bjjjjjjj

1. Univerzitet u Tuzli
Mašinski fakultet
Energetsko, proizvodno, mehatronika
TERMODINAMIKA I
(PREDAVANJA)
SKRIPTA
Profesor:
Mensur Đedović, III – 178/08 Dr. sc. Sandira Eljšan, van. prof.
Tuzla, 2013.

2. UVOD
Termodinamika je nauka koja se bavi izučavanjem pojava vezanih za transformaciju energije
(posebno za transformaciju toplotne energije u druge vidove energije) i uslova pod kojim je ta
transformacija moguća.
Naziv termodinamika potiče od grčkih riječi termo – topao i dinamics – uzrok kretanja.
Zadatak termodinamike je utvrđivanje fizikalnih zakonitosti kojim se opisuju procesi transformacije
energije i ispitivanje međudjelovanja termodinamičkog sistema i okoline.
Termodinamika izučava stanje materije i promjene unutar nje.
Prema historijskom pristupu termodinamika se dijeli na:
• opštu (fizičku)
• hemijsku
• tehničku
• hemijsko-inžinjersku.
U zavisnosti od pristupa proučavanja materije i promjena unutar materije termodinamički procesi mogu
se posmatrati kao makroskopski i mikroskopski pa onda se termodinamika može posmatrati kao
klasična i statistička termodinamika.
Klasična termodinamika proučava termodinamički sistem i promjene stanja sistema sa
makroskopskog stanovišta bez dubljeg ulaženja u građu materije.
Statistička termodinamika posmatra termodinamički sistem kao skup velikog broja elementarnih
čestica i osobine sistema podrazumjevaju primjenu mehanike malih čestica i statističkih zakonitosti.
Za analizu i praćenje pretvaranja toplote u rad primjenjuje se klasična termodinamika o kojoj će i biti
riječi.
Tehnička termodinamika opisuje i proučava procese uzajamne pretvorbe toplotne u mehaničku
energiju, a predstavlja teorijske osnove toplotne mehanike, posebno sklopova energetskih postrojenja,
toplotnih motora.
Termodinamika se temelji na eksperimentalno utvrđenim zakonima:
• Prvom postulatu ravnoteže koji kaže: Svaki sistem prirodnih tijela teži ravnotežnom stanju, a
kada postigne to stanje ne može ga više sam od sebe mijenjati.
• Drugom postulatu ravnoteže (tzv. Nulti zakon termodinamike) koji uspostavlja vezu između
sistema koji se nalaze u termičkoj ravnoteži.
• Prvom zakonu termodinamike, tj. zakon o očuvanju, održanju energije.
• Drugom zakonu termodinamike koji definiše smijer odvijanja procesa u prirodi i izražava
1

3. karakter tih procesa (povratni ili nepovratni).
• Trećem zakonu termodinamike koji omogućava određivanje entropije kao termodinamičke
veličine, a koja pokazuje smijer odvijanja procesa.
Osnovni termodimanički pojmovi
Materija (tvar)
Da bi se definisala materija sa termodinamičkog aspekta bilo bi potrebno poznavati sve njene fizičke
osobine u različitim vremenskim intervalima jer se one mijenjaju u toku vremena.
Radno tijelo (RT)
Koristi se u radnim mašinama za dobijanje rada sa osobinom da se u njemu može akumulirati određena
količina energije i da mu se ona može oduzeti.
Radno tijelo može biti:
• Gas (koristi se u motorima, kotlovima i gasnim turbinama)
• Vodena para (nastaje u parnim kotlovima a pokreće parnu turbinu)
• Tečnost (prenos topline)
• Čvrsto (kruto) radno tijelo
Sa termodinamičkog stanovišta najbolje radno tijelo je gas.
Idealan gas je zamišljena materija čiji su molekuli loptastog oblika, zanemarljivog prečnika i konačne
mase, a među molekulima vladaju zanemarljivo male međumolekularne sile.
Iako idealni gas u prirodi ne postoji zakoni izvedeni mogu se primjenjivati i na realne gasove.
Gas je po svojim osobinama bliži idealnom gasu ako mu je temperatura pri nekom određenem pritisku
viša ili pritisak pri nekoj stalnoj temperaturi niži.
Termodinamički sistem
Termodinamički sistem je onaj dio svijeta koji je predmet termodinamičkog proučavanja i od ostalog
prostora sistem je odvojen graničnom površinom koja može biti stalna ili zamišljena (pokretna ili
nepokretna). Okolina termodinamičkog sistema je sav preostali prostor koji nije uključen u sistem.
2

4. Između sistema i okoline izmjenjuje se masa i energija u obliku rada (L) i toplote (Q).
• Otvoreni termodinamički sistem je sistem koji kroz svoje granice razmjenjuje masu i energiju
sa okolinom,
Kontrolna zapremina predstavlja prostor obuhvaćen graničnom površinom kroz koju se
razmjenjuje masa i energija.
Površina koja obuhvata kontrolnu zapreminu naziva se kontrolna površina.
• Kod zatvorenog termodinamičkog sistema razmjena mase nije moguća, a može postojati
razmjena energije sa okolinom,
• Izolovani sistem je sistem kod koga nema izmjene topline a ni mase sa okolinom.
• Adijabatski sistem je termodinamički sistem koji sa okolinom može izmjenivati rad ali ne i
3
a) otvoren b) zatvoren c) izolovan

5. toplinu.
Granične površine termodinamičkog sistema mogu biti izolatori (kod izolovanih sistema), adijabatske
(kod adijabatskih sistema), dijatermičke granice (koje dozvoljavaju prenos energije u obliku topline),
pokretne (granice koje propuštaju rad) i nepokretne (granice koje ne propuštaju rad).
• Homogeni sistemi su oni sistemi čije su osobine jednake u svim njegovim dijelovima ili se
kontinualno mijenjaju od jednog do drugog mjesta.
• Heterogeni sistem sastoji se od dvije ili više različitih homogenih faza. Na granici faza osobine
sistema se naglo mijenjaju.
Agregatna stanja
Materijalna tijela u prirodi mogu se naći u tri agregatna stanja. Dovođenjem toplote tijelu slabe
međumolekularne sile unutar tog tijela i ono pod određenim uslovima prelazi iz čvrste u tečnu fazu.
Ako se nastavi sa procesom dovođenja toplote tijelo u određenom vremenskom trenutku i pod
određenim uslovima prelazi u gas. Ovaj proces zove se isparavanje, a njemu suprotan kondenzacija.
Sublimacija je proces kod koga tijelo pod određenim uslovima direktno prelazi iz čvste faze u gasovitu.
Obrnut proces zove se desublimacija.
Parametri stanja (parametri koji definišu sistem)
Stanje nekog termodinamičkog sistema određeno je parametrima stanja.
Parametri čija numerička vrijednost zavisi od količine materije u sistemu zovu se ekstenzivni (masa,
zapremina, unutrašnja energija) parametri.
Intenzivni parametri ne zavise od količine materije u sistemu (pritisak, temperatura).
Ekstenzivne veličine mogu se svesti na jedinicu mase i onda dobijaju karakter intenzivnih veličina.
Parametri mogu biti interni (definišu stanje nekog sistema) i eksterni (definišu sistem u odnosu na
okolinu).
Interni parametri zovu se još i veličinama stanja jer imaju istu vrijednost za jedno isto stanje
termodinamičkog sistema.
Veličine stanja su zapravo stepeni slobode. Da bi se stanje gasa jednoznačno definisalo dovoljno je
znati tri bilo koje veličine stanja, a u tehničkoj termodinamici uzimaju se one koje se jednostavno mjere
i imaju fizički smisao.
Osnovene termodinamičke veličine stanja su:
• p – pritisak [ Pa]
• T – temperatura [ K]
• v – specifična zapremina [
m
3
kg
]
4

