la cual daremos al ángulo una amplitud de 88°, en sentido horario; donde se
obtiene un punto A (en caso de ser otra letra renombrar el punto) sobre la
circunferencia.
5. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta polígono para crear el
triángulo (O, A, P)

83
6. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta ángulo , para calcular el
valor del ángulo X, para ello debe hacer clic primera mente en el punto A, seguido
el punto P y por último el punto O.

84
7. Resolver los ejercicios propuestos en el libro de texto, apoyándose de GeoGebra.

85
Contenido 3: Medida de un ángulo inscrito.
para trazar la circunferencia de centro ¨O¨ y de punto ¨Q¨.
2. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto A
sobre la circunferencia en el tercer cuadrante.

86
3. Seleccionar el icono recta y la herramienta segmento para trazar el
segmento (Q, A).
4. Seleccionar el icono ángulo y utilizar la herramienta ángulo dada su
amplitud para crear un ángulo Q.

87
En la cual daremos al ángulo una amplitud de 50°, en sentido antihorario; donde
se obtiene un punto A.
5. Seleccionar el icono recta y la herramienta semirrecta para trazar una
semirrecta que pase por los puntos Q y A'.

88
6. Seleccionar el icono punto y seleccionar la herramienta intercepción
para obtener el punto en donde se interceptan la semirrecta y la circunferencia
(renombrar el punto intercepto (B) y ocultar el punto B1 que se forma en el punto
Q).
segmento (A, O) y (B, O).

89
8. Dar clic derecho al segmento (A, O) e buscar la herramienta configuración y
seleccionar la herramienta estilo la opción estilo de trazo y cambiar el trazo del
segmento a líneas discontinuas, realizarlo también en el segmento (B, O).
9. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto P
sobre la circunferencia en el tercer cuadrante en la parte superior del punto A, en
caso de ser otra letra renombrarlo.

90
segmento (A, P).

91
segmento (B, P).
valor del ángulo X, para ello debe hacer clic primera mente en el punto A, seguido
el punto P y por último el punto B.

92
valor del ángulo Y, para ello debe hacer clic primera mente en el punto A, seguido
el punto O y por último el punto B.
14. Resolver los ejercicios propuestos, apoyándose de GeoGebra

93
15. Estimado estudiante, con el objetivo de comprobar los conocimientos adquiridos
en este tiempo, se le solicita la resolución de los siguientes ejercicios propuestos
del libro de texto, apoyándose del programa GeoGebra

94
Sección 2: Aplicaciones de los ángulos inscritos
Contenido 1: Ángulo semiinscrito
para trazar la circunferencia de centro ¨O¨ y de punto ¨B¨.
2. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto A
sobre la circunferencia en el cuarto cuadrante.

95
3. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta polígono para crear el
triángulo (O, B, A).
4. Seleccionar el icono y utilizando la herramienta tangente trazar una
recta tangente a la circunferencia que pase por el punto B.

96
5. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta ángulo dada su amplitud
para crear un ángulo de amplitud.
En la cual daremos al ángulo una amplitud de 70°, en sentido antihorario; donde
se obtiene un punto A’ exterior a la circunferencia (en caso de ser otra letra
renombrar el punto).

97
6. Ubicar la recta tangente que pase por el punto B y por el punto exterior A’ dado por
el ángulo de amplitud.
valor del ángulo X, para ello debe hacer clic primera mente en el punto A,
seguido el punto O y por último el punto B.

100
Contenido 2: Ángulo interior
1. Utiliza la herramienta Circunferencia y seleccione la opción (centro, radio)
para trazar la circunferencia de centro ¨O¨ y radio 5.

101
2. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto A sobre
la circunferencia.
3. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta ángulo dada su amplitud para
crear un ángulo de amplitud de 161° en sentido horario.

102
4. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto B sobre
la circunferencia.
crear un ángulo de amplitud de 85° en sentido horario.

103
6. Seleccionar el icono recta y la herramienta segmento para trazar los
segmentos AB y CD.
7. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta intercepción para encontrar
el punto de intercepción de los segmentos AB y CD.

104
8. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta ángulo , para calcular el valor
del ángulo BED, para ello debe hacer clic primera mente en el punto D, seguido el
punto E y por último el punto B.
9. Resuelva los ejercicios propuestos utilizando GeoGebra

105
Contenido 3: Ángulo exterior
1. Utiliza la herramienta Circunferencia y seleccione la opción (centro, radio)
para trazar la circunferencia de centro ¨O¨ y radio 5.
2. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto B sobre
la circunferencia.

106
crear un ángulo de amplitud de 30° en sentido horario, a su vez se crea un punto C
sobre la circunferencia.
4. Utiliza el icono y selecciona la herramienta punto y coloca un punto D sobre
la circunferencia.

107
crear un ángulo de amplitud de 80° en sentido horario, a su vez se crea un punto E
sobre la circunferencia.
6. Seleccionar el icono recta y la herramienta semirrecta para crear las
semirrectas que pasan por los puntos DB y EC.

