Recommended
More Related Content
Similar to diamorfotiki_axiologisi_e_st_dim.pdf
Similar to diamorfotiki_axiologisi_e_st_dim.pdf (11)
Recently uploaded
Recently uploaded (14)
diamorfotiki_axiologisi_e_st_dim.pdf
- 1. ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ Ε' ΚΑΙ Στ' ΤΑΞΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΔΗΜΟΣΘΕΝΟΥΣ ΔΗΜΗΤΡΑ ΠΙΤΤΑ-ΠΑΝΤΑΖΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ
- 2. © Copyright Κωνσταντίνος Χρίστου, Ελένη Δημοσθένους, Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Διαμορφωτική Αξιολόγηση στα Μαθηματικά για Ε' και Στ' τάξη ISBN 978-9925-553-32-7 2020
- 3. ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ Εισαγωγή ....................................................................................... Μέρος Α’: Θεωρητικό Πλαίσιο ........................................................ Κεφάλαιο 1: Διαμορφωτική Αξιολόγηση ....................................................... Ρόλος της Διαμορφωτικής Αξιολόγησης .......................................................... Χαρακτηριστικά Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ................................................. Αρχές Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ................................................................ Φάσεις Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ............................................................... Ποιότητα Έργων Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ................................................ Κεφάλαιο2:ΣχεδιασμόςΔραστηριοτήτωνΔιαμορφωτικήςΑξιολόγησης.... Πλαίσιο Διαμορφωτικής Αξιολόγησης .............................................................. Διαδικαστική Επάρκεια .................................................................................... Εννοιολογική Κατανόηση ................................................................................ Μαθηματικός Συλλογισμός .............................................................................. Κεφάλαιο 3: Διαμορφωτική Αξιολόγηση με τη Χρήση Ψηφιακής Τεχνολογίας ................................................................................ Πλεονεκτήματα της Ψηφιακής Διαμορφωτικής Αξιολόγησης .......................... Προκλήσεις της Ψηφιακής Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ................................. Πλατφόρμες Ψηφιακής Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ...................................... Μέρος Β’: Έργα Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ............................... Τρόποι Αξιοποίησης Έργων Διαμορφωτικής Αξιολόγησης ...................... Ενέργειες για Βελτίωση των Αποτελεσμάτων των Μαθητών .................... 1 3 4 4 6 8 15 16 22 22 27 30 34 38 38 42 44 46 47 48
- 4. Έργα Διαμορφωτικής Αξιολόγησης για Ε’ τάξη .......................................... Ιδιότητες πράξεων ........................................................................................... Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ακεραίων ....................................................... Πολλαπλάσια, διαιρέτες και κριτήρια διαιρετότητας ......................................... Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί, Ανάλυση αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων .................................................................................................... ΜΚΔ και ΕΚΠ ................................................................................................... Ισοδυναμία και απλοποίηση κλασμάτων ......................................................... Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων ............................................................... Παραλληλόγραμμα .......................................................................................... Εμβαδά (τριγώνου και παραλληλογράμμου) ................................................... Πρόσθεση και αφαίρεση μικτών αριθμών ........................................................ Αναγνώριση, σύγκριση και σειροθέτηση δεκαδικών ........................................ Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών ................................................................ Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ........................................................................ Διαίρεση κλασμάτων ....................................................................................... Πολλαπλασιασμός δεκαδικών ......................................................................... Λόγος και Αναλογία ......................................................................................... Μετατροπή ποσοστού, κλάσματος, δεκαδικού ................................................ Έννοιαμεταβλητήςκαιμετάφρασηαλγεβρικώνπαραστάσεων.......................... Αρνητικοί αριθμοί ............................................................................................ Μετασχηματισμοί ............................................................................................ Στερεομετρία ................................................................................................... Έργα Διαμορφωτικής Αξιολόγησης για Στ’ τάξη .......................................... Ιδιότητες πράξεων και προτεραιότητα πράξεων .............................................. Ελάχιστη τιμή, μέγιστη τιμή, εύρος τιμών, μέσος όρος ..................................... Ευκλείδεια διαίρεση ......................................................................................... Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί, Ανάλυση αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων .................................................................................................... ΜΚΔ και ΕΚΠ ................................................................................................... Συμπληρωματικές και Παραπληρωματικές γωνίες .......................................... 52 53 57 60 64 67 71 76 79 83 88 92 97 100 104 109 112 116 120 125 128 134 139 141 145 149 152 156 160
- 5. Άθροισμα γωνιών τριγώνου ............................................................................ Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου ..................................................................... Ισοδυναμία και απλοποίηση κλασμάτων ......................................................... Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων και μικτών αριθμών ................................ Πολύγωνα και άθροισμα γωνιών πολυγώνου .................................................. Παραλληλόγραμμα .......................................................................................... Λόγος .............................................................................................................. Μετατροπή ποσοστού, κλάσματος και δεκαδικού ............................................ Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών .................................................. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων ........................................................................ Διαίρεση κλασμάτων ....................................................................................... Πολλαπλασιασμός δεκαδικών ......................................................................... Διαίρεση δεκαδικών ......................................................................................... Έννοια μεταβλητής και μετάφραση αλγεβρικών παραστάσεων ...................... Επίλυση εξισώσεων ........................................................................................ Μοτίβα ............................................................................................................. Αναλογία ......................................................................................................... Ποσοστά ......................................................................................................... Εμβαδά και κύκλος .......................................................................................... Βιβλιογραφία ................................................................................. 163 166 171 175 179 183 189 193 197 201 207 212 216 220 223 227 231 236 239 244
- 7. θεωρητικο πλαισιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η αξιολόγηση αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών. Η ανάπτυξη του περιεχομένου των μαθηματικών και των διδακτικών πρακτικών, όπως καθορίζονται στο αναλυτικό πρόγραμμα, αντικατοπτρίζονται στον τρόποαξιολόγησηςτωνμαθητών.Ησχέσηαναλυτικούπρογράμματοςκαιαξιολόγησης είναι αμφίδρομη. Τόσο το αναλυτικό πρόγραμμα όσο και η αξιολόγηση του μαθητή σχετίζονται με δυναμικό τρόπο. Μέσω της αξιολόγησης, διασαφηνίζονται οι δείκτες επάρκειας και οι δείκτες επιτυχίας με τρόπο που να είναι κατανοητοί και από τους ίδιους τους μαθητές. Μέσω της διαμορφωτικής αξιολόγησης και του προτεινόμενου πλαισίου αξιολόγησης, οι εκπαιδευτικοί και οι μαθητές γνωρίζουν το βάθος ή το επίπεδο κάλυψης μιας συγκεκριμένης έννοιας των μαθηματικών σε κάθε τάξη και περιγράφονται πέραν των πυρηνικών γνώσεων και οι ικανότητες που αναμένεται να αναπτύξουν οι μαθητές. Η ποιότητα και η καταλληλόλητα των δεικτών επιτυχίας του αναλυτικού προγράμματος διαφαίνεται μέσα από την αξιολόγηση, η οποία με τη σειρά της οδηγεί, όπου χρειάζεται, σε αλλαγές της δομής και του περιεχομένου του αναλυτικού προγράμματος. Ταυτόχρονα, η αξιολόγηση δεν καθορίζει μόνο τον βαθμό επίτευξης των στόχων, αλλά διαπιστώνει και την καταλληλόλητα και την ποιότητα της διδασκαλί- ας και των διδακτικών πρακτικών. Επομένως, η ανάπτυξη της ποιότητας διδασκαλίας είναι συνυφασμένη με την αποτελεσματικότητα, όπως συνδέεται με τις επιδόσεις των μαθητών και των ικανοτήτων που αναπτύσσουν στο μάθημα των μαθηματικών. Στο βιβλίο αυτό γίνεται αναφορά στη διαμορφωτική αξιολόγηση, η οποία αποτελεί καθημερινό εργαλείο της διδακτικής πράξης. Αν και υπάρχουν στη βιβλιογραφία πολλά είδη διαμορφωτικής αξιολόγησης, ο στόχος σε αυτό το βιβλίο
- 8. 2 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη είναι η αναφορά στη συνεχή και γραπτή αξιολόγηση, η οποία αποτελεί αναπόσπαστο καθημερινό φαινόμενο της διδασκαλίας και της μάθησης των μαθηματικών. Μέσω της διαμορφωτικής αξιολόγησης, δίνεται έμφαση στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που αναμένεται να αναπτύξουν οι μαθητές, για να μην έχουν δυσκολίες στα θέματα που θα ακολουθήσουν στις επόμενες τάξεις. Το βιβλίο οργανώνεται σε δύο μέρη. Στο Α’ Μέρος συζητείται το θεωρητικό πλαίσιο της διαμορφωτικής αξιολόγησης και συγκεκριμένα περιγράφεται ένα πλαίσιο διαμορφωτικής αξιολόγησης που είναι ενιαίο για όλες τις τάξεις του σχολείου από το δημοτικό μέχρι το λύκειο. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στο ρόλο, στα χαρακτηριστικά, στις αρχές και στις φάσεις της διαμορφωτικής αξιολόγησης. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται το πλαίσιο της διαμορφωτικής αξιολόγησης με αναφορά στα κριτήρια αξιολόγησης και συγκεκριμένα στις έννοιες της διαδικαστικής επάρκειας, της εννοιολογικής κατανόησης και του μαθηματικού συλλογισμού. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα πλεονεκτήματα και οι προκλήσεις της διαμορφωτικής αξιολόγησης, όταν γίνεται με τη χρήση ψηφιακής τεχνολογίας. Στο Β’ Mέρος, παρουσιάζονται συγκεκριμένα έργα διαμορφωτικής αξιολόγησης για τις τάξεις Ε΄ και Στ΄ του δημοτικού σχολείου με βάση το προτεινόμενο πλαίσιο διαμορφωτικής αξιολόγησης. Τα έργα που παρατίθενται συμβαδίζουν με τους Δείκτες Επιτυχίας και Επάρκειας του Αναλυτικού Προγράμματος και τα θέματα των μαθηματικών, όπως αυτά καθορίζονται στα διδακτικά εγχειρίδια. Σε κάθε θέμα των μαθηματικών περιγράφονται οι βασικές γνώσεις και το επίπεδο επίτευξης των στόχων σε κάθε τάξη, με βάση τη διαδικαστική επάρκεια, την εννοιολογική κατανόηση και τον μαθηματικό συλλογισμό. Στις περιγραφές αυτές παρουσιάζονται οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας, και ακολούθως δίνονται συγκεκριμένα, ενδεικτικά παραδείγματα αξιολόγησης της διαδικαστικής επάρκειας, της εννοιολογικής κατανόησης και του μαθηματικού συλλογισμού. Στην αρχή του Β' Μέρους γίνεται, επίσης, αναφορά στους τρόπους με τους οποίους ο εκπαιδευτικός είναι δυνατόν να αξιοποιήσει στη διδασκαλία του και τις ενέργειες που μπορεί να σχεδιάσει για βελτίωση των αποτελεσμάτων των μαθητών με βάση τις πληροφορίες που λαμβάνει από τη διαμορφωτική αξιολόγηση.