6. Specifična zapremina i gustina predstavljaju molarne veličine stanja pri čemu specifična zapremina
predstavlja zapreminu jedinice mase.
v=
V
m
[
m
3
kg
]
Količina materije predstavlja fizičku veličinu definisana brojem strukturnih elemenata (atoma,
molekula, elektrona, jona...).
Jedinica količine materije je mol ali se vrlo često koristi i kmol.
vn=
V
n
[
m
3
mol
]
Molarna masa je molekulska masa radnog tijela, odnosno odnos mase radnog tijela i njegove količine.
M =
m
n
[
kg
mol
]
vn=
V
n
=
m⋅v
n
=M⋅v=
M
ρ
[
m
3
mol
]
Temperatura (T) se najčešće definiše kao stepen zagrijanosti nekog termodinamičkog sistema. Pojam
temperature ima znatno dublje fizičko značenje koje proizilazi iz molekularno-kinetičke teorije gasova.
Temperatura je spoljašnja manifestacija energije unutrašnjeg kretanja molekula sistema.
Temperatura je mjera ili pokazatelj srednje vrijednosti kinetičke energije translatornog kretanja
molekula posmatranog termodinamičkog sistema.
B⋅T =
m⋅̄v
2
2
gdje su:
B - koeficijent proporcionalnosti,
T - temperatura,
m - masa,
̄v -srednja brzina kretanja velikog broja molekula.
Pojam temperature utemeljen je u Nultom zakonu termodinamike tj. ako su dva sistema u toplotnoj
ravnoteži onda oni imaju istu temperaturu.
Mjerenje temperature nije moguće izvršiti neposredno pa se temperatura mjeri posredno mjerenjem
promjene fizičkih osobina neke druge materije koja se dovodi u termičku ravnotežu sa tijelom čija se
temperatura mjeri. Sve materije sa promjenom temperature mijenjaju svoje fizičke, mehaničke i
električne osobine.
Instrumenti za mjerenje temperature mogu se podijeliti na instrumente koji rade na principu kontaktnog
mjerenja temperature (živin termometar, razne vrste električnih termometara kao termoparovi, otporni
termometri i bimetalni termometri). Živin termometar je najstariji instrument za mjerenje temperature.
5

7. Temperaturno osjetljive osobine materije, koje se koriste u izradi instrumenata za mjerenje temperature
su:
- promjena zapremine;
- pritisak gasa pri konstantnoj zapremini;
- električni otpor u čvrstom tijelu (metalu);
- elektromotorna sila u dva različita metala ili poluprovodnika;
- intenzitet zračenja na visokim temperaturama i magnetni efekti na
ekstremno niskim temperaturama.
Instrumenti koji rade na principu bezkontaktnog mjerenja temperature podrazumjevaju mjerenje
temperature na nedostupnim objektima, visokonaponskim instalacijama, objektima koji se kreću
(termografija uz korištenje termografske kamere).
Za toplotno stanje materije mjerodavana je apsolutna temperatura (njena vrijednost u SI sistemu dobija
se korištenjem Kelvinove temperaturne skale T [K] = t [°C]+273.15.
Pored navedenih temperaturnih skala u upotrebi su i Farenhajtova i Remurova skala.
Pritisak možemo definisati kao normalnu silu koja djeluje na jedinicu površine.
P=
F
A
[
N
mm
2
=Pa]
1bar=10
5
Pa
1 atm. = 760 mmHg - fizička
6
Temperaturne skale

8. 1 atm. = 735.6 mmHg – tehnička
Atmosferski ili barometarski pritisak je pritisak kojim vazduh djeluje na površinu zemlje.
Apsolutni pritisak je stvarni pritisak nekog gasa ili tečnosti u zatvorenoj posudi.
Pritisak gasa u zatvorenoj posudi može biti različit (manji, veći ili jedank atmosferskom).
Ako je pritisak gasa u nekoj posudi veći od atmosferskog radi se o nadpritisku ili manometarskom
pritisku, a ako je manji od atmosferskog govorimo o podpristisku ili vakuumskom.
Atmosferski pritisak mjeri se barometrom, nadpritisak manometrom, a podpritisak vakuummetrom.
Nadpritisak i podpritisak zavise od vrijednosti atmosferskog pritiska, a koji se mijenja sa promjenom
atmosferskih uslova i nadmorske visine. Zbog toga nadpritisak i podpritisak ne karakterišu stanje
termodinamičkog sistema tj. nisu veličine stanja.
Veličina stanja je samo apsolutni (stvarni) pritisak.
Ako je pritisak u zatvorenoj posudi veći od atmosferskog pritiska, apsolutni pritisak dobije se kao zbir
atmosferskog pritiska i nadpritiska.
p=pb+ pa
Ako je pritisak u zatvorenoj posudi manji od atmosferskog pritiska, apsolutni pritisak se dobije kao
razlika atmosferskog pritiska i podpritiska ili vakuma.
p=pb−pa
7
p= pb + pn p= pb− pv

9. Pritisak u podpritisnim rezervoarima se često izražava kao vakum i to u % (procentima)
%pv=
pv
pb
100
Za mjerenje pritiska koriste se mehanički ili električni uređaji pri čemu se vrijednost pritiska direktno
očitava sa Burdonovog manometra, a kod cijevi određuje se mjerenjem visine stupca tekućine.
Zapremina je prostor ispunjen materijom mase m odnosno prostor koji zauzima neki sistem.
Zapremina materije zavisi od njene mase pa se za veličinu stanja uzima specifična zapremina koja
odgovara jedini zapremini mase.
v=
V
m
[
kg
m
3
]
Često se u termodinamici koristi jedinica za količinu materije tzv. normalni metar kubni (mn
3
) koji
predstavlja onu količinu gasa koja pri normalnim uslovima p=760 mmHg i t=0 ºC zauzima zapreminu
od 1 m
3
.
8
a) s U-cijevi b)s Bourdon-ovom cijevi
Manometri

10. Termička ravnoteža
Stanje radne materije je posljedica unutrašnjih mikroskopskih promjena unutar radne materije. Ovo je
određeno veličinama stanja (p,v,T).
Pod termodinamičkom ravnotežom se podrazumjeva stanje radne materije kod koje su svi njeni dijelovi
u mehaničkoj, termičkoj i hemijskoj ravnoteži i ne postoji uticaj okoline na termodinamički sistem i
obratno i nema izmjene topline i rada sa okolinom (zatvoren i izolovan sistem).
Za termodinamiči sistem kaže se da je u mehaničkoj ravnoteži ukoliko u svim dijelovima materije
vlada isti pritisak. Termička ravnoteža je posljedica jednakosti temperatura u svim dijelovima radne
materije, a hemijska ravnoteža je posljedica jednakosti unutrašnjeg hemijskog sastava i koncentracije
materije.
Termička jednačina stanja
Analitička jednačina koja uspostavlja vezu između pritiska, temperature i zapremine termodinamičkog
sistema naziva se termička jednačina
Eksplicitni oblik
p=p (T,v)
T= T (p,v)
v= v (p,T)
Implicitni oblik
F (p,v,T)=0 (eksperimentalno i analitički iz kinetičke teorije gasova)
Nulti zakon termodinamike
Nulti zakon termodinamike u literaturi naziva se još i drugi postulat ravnoteže. Uspostavlja termičku
ravnotežu između posmatranih termodinamičkih sistema i glasi:
Ako su sistemi A i B u termičkoj ravnoteži i sistem B u ravnoteži sa nekim sistemom C onda su u
ravnoteži i sistemi AC.
9