108
10. Seleccionar el icono y utilizar la herramienta intercepción para encontrar
el punto de intercepción (A) de los segmentos DB y EC.
valor del ángulo EAD, para ello debe hacer clic primera mente en el punto E,
seguido el punto A y por último el punto D.

110
Estimado estudiante, con el objetivo de comprobar los conocimientos adquiridos en este
tiempo, se le solicita la resolución de los siguientes ejercicios propuestos del libro de texto,
apoyándose del programa GeoGebra

111
Introducción a la Trigonometría
I. Referentes Teóricos
El estudio de la trigonometría es muy importante ya que nos sirve para calcular distancias
sin la necesidad de recorrer y esto se establece mediante el uso de triángulos y
circunferencia. La trigonometría en la vida real es muy utilizada ya que podemos medir
alturas o distancias, realizar medición de ángulos. En cuanto al concepto de trigonometría
según Edmund Robertson .
“Es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los
triángulos”
3.1. El triángulo.
Se llama triángulo o trígono, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos
comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.Un triángulo tiene tres
ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, tres lados y tres vértices
entre otros elementos. (wikipedia, 2019.)
3.2. Clasificación de los triángulos.
Según (Morales, Ubeda & Lopez) los triangulos se clasifican de acuerdo las medidas en :

112
 Isosceles que es un triangulo que tiene dos de sus
lado de igual longitud.
 Equilatero es un triangulo con sus lados
congruentes.
 Escaleno un triangulo para el cual dos de sus lados cualesquiera no son
congruentes. (pag 279-280)
Según las medidas de sus ángulos se clasifican en:
 Rectángulos que es un triángulo que tiene un ángulo resto, es decir mide 90 grados,
el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados se le llama catetos

113
 Equiángulos es un triángulo donde sus tres ángulos son congruentes.
 Obtusángulo este triángulo posee un ángulo obtuso mayor de 90 grados. ( pag 280-
281)
3.3. Teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de
los catetos.(wikipedia, 2019).
II. Aplicaciones del software de Geogebra.
Geogebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas
para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis
y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.
Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles
perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas,
y hojas de datos dinámicamente vinculadas. (wikipedia, 2019).
Geogebra tiene su aplicabilidad en muchos ammbitos matematicos, aunque se destaca mas
eln el uso de construcciones graficas , asi como asu facil manipulacion, es de uso muy
necesariop en la educacion para tener un mejir alcance, consta con aplicaciones como la
graficadora, el calculo de integrales y derivadas .

114
Un dato muy importante es que Geogebra puedes hacer uso al descargarlo desde tu celilar
movil, asi como tambien desde tu computadora y tablets, tambienn puedes trabajarlo con
solo tener una cuenta en linea como la de google, y asi trabajar tus ejercisios, es un sotfware
muy accsesible al publico ya que es gratis all descargarla de celular puedes trabajarla sin la
necesidad de incurrir en gastos tanto de tus datos moviles y muy facil de aplicar, dado que
cuenta con su instructivo manual.
4.1 Vista general de las herramientas de geogebra.
III. Guía de Actividades.
La unidad a abordar es la unidad 5: Introducción a la Trigonometría, esta unidad es
abordada en Décimo grado de secundaria regular del libro de NICA-MATE.
Unidad 5: Introducción a la Trigonometría.
Sección 1: Funciones Trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos.
Contenido 1: El teorema de Pitágoras.
Para empezar con la guía, tomamos como referencia el contenido a abordar en la unidad del
libro de NICA-MATE, anteriormente mencionado y proseguimos, y realizaremos los

115
ejercicios que se encuentran en el contenido de El Teorema de Pitágoras en la página 78
del libro de texto.
Una vez instalada el software de Geogebra ya sea en tu computadora o en su celular,
abrimos la aplicación donde esta tiene un icono parecido al siguiente, cabe señalar que si lo
haces desde tu celular este se no descargara todas las múltiples herramientas de Geogebra si
no solo accederás a una como:

116
La graficadora.
Graficadora 3D.
Geometría y otras más.
Bueno una vez ya instalada pasamos a los procedimientos a seguir.
El ejemplo dice.
Paso 1.
Una vez ya abierta la aplicación o software como prefieras
llamarle, te encontraras con una vista de la siguiente manera:

117
Paso 2:
Nos vamos a los iconos de las herramientas que se encuentran
en una vista previa de la siguiente manera, buscamos la
herramienta polígono, le damos clic con el ratón de la
computadora o con un simple toque si es desde tu móvil.
Rápido se nos muestra una opción que dice.
Paso 3:
Nos vamos a vista grafica y ponemos el cursor o el dedo en el punto de origen y recorremos
cuatro unidades que será la base de nuestro triangulo.
Ahora tres unidades hacia arriba, luego volvemos al punto que iniciamos en este caso es A.
y nos queda de la siguiente manera.

118
Paso 4:
Para corroborar que el triangulo que se construyo tiene las medidas del que se nos indico
hacer, damos clic en uno de los catetos del triangulo,
clic derecho y se nos muestra las propiedades de este.
En configuración siempre de las propiedades, damos clic.