- 9. θεωρητικο πλαισιο 3 ΜΕΡΟΣ Α’ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
- 10. 4 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η διαμορφωτική αξιολόγηση είναι η διαδικασία που χρησιμοποιείται από τον εκπαιδευτικό και τους μαθητές με στόχο τη βελτίωση των μαθησιακών αποτελεσμάτων, μέσω της ανατροφοδότησης του μαθητή και του εκπαιδευτικού. Αν και στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετοί ορισμοί για τη διαμορφωτική αξιολόγηση, η ανατροφοδότηση των εκπαιδευτικών και των μαθητών αποτελεί το αδιαμφισβήτητο και αμετάβλητο στοιχείο και χαρακτηριστικό της διαμορφωτικής αξιολόγησης. Μέσω της ανατροφοδότησης, οι μαθητές γνωρίζουν τι έχουν επιτύχει και τι όχι, και πώς και πού πρέπει να επικεντρώσουν τις προσπάθειές τους. Οι εκπαιδευτικοί ελέγχουν την ποιότητα και την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας τους και προγραμματίζουν τα επόμενα βήματά τους. Ταυτόχρονα, τα στοιχεία που συλλέγονται από τη συστηματική διαμορφωτική αξιολόγηση αποτελούν την τεκμηρίωση για τις αλλαγές, όπου είναι απαραίτητο, κατά την αναθεώρηση των αναλυτικών προγραμμάτων των μαθηματικών. Στο Διάγραμμα 1.1 φαίνονται σε ελλείψεις ενδεικτικές ενέργειες που παρατηρούνται σχεδόν σε κάθε μάθημα των μαθηματικών. Στα ορθογώνια παρουσιάζονται τα αναμενόμενα αποτελέσματα των ενεργειών του εκπαιδευτικού και του μαθητή. Για παράδειγμα, ως αποτέλεσμα των ενεργειών του εκπαιδευτικού, οι μαθητές αποκτούν γνώσεις και αναπτύσσουν����������������������������������� ���������������������������������� διαδικασίες και δεξιότητες�������� . Η ποι- ότητα και η έκταση των αποτελεσμάτων φαίνεται μόνο μετά την αξιολόγηση. Από τα αποτελέσματα της συνεχούς, διαμορφωτικής αξιολόγησης, ο εκπαιδευτικός έχει άμεση ενημέρωση και αποφασίζει, ανάλογα, αν χρειάζεται αλλαγή των πρακτικών του, ώστε να επιτευχθούν οι στόχοι του αναλυτικού προγράμματος.
- 11. θεωρητικο πλαισιο 5 Διάγραμμα 1.1: Διδασκαλία και Αξιολόγηση (Koedinger, Corbett, & Perfetti, 2012)
- 12. 6 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η διαμορφωτική αξιολόγηση εμπεριέχει τρία βασικά χαρακτηριστικά: Το πρώτο αναφέρεται στη διαδικασία ανάπτυξης του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών, το δεύτερο στην ερμηνεία του αναλυτικού προγράμματος και το τρίτο στα επίπεδα επίτευξης των στόχων του αναλυτικού προγράμματος. Διαδικασία Ανάπτυξης του Αναλυτικού Προγράμματος Η διαμορφωτική αξιολόγηση αποτελεί το εργαλείο για αλλαγές στο αναλυτικό πρόγραμμα. Μέσω της διαμορφωτικής αξιολόγησης, εντοπίζονται οι αδυναμίες στη δομή και την οργάνωση του αναλυτικού προγράμματος και με την τεκμηρίωση που παρέχεται, διορθώνονται τα προβλήματα που εντοπίζονται. Το ίδιο συμβαίνει και με το υλικό που συνοδεύει το αναλυτικό πρόγραμμα, όπως είναι τα διδακτικά εγχειρίδια ή και το ψηφιακό υλικό (μαθηματικά εφαρμογίδια). Το υλικό του αναλυτικού προγράμματος αποτελείται κατά το πλείστο μέρος του από μαθηματικές δραστηριότητες. Οι δραστηριότητες αυτές αναδιατυπώνονται ή εμπλουτίζονται συνεχώς, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της διαμορφωτικής αξιολόγησης, για να συνάδουν με τους στόχους του αναλυτικού προγράμματος. Ταυτόχρονα, η μη επίτευξη των στόχων του αναλυτικού προγράμματος, όπως τεκμηριώνεται με τη διαμορφωτική αξιολόγηση, οδηγεί τις πλείστες φορές στην επαναδιδασκαλία των εννοιών ή στην αλλαγή της μεθοδολογίας διδασκαλίας της έννοιας. Σε πολλές, όμως, περιπτώσεις, διαπιστώνονται παραλείψεις του αναλυτικού προγράμματος, οι οποίες συμπληρώνονται ή κενά στο επίπεδο κάλυψης του αναλυτικού προγράμματος τα οποία λαμβάνονται υπόψη σε μελλοντικές αναθεωρήσεις. Ερμηνεία του αναλυτικού προγράμματος Η διαμορφωτική αξιολόγηση αποτελεί πολλές φορές το εργαλείο μέσω του οποίου o εκπαιδευτικός ερμηνεύει τόσο τους δείκτες επιτυχίας όσο και τους δείκτες επάρκειας του αναλυτικού προγράμματος. Η διασαφήνιση των δεικτών επιτυχίας και των δεικτών επάρκειας αποτελεί σημαντικό στοιχείο της διαμορφωτικής αξιολόγησης,
- 13. θεωρητικο πλαισιο 7 γιατί είναι το υπόβαθρο στο οποίο στηρίζονται μελλοντικές πιθανές αλλαγές στη μεθοδολογία της διδασκαλίας. Για αυτό το λόγο, η διαμορφωτική αξιολόγηση πρέπει να είναι συστηματική και να επιλέγονται μαθηματικά έργα αξιολόγησης, που να απορρέουν από τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας του αναλυτικού προγράμματος. Τα έργα της διαμορφωτικής αξιολόγησης αποτελούν στη συνέχεια τον οδοδείκτη για τη συνέχιση της διδασκαλίας με στόχο την επίτευξη των μαθησιακών αποτελεσμάτων που αναμένονται από τους μαθητές και τους εκπαιδευτικούς. Επίπεδα επίτευξης των στόχων Ένα βασικό χαρακτηριστικό της διαμορφωτικής αξιολόγησης είναι ο καθορισμός κριτηρίων επίτευξης των στόχων. Οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας αναφέρονται πολλές φορές σε πιο γενικό και μακροπρόθεσμο επίπεδο σε σχέση με το βάθος στο οποίο αναμένεται από τους μαθητές να επιτύχουν τους στόχους κάθε τάξης. Συγκεκριμένα, πολλές έννοιες στο δημοτικό σχολείο επαναλαμβάνονται σε διάφορες τάξεις.Αυτό που διαφέρει είναι το βάθος στο οποίο η έννοια θα αναπτυχθεί, με βάση το οποίο ορίζονται τα κριτήρια με τα οποία θα αποφασιστεί τόσο η ανάπτυξη της έννοιας όσο και το επίπεδο κατανόησης των μαθητών σε κάθε τάξη. Στα παραδείγματα του βιβλίου γίνεται αναφορά στη διαμορφωτική αξιολόγηση των μαθητών της Ε’ και της Στ’ τάξης. Πολλές έννοιες της Ε’ τάξης επαναλαμβάνονται και στο αναλυτικό πρόγραμμα της Στ’ τάξης. Η περιγραφή των κριτηρίων δίνει την ευκαιρία στον εκπαιδευτικό να διασαφηνίσει το βάθος και τα επίπεδα επίτευξης των δεικτών επιτυχίας και επάρκειας και τα επίπεδα πολυπλοκότητας των έργων σε καθεμιά από τις τάξεις αυτές. Παράλληλα, με βάση τα κριτήρια που τίθενται, καθορίζεται και το είδος των έργων που αναμένεται από τους μαθητές να ασχοληθούν σε κάθε τάξη και να δώσουν ιδιαίτερη έμφαση.