11. Pomoću ovog zakona može se objasniti mjerenje temperature, ako je sistem C termometar koji se
dovodi u toplotnu ravnotežu sa drugim sistemima, tijelima, onda se na osnovu ponašanja sistema
(tijela) C zaključuje o temperaturama sistema (tijela) sa kojima je ovaj sistem bio u kontaktu.
Proces
Pod procesom se podrazumjeva prelazak termodinamičkog sistema iz jednog stanja u drugo stanje pri
čemu dolazi do promjene jedne ili više veličina stanja tog sistema.
10
Radni pv dijagram

12. Ciklus
Ako termodinamički sistem prolazi kroz niz međustanja od početnog do krajnjeg i na kraju se vraća u
početno stanje kaže se da je izvršio ciklus ili zatvoreni proces ( npr. rad SUS motora kod koga se proces
ponavlja u jedinici vremena).
Energija
Energija je jedna od osobina materije i ispoljava se u raznovrsnim neprekidnim makroskopskim i
mikroskopskim promjenama stanja sistema odnosno njegovih čestica. Svaki sistem ima svoje
energetsko stanje i iz iskustvenog zakona o održanju energije slijedi da se energija ne može stvoriti niti
uništiti nego samo prelazi iz jednog oblika u drugi.
Zbir svih oblika energije u izolovanom sistemu ima konstantnu vrijednost.
Energija se najčešće pojavljuje kao:
• Akumulirana – vezana za termodinamiči sistem
• Energija prelaznog oblika
Promjena akumulirane energije mjeri se promjenom nekih osobina sitema u odnosu na usvojeno
referentno stanje. Zbog toga se ne govori o apsolutnom iznosu potencijalne i kinetičke energije nego o
njihovoj promjeni u toku nekog procesa.
Ona može biti:
• Potencijala – Ep
• Kinetička – Ek
• Unutrašnja – U
• Hemijska – Ec
11
Ciklus

13. • Električna – Ee
• Nuklearna – En
• Energija elastične deformacije – Ed
Energija prelaznog oblika javlja se kada akumilirana energija mijenja svoj oblik i predstavlja rezultat
energijske interakcije između sistema i okoline.
Ukupna energija sistema odgovara zbiru njenih pojedinačnih oblika.
E=U+Ek+Ep+Ec+Ee+En+Ed=∑Ei
U procesima koji su predmet proučavanja promjena energije sistema može se izraziti jednačinom:
∆E=∆U+∆Ep+∆Ek=∑Ei, promjene ∆U=∆Ep=∆Ek=0
Unutrašnja energija
Unutrašnja toplotna energija U odgovara zbiru potencijalne i kinetičke energije kretanja atoma i
molekula unutar nekog tijela. Ukoliko je to kretanje brže i intenzivnije unutrašnja energija tijela bit će
veća.
Potencijalna energija se javlja usljed djelovanja međumolekularnih privlačnih sila koje su za idealan
gas zanemarive te se zbog toga unutrašnja toplotna energija naziva unutrašnja energija i ona predstavlja
zalihu energije u nekom sistemu. Ona raste sa temperaturom pa se kaže da je vanjska manifestacija
unutrašnje energije temperatura tijela μ=U(T).
Unutrašnja energija obilježava se da U i zavisi od mase sistema m.
μ=
U
M
[
J
kg
]
Unutrašnja energija jedinice mase predstavlja veličinu stanja. Pogrešno bi bilo unutrašnju energiju
poistovijetiti sa toplinom. Unutrašnja energija karakteriše stanje sistema, a toplina se javlja samo pri
prelasku stanja sistema. Dovedu li se dva tijela, hladnije i toplije, u međusobni kontakt, čestice sa
većom kinetičkom energijom u međusobnim sudarima predaju energiju česticama sa manjom
kinetičkom energijom, usporavaju se i toplije tijelo se hladi, a čestice hladnijeg tijela se ubrzaju i tijelo
se grije.
Toplota je onaj dio unutrašnje energije koji sa tijela više temperature prijeđe na tijelo niže temperature
dok im se temperature ne izjednače. Kada se temperature izjednače nema više prelaza unutrašnje
energije ni toplote.
12

14. Termička ravnoteža je izjednačavanje temperature pri čemu toplota prelazi sa tijela više na tijelo niže
temperature dok se ne izjednače i ne uspostavi ravnoteža.
Vanjski uticaji
Energetske interakcije između sistema i okoline mogu biti različite.
Toplota i zapreminski rad su vanjski uticaji na termodinamički sistem, nisu veličine stanja, ali djeluju
na promjenu stanja sistema.
Toplota
Sa dovođenjem toplote materijalnom tijelu dolazi do povećanja njegove temperature ili promjene
agregatnog stanja.
Toplotni kapacitet materijalnog tijela je količina toplote koju je potrebno dovesti materijalnom tijelu
da bi mu se temperatura povećala za 1 °C.
TC=
dQ
dT
[J / K ]
Specifična toplina je toplotni kapacitet jedinice mase tijela.
c=
dq
dT
[J / kgK ]
Ova definicija specifične topline i nije baš najbolja jer je eksperimentalno dokazano da za prijenos
specifične topline nije odlučujuća samo vrsta materije nego i promjena stanja.
13

15. dq=c⋅dT
Specifičnu toplinu bi trebalo definisati kao količinu topline koju jedinica količine materije u toku neke
promjene razmijeni sa okolinom. Prava specifična toplina odnosi se na jednu određenu temperaturu.
Srednja specifiččna toplina posmatrana u jednom intervalu računa se kao:
c
(T1
−T 2)
=
c
(0−T 2)
T2−c
(0−T 1)
T1
T2−T 1
[ J
kgK ]
Za gasove najveći značaj imaju specifične topline pri konstantnom pritisku.
cp – specifična toplina pri konstantnom pritisku
cv – specifična toplina pri konstantnoj zapremini
cv – količina toplote koju je potrebno dovesti nekom gasu da bi mu se temperatura povećala za 1 °C.
Kod cp da bi povećali temperaturu gasa za 1 °C bilo bi potrebno dovesti toplotu koja se troši na
povećanje unutrašnje energije i rad zbog širenja gasa.
(c p>cv)
Kod čvrstih tijela i tečnosti specifična toplina je uglavnom funkcija temperature.
Ovako definisana specifična toplina odnosi se na 1 kg materije.
Specifična toplina za 1 kmol nekog gasa računa se kao:
̄c=c⋅M
[ J
kmolK ]
gdje je:
M [kg/kmol] – molekulska masa gasa.
Za izobarsku promjenu:
̄c p=cp⋅M
Za izohorsku promjenu:
̄cv=cv⋅M
14

16. Količina toplote izobarske, izohorske i politropske promjene:
(dq)p=cp⋅dT
(dq)v=cv⋅dT
(dq)n=cn⋅dT
(q1,2)p
=∫
1
2
cp⋅dT =c p∫
1
2
dT=cp⋅(T 2−T 1)
(q1,2)v
=∫
1
2
cv⋅dT=cv∫
1
2
dT=cv⋅(T 2−T 1)
Zapreminski rad
Odlika gasovitih materija je da lahko mijenju svoju zapreminu. U opštem slučaju pri promjeni
zapemine mijenja se i pritisak.
Posmatrat ćemo jedan termodinamički sistem sa idealnim gasom unutar cilindra sa jednom pokretnom
granicom (klip cilindra). Predpostavnja se idealni slučaj kod koga pri promjeni zapremine ne dolazi do
promjene pritiska. Do pomjeranja klipa može doći samo usljed pomjeranja vanjske sile F. transfer
(prelaz) energije kroz granicu sistema ekvivalentan je djelovanju sile na putu dx i predstavlja izvršeni
rad.
dL=F⋅dx
Pored vanjske sile F koja djeluje na klip cilindra sa unutrašnje strane molekuli gasa pritiska P djeluju na
čelo klipa silom Fp.
F p= p⋅A
Pri sporom kretaju klipa dolazi do mehaničke ravnoteže i izjednačavanja ove dvije sile.
15