119
A continuación nos muestran las propiedades y en etiqueta visible le damos nombre y valor.
Si te fijas al lado del cateto o segmento del triangulo nos va a salir el lado que corresponde y
su valor, automáticamente geogebra hace la resolución del teorema de Pitágoras, lo hacemos
con cada uno de los catetos.
Ahora te animo a ti, a realizar el próximo ejercicio.
Actividades.
Encuentra la longitud del lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos.

121
Funciones Trigonométricas
Conceptos básicos del tema.
Funciones trigonométricas.
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las
semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Los
ángulos positivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo
sentido.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos1. Su etimología
proviene de trigono triángulo y metría medida.
Función seno.
Función seno: y = sen x
A partir del comportamiento del cateto opuesto del círculo trigonométrico unitario, la gráfica de la
función seno empieza de cero en 0°, va aumentando paulatinamente hasta llegar a uno en 90°.
Después va disminuyendo hasta llegar a cero en 180°. Posteriormente disminuye negativamente hasta
llegar a -1 en 270°. Finalmente, va aumentando hasta regresar a cero en 360°, donde el proceso se
repite indefinidamente.
Como graficar la función seno utilizando Geogebra.
Paso 1. Abrir el programa desde el escritorio de la computadora o desde el menú aplicaciones de
tablets o celulares.
Paso 2. Activar el programa en graficacion 2D.
Paso 3. En la barra de entrada escribir la función a insertar: f(x) = sin 𝑥.
Paso 4. Luego presionar Enter y automáticamente se formara la gráfica de la función insertada en la
barra de entrada.

122
La gráfica de la función: f(x) = senx, utilizando Geogebra quedara como se muestra en la imagen
anterior.
Función coseno.
Según: Aráuz Chévez, Herrera Herrera, Espinoza Espinoza, y González Funes, 2019, de forma
similar, el comportamiento del cateto adyacente del círculo trigonométrico unitario, la gráfica de la
función coseno empieza en uno en 0°, va disminuyendo paulatinamente hasta llegar a cero en 90°.
Después sigue disminuyendo hasta llegar a -1 en 180°. Posteriormente crece hasta llegar a cero en
270°. Finalmente, sigue aumentando hasta regresar a 1 en 360°.
Como graficar la función coseno utilizando Geogebra.
Paso 3. En la barra de entrada escribir la función a insertar: f(x) = cos𝑥.
barra de entrada.

123
La gráfica de la función coseno f(x) = cosx, utilizando el Software Geogebra quedara como se muestra
en la imagen anterior.
Función tangente.
Considerando que la función tangente, se puede deducir a partir del seno y coseno, se puede graficar
aplicando la relación respectiva en cada punto. Esta gráfica se muestra a continuación:
Como graficar la función tangente utilizando Geogebra.
Paso 3. En la barra de entrada escribir la función a insertar: f(x) = tan 𝑥.
barra de entrada.

124
La gráfica de la función tangente f(x) = tanx, quedara formada tal como se observa en la imagen
anterior.
Las propiedades más esenciales son:
 Como π = 180° y tan (θ + 180°) = tan θ, entonces tan (θ + π) = tan θ. De aquí se deduce que
la función y = tan θ tiene período π.
 Para y = tan θ, el rango es el conjunto de los números reales.
Aplicación de Geogebra en el contenido.
El software Geogebra, permite a los estudiantes visualizar el comportamiento de las gráficas de cada
una de las funciones trigonométricas.
La aplicación de esta herramienta es fundamental implementarla en el aula de clase, ya que permitirá
que los estudiantes puedan tener una mayor comprensión de este contenido.
Su uso es fácil, ya que el mismo software va dando las pautas a seguir en la insertación de las
funciones de manera algebraica.
Este software permite a los usuarios visualizar tanto algebraica como gráficamente los ejercicios de
ahí que es muy importante su aplicación en el contenido, además de facilitar el aprendizaje.

125
Guía de Actividades.
Contenidos de la unidad VI: funciones trigonométricas según libro de texto NICAMATE.
El libro de texto de Matemática de Educación Secundaria de décimo grado, en su unidad VI:
Funciones Trigonométricas, está estructurado para desarrollarse en cuatro secciones.
Sección 1. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Sección 2. Relación entre seno, coseno y tangente.
Sección 3. Relación entre funciones trigonométricas.
Sección 4. Gráfica de las funciones trigonométricas.
Sección 1: Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
La sección número 1 contiene los siguientes contenidos.
Contenido 1: Ángulo en sentido amplio.
En trigonometría, un ángulo está determinado por la rotación de un rayo alrededor de su origen.
Se fija un rayo OX en el plano y sobre él se traza el rayo OP. Cuando se rota el rayo OP hacia arriba
alrededor de su origen, O, se forma el
∠XOP.
En este caso, al rayo OX se le llamará lado inicial y al rayo OP, lado terminal.
Se pueden considerar dos direcciones para la rotación del lado terminal OP de dicho ángulo.
Se dirá que rota en dirección positiva, si gira en dirección opuesta a las manecillas del reloj.