- 14. 8 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Πιο κάτω γίνεται αναφορά σε τρεις βασικές αρχές της διαμορφωτικής αξιολόγησης, την αρχή της μη βαθμολόγησης, την αρχή της ανατροφοδότησης και την αρχή του αναστοχασμού. Αρχή Μη Βαθμολόγησης Πρώτη βασική αρχή της διαμορφωτικής αξιολόγησης είναι η διαπίστωση της επίτευξης ή όχι των δεικτών επιτυχίας και επάρκειας και ο βαθμός περαιτέρω παρέμβασης του εκπαιδευτικού. Σε καμιά φάση της διαδικασίας της διαμορφωτικής αξιολόγησης, η βαθμολόγηση των μαθητών δεν αποτελεί στόχο της διδασκαλίας. Στόχοςείναιημελέτητωναποτελεσμάτωντηςαξιολόγησης,γιαναληφθεί,ανχρειάζεται, απόφαση αλλαγής τόσο της μεθοδολογίας διδασκαλίας όσο και των δραστηριοτήτων που χρησιμοποιούνται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας. Συχνά λέγεται, για να τονιστεί ο μη βαθμολογικός χαρακτήρας της διαμορφωτικής αξιολόγησης, ότι ένας επισκέπτης σε μια τάξη των μαθηματικών δεν μπορεί να διαχωρίσει τη διαμορφωτική αξιολόγηση από τη διδασκαλία. Τονίζεται, με την αρχή της μη βαθμολόγησης, ότι η διαμορφωτική αξιολόγηση είναι διδασκαλία και είναι σημαντικό στοιχείο της διαδικασίας της μάθησης. Επομένως, η όποια βαθμολόγηση του μαθητή δεν έχει νόημα στη διαμορφωτική αξιολόγηση, γιατί από τη στιγμή που δίνεται ένας βαθμός στον μαθητή σταματά η μάθηση (Wiliam, 2011). Αρχή Ανατροφοδότησης Δεύτερη βασική αρχή αποτελεί η ανατροφοδότηση των μαθητών και του εκπαιδευτικού. Η ανατροφοδότηση πρέπει να είναι ουσιαστική και να δίνει κατεύθυνση στους μαθητές σε σχέση με τις δυσκολίες ή με το ρυθμό μάθησής τους, ώστε να βελτιώσουν την επίδοσή τους. Για να είναι ουσιαστική η ανατροφοδότηση, πρέπει να καθοδηγεί τους μαθητές στο τι πρέπει να κάνουν, για να βελτιωθούν. Ταυτόχρονα, η ανατροφοδότηση του εκπαιδευτικού αποτελεί σημαντικό στοιχείο της εκπαιδευτικής διαδικασίας, για να έχει την ευκαιρία ο εκπαιδευτικός να αναπροσαρμόζει τις συνθήκες διδασκαλίας του και να στηρίζει με τον καλύτερο δυνατό βαθμό τους μαθητές του.
- 15. θεωρητικο πλαισιο 9 Σε γενικές γραμμές, η ανατροφοδότηση πρέπει να είναι δίκαιη, ακριβής, ειδική και έγκαιρη������������������������������������������������������������������ . Δίκαιη θεωρείται η ανατροφοδότηση η οποία στηρίζεται αποκλειστι- κά στην ποιότητα της εργασίας του μαθητή και όχι σε άλλα χαρακτηριστικά του. Ακριβής είναι η ανατροφοδότηση, όταν πληροφορεί ακριβώς τους μαθητές για το τι ακριβώς γνωρίζουν, πού χρειάζονται βελτίωση και τον τρόπο με τον οποίο θα βελτιωθούν. Σύμφωνα με τους Chappuis και Stiggins (2002), η ανατροφοδότηση είναι αποτελεσματική και ακριβής, όταν διευκρινίζεται γιατί μια απάντηση είναι λανθασμένη ή ορθή με πολύ συγκεκριμένο τρόπο, ώστε να αντιλαμβάνονται οι μαθητές τα λάθη τους ανάλογα με την ηλικία τους και το επίπεδό τους. Ειδική είναι η ανατροφοδότηση που είναι μεν συγκεκριμένη και δίνει όλες τις πληροφορίες για την ορθότητα ή όχι της απάντησης του μαθητή, αλλά δεν ισοδυναμεί με την επίλυση του προβλήματος ή την απάντηση στις ερωτήσεις που περιλαμβάνει η αξιολόγηση. Έγκαιρη είναι η ανατροφοδότηση που δίνεται άμεσα, μετά την ολοκλήρωση της διδασκαλίας συγκεκριμένων εννοιών. Μόνο με την έγκαιρη ανατροφοδότηση η αξιολόγηση γίνεται μέρος της διαδικασίας μάθησης και διδασκαλίας. Οι πιο πάνω αρχές είναι δυνατόν να εφαρμοστούν και να είναι αποτελεσματικές, όταν η διαμορφωτική αξιολόγηση προγραμματίζεται και οργανώνεται με ικανοποιητικό τρόπο. Ο προγραμματισμός επιτυγχάνεται με την επιλογή έργων που πραγματικά έχουν τη δυνατότητα να αποκαλύψουν τον τρόπο σκέψης των μαθητών����������� , όπως ορί- ζεται στους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών������������������������������������������������������������������ . Κατά τη διάρκεια του προγραμματισμού της διαμορφωτικής αξιολόγη- σης είναι σημαντικό να περιληφθούν έργα που: (α) αναφέρονται σε σημαντικά μαθηματικά και βασικές έννοιες των μαθηματικών (β) εμπλουτίζουν τον τρόπο διδασκαλίας της έννοιας (γ) συμβάλλουν στην ανάπτυξη του τρόπου εργασίας των μαθητών (δ) ενημερώνουν τον εκπαιδευτικό για το πώς πρέπει να διαμορφώσει τη διδασκαλία του (ε) δίνουν τη δυνατότητα στους μαθητές να αντιληφθούν τι πρέπει να κάνουν, για να πετύχουν τους στόχους τους.
- 16. 10 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη Αρχή Αναστοχασμού Τέλος, βασική αρχή της διαμορφωτικής αξιολόγησης είναι ο συνδυασμός των αποτελεσμάτων της αξιολόγησης με τις ενέργειες στις οποίες προβαίνουν οι μαθητές, όταν πάρουν την ανατροφοδότηση από τους εκπαιδευτικούς. Η ανατροφοδότηση, λοιπόν, δεν περιλαμβάνει μόνο τις υποδείξεις για την ορθή απάντηση, αλλά πολύ περισσότερο τις υποδείξεις με συγκεκριμένο τρόπο, των ενεργειών στις οποίες πρέπει να προβεί ο μαθητής ή ο εκπαιδευτικός, ώστε να υπερπηδηθούν οι δυσκολίες. Η ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να γνωρίζουν πού ακριβώς έχουν κάνει το λάθος, αντιπαραβάλλοντάς το με τους στόχους του μαθήματος και τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας που σχετίζονται με την έννοια, είναι μια διαδικασία αναστοχασμού που θα συμβάλει στη βελτίωση των επιδόσεων των μαθητών και στη συνειδητοποίηση των γνώσεων και των δεξιοτήτων που έχουν αποκομίσει από τη διδασκαλία συγκεκριμένων εννοιών. Ο Πίνακας 1.1 παρουσιάζει ενδεικτικά ένα φύλλο αναστοχασμού, για να βοηθήσουμε τους μαθητές να αρχίσουν να αντιλαμβάνονται τι έχουν επιτύχει και τι όχι, σε σχέση με τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας. Στην πρώτη στήλη αναγράφονται οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας με τρόπο που αντιλαμβάνονται οι μαθητές. Στη δεύτερη και τρίτη στήλη αναγράφεται ο αριθμός των έργων που αντιστοιχούν σε κάθε δείκτη και ο αριθμός ή το ποσοστό επιτυχίας σε αυτό. Στην τελευταία στήλη αναγράφουν οι μαθητές τις εισηγήσεις τους σχετικά με το τι πιστεύουν οι ίδιοι ότι πρέπει να επιτύχουν, για να καλύψουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα. Το τελευταίο φυσικά παρουσιάζει δυσκολίες για τους μαθητές του δημοτικού σχολείου, αλλά προτείνεται ως μια αρχική προσπάθεια να αποκτήσουν την ικανότητα να αντιλαμβάνονται τις δυσκολίες τους, για να καταβάλουν προσπάθεια ώστε να τις υπερπηδήσουν. Ο στόχος της συμπλήρωσης του φύλλου αναστοχασμού είναι η προσπάθεια για ενθάρρυνση των μαθητών να κάνουν τη δική τους αυτό-αξιολόγηση και σιγά σιγά να αποκτήσουν την αντίληψη ότι η μάθηση είναι και δική τους ευθύνη (Wiliam, 2011). Ταυτόχρονα, μέσω της αυτό-αξιολόγησης οι μαθητές αντιλαμβάνονται τα θέματα στα οποία πρέπει να επικεντρωθούν, για να βελτιώσουν την επίδοσή τους. Προφανώς η διαδικασία αυτό-αξιολόγησης είναι πολύ δύσκολη για τους μαθητές, και για αυτό είναι
- 17. θεωρητικο πλαισιο 11 ανάγκη να δοθεί και ιδιαίτερος χρόνος, ώστε να κατανοήσουν αφενός τον τρόπο με τον οποίο ερμηνεύουν την επίδοσή τους και αφετέρου να αποκτήσουν τη δεξιότητα αυτό-αξιολόγησης που είναι συνυφασμένη με τη μάθησή τους. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται πολλοί τρόποι αναστοχασμού και φύλλα αυτό-αξιολόγησης και ο κάθε εκπαιδευτικός είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσει ή και να υιοθετήσει αυτά που πιστεύει ότι είναι πιο προσιτά και εύκολα για τους μαθητές του. Στον Πίνακα 1.2 και 1.3 παρουσιάζονται φύλλα ανατροφοδότησης και αναστοχασμού, όπως έχουν προκύψει από την έρευνα και πρωτίστως από την πρακτική των εκπαιδευτικών.