17. F=F p
dL=p⋅A⋅dx= p⋅dV
Za 1 kg radne materije dobija se da je:
dl= pdv
l1,2=∫
v1
v2
pdv
Rad u p,v-dijagramu za slučaj izohorske i izobarske promjene stanja
l1,2=∫
v1
v2
pdv=0 l1,2=∫
v1
v2
pdv= p(v2−v1)
Zapreminski rad je vanjski uticaj na termodinamički sistem.
Kod čvrstih tijela vanjska sila može vršiti rad nad radnim tijelom a da pri tome ne dođe do promjene
oblika tijela. Ovdje se posmatra samo rad vanjskih sila koje uzrokuju promjenu zapremine radne
materije. Takav rad se zove zapreminski i predstavlja jedan od vanjskih uticaja na termodinamički
sistem.
Poredeći rad dovedem materiji pri kompresiji i rad koji se odvodi materiji pri ekspanziji sa radom
napisanim u prethodnoj jednačini može se zaključiti da je rad pri kompresiji veći od ovog rada, a rad
pri ekspanziji manji. Pri ovom poređenju u izrazu dl= pdv računa se sa nekom srednjom vrijednosti
pritiska.
16

18. Rad vanjske sile, koja djeluje u smjeru smanjenja zapremine, je:
dl=Fdx= p
,
dv> p
,,
dv
Gdje je:
p' –pritisak molekula gasa uz zid
p'‘- pritisak moelekula u ostalom dijelu gasa (p''< p' )
Pod „normalnim uslovima“ se u termodinamici podrazumijeva pritisak od 1,013 bar i temperatura 0ºC.
Osnovni zakoni idealnih gasova
Zakoni koji objašnjavaju makroskopska stanja gasova nastali su prije nekoliko vijekova i predstavljaju
temelj termodinamike.
1. Bojl – Mariotov zakon (Boyle – Mariott)
Boylle-Mariottov zakon (zavisnost između pritiska i zapremine pri konstantnoj temperaturi)
pv=const . (za T =const.)
p1 v1=p2 v2 ⇒
p1
p2
=
v2
v1
Boyle-Mariottov eksperiment
17

19. Izoterme – linije konstantne temperature.
2. Gej – Lisakov zakon (Gay – Lussac)
Na osnovu eksperimenta sa različitim gasovima dokazano je da svi gasovi u istom temperaturnom
intervalu i uz konstantan pritisak ( p=const.) imaju jednak koeficijent širenja.
Kasnije je utvrđeno ograničenje zakona za male pritiske i temperature, tj. za približno idealne gasove.
v
T
=const. (za p=const.)
v1 T 2=v2 T1 ⇒
v1
v2
=
T 1
T 2
18
Gay-Lussacov eksperiment

20. 3. Šarlov zakon (Charles)
Ukoliko je zapremina konstantna događa se izohorna promjena stanja. Pritisak se mijenja
proporcionalno sa temperaturom pa Charles-ov zakon glasi:
p
T
=const. za v=const.
p1 T2= p2 T1 ⇒
p1
p2
=
T 1
T 2
19
Izobarne promjene stanja
Charles-ova eksperiment

21. Ova tri zakona povezuju tri osnovne veličine stanja idealnog gasa p,v,T.
Kako se radi o međusobno zavisnim fizičkim veličinama moguće ih je povezati u jedinstvenu
jednačinu.
p1 v1
T1
=
p2 v2
T 2
4. Avogadrov zakon
Odnosi se na različite gasove pri istim pritiscima, temperaturama i zapreminama. Dva različita gasa
koji imaju iste temperature imat će iste srednje kinetičke energije molekula. T1=T2
Ako je p1=p2 onda imaju isti broj molekula po jedinici zapremine.
n1'=n2' [
n
m
3
]
N 1
V 1
=
N2
V 2
=const.
Ako su im iste zapremine V1=V2, tada je i na osnovu:
20
Zavisnost pritiska od temperature po Charles-ovom
zakonu

22. p1=p2 →
N 1
V 1
=
N 2
V 2
i V1=V2 → N1=N2
Prema tom, različiti gasovi koji zauzimaju iste zapremine i nalaze se pri istim temperaturama i
pritiscima sadrže i jednak broj molekula (Avogadrov zakon).
Na osnovu tog zakona odnos gustina će biti:
ρ1
ρ2
=
m1
V
m2
V
=
m1
m2
=
n1⋅M 1
n2⋅M 2
=
M1
M2
M1
M 2
=
ρ1
ρ2
→
M 1
ρ1
=
M 2
ρ2
odnosno
M 1⋅v1=M 2⋅v2=const.
M⋅v=vm [
m
3
mol
] - molarna zapremina
Mv=const.
Jednačina stanja idealnog gasa
Iz prethodne jednačine jednostavno je dobiti jednačinu stanja idealnog gasa.
( pv )T =const.
pv= f 1(T )
v= f ( p)⋅T
p⋅v= p⋅f ( p)⋅T =φ( p)⋅T
f 1 (T )=φ( p)⋅T
Obzirom na činjenicu da je f1 (T) isključivo funkcija temperature, φ (p) mora biti neka konstanta.
φ( p)=R Gasna konstanta R [ J /kgK ]
Opšti oblik jednačine stanja za 1 [kg] idealnog gasa :
pv=RT
21

23. Diferencijalni oblik ove jednačine je:
pdv+vdp=RdT
Za masu od m [kg] nekog gasa jednačina stanja idealnog gasa glasi:
R=
pv
T
pvM =MRT
ili
pV M=MRT gdje je V M =v⋅M [m3/kmol]
Jednačine stanja za dva idealna gasa , koja imaju isti pritisak i temperaturu su:
pV M1=M 1 R1T
pV M2=M 2 R2 T
Dijeljenjem ove dvije jednačine dobija se:
V M1
V M2
=
M 1 R1
M 2 R2
(V M1=V M2=...=V Mn) (za iste fizikalne uslove)
Univerzalna gasna konstanta koja ima istu vrijednost za sve gasove, za razliku od R gasne konstante
koja je različita.
M 1 R1=M 2 R2=...=M n Rn=8314 ,7
[ J
kmolK ]
22
mRTpV =