126
Si rota en dirección negativa, si gira hacia la misma dirección de las manecillas del reloj.
El rayo que se encontrará en una posición girada en un ángulo θ, se denominará lado terminal de θ.
Ejemplo. ___________________________________
Trace el lado terminal OP de un ángulo con medida: a) 50° b) -50° c) 240° d) 390°
Nótese que en la figura del inciso d) se han mostrado los lados iniciales y terminales de los ángulos
30° y 390°. Para ambos, estos lados coinciden, ya que 390° = 30°+ (360°) (1). Es decir, para obtener
un ángulo de 390° se ha dado una vuelta completa de 360° al lado terminal de 30°. A estos ángulos
se les llama coterminales.
En general, si un ángulo α tiene lado terminal OP, los ángulos descritos por la expresión α+360°n,
siendo n un número entero, tienen como lado terminal también a OP.
E ____________________________________
Trace el lado terminal OP de un ángulo con medida:
a) 30° b) -60° c) 210° d) 420°.
Contenido 2: Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.

127
P ____________________________________________________
Dibuje, en el plano cartesiano, el triángulo rectángulo POH de la derecha, considerando al vértice O
como el origen y establezca una relación entre las coordenadas de P y los valores que toman las
funciones trigonométricas para el ángulo de 60°.
S _________________________________________
Al dibujar el triángulo rectángulo POH en el primer cuadrante del plano cartesiano, considerando el
vértice O como el origen, se tiene la siguiente figura:
C _________________________________________
En general, dado un ángulo cualquiera θ y su lado terminal OP, con OP = r, el punto P con
coordenadas (x, y) o simplemente P(x, y) será el punto de intersección de la circunferencia de radio r
y el lado terminal de θ. En este caso, los valores de seno, coseno y tangente del ángulo θ, se definen
como:
sen θ =
𝒚
𝒓
, cos θ =
𝒙
𝒓
y tan θ =
𝒚
𝒙
.

128
Nótese que estos valores están definidos por las coordenadas del punto P y el radio r. Además, no
importando el valor que tome r, estos valores se determinan en función de θ, es por eso que se
denominan funciones trigonométricas del ángulo θ.
Contenido 3: Determinación de los valores de las funciones trigonométricas
para un ángulo cualquiera.
Contenido 4: Signos de las funciones trigonométricas.
Contenido 5: Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos
especiales 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.
Contenido 6: Valores de θ conocido sen θ.
Contenido 7: Valores de θ conocido cos θ.
Contenido 8: Valores de θ conocido tan θ.
Contenido 9: Comprobemos lo aprendido 1.
Sección 2: Relación entre seno, coseno y tangente.
Contenido 1: Relación entre 𝒔𝒆𝒏𝟐
θ y 𝒄𝒐𝒔𝟐
θ.
Contenido 2: Aplicación de la relación 𝐬𝐞𝐧𝟐
θ + 𝐜𝐨𝐬𝟐
θ = 1 y tan θ =
𝐬𝐢𝐧 𝛉
𝐜𝐨𝐬 𝛉
.
Contenido 3: Aplicación de la relación 𝒕𝒂𝒏𝟐
θ + 1 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽
.
Sección 3: Relación entre las funciones trigonométricas.

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Contenido 1: Relación entre los valores que toman las funciones
trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los ángulos θ+360°(n) y -θ,
respectivamente.
trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los ángulos 180°+θ y 180°-
θ, respectivamente.
trigonométricas para un ángulo cualquiera θ y los ángulos 90°+ θ y 90°-θ,
respectivamente.
Sección 4: Gráficas de las funciones trigonométricas.
Contenido 1: Radianes.
Definición _______________________________________________
Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia que interseca un arco de longitud
igual al radio de la circunferencia.
Se escribe abreviadamente rad.
Considere un ángulo θ con vértice O, lado inicial OQ y lado terminal OP y una circunferencia con
centro en O y radio r = 1. Sea r la longitud del arco PQ que subtiende el ángulo θ. Entonces, la
longitud del arco PQ es la medida en radianes del ángulo central θ.
Como la longitud de una circunferencia de radio r = 1 es igual a 2π, se tiene que 360° = 2π rad.
De donde:
180° = π rad.
Además, de la igualdad anterior se deduce que:
1° =
𝝅
𝟏𝟖𝟎
rad.
1 rad =
𝟏𝟖𝟎°
𝝅
.
Estas dos últimas igualdades serán de gran utilidad al momento de convertir medidas de ángulos.