- 18. 12 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1: Παράδειγμα Φύλλου Αυτοαξιολόγησης Μαθητών Κλάσματα - Ε΄ τάξη Τι έχω μάθει και τι χρειάζομαι ακόμα να μάθω για τα κλάσματα
- 19. θεωρητικο πλαισιο 13 ΠΙΝΑΚΑΣ 1.2: Παράδειγμα Φύλλου Διαμορφωτικής Αξιολόγησης Εκπαιδευτικού
- 20. 14 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΠΙΝΑΚΑΣ 1.3: Παράδειγμα Φύλλου Αυτοαξιολόγησης Μαθητή και Διαμορφωτικής Αξιολόγησης Εκπαιδευτικού
- 21. θεωρητικο πλαισιο 15 ΦΑΣΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο Διάγραμμα 1.2, παρουσιάζονται οι τρεις φάσεις της αποτελεσματικής, διαμορφωτικής αξιολόγησης. Η αρχική φάση περιλαμβάνει τη δημιουργία του υλικού, τον καθορισμό των μαθησιακών αποτελεσμάτων με βάση τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας του αναλυτικού προγράμματος και την ανάπτυξη κριτηρίων επιτυχίας. Η δεύτερη φάση περιλαμβάνει τη συλλογή δεδομένων, την ερμηνεία των δεδομένων και την αναγνώριση του χάσματος μεταξύ των αναμενόμενων αποτελεσμάτων και των αποτελεσμάτων με βάση τα εμπειρικά δεδομένα των μαθητών. Στην τελευταία φάση, οι εκπαιδευτικοί σχεδιάζουν τη διορθωτική δράση, την επιπρόσθετη διδασκαλία ή βοήθεια σε συγκεκριμένες πτυχές της ανάπτυξης της έννοιας στην οποία οι μαθητές συνάντησαν δυσκολίες. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά μόνο στην ποιότητα του υλικού που θα χρησιμοποιηθεί και στην ανάπτυξη των κριτηρίων επιτυχίας. Η δεύτερη και η τρίτη φάση επαφίενται στην κρίση του εκπαιδευτικού, ανάλογα με την ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Διάγραμμα 1.2: Φάσεις Διαμορφωτικής Αξιολόγησης
- 22. 16 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΡΓΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Το πιο βασικό ερώτημα που συνήθως τίθεται από τους εκπαιδευτικούς αφορά την ποιότητα των έργων της διαμορφωτικής αξιολόγησης. Έχει παρατηρηθεί ότι τα προβλήματα, που τίθενται πολλές φορές σε μαθητές της έκτης και της πέμπτης τάξης του δημοτικού είναι πιο αυστηρά και δύσκολα από τα αντίστοιχα της Β’ γυμνασίου (Kanold, Toncheff, Larson, Barner, Kanold-McIntyre & Schuhl, 2018). Για αυτό τον λόγο, χρειάζεται σοβαρή μελέτη της έρευνας στη μαθηματική εκπαίδευση σε σχέση με τις αναπτυξιακές δυνατότητες των παιδιών και τις ικανότητες που είναι δυνατόν να αναπτύξουν σε κάθε τάξη της σχολικής τους ζωής. Το επίπεδο κατανόησης των εννοιών σε κάθε τάξη αποτελεί βασικό στόχο αυτού του βιβλίου και φαίνεται ενδεικτικά στα παραδείγματα που δίνονται για κάθε τάξη. Εκτός, όμως, από το επίπεδο κατανόησης μιας συγκεκριμένης μαθηματικής έννοιας σε κάθε τάξη, είναι αναγκαίο να ληφθούν υπόψη και άλλα κριτήρια ποιότητας των έργων στα οποία καλούνται οι μαθητές να ανταποκριθούν. Σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα (Kanold et al., 2018), τα βασικά κριτήρια ποιότητας των έργων αξιολόγησης, περιλαμβάνουν την ευθυγράμμιση των έργων με τις σημαντικές μαθηματικές έννοιες κάθε τάξης, την ισορροπία μεταξύ έργων διαφόρων επιπέδων που να συνάδουν με τη θεωρία της μαθηματικής εκπαίδευσης (γίνεται αναφορά στο Κεφάλαιο 2), τη διαφοροποίηση του τύπου των έργων και των ερωτήσεων, τη σαφήνεια οδηγιών, την ακαδημαϊκή γλώσσα, την οπτική απεικόνιση και οργάνωση των έργων και τον χρόνο που διατίθεται για την επίλυσή τους. Τα κριτήρια ποιότητας των έργων διαμορφωτικής αξιολόγησης παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίνακα 1.4 για εύκολη χρήση από τον εκπαιδευτικό. Στην πρώτη στήλη εμφανίζονται τα κριτήρια ποιότητας ενώ στη δεύτερη υπάρχει μια πιο αναλυτική περιγραφή των κριτηρίων. Στην τελευταία στήλη ο εκπαιδευτικός αξιολογεί την ποιότητα κάθε κριτηρίου σε μια κλίμακα από το 1 μέχρι το 4. Ο Πίνακας 1.4 είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για τα έργα και τις δραστηριότητες που κατασκευάζει ο ίδιος ο εκπαιδευτικός, αλλά και για έτοιμες δραστηριότητες τις οποίες χρησιμοποιεί από διάφορες πηγές.
- 23. θεωρητικο πλαισιο 17 ΠΙΝΑΚΑΣ 1.4: Κριτήρια Ποιότητας έργων Διαμορφωτικής Αξιολόγησης Τα κριτήρια 4-7 είναι πιο εύκολο να επιτευχθούν σε σχέση με τα κριτήρια 1-3. Στη συνέχεια, θα γίνει σύντομη αναφορά στα κριτήρια 1 μέχρι 3, και συγκεκριμένα στα κριτήρια της εναρμόνισης των έργων με τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας, στην εξισορρόπηση έργων σε μια διαμορφωτική αξιολόγηση που αναφέρονται σε έννοιες και διαδικασίες και στον μαθηματικό συλλογισμό και την ποικιλία των τύπων των έργων.