24. Jednačina stanja realnih gasova
Između molekula realnog gasa djeluju privlačne i odbojne sile pa zbog postojanja sila odbijanja
molekuli realnih gasova ne mogu da se dodiruju (oko svakog molekula postoji nekakva fiktivna
zapremina u koju ne dolazi drugi molekul). Prema tome zapremina u kojoj se kreću molekuli gasa
manja je za određene veličinu v koja je ustvari ukupna zapremina svih pojedinačnih fiktivnih
zapremina. Njena veličina b zavisi od prirode gasa i približno je jednaka četverostrukoj ukupnoj
zapremini molekula. Tako realan gas smješten u zapremini V ponaša se kao idealan gas u zapremini
v-b, i prema jednačini idealnih gasova pv=RT stvara pritisak p=
R⋅T
v−b
[ Pa] .
Zbog sila privlačenja molekula realnog gasa u trenutku udara o zidove suda imaju manju brzinu nego
molekuli idealnog gasa pri istoj temperaturi. Pritisak realnog gasa je manji od pritiska idealnog gasa za
neko Δp koje je po nekim proračunima obrnuto proporcionalno kvadratu specifične zapremine.
Δp=
a
v
2
[ Pa]
a – koeficijent proporcionalnosti zavisan od prirode gasa
p=
R⋅T
v
2
−
a
v
2
[ Pa]
( p+
a
v
2
)(v−b)= R⋅T [ Pa] - ovu jednačinu nazivamo Van-der-Walsova jednačina
Ova jednačina se koristi u ograničenoj oblasti stanja (pri malim pritiscima i visokim temperaturama).
Termodinamički procesi
Proces pri kome nastaje promjena stanja naziva se termodinamički proces.
Pri odvijanju takvog procesa sistemi prelaze iz nekog prvobitnog u konačno ravnotežno stanje.
I – Kvazistatički i nekvazistatički procesi
Kvazistatička promjena stanja je idealizovan granični slučaj kad se sistem stalno nalazi beskonačno
blizu ravnotežnih stanja.U svakoj fazi procesa zadovoljena je mehanička ravnoteža, odnosno razlika
između unutarnjih i spoljnih sila, tj. razlika između pritiska sistema i okoline je beskonačno mala.
Takve procese obično prikazujemo punom linijom na termodinamičkom dijagramu i za svako
međustanje se može primijeniti jedančina stanja.
23

25. Da bi se neki kvazistatički proces ostvario u realnim uslovima, u tom slučaju je potrebno eliminisati
trenje, a sam proces da teče beskonačno sporo.
Iako je to neostvarivo ipak se za njih izvedeni zaključci uz određena ograničenja i korekcije
primjenjuju i na realne procese.
U toku realnog termodinamičkog procesa sistem prolazi kroz niz neravnotežnih stanja i takav proces
nazivamo nekvazistatički ili nestatički i jednačina stanja važi samo za ravnotežna stanja
(nekvazistatičke promjene se ne mogu prikazivati na dijagramima, nego se samo uslovno prikazuju
ispekidanom proizvoljnom linijom), pa se ne može primijeniti promjena stanja osim za nekvazistatičke
promjene stanja osim za početno i krajnje stanje.
II – Povratni i nepovratni procesi
Ako sistem u kome protiče proces može da se vrati u početno stanje na taj način da se u okolnoj sredini
ne izvrše nikakve promjene proces se naziva povratni ili reverzibilni.
Ukoliko je početno stanje nemoguće uspostaviti ili se uspostavlja poslije određenih promjena u okolini
takav proces se nepovratan ili ireverzibilan.
Poznato je da kvazistatički procesi protiču pri mehaničkoj ravnoteži i oni su mehanički povratni. Uslov
održanja povratnog procesa je da se radno tijelo nalazi u mehaničkoj i termičkoj ravnoteži sa okloinom
pa za povratne procese kažemo da su i mehanički i termički procesi.
U prirodi takvih idealizovanih procesa nema, jer svi realni prirodni procesi odvijaju se sa konačnim
brzinama uz pojave gubitaka usljed trenja i sa drugim disipativnim efektima pa su to nepovratni
procesi.
Međutim, na osnovu povratnih procesa vrši se kroz tehničku termodinamiku ispitivanje kvaliteta i
efektivnosti tehničkih postrojenja i uređaja.
Kad dobijemo neke zaključke pri povratnim procesima samo se prilagođavaju nepovratnim procesima.
24
Kvazistatički proces Nekvazistatički proces

26. Nepovratni procesi npr. su: strujanje gasa u cilindru (proces širenja gasa), proces strujanja gasa iz lijeve
u desnu komoru...
III – Stacionarni strujni procesi
Tehnička praksa praksa puna je brojnih primjera uređaja, aparata i postrojenja u kojima struji radno
tijelo i otvoreni sistemi su:
• izmjenjivači toplote,
• kompresori,
• turbine,
• cjevovodi itd.
Pri analizi takvih otvorenih sistema uočava se kontrolna zapremina koja je ograničena zamišljenom
granicom kontrolne površine.
Struja fluida ulazi kroz ulazni presjek 1 a napušta sistem kroz izlazni presjek 2. Unutar sistema stanje
fluida se neprekidno mijenja od početnog stanja 1 na ulazu do konačnog stanja 2 na izlazu.
25
Stacionarni proces

27. ˙m – maseni protok [
kg
s
]
Maseni protok predstavlja protok mase u jedinici vremena.
Strujni proces je stacionaran ako su ispunjeni uslovi:
a) Veličine stanja fluida (v,p,T) koji struji u čitavoj oblasti kontrolisane zapremine se ne mijenjaju
u toku vremena.
b) Kontrolisana zapremina se ne kreće u odnosu na usvojeni koordinatni sistem, kreće se samo
fluid.
c) Maseni protok kroz kontrolisanu površinu je konstantan.
˙M =
ΔM
Δτ
=const. [
kg
s
]
˙V=
ΔV
Δτ
[
m
3
s
] - zapreminski protok
Također je ukupni maseni protok na ulazu u kontrolnu zapreminu jednak ukupnom masenom
protoku protoku na izlazu iz nje.
d) Protok energije u obliku toplote i rada kroz kontrolnu površinu je konstantan. U veličine stanja
fluida koji struji ubrajaju se i njegova brzina.
- U slučaju stacionarnog procesa ona je konstantna.
- Srednja brzina određuje se na osnovu masenog protoka kao i zapreminskog protoka.
˙V=A⋅ω
˙m⋅v=A⋅ω → ω=
˙m⋅c
A
=
˙m
ρ⋅A
Kod stacionarnih procesa maseni protok je konstantan.
˙m=ω1 ρ1 A1=ω2 ρ2 A2 - Jednačina kontinuiteta za stacionarno stanje
dA
A
+
d ( ρω)
ρω
=
dA
A
+
dω
ω
−
dV
V
- Diferencijalni oblik jednačine kontinuiteta
26

28. Smjese idealnih gasova
Osim homogenih gasova u prirodi kao i u laboratorijskim uslovima srećemo njihove smjese (vazduh,
produkti sagorijevanja...)
Smjese idealnih gasova sastavljene su od više elementarnih gasova i u tehničkoj praksi se češće
pojavljuju nego čisti gasovi. Vazduh je smjesa gasova u kojoj preovladavaju kisik i azot. Gasoviti
produkti sagorijevanja također su sastavljeni od više gasova čiji sastav zavisi od vrste goriva i uslova
sagorijevanja.
Računajući da u smjesi koja već egzistira nema hemijske reakcije između komponenata, onda važe svi
zakoni gasova kao i jednačina stanja u odgovarajućem obliku.
Ako se posmatra posuda u kojoj se nalazi n1 kmol-ova komponente 1, n2 kmol-ova komponente 2 itd.,
gasovi se unutar posude miješaju i ako su prije miješanja sve komponente imale isti pritisak i
temperaturu, nakon miješanja će svaka od komponenti zauzimati zapreminu posude.
Ako se jednačina stanja idealnog gasa primijeni na smjesu i pomnoži sa ukupnim brojem kmol-ova
mješavine n uzimajući u obzir V M =v⋅M [
m
3
kmol
] dobije se jednačina stanja za smjesu:
p⋅V M⋅n=n⋅M⋅R⋅T
p⋅V M =(n1+n2+...+nn)⋅M⋅R⋅T
p=(n1+n2+...+nn)
MRT
V
Svaka od komponenti smjese u procesu miješanja zauzima cijelu zapreminu smjese ali uspostavlja svoj
pritisak nezavisno o ostalim komponentama smjese.
Zapreminu smjese Vs zauzima svaka komponenta jer molekuli teže da zauzmu prirodan, odnosno
ravnomjeran raspored po čitavoj zapremini. Pošto smjesa već postoji, temperatura smjese je
istovremeno i temperatura bilo koje od komponenata.
Pritisak pojedine komponente u ukupnoj smjesi naziva se parcijalni pritisak. On predstavlja onaj
pritisak kojim taj gas djeluje na zidove posude kada zauzme zapreminu smjese. Sabiranjem jednačina
stanja za sve komponente smjese dobija se:
( p1+ p2+...+ pn)=(n1+n2+...+nn)
MRT
V
Iz ove jednačine dobiva se Daltonov zakon koji definiše pritisak smjese kao zbir parcijalnih pritisaka
komponenti smjese.
p=∑
i=1
n
pi (∀ i=1,2,3,...n) - Daltonov zakon
Ako se u nekoj smjesi nalaze gasovi čije su mase od m1 do mn onda se maseni udjeli definišu kao odnos
mase komponente mješavine i ukupne mase smjese.
g1=
m1
mm
g2=
m2
mm
....... gn=
mn
mm
- Maseni udio komponente u ukupnoj masi
27

