1. Домашнее задание номер 10
Математическая индукция
1ℎ
) .
2)
3ℎ
)
4) Доказать, что , где >-1, .
5ℎ
) 1 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯ . +𝑥 𝑛
=
𝑥 𝑛+1−1
𝑥−1
.
6ℎ
) где , .
Принцип Дирихле
1) Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится
на 11.
2) Имеется 5 чемоданов и 5 ключей к ним, но неизвестно какой ключ от какого. Сколько
проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану
свой ключ?
3ℎ
) В шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых и 5 пар темных ботинок одинакового
размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа,
чтобы среди них была хоть одна пара (левый и правый) одного цвета?
4) Каждый из 10 участников форума послал по его окончании поздравительные открытки
пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
5ℎ
) В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два
ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
6ℎ
) В коробке лежат 7 красных и 5 синих карандашей. Сколько надо взять карандашей,
чтобы среди них было не меньше 2 красных и не меньше 3 синих?
7) Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек.
Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.
8ℎ
) В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них
существуют 6 точек, которые лежат в круге радиуса 1 м.