- 24. 18 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη Ευθυγράμμιση δεικτών επιτυχίας και έργων διαμορφωτικής αξιολόγησης. Αξιολόγηση σημαντικών μαθηματικών εννοιών Οι σημαντικές μαθηματικές έννοιες του αναλυτικού προγράμματος αποτελούν το βασικό στοιχείο της διαμορφωτικής αξιολόγησης (Smith, Steele, & Raith, 2017). Οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας που αναφέρονται στις σημαντικές έννοιες αποτελούν το αρχικό σημείο της διαμορφωτικής αξιολόγησης. Η προσπάθεια στη διαμορφωτική αξιολόγηση είναι η ορθή ερμηνεία του δείκτη επιτυχίας και η οριοθέτησή του στο βάθος κάλυψης και επιτυχίας των μαθητών, ανάλογα με το επίπεδό τους σε κάθε τάξη. Συνήθως, σε κάθε ενότητα του αναλυτικού προγράμματος ο αριθμός των δεικτών επιτυχίας δεν υπερβαίνει τους τέσσερις με πέντε. Από τους δείκτες αυτούς, επιλέγονται κάθε φορά εκείνοι που θα χρησιμοποιηθούν σε μια συγκεκριμένη διαμορφωτική αξιολόγηση. Οι δείκτες στην ουσία περιγράφουν τι θέλουμε να μάθουν και να κάνουν όλοι οι μαθητές. Ο εκπαιδευτικός, μέσα από τα έργα που θα επιλέξει, θα είναι σε θέση ταυτόχρονα να γνωρίζει και πώς θα ανταποκριθούν οι μαθητές του, στηριζόμενος, φυσικά, στη διδασκαλία που είχε προηγηθεί για τις σχετικές έννοιες και τις δραστηριότητες με τις οποίες ασχολήθηκαν οι μαθητές. Τα αναμενόμενα αποτελέσματα, όπως πηγάζουν από τους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας, πρέπει να δοθούν σε γλώσσα κατανοητή από τους μαθητές. Η καθημερινή διδασκαλία του εκπαιδευτικού, τα υλικά και τα μέσα που χρησιμοποιεί στη διαδικασία μάθησης καθοδηγούνται από τα αποτελέσματα της διαμορφωτικής αξιολόγησης. Εξισορρόπηση έργων ώστε να καλύπτουν όλες τις ικανότητες των μαθητών με βάση το Αναλυτικό Πρόγραμμα Ο βασικός στόχος κάθε εκπαιδευτικού συστήματος είναι η προσφορά των μέσων και των υποδομών, ώστε όλοι οι μαθητές, μέσα στα πλαίσια της διδασκαλίας των μαθηματικών, να αναπτύξουν τις ικανότητές τους σε βαθμό που να θεωρούνται μαθηματικά εναλφάβητοι (OECD, 2012). Ο μαθηματικός εναλφαβητισμός περιλαμ- βάνει την ικανότητα του ατόμου να κάνει μαθηματικά, να χρησιμοποιεί και να ερμηνεύει τα μαθηματικά σε καταστάσεις του περιβάλλοντός του. Περιλαμβάνει,
- 25. θεωρητικο πλαισιο 19 ταυτόχρονα, τον μαθηματικό συλλογισμό, τη γνώση και τη χρήση των μαθηματικών και των δεξιοτήτων, ώστε οι μαθητές να μπορούν να περιγράφουν και να ερμηνεύουν τα μαθηματικά στον χώρο εργασίας τους. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν πολλά κριτήρια που χαρακτηρίζουν τα έργα σε μια αξιολόγηση. Σε κάθε αξιολόγηση τα έργα που αναφέρονται σε διαδικασίες πρέπει να βρίσκονται σε μια εξισορρόπηση, ανάλογα με τις εμφάσεις της διδασκαλίας. Η διαμορφωτική αξιολόγηση, ως μέρος της καθημερινής εργασίας στην τάξη, δεν περιορίζεται σε έργα διαδικασίας. Επομένως, τα έργα της διαμορφωτικής αξιολόγησης πρέπει να συνάδουν με το αναλυτικό πρόγραμμα, τους δείκτες επάρκειας και επιτυχίας και με τις εμφάσεις της διδασκαλίας. Στο αναλυτικό πρόγραμμα των μαθηματικών γίνεται ιδιαίτερη μνεία στην ανάπτυξηικανοτήτωντωνμαθητών,όπωςείναιηδιαδικαστικήεπάρκεια,ηεννοιολογική κατανόηση και ο μαθηματικός συλλογισμός. Οι ικανότητες αυτές αναφέρονται σε όλους τους μαθητές και αποτελούν το επίκεντρο της διδασκαλίας των μαθηματικών. Ο στόχος ακριβώς της διαμορφωτικής αξιολόγησης είναι η έγκαιρη διάγνωση των δυσκολιών των μαθητών σε σχέση με τις ικανότητες αυτές και η έγκαιρη παρέμβαση του εκπαιδευτικού, όταν και όπου χρειάζεται. Στη συνέχεια, αναφερόμαστε στη διαδικαστική επάρκεια, την εννοιολογική κατανόηση και τον μαθηματικό συλλογισμό, που αποτελούν τα κύρια κριτήρια της διαμορφωτικής αξιολόγησης (δείτε Κεφάλαιο 2). Η έννοια των κριτηρίων, εμπεριέχει το επίπεδο σκέψης των μαθητών στο οποίο, με βάση ερευνητικά αποτελέσματα, είναι δυνατό να φτάσουν οι μαθητές σε κάθε τάξη. Τονίζεται ότι τα κριτήρια αυτά καθοδηγούν τη διδασκαλία σε κάθε έννοια των μαθηματικών. Είναι, επίσης, σημαντικό το γεγονός ότι σε κάποιες έννοιες οι μαθητές είναι δυνατόν να αναπτύξουν διαδικαστική επάρκεια αλλά όχι εννοιολογική κατανόηση και μαθηματικό συλλογισμό. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι ακριβώς που διαφαίνεται η αξία της διαμορφωτικής αξιολόγησης για ανατροφοδότηση της διδασκαλίας. Η υιοθέτηση των κριτηρίων διαμορφωτικής αξιολόγησης, δηλαδή, της διαδικαστικής επάρκειας, της εννοιολογικής κατανόησης και του μαθηματικού
- 26. 20 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη συλλογισμού, προκύπτει από πολλές έρευνες στη μαθηματική εκπαίδευση και από τις εμπειρίες επιτυχημένων διαδικασιών μάθησης των μαθηματικών (Kilpatrick, Swaf- ford, & Findell, 2001). Τα τρία κριτήρια (διαδικαστική επάρκεια, εννοιολογική κατανόηση και μαθηματικός συλλογισμός) συνοψίζονται στον γενικότερο όρο μαθηματική επάρκεια. Φυσικά, κανένα από τα τρία κριτήρια δεν μπορεί να περιγραφεί με αυστηρή ακρίβεια, γιατί δεν είναι διακριτά και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Το καθένα αντιπροσωπεύει ένα κομμάτι της μαθηματικής επάρκειας, που είναι ένα σύνθετο όλο. Είναι αλληλοσυνδεόμενα και αλληλεξαρτώμενα και η μαθηματική επάρκεια δεν μπορεί να επιτευχθεί με την επικέντρωση σε ένα μόνο από αυτά τα κριτήρια. Ταυτόχρονα, η μαθηματική επάρκεια που απαιτείται σε μια τάξη, αποτελεί τη βάση για την απόκτηση της μαθηματικής επάρκειας της επόμενης τάξης. Η ουσιαστική, διαμορφωτική αξιολόγηση συμβάλλει στην ερμηνεία της μαθηματικής επάρκειας σε κάθε τάξη, ώστε ο εκπαιδευτικός να γνωρίζει την έμφαση και τις στρατηγικές που θα χρησιμοποιήσει για να βοηθήσει τους μαθητές. Η διαδικαστική επάρκεια είναι απαραίτητη για την εννοιολογική κατανόηση και πολλές φορές η εννοιολογική κατανόηση συμβάλλει στη διαδικαστική επάρκεια. Ο μαθηματικός συλλογισμός προϋποθέτει τόσο τη διαδικαστική επάρκεια όσο και την εννοιολογική κατανόηση και αποτελεί το στάδιο της ολοκλήρωσης της μαθηματικής επάρκειας των μαθητών. Παράλληλα, η ενασχόληση με έργα μαθηματικού συλλογισμού συμβάλλει στην ανάπτυξη της διαδικαστικής επάρκειας και της εννοιολογικής κατανόησης. Για σκοπούς διαμορφωτικής αξιολόγησης, προτείνεται ένα πλαίσιο αξιολόγησης που στηρίζεται στα κριτήρια απομεμονωμένα και θα συζητηθεί στο επόμενο κεφάλαιο. Ποικιλία Ερωτήσεων Στη διαμορφωτική αξιολόγηση, όπως και σε κάθε είδος αξιολόγησης, συμπεριλαμβάνεται αριθμός έργων που έχουν διαφορετικό στόχο και προσανατολι- σμό. Κάθε τύπος ερωτήσεων είναι δυνατόν να ανιχνεύσει διαφορετικές ικανότητες των μαθητών και ως εκ τούτου η χρήση πολλών τύπων ερωτήσεων είναι απαραίτητη.
- 27. θεωρητικο πλαισιο 21 Στη βιβλιογραφία έχουμε βασικά δύο τύπους ερωτήσεων: τις ερωτήσεις στις οποίες ο μαθητής επιλέγει την απάντηση (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, συμπλήρωσης, αντιστοίχισης, ορθού – λάθους, κ.α..) και τις ερωτήσεις στις οποίες ο μαθητής διαμορφώνει και οργανώνει την απάντησή του. Κάθε τύπος ερωτήσεων έχει πολλές διαφοροποιήσεις. Όπως θα αναφερθεί αργότερα, η διαμορφωτική αξιολόγηση γίνεται σε πολλά σχολεία, κυρίως του εξωτερικού, με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας. Η χρήση της τεχνολογίας δίνει τη δυνατότητα στον εκπαιδευτικό να ενεργοποιήσει αρκετές μορφές ερωτήσεων, τις οποίες οι μαθητές σε σύντομο χρονικό διάστημα μπορούν να απαντήσουν και να δώσουν μια πληρέστερη εικόνα των ικανοτήτων τους.
- 28. 22 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΛΑΙΣΙΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Το πλαίσιο αξιολόγησης είναι ο οδηγός της διαμορφωτικής αξιολόγησης κάθε έννοιας των μαθηματικών. Περιγράφει το μαθηματικό περιεχόμενο, τις γνώσεις και τις δεξιότητες που θα αξιολογηθούν, καθώς και το είδος των έργων που θα χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση. Περιγράφει, επίσης, την εξισορρόπηση των έργων με βάση τα κριτήρια που θα συζητηθούν πιο κάτω. Σε κάθε τάξη, το πλαίσιο αναπροσαρμόζεται ανάλογα με το περιεχόμενο και το επίπεδο δυσκολίας των μαθηματικών. Πιο κάτω συζητείται το πλαίσιο αξιολόγησης της Ε’ και Στ’ τάξης του Δημοτικού σχολείου, με βάση τη δομή του αναλυτικού προγράμματος. Το πλαίσιο, επίσης, οργανώνεται με βάση τα διδακτικά εγχειρίδια για ευκολία των εκπαιδευτικών που θα εφαρμόσουν τη διαμορφωτική αξιολόγηση. Ταυτόχρονα, με βάση τους στόχους του αναλυτικού προγράμματος, το πλαίσιο αξιολόγησης που προτείνεται αναφέρεται στις γνώσεις, στις δεξιότητες και στις στρατηγικές που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια των μαθημάτων των μαθηματικών. Ως εκ τούτου, το πλαίσιο αξιολόγησης αναφέρεται στους δείκτες επιτυχίας και επάρκειας και στα αντίστοιχα έργα. Οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας, αναγράφονται με τρόπο αναλυτικό και ερμηνευτικό και σε γλώσσα που είναι κατανοητή για τους μαθητές, όπως είχε αναφερθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η καθεμιά έννοια, αναλύεται στα αναμενόμενα αποτελέσματα, με βάση το αναλυτικό πρόγραμμα, τη θεωρία και την έρευνα στη μαθηματική εκπαίδευση. Ο Πίνακας 2.1 παρουσιάζει το πλαίσιο
- 29. θεωρητικο πλαισιο 23 αξιολόγησης της ανάλυσης αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων στην Στ’ τάξη, όπως παρουσιάζεται στα παραδείγματα του Β' Μέρους. Στον Πίνακα 2.1 καταγράφονται οι δείκτες επιτυχίας και επάρκειας και στη συνέχεια του πίνακα φαίνονται οι αναμενόμενες ικανότητες για κάθε έννοια. Η κατάταξη των έργων σε διαδικαστική επάρκεια, εννοιολογική κατανόηση και μαθηματικό συλλογισμό γίνεται, επίσης, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα. Ο καταρτισμός του πλαισίου αξιολόγησης είναι απαραίτητος για όλες τις έννοιες που ο εκπαιδευτικός θα αποφασίσει να αξιολογήσει με διαμορφωτική αξιολόγηση. Το πλαίσιο παρέχει την ασφαλιστική δικλείδα, για να γνωρίζει ο εκπαιδευτικός ότι έχει συμπεριλάβει στη διδασκαλία και στην αξιολόγησή του όλες τις απαραίτητες πτυχές της έννοιας, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα.