29. g1+g2+...+ gn=1 (100 %)
Zapreminski udjeli komponenti smjese predstavljaju odnos parcijalne zapremine i zapremine smjese.
r1=
V1
V m
r2=
V 2
V m
.......rn=
V n
V m
- Zapreminski udio komponente u ukupnoj zapremini mase
r1+r2+...+rn=1 (100 %)
Pošto se smjesa gasova sastoji od raznorodnih molekula, onda ne može biti riječi o molekuli smjese pa
je uvedena uslovna veličina tzv. prividna molekulska masa smjese Ms, koja predstavlja molekulsku
masu fiktivnog homogenog gasa koje je po svojim fizičkim osobinama identičan posmatranoj smjesi.
ri=
Vi
V
=
pi
p
=
ni
n
Ako se za svaku komponentu smjese napiše jednačina stanj idealnog gasa dobija se sistem jednačina
p1⋅V=m1⋅R1⋅T
p2⋅V =m2⋅R2⋅T
⋮ ⋮
pn⋅V =mn⋅Rn⋅T
Ako ove jednačine saberemo
( p1+ p2+...+ pn)=(m1 R1+m2 R2+...+mn Rn)T
p⋅V =(m1 R1+m2 R2+...+mn Rn)T /:m
p⋅V
m
=( g1 R1+g2 R2+...+ gn Rn)T
p·V=Rs·T – Jednačina stanja smjese idealnih gasova
Rs – gasna konstanta smjese
Rs=∑
i=1
n
gi Ri
Ako je poznata gasna konstanta smjese idealnih gasova Rs, zatim molekularna masa smjese Ms, može
se odrediti iz univerzalne gasne konstante za smjesu idealnih gasova, tj.
M s⋅Rs=8314.7 [
J
kmolK
]
M s=
8314.7
Rs
[ kmol]
ri=
gi⋅Ri
∑(gi⋅Ri)
28

30. gi=
ri⋅Mi
∑(ri⋅M i)
Prvi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike je poseban slučaj zakona o održanju energije. Na osnovu tog zakona
energija se ne može stvoriti niti uništiti nego samo pretvarati iz jednog oblika u drugi, pri čemu je
ukupna energija izolovanog sistema konstantna.
E=∑ ΔEi=const.
Promjena energije izolovanog sistema je 0.
ΔE=∑ ΔEi=0
Eul.=Eizl. +ΔE
Za tehničku termodinamiku od posebnog značaja je pretvorba mehaničkog rada u toplotu i obratno.
Džul je nizom eksperimenata pronašao tačne relacije između toplote i rada (za eksperiment je koristio
posudu sa vodom u koju je bila smještena mješalica koju je pokretao mehanizam sa užetom, koturom i
tegom. Posuda je bila izolovana u odnosu na okolinu, a promjena temperature je praćena pomoću
termometra.)
29

31. Na slici je prikazan termodinamički sistem koji čini gas početnog stanja 1 zatvoren u cilindru.
Dovođenjem toplote Q12 ovom sistemu, dolazi do širenja gasa unutar cilindra i do povećanja njegove
zapremine, pri čemu dolazi do pomjeranja klipa iz početnog stanja 1-1 u konačno stanje 2-2.
Zakon održanja energije primjenjen na ovaj sistem pod uslovom da u sistemu nisu nastupile nikakve
druge promjene glasi:
Q12= U2 – U1 + L12 - Matematički oblik prvog zakona termodinamike
Toplota se dovedena nekom sistemu troši na povećanje unutrašnje energije i vršenje rada.
Q12=ΔU + L12
Prethodni izraz vrijedi uz poštovanje dogovora o predznaku za toplotu i rad.
Dovedena toplota sistemu se smatra pozitivnom, a odvedena negativnom. Uloženi rad je negativan, a
odvedeni pozitivan.
Ako se prvi zakon termodinamike napiše za 1 kg nekog gasa, dobijamo:
q12=U1-U2+l12
dq=du+dl
dg=du+pdv
30

32. Unutrašnja energija
Molekularna struktura materije djeluje kao rezervoar energije koja se naziva unutrašnja energija.
Unutrašnja energija ne zavisi od makroskopske brzine ili pozicije materijalnog tijela u prostoru, već od
veličina stanja kao što su pritisak i temperatura. Unutrašnja energija je ekstenzivna veličina, ali njenim
svođenjem na jedinicu mase definiše se specifična unutrašnja energija u kao veličina stanja.
Veza između unutrašnje energije i ostalih veličina stanja data je preko kalorične jednačine stanja u
sljedećem obliku:
u=u(T,v)
u=u(p,T)
u=u(p,T)
Eksperimentalna veza uspostavila je zavisnost unutrašnje energije i temperature kod idealnih gasova.
Dvije posude A i B smještene su u dobro izolovan sud sa vodom. Unutar prve posude A nalazi se gas
parametara pA,TA,vA. Posude A i B mogu se međusobno spojiti otvaranjem ventila nakon čega gas iz
posude A prelazi u posudu B.
Pri ovom procesu dolazi do promjene njegove zapremine i pritiska. Prije otvaranja ventila izmjeri se
temperatura vode s obzirom na činjenicu da se gas u posudi A širi temperatura u toj posudi će se sniziti
u odnosu na početno stanje, dok će se u posudi B nešto povisiti. Za kratko vrijeme dolazi do
uspostavljanja termičke ravnoteže. Ako se izmjeri temperatura vode po uspostavljanju termičke
ravnoteže primijetit će se da nije došlo do promjene u odnosu na početnu izmjerenu vrijednost
temperature. Na osnovu toga se zaključuje da se u eksperimentu nije dovodila niti odvodila toplota
(Δq=0). Kako sistem nije vršio zapreminski rad (l12=0) slijedi da unutrašnja energija idealnog gasa nije
funkcija pritiska i zapremine, nego samo temperature.
U2 - U1= 0 U2 =U1
31

33. Kod realnih gasova se temperatura u opisanom eksperimentu pri višim pritiscima mijenja tako da je
u=u(p,v,T).
Primjenjujući prvi zakon termodinamike na izohosrku promjenu stanja (v=const.) dobije se
dq=du+pdv / : dt
(
dq
dT
)
v
=(
du
dT
)=cv
(dq)v=du
(dq)v=cv · dT=du vrijedi za bilo koju promjenu stanja idealnog gasa
Promjna unutrašnje energije između krajnjih tačaka procesa je:
u2 – u1 = cv (T2 – T1)
Primjenom prvog zakona termodinamike za izobarsku promjenu (p=const.) dobije se:
(dq)p = du + pdv
cp dT = cv dT + RdT
cp = cv dT + RdT
cp – cv = R Mejarova jednačina koja uspostavlja vezu između specifične topline pri
konstantnom pritisku i specifične topline pri konstantnoj zapremini.
cp
cv
=κ - eksponent adijabate (kapa)
32