130
Cuando en la medida del ángulo no se especifique la unidad que se utiliza se considerará que está
expresada en radianes.
Ejemplo 1 ____________________________________
Convierta 45° a radianes.
Como 1° =
𝝅
𝟏𝟖𝟎°
, entonces 45° = (45) (
𝟏𝟖𝟎°
𝝅
) = (45) [
𝜋
(45)(4)
] =
𝜋
4
.
E1 _________________________________
Convierta las siguientes medidas en radianes:
a) 60° b) 120° c) 210° d) 300°
Ejemplo 2 _________________________________
Convierta
𝜋
6
a grados.
Como 1 rad =
𝟏𝟖𝟎°
𝝅
, se sigue que
𝜋
6
= (
𝜋
6
) (
180°
𝜋
) = 30°.
En consecuencia:
𝜋
6
= 30°.
E2 ___________________________________
Convierta las siguientes medidas en grados.
a)
𝝅
𝟐
.
b)
𝟑𝝅
𝟒
.
c)
𝟓𝝅
𝟔
.
d)
𝟒𝝅
𝟑
.
Contenido 2: Gráfica y propiedades de la función y = sen θ.
Para trazar la gráfica de y = sen θ se puede hacer una tabla de valores ocupando los ángulos especiales,
así:
θ -90° 0° 90° 180° 270° 360° 450°
En radianes. −
𝜋
2 0
𝜋
2 𝜋
3𝜋
2 2𝜋
5𝜋
2
y = sen θ -1 0 1 0 -1 0 1

131
A esta curva se le llama curva senoidal. Las propiedades más esenciales son:
 Como 2r = 360° y sen (θ+360°) = sen θ, entonces sen (θ+2r) = sen θ. De aquí se deduce que
la función y = sen θ tiene período 2r.
 Para y = sen θ, el rango es -1 ≤ y ≤ 1.
 La amplitud es 1.
Contenido 3: Gráfica y propiedades de la función y = cos θ.
Para trazar la gráfica de y = cos θ se puede hacer una tabla de valores ocupando los ángulos especiales,
así:
θ -90° 0° 90° 180° 270° 360° 450°
En radianes. −
𝜋
2 0
𝜋
2 𝜋
3𝜋
2 2𝜋
5𝜋
2
y = cos θ 0 1 0 -1 0 1 0
Al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = cos θ será como sigue:

132
A esta curva se le llama curva cosenoidal. Las propiedades más esenciales son:
 Como 2π = 360° y cos (θ+360°) = cos θ, entonces cos (θ+2π) = cos θ. De aquí se deduce que
la función y = cos θ tiene período 2π.
 Para y = cos θ, el rango es -1 ≤ y ≤ 1.
 La amplitud es 1.
Contenido 4: Gráficas de las funciones y = a sen θ y y = a cos θ.
Contenido 5: Gráficas de las funciones y = sen (b∙θ) y y = cos (b∙θ).
Contenido 6: Gráfica y propiedades de la función y = tan θ.
Para trazar la gráfica de y = tan θ se puede hacer una tabla de valores, así:
θ -90° -45° 0° 45° 90° 180° 270°
En radianes. −
𝜋
2
−
𝜋
4 0
𝜋
4
𝜋
2 𝜋
3𝜋
2
y = cos θ NE -1 0 1 NE 0 NE
Para cuando θ es igual a cualquier múltiplo impar de
𝜋
2
la tangente no existe. Además, cuando θ toma
valores muy cercanos por la izquierda o por la derecha de dichos valores, tan θ tiende a tomar valores
extremadamente grandes o pequeños. Se establece entonces que las rectas verticales descritas por
tales valores son asíntotas de la función tangente.
Al ubicar los puntos en el plano y unirlos, la gráfica de y = tan θ será como sigue:

133
Las propiedades más esenciales son:
 Como π = 180° y tan (θ + 180°) = tan θ, entonces tan (θ + π) = tan θ. De aquí se deduce que
la función y = tan θ tiene período π.
 Para y = tan θ, el rango es el conjunto de los números reales.
E __________________________________________________________
1. Convierte las siguientes medidas en radianes:
a) 80°
b) 150°
c) 250°
d) - 330°
2. Convierte las siguientes medidas en grados:
a)
𝜋
5
b)
7𝜋
2

134
c)
5𝜋
9
d) -
8𝜋
3
3. Trace las gráficas de las siguientes funciones y determine sus principales propiedades:
a) y =
𝟏
𝟑
sen θ
b) y = 3 cos θ
c) y = sen (
𝟏
𝟑
𝛉)
d) y = cos (3θ)
e) y = tan θ, para -
5𝜋
2
≤ θ ≤
𝜋
2
.

135
Geometría Analítica
Aplicaciones con Geogebra
Antes de comenzar repasemos algunos conceptos básicos.
Cuando hablamos de funciones trigonométricas siempre trabajaremos con triángulos
rectángulos lo primero que se debe aprende es como llamar a cada uno de los lados el más
largo es el que está enfrente del ángulo de 90 y se llama hipotenusa los otros dos recibirán el
nombre según el ángulo que se están trabajando.
Vamos a ver un ejemplo
Se debe trabajar con el ángulo ya que este caso será nuestro punto de referencia para así poder
nombrar los otros lados. El lado que este al contrario recibirá el nombre de cateto opuesto y
el que esta después será cateto adyacente.