- 30. 24 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Παράδειγμα Πλαισίου Αξιολόγησης Αρ4.4 Διερευνούν και διακρίνουν τους πρώτους, σύνθετους και σχηματικούς αριθμούς. Κατανοούν την έννοια του πρώτου και σύνθετου αριθμού, ώστε να μπορούν να καθορίσουν κατά πόσο ένας ακέραιος αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος. Αναλύουν και εκφράζουν ένα ακέραιο αριθμό ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Διαδικαστική επάρκεια Οι μαθητές έχουν την ικανότητα: (α) να επεξηγούν την έννοια του πρώτου και σύνθετου αριθμού, (β) να εξετάζουν κατά πόσο ένας αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος βρίσκοντας τους παράγοντες του αριθμού και αξιοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας, (γ) να χρησιμοποιούν δενδροδιάγραμμα και διαδοχικές διαιρέσεις για να εκφράσουν έναν αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και (δ) να επεξηγούν με συγκεκριμένο παράδειγμα γιατί ένας αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με μοναδικό τρόπο. Εννοιολογική κατανόηση Οι μαθητές έχουν την ικανότητα: (α) να συσχετίζουν τις πληροφορίες που δίνονται σε ένα πρόβλημα και να αξιοποιούν την ιδιότητα του αριθμού ως πρώτου ή σύνθετου, (β) να χρησιμοποιούν την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων Δείκτες Επιτυχίας Δείκτες Επάρκειας Πρώτοι και Σϋνθετοι αριθμοί Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
- 31. θεωρητικο πλαισιο 25 παραγόντων, διαγράμματα και σύμβολα, για να βρίσκουν διαιρέτες ενός αριθμού και (γ) να ελέγχουν τη λογικότητα της απάντησής τους. Μαθηματικός συλλογισμός Οι μαθητές έχουν την ικανότητα: (α) να επιλύουν προβλήματα με διαφορετικούς τρόπους, χρησιμοποιώντας στρατηγικές συστηματικής οργάνωσης των πληροφοριών του προβλήματος, (β) να αιτιολογούν τη λογικότητα και την ερμηνεία των συμπερασμάτων τους, (γ) να αξιοποιούν την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων για την εύρεση όλων των διαιρετών του αριθμού και (δ) να κάνουν συνδέσεις ανάμεσα σε μαθηματικές έννοιες (π.χ. άρτιοι/περιττοί αριθμοί με πρώτους/σύνθετους αριθμούς). ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Παράδειγμα Πλαισίου Αξιολόγησης Το επίπεδο πολυπλοκότητας κάθε έργου για διαδικαστική επάρκεια ή εννοιολογική κατανόηση ή μαθηματικό συλλογισμό, εξαρτάται από το είδος των ερωτήσεων, τον αριθμό των πληροφοριών, των συσχετίσεων των δεδομένων και το επίπεδο σκέψης που αναμένεται από τους μαθητές. Τα έργα χαμηλού επιπέδου πολυπλοκότητας, απαιτούν συνήθως από τους μαθητές την απομνημόνευση κανόνων ή απλών εννοιών, όπως για παράδειγμα η αναγνώριση του είδους των γωνιών (αμβλεία, οξεία, ορθή). Τα έργα μεσαίου επιπέδου πολυπλοκότητας απαιτούν από τους μαθητές να κάνουν τη διασύνδεση μεταξύ δύο χαρακτηριστικών ή ιδιοτήτων. Τέλος, τα έργα υψηλής πολυπλοκότητας απαιτούν τη γενίκευση ή τη διασύνδεση ή και σύνδεση πολλών χαρακτηριστικών ή ιδιοτήτων. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι το επίπεδο πολυπλοκότητας δεν έχει σχέση μόνο μεταξύ των κριτηρίων αλλά και εντός των κριτηρίων. Για παράδειγμα, στα έργα διαδικαστικής επάρκειας υπάρχουν διαφορετικές ερωτήσεις που ενέχουν επίπεδο πολυπλοκότητας από χαμηλό μέχρι υψηλής πολυπλοκότητας. Το ίδιο συμβαίνει και στα έργα εννοιολογικής κατανόησης και μαθηματικού συλλογισμού.
- 32. 26 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη Ο στόχος των επιπέδων πολυπλοκότητας κάθε έργου αποβλέπει στην εξισορρόπηση των έργων σε μια διαμορφωτική αξιολόγηση αναφορικά με τον τρόπο σκέψης των μαθητών, αλλά πρωτίστως δίνει την ευκαιρία στον εκπαιδευτικό να αντιληφθεί τα λάθη των μαθητών και να λάβει τις απαραίτητες αποφάσεις. Το επίπεδο πολυπλοκότητας ενός έργου, δεν έχει φυσικά να κάνει με τη μορφή της ερώτησης (πολλαπλής επιλογής ή συμπλήρωσης ή κατασκευής της απάντησης, κτλ.). Κάθε είδος ερώτησης είναι δυνατό να απαιτεί από τους μαθητές διαφορετικού βαθμού πολυπλοκότητα σε σχέση με τη μαθηματική σκέψη που απαιτεί ένα έργο διαμορφωτικής αξιολόγησης. Υπάρχουν, για παράδειγμα, ερωτήσεις επιλογής της απάντησης που αξιολογούν πολύπλοκη σκέψη και υπάρχουν και προβλήματα κατασκευής της απάντησης από τους μαθητές που δεν εμπεριέχουν στοιχεία πολυπλοκότητας. Πιο κάτω θα συζητηθούν τα βασικά στοιχεία του πλαισίου αξιολόγησης και θα δοθούν σχετικά παραδείγματα σχετικά με τη διαδικαστική επάρκεια, την εννοιολογική κατανόηση και τον μαθηματικό συλλογισμό.
- 33. θεωρητικο πλαισιο 27 ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑ Η διαδικαστική επάρκεια αναφέρεται στη γνώση διαδικασιών και στην ικανότητα των μαθητών να γνωρίσουν πότε και πώς θα χρησιμοποιήσουν συγκεκριμένες διαδικασίες, για να δίνουν λύσεις σε σχετικά έργα. Περιλαμβάνει, επίσης, την ικανότητα να εκτελούν διαδικασίες και αλγόριθμους με ευχέρεια, ευελιξία και με ακρίβεια. Η ευχέρεια της εκτέλεσης διαδικασιών και αλγορίθμων αναφέρεται τόσο στη νοερή όσο και στη γραπτή εκτέλεση των πράξεων. Περιλαμβάνει, επιπρόσθετα, την αναπαραγωγή εννοιών και απομνημόνευση τύπων και κανόνων. Η απόκτηση δεξιοτήτων, όπως η χρήση μαθηματικών οργάνων, η χρήση υπολογιστικής μηχανής, η ενασχόληση με μαθηματικά εφαρμογίδια, η μέτρηση και η εκτίμηση ποσοτήτων, αποτελεί βασικό στοιχείο της διαδικαστικής επάρκειας. Η διασύνδεση της διαδικαστικής επάρκειας με την εννοιολογική κατανόηση, είναι αναμφίβολα ένα ουσιαστικό στοιχείο κατανόησης των μαθηματικών. Στη διδασκαλία, συνήθως, η ανάπτυξη της εννοιολογικής και διαδικαστικής επάρκειας δεν είναι δυνατόν να διαχωριστούν. Πολλές φορές η κατανόηση οδηγεί σε ευκολότερη μάθηση των διαδικασιών και μέσω της κατανόησης οι μαθητές κάνουν λιγότερα λάθη. Από την άλλη, ένα επίπεδο διαδικαστικής γνώσης είναι απαραίτητο για κατανόηση των εννοιών και η χρήση των διαδικασιών ενδυναμώνει την εννοιολογική κατανόηση. Για παράδειγμα, μια έρευνα που έγινε με μαθητές του δημοτικού σχολείου, έδειξε ότι η εννοιολογική κατανόηση της περιμέτρου και του εμβαδού οδηγεί ευκολότερα στην κατανόηση της διαδικασίας μέτρησης του εμβαδού και της περιμέτρου (Fennema & Romberg, 1999). Για σκοπούς, όμως, αξιολόγησης, τα έργα αναφέρονται ξεχωριστά σε εννοιολογική και διαδικαστική κατανόηση, γιατί ο στόχος της διαμορφωτικής είναι να αντιληφθούμε σε ποιο επίπεδο βρίσκονται οι μαθητές σε σχέση με τη διαδικαστική επάρκεια και την εννοιολογική τους κατανόηση. Στο πλαίσιο αξιολόγησης της διαδικαστικής επάρκειας θεωρείται ότι οι μαθητές πρέπει να αναπτύξουν την ικανότητά τους να χρησιμοποιούν τη μαθηματική ορολογία, τους μαθηματικούς τύπους και να κάνουν υπολογισμούς, για να δίνουν απαντήσεις σε σχετικές ασκήσεις και προβλήματα. Στη διαδικαστική επάρκεια συμπεριλαμβάνεται, επίσης, και η ικανότητα των μαθητών να επαληθεύουν τις απαντήσεις τους, όπως και
- 34. 28 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη η ικανότητα μετάφρασης απλών λεκτικών προβλημάτων σε μαθηματικές προτάσεις και η συλλογή ιδεών και πληροφοριών για την επίλυση προβλημάτων. Στη διπλανή σελίδα φαίνονται παραδείγματα έργων διαδικαστικής επάρκειας σε τρεις διαστάσεις, (α) στην εκτέλεση πράξεων και εφαρμογή τύπων, (β) στην επαλήθευση απαντήσεων και (γ) στη χρήση της γλώσσας και των ιδεών. Από τα παραδείγματα ο εκπαιδευτικός αντιλαμβάνεται το επίπεδο πολυπλοκότητας τους και πώς διαφοροποιούνται σε έννοιες που διδάσκονται σε κάθε τάξη.