34. Izohorska promjena stanja
Ako se gasu u zatvorenoj posudi dovodi određena količina toplote Q pri konstantnoj zapremini doći će
do promjene njegovog pritiska i temperature. Na osnovu Šarlovog zakona, početno i krajnje stanje kod
izohorne promjene povezani su relacijom
p1T2=p2T1
Iako je pri ovoj promjeni došlo do rasta pritiska u posudi gas ne može izvršiti rad jer je zapremina
konstantna.
Razmijenjena količina toplote pri ovoj promjeni može se dobiti iz prvog zakona termodinamike
dq=du+pdv
dv=o, v=const.
dq=du=cv dT
q1,2=cv(T2 – T1)=cv · ΔT
33

35. Izobarska promjena stanja
Izobarska promjena stanja je promjena koja se odvija pri konstantnom pritisku. Odnos između veličina
stanja, rad koji se vrši i količina toplote koja se odvodi ili dovodi radnom tijelu mogu se odrediti na
osnovu sljedećeg eksperimenta.
Ukoliko se posmatra zatvoreni cilindar u kome se nalazi idealni gas stanja 1 (p,v,T). Gas je zatvoren
klipom na kome se nalazi uteg težine G. Dovođenjem neke količine toplote Q gas će se zagrijati na
temperaturu T2. Zbog povećanja temperature povećat će se i zapremina gasa, a pritisak ostaje
nepromjenjen u toku procesa. Za početno i krajnje stanje kod izobarske promjene vrijedi Gej-Lisakov
zakon.
v1T2=v2T1
Razmjena količine toplote pri izobarskoj promjeni dobiva se iz prvog zakona termodinamike.
dq=du+pdv
dq=cv dT + pdv
Primjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa u diferencijalnom obliku na izobaru dobija se:
pv=RT
pdv+vdp=RdT
34

36. dp=0
pdv=RdT
dq=cv dT + RdT
dq=(cv + R)dT
dq=cp dT
cp – specifična toplota pri konstantnom pritisku
q1.2=cp(T2-T1)
l1,2=∫
v1
v2
pdv=p(v2−v1) lt1,2=0
Primjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa na krajnja stanja izobarske promjene dobija se:
l1,2=R(T2 – T1)
u2 – u1= Δu = cv (T2 – T1)
Izotermska promjena stanja
Promjena stanja idealnog gasa pri kojoj temperatura ostaje nepromjenjena naziva se izotermska
promjena. Ako se posmatra sistem koji čini neizolovani cilindar sa idealnim gasom kroz čije zidove
prolazi određena količina toplote iz okoline. Ako se proces širenja gasa odvija sporo temperatura gasa i
okoline neće se bitno razlikovati, pa se može primijeniti Bojl-Mariotov zakon.
pv=const. (T=const, R=const.)
Do jednačine izoterme pv=const. može se doći i
primjenjujući jednačinu stanja idealnog gasa.
Za dva stanja:
p1v1=RT1
p1v2=RT2
T1=T2=T
p1v1=p1v2=RT=const.
Jednačina izoterme u pv dijagramu predstavlja
istostranu hiperbolu.
dq=du+dl
35

37. dq=du+pdv
dq=cv dT + pdv
dq=pdv=dl
dq=RT ∫
1
2
dv
v
q1,2=RT ln
v2
v1
=RT ln
p2
p1
=l1,2
Adijabatska promjena stanja
Adijabatska promjena stanja je promjena koja se odvija bez izmjene topline sa okolinom. Ova
promjena vrši se pri ekspanziji gasa u dobro izolovanom cilindru ukoliko se ta promjena odvija jako
brzo.
Povratna adijabatska promjena naziva se izentropa.
q=0 dq=0 → du=−dl
cv dT=- pdv
p=
RT
v
cv dt=−
RT
v
dv
R=cp−cv
cp
cv
=κ - eksponent adijabate (1.1 – 1.4)
cv dt=−
(cp−cv)T
v
dv
dT
T
+(κ−1)
dv
v
=0 /∫
lnT +(κ−1)lnv=0
T⋅v
κ−1
=const. - jednačina adijabate u zavisnosti od zapremine i temperature
p⋅v
κ
=const.
Izražavajući iz jednačine stanja temperaturu i zapreminu i uvrštavajući ih u jednačinu dobit će se
jednačina u zavisnosti od p i v i p i T.
36

38. p
1−κ
⋅T
κ
=const.
Jednačina adijabate u pv dijagramu je hiperbola ali je strmija od hiperbole kojom je predstavljena
izoterma.
du = - dl
cv dT = - dl
l1,2=−cv (T2−T 1)=cv(T1−T2)=
R
κ−1
(T1−T 2)
Opšta ili politropska promjena stanja
Sve promjene stanja koje su bile predmet proučavanja razlikuju se od realnih procesa koji se događaju
u prirodi i izvedene su za određene predpostavke i ograničenja te predstavljaju samo specijalne
slučajeve opšte ili politropske promjene stanja idealnog gasa. Jednačina politrope izvodi se iz prvog
zakona termodinamike uvrštavajući da je:
dq=c dT
cn dT = du + dl
pv=RT
pdv+vdp=RdT
dT =
pdv+vdp
R
cn
pdv+vdp
R
=cv dT + pdv=cv
pdv+vdp
R
+ pdv
cn – specifična toplina pri opštem politropskom procesu
Množenjem zadnje jednačine sa R i grupisanjem pojedinih članova dobija se
cn pdv + cn vdp = cv pdv + cv vdp + cp pdv – cv pdv
(cn – cp) · pdv + (cn – cv) · vdp=0 / : (cn – cv)
dT =
pdv+vdp
R
37

39. cn−cp
cn−cv
=n - eksponent politrope
npdv+vdp=0 /: pv
n
dv
v
+
dp
p
=0
n lnv + lnp=c1
ln(p·vn
)=c1
p·vn
=ec1
p·vn
=const. - jednačina opšte politropske promjene (politrope)
Izražavajući p i v iz jednačine stanja idealnog gasa dobijaju se jednačine politrope u drugom obliku:
T·vn-1
=const.
Tn
·p1-n
=const.
Politropa u pv dijagramu je predstavljena
hiperbolom. Eksponent politrope n najčešće se
kreće u granicama 1 – κ.
Količina toplote koja se pri ekspanziji dovodi , a
pri kompresiji odvodi može se odrediti pomoći
prvog zakona termodinamike i jednačine
politropske promjene.
Ako jednačinu p·vn
=const. diferenciramo,
dobijamo:
np·vn-1
dv + vn
dp=o /: vn-1
npdv + vdp=0 → pdv=−
RdT
n−1
dq=du + pdv
dq=cv dT −
RdT
n−1
uz korištenje Majerove jednačine dobijamo
dq=cv
n−κ
n−1
dT ili
q1,2=cv
n−κ
n−1
(T 2−T1)=cn(T 2−T1)
38