136
En este caso trabajaremos con el ángulo de arriba entonces el lado vertical recibirá el nombre
de cateto adyacente y el horizontal recibirá el nombre de cateto opuesto.
Vamos a ver un ejemplo con un triángulo rectángulo con medidas de 6, 8 y 10 unidades
pasamos a hacer los puntos en sus respectivas coordenadas (0,0), (8,0), (0,6) estas las
debemos de insertar en la barra de entrada del software de GeoGebra.

137
Luego pasamos a crear los segmentos para unir los puntos y formar el triángulo, como
trabajaremos con el ángulo B señalamos los catetos poniéndoles color a los segmentos y sus
nombres en este caso (en configuración de cada punto) llamaremos al segmento (AB)
adyacente, al segmento (AC) opuesto, y al segmento (BC) Hipotenusa para así identificar los
catetos.

138
Ahora identificando los lados y el ángulo con el que vamos a trabajar se pasa a aplicar las
razones trigonométricas en este caso sería seno, coseno, tangente.
Empezaremos con seno, sabemos que seno es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa.
En la barra de entrada escribimos la operación opuesto=hipotenusa.
Veremos que el resultado es un aproximado de 0.6

139
Se ve que este el valor de seno del ángulo pero aún no tenemos lo que se busca para encontrar
el ángulo necesitamos el inverso de seno (arcosen o sen -1) y en la entrada se escribe sen -1
de 0.6 y tendremos el valor del ángulo.
Esto para demostrar el valor paso a paso el proceso de las funciones trigonométricas en
GeoGebra pero GeoGebra es más directo podemos ingresar los datos anteriores con los
nombres de los catetos que estos contiene sus medidas en la función sen -1 y dará valor del
ángulo rápidamente.

140
Pasamos a comprobar en la barra de tareas en la opción medición buscamos el ángulo nos
pedirá marcar 3 puntos. El ángulo que buscamos es el ángulo B por lo que tanto los puntos
de marcación en orden(C, B, A) dejando el punto B en medio.

141
Como podemos constatar el ángulo B tiene un valor similar al que se había calculado antes
ahora que se sabe que se puede hacer directamente con los nombres de los catetos pasamos
a calcular el valor del ángulo con las otras dos funciones restantes.
Función coseno
Escribimos en la barra de entrada cos -1 y colocamos la operación correspondiente.
Cos-1=adyacente/hipotenusa y nos dará el valor del ángulo B.
Función Tangente
Escribimos la función tan -1 y sus datos correspondientes
Tan -1=opuesto/adyacente

142
Así se vio paso a paso directamente GeoGebra nos resuelve este tipo operaciones en este caso
funciones trigonométricas
Características del material didáctico.
Al ingresar a Geogebra se nos presentará el siguiente ícono.
Figura 2. Icono de Geogebra.
Este programa contiene una página principal, la cual está compuesta por:
 Zona Gráfica.
 Barra de Herramientas.
 Campo de Entradas.
 Ventana de Álgebra.

143
Figura 3. Pantalla principal de
Geogebra también permite importar Geogebra. Imágenes y tratarlas como mapas de bits. Esto
significa que podemos usar fotos, patrones visuales o dibujos no sólo para integrarlos en el escenario
(como imagen de fondo, por ejemplo) sino como propios objetos geométricos susceptibles de
transformaciones (traslación, homotecia, reflexión, rotación o distorsión).
Figura 4. Imagen en Geogebra
Bibliografía
autores, v. (2009). Matematicas Simplificadas. mexico: segunda edicion (pearson educacion).
Languardia Haro, F. (2015). funciones elementales con geogebra. cartagena: Jandula,Andajur.
universo formulas. (14 de junio de 2009). Obtenido de Http://www.universoformulas.com/triangulo-
rectangulo.
Esta la imagen que nos representa las funciones trigonométricas como son:
 Seno.
 Coseno.
 Tangente.
 Cotangente.
 Secante.
 Cosecante.
Funciones con Geogebra
1. En esta primera actividad se pretende realizar la representación de una función
trigonométrica
2. Luego pasamos a abrir el programa de Geogebra
3. Nos dirigimos al menú vista y seleccionamos vista grafica
4. Para obtener la gráfica de una función y = f(x) basta con introducir la expresión a
través de la línea de comandos.

144
5. En la barra de entrada escriba la siguiente función
6.
7. El programa le asignará un nombre, en este caso f(x) cuya ley de formación aparecerá
en la Vista algebraica y su representación en la Vista gráfica.
8. Obtendremos al pulsar Enter la gráfica de la función:
9. En ocasiones, será necesario ajustar la escala de representación para cada uno de los
ejes o realizar acciones de zoom para lograr una mejor visión de la función
representada.
10. Para conseguir estas acciones, disponemos de las opciones necesarias a las que se
accede pulsando el botón derecho del ratón en un lugar libre de la Vista gráfica.
11. Aparecerá el menú siguiente:
12. La opción Zoom permite ampliar o reducir la vista gráfica a la escala deseada.
También podemos hacer un zoom para acercar o alejar la imagen con ayuda de la
rueda del ratón o pulsando sobre las herramientas:

145
13. No hay problema en hacer cualquier zoom ya que podemos volver a la vista por
defecto pulsando la opción Vista Estándar disponible en el menú anterior, o también
en la parte superior izquierda de la vista gráfica al activar la pestaña
14. Para cambiar la relación de escala entre los ejes, al pulsar sobre la opción Eje X:
Eje Y aparecerá un nuevo menú desplegable para selecciona la nueva relación
entre los ejes X e Y,
15. Ya representada la grafica
16. Damos clic derecho, nos vamos a configuración seleccionamos color y lo
cambiamos para darle más forma a nuestra gráfica.
17. También podemos cambiar el grosor de la gráfica en el menú de configuración.
18. . Ajustar la escala de los ejes para que aparezca la función.
Actividad
Representar la función f (x) 2x-31/x + 18.
Utilizar el Zoom para visualizar la función.
Para establecer un rango de valores para la representación de los ejes hay que acceder a la
opción Vista gráfica en el menú que aparece al pulsar el botón derecho del ratón en un espacio
libre de esta vista.
El segundo botón que encontramos en la parte superior corresponde a Preferencias-Vista
gráfica

146
Este botón permite modificar los valores, escalas y características de los ejes y de la
cuadrícula.
También se podrá acceder a las opciones anteriores a través de Avanzado en el menú
Opciones.
En las funciones representadas se podrán estudiar sus elementos a través de distintos
comandos y opciones disponibles en Geogebra
Por ejemplo se podrán calcular los puntos de intersección de dos funciones ya que Geogebra
considera a cada una de ellas como un objeto al que se pueden aplicar las distintas
herramientas disponibles.
En este caso, bastará con seleccionar la herramienta Intersección de dos objetos para
obtener las coordenadas de los puntos de corte entre la parábola y la recta representadas, o
seleccionando la herramienta Punto y colocándose sobre los puntos de intersección
1. Ya realizado ese procedimiento
2. Se debe escribir las siguientes funciones (-x2-2)(x+2)
3. Las cuales se deben graficar en la vista grafica
4. Luego ya graficada las funciones pasamos a encontrar la intersección de la dos
funciones.
5. Comprobar el resultado.

147
Funciones definidas en intervalos
Además, para limitar la representación de una función para valores de la variable
independiente dentro de un intervalo [x1, x2] disponemos del comando Función, cuya
sintaxis es: Función [f(x), x1, x2]
Actividad
1. Representa la función f(x)= sen X en el intervalo [-π, π].
2. Escriba en la barra de entrada la función x2- 1
3. Con la gráfica diríjase a la función punto y colóquelo en el intervalo (2,3).
4. Ya colocado el punto de clic en animación y observe lo que pasa.
5. Después en la barra de entrada escriba la función sen(x)
6. Y coloque un segundo punto en cualquier parte de la grafica
7. Y de animación y observe que pasa con el punto en la gráfica.
8. Para representar la función seno se usa la expresión “sen(x)”
9. Utilizando la herramienta Punto se puede crear un punto sobre una función
previamente representada. Las coordinadas del punto aparecerán en la vista

148
algebraica. Además, el punto se podrá desplazar sobre la función de manera manual
o automática, activando en este caso la Animación automática, para recorrerla.
FUNCIONES ELEMENTALES
Comencemos estudiando las rectas, variando la pendiente y la ordenada en el origen.
Para ello introducimos dos deslizadores a y b seleccionándolos y pinchando el lugar de la
ventana gráfica donde deseamos colocarlos, y tomamos los valores que nos dan por defecto,
entre -5 y 5 y con un incremento de 0.1

149
Escribimos en la barra de entrada la función ax +b, y por defecto aparecerá en pantalla la
recta f(x)=x+1. Al variar los deslizadores a y b se podrán ver las variaciones de las pendientes
(cuando se mueve a) y de las ordenadas en el origen (cuando se mueve b)
Actividad
Define tres deslizadores, a, b y c y define la función f(x)=ax2
+bx+c. Al mover los
deslizadores veremos las variaciones de curvatura, posiciones del vértice y ordenada en el
origen de las funciones parabólicas.
Se deben escribir los tres deslizadores en la función deslizador
Ya colocada la función damos en animación para observar que sucede con la gráfica realizada
en la página.
¿Qué movimiento hace la parábola cuando variamos el coeficiente b?
Define la recta x= -b/2a, que intersecada con la parábola se obtiene el vértice, activa el rastro
de ese vértice que llamaremos V y observa lo que ocurre cuando varía el coeficiente b.
De igual manera se pueden definir polinomios de grado superior a dos y estudiar sus
variaciones cuando cambian los coeficientes del polinomio
Los deslizadores son muy útiles para variar no solo coeficientes de las funciones polinómicas,
sino cualquier otro elemento de las construcciones con GeoGebra.
Actividad 3
Representa las siguientes funciones
f f2(x) = log3(2-3x) f (x)=|3 sen x|
Transformaciones gráficas de funciones.
Para visualizar gráficamente las transformaciones de las gráficas vamos a definir un
deslizador a entre los valores -3 y 3 con un incremento de 0.05.
Escribimos la función f(x)= x4
-x2
-1 y la mantenemos en pantalla. Sobre ella definimos una a
una las siguientes funciones:

150
f1(x)=f(x)+a; f2(x)=f(x+a); f3(x)=af(x); y f4(x)=f(ax)
Vamos ocultando las diferentes funciones y dejando aquella que queremos estudiar.
Cada vez que nosotros demos clic en ocultar no debemos de dejar una función para ver lo
que sucede con cada una de las gráficas.
Siempre se debe comprobar una por una.
Dar clic en el deslizador por cada función que vallamos ocultando y probando.
Representación gráfica de coseno
1. Nos colocamos primeramente en la barra de entrada
2. Luego con el teclado escriba la siguiente función cos(X)
3. Ya echo esto coloque dos puntos con la función punto en la grafica
4. De clic en animación y observe
5. Después presione donde dice deslizador y cree uno de intervalo de 0.2
6. Y observe que sucede.
7. Escriba después otra función de 2x +2 y compruebe que sucede.
Representación gráfica de tangente
1. En la barra de entrada debemos colocar la función tan(X)

151
2. Nos aparecerá una gráfica de manera vertical.
3. Luego sobre ella escribimos tres puntos en cada recta de la gráfica.
4. Damos animación al punto que elegimos
5. Podemos cambiar la velocidad de este, como también el color con el que queremos
que se mire nuestra gráfica.
6. Luego de esto escribimos cualquier función y observemos que sucede con la gráfica
al agregarle un deslizador.
7. –x+2 como función y de intervalo 0.2.
8. compruebe que pasa.

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Guía de actividades
Reflexione con sus compañeros y compañeras el proceso de creación y solución de la
siguiente situación.
En la figura se muestra una escalera que se encuentra apoyada en una pared, si la escalera
mide 10 pies forma un ángulo de 60°respecto al suelo calcule
a) altura de la pared
b) distancia entre el pie de la escalera y la pared.
Relaciones entre Seno y Coseno
 Piensa de forma individual o en equipo, el proceso de solución de situaciones que le
presenta su docente, referidos a la relación entre 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (90° − 𝐴𝐴);
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (90° − 𝐴𝐴), por ejemplo:
1. Dado un ángulo agudo A, responda las siguientes interrogantes:
a) ¿Qué relación guardan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (90° − 𝐴𝐴)?
b) ¿Qué relación guardan 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (90° − 𝐴𝐴)?
2. Exprese 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 36° como el coseno de un ángulo agudo mayor de 45º.
3. Exprese cos 36° como el seno de un ángulo agudo mayor de 45º.
 Realiza de forma individual o en equipo ejercicios propuestos por el docente,
referente a las relaciones trigonométricas , por
ejemplo: Dado un ángulo agudo A, responda las siguientes interrogantes:
a) ¿Qué relación guardan ?
b) ¿A qué cantidad es igual la suma 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
𝐴𝐴 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2
𝐴𝐴?

153
ACTIVIDADES SUGERIDAS
 Analiza de forma individual o en equipo el proceso de solución de situaciones presentados
por su docente, relacionadas con los valores de las funciones trigonométricas utilizando
, por ejemplo:
Si , calcule cos 𝐴𝐴 𝑦𝑦 tan 𝐴𝐴.
 Utiliza el software matemático GeoGebra para comprobar y afianzar los conocimientos
adquiridos en los contenidos sobre Introducción a la trigonometría desarrollados en esta unidad,
con ayuda del docente de matemática y el docente TIC.

154
Geometría Analítica
Aplicación del programa en la temática.
1. Primeramente, se especifica los pasos para trazar una circunferencia
2. Abrimos el programa de GeoGebra en la pc o teléfono
3. En barra de entrada escribimos (0,0)
4. Elegimos el radio dado (radio 3)
5. En barra de entrada escribimos la coordenada (0,3) ó (3,0).

155
6. Seleccionar en herramientas el icono de circunferencia centro y un punto.
7. Elegir el punto centro y el otro punto seleccionado.
Seguidamente desarrollamos un ejercicio utilizando geogebra
A. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5
1. En barra de entrada escribir (0,0)

156
2. En barra de entrada escribir la coordenada (0,5) para que el radio sea 5
3. En herramientas seleccionar el icono de circunferencia centro y un punto
4. Seleccionar el centro y el otro punto.

157
5. En vista algebraica automáticamente nos indica la ecuación de la circunferencia
B. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 y grafíquela
1. En barra de entrada introducir la ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
2. En barra de entrada introducimos la coordenada (0,0)

158
3. En herramientas seleccionamos el icono de intersección
4. Seleccionamos el punto centro y cualesquiera de los ejes
5. En herramientas seleccionamos el icono de segmento
6. Seleccionamos el punto centro y uno de los extremos de la circunferencia

159
7. En vista algebraica automáticamente nos da la medida del radio, en ese cao es 2
Guía de actividades
1. Determine en cada caso la ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y radio
1
4
7
4. Encuentre el radio de la siguiente circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 25
+ 𝑦2
= 36
+ 𝑦2
= 5

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