- 35. θεωρητικο πλαισιο 29 Εκτέλεση πράξεων και εφαρμογή τύπων 1. Να υπολογίσεις το γινόμενο 423×56, χρησιμοποιώντας τον κατακόρυφο αλγόριθμο. 2. Να υπολογίσεις την περιφέρεια του πιο κάτω κύκλου. Χρήση ιδεών και γλώσσας 1. Να αναφέρεις ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές και ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές. 2. Να ονομάσεις τα πιο κάτω σχήματα. Επαλήθευση 1. Να υπολογίσεις το πηλίκο και να επαληθεύσεις την απάντησή σου.
- 36. 30 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Η εννοιολογική κατανόηση είναι βασικό μέλημα της διδασκαλίας των μαθηματικών. Σημαίνει την ανάπτυξη των εννοιών με τρόπο ώστε η μαθηματική σκέψη των μαθητών να αποτελεί ένα ενιαίο όλο και όχι σύνολο ασύνδετων εννοιών. Όταν οι έννοιες είναι μεμονωμένες και τμηματικές, δεν συμβάλλουν στην επίλυση παρόμοιων ή παρεμφερών έργων και ούτε βοηθούν τους μαθητές να αναπτύξουν νέες έννοιες, συνδέοντάς τις με προϋπάρχουσες γνώσεις τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της εννοιολογικής κατανόησης είναι η ικανότητα των μαθητών να αναπαριστούν μαθηματικές καταστάσεις με διαφορετικούς τρόπους. Οι μαθητές με εννοιολογική κατανόηση έχουν την ικανότητα να διακρίνουν διαφορές και ομοιότητες μεταξύ των αναπαραστάσεων. Για παράδειγμα, ο μαθητής με εννοιολογική κατανόηση έχει την ικανότητα να υπολογίσει και να επαληθεύσει το πηλίκο της διαίρεσης με πολλούς τρόπους, να αναπαραστήσει τη λύση του με διάφορους τρόπους συμπεριλαμβανομένης της αριθμητικής γραμμής και να μεταφράσει την παράσταση αυτή σε λεκτικό πρόβλημα. Η απλή μετάφραση παραστάσεων σε λεκτικό πρόβλημα, ανάλογα με τη φύση των παραστάσεων������ , απο- τελεί και στοιχείο της διαδικαστικής γνώσης. Σε πιο σύνθετες καταστάσεις, όπως η διαίρεση κλασμάτων, η μετάφραση του συμβολικού επιπέδου σε λεκτικό ξεπερνά τα όρια της διαδικασίας και αποτελεί καθαρά εννοιολογικό στοιχείο. Είναι επίσης δυνατό ο μαθητής με εννοιολογική κατανόηση να εντοπίσει διαφορές και ομοιότητες μεταξύ των διαφόρων μεθόδων υπολογισμού του πηλίκου και να παραθέσει τα μειονεκτήματα και πλεονεκτήματα κάθε τρόπου. Η εννοιολογική κατανόηση μειώνει την ανάγκη του μαθητή για απομνημόνευση και αυξάνει την ικανότητά του για μόνιμη μάθηση διαδικασιών και εννοιών, και επομένως αναπτύσσει την αυτοπεποίθησή του. Βασικό, επίσης, χαρακτηριστικό της εννοιολογικής κατανόησης είναι η εφαρμογή των εννοιών. Για παράδειγμα, οι μαθητές που γνωρίζουν την αξία θέσης ψηφίου, μπορούν να τη συνδέσουν με την έννοια της αξίας θέσης ψηφίων στους δεκαδικούς αριθμούς. Έχουν, επιπρόσθετα, τη δυνατότητα να συνδέσουν τις πράξεις των αριθμών με την αξία θέσης ψηφίου και επομένως δεν αφιερώνουν ιδιαίτερο χρόνο στην εκμάθηση εκτέλεσης των πράξεων.
- 37. θεωρητικο πλαισιο 31 Στη επόμενη σελίδα παρουσιάζονται έργα που αφορούν (α) τη χρήση διαγραμμάτων, εικόνων και συμβόλων, (β) τη συσχέτιση των πληροφοριών που δίνονται σε μια δραστηριότητα ή σε ένα πρόβλημα και (γ) τον έλεγχο της λογικότητας της απάντησης. Τα έργα διαμορφωτικής αξιολόγησης για την εννοιολογική κατανόηση των μαθητώνδίνουντηνευκαιρίαστουςμαθητέςνααναγνωρίσουνκαιναχρησιμοποιήσουν ή και να εφαρμόσουν μαθηματικές έννοιες. Οι μαθητές αποφασίζουν ποιες πληροφορίες είναι σημαντικές, ως πρώτο στάδιο, για να υπολογίσουν τις απαντήσεις τους. Μεταφράζουν με άλλα λόγια τις πληροφορίες σε μαθηματικές αναπαραστάσεις και σύμβολα, δίνοντάς τους μαθηματικό περιεχόμενο. Ειδικότερα, η διαδικασία για μετάφραση των καταστάσεων που περιγράφονται σε ένα έργο περιλαμβάνει: • Αναγνώριση των πληροφοριών. • Απλοποίηση των πληροφοριών και μετάφρασής τους σε μαθηματικές προτάσεις. • Αναπαράστασης των καταστάσεων με διάφορους τρόπους, χρησιμοποιώντας σύμβολα, διαγράμματα και πίνακες. Η συσχέτιση των πληροφοριών σε ένα έργο είναι το βήμα που θα οδηγήσει τους μαθητές στην επίλυσή του. Σε πολλά έργα των μαθηματικών υπάρχουν συσχετίσεις πληροφοριών που πρέπει να αναλυθούν, για να υπολογιστεί η λύση του προβλήματος ως σύνθεση των συσχετίσεων μεταξύ των πληροφοριών������������������������ . Η συσχέτιση των πληρο- φοριών προϋποθέτει, φυσικά, την κατανόηση των εννοιών που ενυπάρχουν σε κάθε πρόβλημα ή και σε μερικές περιπτώσεις τη διαδικαστική επάρκεια. Η συσχέτιση των πληροφοριών συνδυάζεται, συνήθως, με τη χρήση των αναπαραστάσεων, πινάκων και διαγραμμάτων. Σε έργα διαμορφωτικής αξιολόγησης η ικανότητα των μαθητών για συσχέτιση των πληροφοριών επικεντρώνεται κυρίως στον εντοπισμό των μοτίβων. Ο έλεγχος και η επαλήθευση της λογικότητας των απαντήσεων είναι, επίσης, χαρακτηριστικό στοιχείο της εννοιολογικής κατανόησης των μαθηματικών. Μέσω του ελέγχου της απάντησης, οι μαθητές που έχουν εννοιολογική κατανόηση αποφεύγουν
- 38. 32 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη τα λάθη κατά την επίλυση έργων. Για παράδειγμα, αν οι μαθητές, που κατανοούν εννοιολογικά, υπολογίσουν το γινόμενο 9,83 × 7,65 και δώσουν απάντηση 7519,95, θα αντιληφθούν αμέσως το λάθος τους. Γνωρίζουν ότι η απάντησή τους είναι μικρό- τερη από 80, αφού 10 × 8 = 80. Άρα, πολλαπλασιάζοντας δύο αριθμούς που είναι μικρότεροι του 8 και του 10, θα δώσουν γινόμενο μικρότερο του 80.
- 39. θεωρητικο πλαισιο 33 Έλεγχος της λογικότητας της απάντησης 1. Να συμπληρώσεις με >,<,= χωρίς να κάνεις τις πράξεις. Να εξηγήσεις τον τρόπο σκέψης σου. (α) 112 × 40 ______ 140 × 12 (β) (250 × 32) + 45 ______ (250 × 45) + 32 2. Να τοποθετήσεις την υποδιαστολή, ώστε το γινόμενο ή το άθροισμα να είναι ορθό. (α) (23,32 × 4) = 9328 (β) 8,2 + 7 + 18,403 = 33603 Συσχέτιση πληροφοριών Χρήση διαγραμμάτων, εικόνων και συμβόλων 1. Να αναπαραστήσεις την πιο κάτω μαθηματική πρόταση και να υπολογίσεις το άθροισμα.