40. cn=cv
n−κ
n−1
q1,2=cv
n−κ
n−1
⋅T 1[
T2
T1
−1]=cv
n−κ
n−1
⋅T1[(
p2
p1
)
n−1
n
−1]=cv
n−κ
n−1
⋅T1[(
v1
v2
)
n−1
−1]
Razmijenjeni rad pri opštoj politropskoj promjeni:
l1,2=du+dl
l1,2=q1,2−ΔU=cv
n−k
n−1
(T2−T1)−cv (T 2−T1)
l1,2=
R
n−1
(T 1−T2)
l1,2=
RT 1
n−1
(1−
T 2
T 1
)=
RT 1
n−1
[1−(
p2
p1
)
n−1
n
]=
RT1
n−1
[1−(
v1
v2
)
n−1
]
Politropska promjena stanja naziva se i opšta zbog toga što se iz nje za različite vrijednosti eksponenta
n mogu dobiti sve ranije nevedene promjne stanja.
Na sljedećem dijagramu ucrtane se sve promjene stanja sa naznačenim područjima na kojima se dovodi
i odvodi toplota u zavisnosti od vrijednosti n. Eksponent politrope n najčešće ima vrijednost od 0 do κ
(0<n< κ). Posmatrajući promjene stanja za različite vrijednosti eksponenta n dobija se:
1. n= κ → pvk
=const. q1,2=0
2. n=0 →p=const. T2-T1>0 q1,2>0 (izobara)
3. n=1 → pv=const. T2-T1=0 q1,2>0 (izoterma)
4. n=∞ → v=const.
• 1<n< κ T2-T1<0 q1,2<0
• κ<n<∞ T2-T1<0 q1,2<0
39

41. Entalpija
Veliki broj stvarnih procesa u prirodi odvija se pri konstantnom pritisku. Ako se gasu dovodi toplota pri
konstantnom pritisku dolazi do povećanja njegovve zapremine, povećava se unutrašnja toplotna
energija i izvrši neki rad usljed njegovog širenja. Ako se izvršeni mehanički rad izrazi jednačinom
L1,2=U2-U1=p( V2-V1)=p·ΔV
i uvrsti u Prvi zakon termodinamike dobija se
Q1,2 = U2 - U1 + p ( V2 - V1)
Q1,2 = ( U2 - pV2) - ( U1 - pV1)
Izrazi u zagradama predstavljaju entalpiju
H = U · pV
40

42. Entalpija je ekstenzivna veličina te njenim svođenjem na jedinicu mase dobija se izraz za entalpiju 1 kg
gasa:
h = u + pv
Diferenciranjem prethodnog izraza dobija se:
dh=du+pdv+vdp
dq=dh-vdp
Ovaj izraz definiše razmijenjenu količinu toplote pri nekoj promjeni.
Entalpija je veličina stanja i ne zavisi od puta promjene nego samo od parametara stanja između kojih
se ta promjena odvija.
Izraz za računanje entalpije za bilo koji promjenu stanja vrijedi i za sve ostale promjene stanja.
(Najjednostavnije je odrediti izraz za računanje kod izobarske promjene stanja)
dh=dq
dh=cp dT
h2 – h1 = cp (T2 – T1)
Tehnički rad
Rad koji se izvrši ekspanzijom radnog tijela određenog stanja (p1,v1,T1) ili koji se kompresijom troši u
toku jedne promjene stanja naziva se jednokratni rad ili rad promjene. Za tehničke procese bitno je da
se proces dobijanja rada može ponavljati odnosno da se ostvari kontinuirano dobijanje rada. ( Ako se
želi da radno tijelo nakon završenog procesa dobijanja rada ponovo ekspandira i ostvari rad potrebno
ga je vratiti u početno stanje. Na taj način dobijanje rada može se više puta i neprekidno ponavljati.)
U cilju dobijanja rada radno tijelo će morati izvršiti više procesa i to:
1. Usisavanja pri konstantnom pritisku p1
2. Ekspanziju sa pritiska p1 na p2 (pri čemu je p1>p2)
3. Istiskivanje iz cilindra pri pritisku p2
Za vrijeme procesa usisavanja, gas stanja 1 ulazi u cilindar klipne mašine i potiskuje klip pred sobom.
Nakon toga zatvara se ulazni ventil i počinje proces ekspanzije gasa sa pritiska p1 na pritisak p2 pri
nekoj zapremini. Pri ekspanziji gasa izvrši se konstantan mehanički rad. Nakon toga otvara se izlazni
ventil, klip se vraća unazad i istiskuje gas pritiska p2 u drugi rezervoar. Pri zatvaranju izlaznog ventila
otvara se ulazni i cijeli proces se može ponavljati uz stalno ostvarivanje korisnog rada ekspanzije. Zbog
mogućnosti neprekidnog ponavljanja procesa ovakav rad se može koristiti u tehničkim uređajima što
nije slučaj kod jednokratnog rada. U termodinamici se ovaj rad naziva tehničkim radom i u pv
dijagramu prikazan je površinom 1276.
41

43. 42

44. Ako je ekspanzija gasa izvršena po politropskoj promjeni stanja rad koji je izvršio 1 kg gasa je:
lt=p1v1
R
n−1
(T1−T2) p2 v2
p1 v1=R⋅T1
p2 v2=R⋅T2
lt=RT 1+
R
n−1
(T1−T2)−RT2
lt=
R⋅n
n−1
(T1−T2)
lt=n⋅l - tehnički rad opšte politropske promjene stanja odgovara proizvodu eksponenta politrope i
zapreminskog rada politropske promjene
(lt)1,2=−∫
1
2
vdp
dlt =−vdp
Iz sistema se dobija rad ako se procesi vrše u smjeru kretanja kazaljke na satu.
dq=du+dl=dh+dl
Tehnički rad za ostale promjene idealnog gasa je:
1. Za adijabatsku promjenu lt=κ·l
2. Izobarska lt = 0
3. Izohorska lt=−∫
1
2
vdp=v( p1−p2)
4. Izotermska pdv+vdp=0 pdv=-vdp lt=l
Kompresori su uređaji u kojima se sabija
gas na viši pritisak pri čemu se troši
određena količina rada. Najviše se koriste u
procesorskoj industriji i energetici. Na slici
je prikazan rad idealnog klipnog
kompresora (zanemareni su gubici energije i
“štetni” prostor u cilindru što je neizbježno
kod stvarnih kompresora.)
43

45. Tehnički rad i entropija
Dosadašnja razmatranja bila su ograničena na procese u zatvorenim sistemima. U tehnici su daleko
važniji otvoreni sistemi kod kojih se procesi odvijaju uz protok materije. U ovim sistemima može se
proizvoditi tehnički rad. U ovom primjeru radi jednostavnosti razmatranja umjesto na otvoreni sistem
ograničit ćemo se na zatvoreni sistem kroz koji prolazi masa gasa m i “proizvodi” tehnički rad koji se
dalje predaje kroz granice sistema. Neka je stanje gasa definisano parametrima na ulaznom presjeku
p1v1U1T1 a na izlazu p2v2U2T2. Rad p1v1 je rad istiskivanja. Ako se unutrašnja energija mijenja od U1 do
U2 na osnovu zakona o održanju energije slijedi:
U1+p1v1=U2+p2v2+Lt
Lt=(U1+p1v1)-(U2+p2v2)
Lt=H1-H2 *
Iz jednačine * se vidi da je tehnički rad izolovanog sistema razlika entalpija dva posmatrana stanja
radnog tijala.
Za jedan kg radne materije iznosi
lt=h1-h2
Ako kroz granice sistema prolazi tolplota Q onda se u bilansu energije ona mora uzeti u obzir:
U1+p1v1+Q1.2=U2+p2v2+Lt
Lt=(U1+p1v1)-(U2+p2v2)+ Q1.2
Lt=H1-H2 +Q1.2
44

46. lt=h1-h2+q1.2
q1.2=h1-h2+lt
45