- 40. 34 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Ένας γενικός ορισμός για τον μαθηματικό συλλογισμό είναι η ικανότητα του μαθητή να κατασκευάζει, να αναπαριστά και να επιλύει προβλήματα. Ο μαθηματικός συλλογισμός αποτελείται ουσιαστικά (α) από την ικανότητα του ατόμου να αναπροσαρμόζει τον τρόπο σκέψης του, ανάλογα με τις καταστάσεις ενός προβλήματος και να αιτιολογεί τις απαντήσεις του με πειστικό τρόπο (adap- tive reasoning, Ostler, 2011), και (β) από την ικανότητα του μαθητή να κατασκευάζει μαθηματικά προβλήματα, να μεταφράζει καταστάσεις της ζωής σε μαθηματικό περιεχόμενο και να χρησιμοποιεί με αποτελεσματικότητα τις μεθόδους ή στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων. Η χαρακτηριστική ικανότητα του μαθηματικού συλλογισμού είναι η ευελιξία, που θεωρείται η σημαντικότερη γνωστική λειτουργία για την επίλυση λεκτικών προβλημάτων και προβλημάτων διαδικασίας. Η ευελιξία συνίσταται στην ικανότητα του ατόμου να δημιουργεί και να αναπροσαρμόζει μεθόδους επίλυσης προβλημάτων (δημιουργική σκέψη). Αναφέρεται στην ικανότητα του ατόμου να σκέφτεται λογικά (κριτική σκέψη) τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών και των καταστάσεων που περιγράφονται σε μια μαθηματική κατάσταση. Η κριτική σκέψη περιλαμβάνει, επίσης, και τις εναλλακτικές μεθόδους που χρησιμοποιεί ο μαθητής και τον τρόπο με τον οποίο αιτιολογεί τα συμπεράσματά του. Ο μαθηματικός συλλογισμός είναι ο συνδετικός κρίκος που συνδέει την εννοιολογική, τη διαδικαστική γνώση των μαθητών και τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων. Η ανάπτυξη της ικανότητας του μαθηματικού συλλογισμού επιτρέπει την κατανόηση συνολικά και ενιαία των μαθηματικών εννοιών. Για παράδειγμα, οι μαθητές είναι σε θέση με τη χρήση μοντέλων ή άλλων εποπτικών μέσων να υπολογίσουν το πηλίκο της διαίρεσης 12 ÷ . Με τη χρήση των εποπτικών μέσων αντιλαμβάνονται ότι το πηλίκο ισούται με 36. Στη συνέχεια, όσοι από τους μαθητές έχουν την ικανότητα του μαθηματικού συλλογισμού, χωρίς να εκτελέσουν τον αλγόριθμο, θα διαπιστώσουν ότι το πηλίκο 12 ÷ , δεν είναι δυνατό να ισούται με 72, γιατί έχουν την κριτική σκέψη να αντιληφθούν ότι το πηλίκο δεν μπορεί να διπλασιαστεί στην προκείμενη περίπτωση. Ταυτόχρονα, η κατασκευή προβλήματος με βάση
- 41. θεωρητικο πλαισιο 35 τις μαθηματικές προτάσεις διαιρέσεων, είναι ένδειξη ανάπτυξης του μαθηματικού συλλογισμού των μαθητών (Davis & Maher, 1997). Η αιτιολόγηση της απάντησης σε ένα πρόβλημα που κατασκευάζουν οι μαθητές ή η αιτιολόγηση ενός συμπεράσματος στο οποίο έφτασαν είναι ουσιαστικό στοιχείο του μαθηματικού συλλογισμού. Για σκοπούς διδασκαλίας η αναπαραγωγή διαδικασιών, η κατανόηση της έννοιας και ο συλλογισμός, συμβαδίζουν και οπωσδήποτε δεν διδάσκονται αποσπασματικά. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας δίνονται δραστηριότητες που παρέχουν την ευκαιρία στους μαθητές να εξερευνήσουν και να διερευνήσουν τις μαθηματικές έννοιες, λαμβάνοντας υπόψη τις προηγούμενες γνώσεις τους και χρησιμοποιώντας διάφορες στρατηγικές, ώστε να φτάσουν σε λογικά αποτελέσματα. Η διερεύνηση και η εξερεύνηση των εννοιών οδηγεί συνήθως όχι μόνο στη διαδικαστική επάρκεια και την κατανόηση της έννοιας αλλά και στην ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού. Για σκοπούς όμως αξιολόγησης, οι δραστηριότητες που δίνονται στους μαθητές είναι σχεδιασμένες, ώστε να διαπιστώσει ο εκπαιδευτικός όχι μόνο τις δυσκολίες των μαθητών, αλλά και σε ποιο σημείο η διδασκαλία χρειάζεται βελτίωση. Οπωσδήποτε, όμως, στο πλαίσιο της διδασκαλίας όλες οι ικανότητες αναπτύσσονται παράλληλα και σε καμιά περίπτωση μεμονωμένα. Στη διαμορφωτική αξιολόγηση είναι δυνατό, για παράδειγμα, να ζητηθεί από τους μαθητές σε επίπεδο μαθηματικού συλλογισμού η δραστηριότητα: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές ξεκινούν από την έννοια της διαίρεσης που έχουν ήδη κατανοήσει από προηγούμενες τάξεις και εκφράζουν με διάφορους τρόπους και στρατηγικές τη διαδικασία που πρέπει να χρησιμοποιήσουν, για να φτάσουν σε μια απάντηση. Στη συνέχεια εξετάζουν τη λογικότητα της απάντησής τους και τις μεθόδους που χρησιμοποίησαν, τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα κάθε τρόπου σκέψης. Ο εκπαιδευτικός θα αντιληφθεί (α) τις δυσκολίες των μαθητών, (β) κατά πόσο οι μαθητές έχουν κατανοήσει σε βάθος την έννοια της διαίρεσης και Να εκτιμήσεις το πηλίκο των διαιρέσεων και να εξηγήσεις τον τρόπο σκέψης σου. 82,5 ÷ 1,2 39,5 ÷ 0,95 436,2 ÷ 0,63 16 ÷ 0,05
- 42. 36 Διαμορφωτικη Αξιολογηση στα Μαθηματικα για Ε’ και Στ’ ταξη (γ) κατά πόσο έχουν την ικανότητα να μεταφέρουν τις γνώσεις που απέκτησαν για τη διαίρεση των ακεραίων στους δεκαδικούς αριθμούς. Με βάση τις δυσκολίες και τις αδυναμίες των μαθητών του, ο εκπαιδευτικός θα αποφασίσει τις περαιτέρω ενέργειές του για τα επόμενα μαθήματά του. Συνοψίζοντας τα πιο πάνω, οι δραστηριότητες για διαμορφωτική αξιολόγηση του μαθηματικού συλλογισμού αναφέρονται κυρίως σε τρεις ομάδες έργων: (α) στη λύση προβλημάτων με διαφορετικούς τρόπους, συμπεριλαμβανομένων των στρατηγικών επίλυσης των προβλημάτων και της συστηματικής οργάνωσης των πληροφοριών του προβλήματος, (β) στην αιτιολόγηση, τη λογικότητα και την ερμηνεία των συμπερασμάτων, (γ) στη διασύνδεση μαθηματικών εννοιών, και (δ) στη γενίκευση κανόνων, διαδικασιών και μεθόδων λύσης προβλημάτων. Πιο κάτω παρουσιάζονται ενδεικτικά έργα διαμορφωτικής αξιολόγησης μαθηματικού συλλογισμού.
- 43. θεωρητικο πλαισιο 37 Λύση προβλήματος με διαφορετικούς τρόπους και επίλυση προβλημάτων με στρατηγική 1. Να συμπληρώσεις ώστε να ισχύουν οι πιο κάτω σχέσεις. Να εξηγήσεις τον τρόπο εργασίας σου. 2. Ένα βιβλίο έχει 720 σελίδες. Ο Κώστας διάβασε την πρώτη μέρα 20 σελίδες, τη δεύτερη μέρα 40, την τρίτη μέρα 60 και συνέχισε με τον ίδιο ρυθμό. Σε πόσες μέρες διάβασε όλο το βιβλίο; Αιτιολόγηση, λογικότητα και ερμηνεία των αποτελεσμάτων 1. Η Αριάδνη υποστηρίζει ότι «Όσο μεγαλύτεροι είναι δύο αριθμοί τόσο μεγαλύτερος είναι και ο ΜΚΔ τους». Να εξηγήσεις γιατί η δήλωση της Αριάδνης είναι λανθασμένη. Διασύνδεση μαθηματικών εννοιών 1. Στην ετοιμασία ενός ανάμικτου χυμού χρησιμοποιούνται 2 ποτήρια χυμού μήλου για κάθε 3 ποτήρια χυμού καρότου. Τι ποσοστό του ανάμικτου χυμού είναι χυμός μήλου; Γενίκευση κανόνων, διαδικασιών και μεθόδων λύσης προβλημάτων 1. Το άθροισμα δύο γνήσιων κλασμάτων είναι πάντα μεγαλύτερο από το γινόμενό τους. Να εξηγήσεις κατά πόσο συμφωνείς/διαφωνείς.