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Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

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Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

  1. 1. 1 EEccuauaccionionees y Desigualdadess y Desigualdades concon ValValoror AbsolutAbsolutoo
  2. 2. 2 Objetivos: 1. Resolver ecuaciones con valor absoluto. 2. Resolver desigualdades con valor absoluto.
  3. 3. 3 Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo a, entonces la expresión es igual a a ó -a. Por lo tanto, EEccuauaccionioneess concon ValValoror AbsolutAbsolutoo Teorema 1:Teorema 1:
  4. 4. 4 2 3 11 ó 2 3 11x x− = − = − Resuelv Ejemplo a: 2 1 1: 13− =x 2 11 3x = + 2 14x = 7x = 2 11 3x = − + 2 8x = − 4x = − { }. . 4,7= −C S
  5. 5. 5 31053 −=−x 3 5 7 ó 3 5 7x x− = − = − 123 =x 4=x 23 −=x 3 2 −=x Resuelva: Ejempl 3 3 o 2: 5 10+ − =x 2 4 3 . . ,C S   = −    3 5 7x − =
  6. 6. 6 2 2 8 12 4x − = − 2 8 4 ó 2 8 4− = − = −x x Resuelva: 4 Ejempl 2 2 o 3: 8 12+ − =x 8 2 8 2 x − = 2 2 8 8x − = 2 8 4x − =
  7. 7. 7 2 12x = 6x = 2 4x = 2x = { }2 6. . ,C S = 2 8 4 ó 2 8 4− = − = −x x
  8. 8. 8 Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número negativo -a, entonces el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío. EEccuauaccionioneess concon ValValoror AbsolutAbsolutoo { } su solución es el conjunto vacío = . Si u a= − ∅ Teorema 2:Teorema 2:
  9. 9. 9 2 5 10 4x− − = + Conjunto Solución = { } Resuelve: Ejemplo 4 1: 2 5 10− − − =x 2 5 14x− − = Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones. = ∅ 14 5 2 x − = − 5 7x − = −
  10. 10. 10 301054 −=−x Conjunto Solución = { } Resuelve: 3 Ejempl 0 4 o 2: 5 10+ − =x 2054 −=−x Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones. = ∅
  11. 11. 11 Si el valor absoluto de una expresión es igual a cero entonces la expresión es igual a cero. 0 entonces 0.Si u u= = Teorema 3:Teorema 3:
  12. 12. 12 Resuelve: Ejemplo 1 4 2 : 5 0x − = 2 5 0x − = 2 5 0x − = 2 5x = 5 2 x = 5 . . 2 C S   =    
  13. 13. 13 Si a un número positivo entonces, Las desigualdades con valor absolutoLas desigualdades con valor absoluto 0 a-a u } Teorema 1:Teorema 1: En otras palabras, |u| < a es equivalente a -a < u y u < a.
  14. 14. 14 − < − <5 3 1 5x − < <4 3 6x − < < 4 3 2x C. S. = -2 -1 0 1 2 3 ( ) Resuelva Ejemplo 5 : 3 1 1− <x 4 2 3 x R x   ∈ − < < =    4 , 2 3   − ÷   4 3 −
  15. 15. 15 12 2 4 12x− < − < Resuelva Ejempl 2 2 4 2: 1 o 0− + − <x 2 4 10 2− < +x 2 4 12− <x 12 4 2 12 4x− + < < + 8 2 16x− < < 8 2 16 2 2 2 x− < <
  16. 16. 16 C. S. = ( ) { }4 8∈ − < < =x R x ( )4, 8− 8 2 16 2 2 2 x− < < 4 8x− < < -4 8
  17. 17. 17 Ejemplo 3: 4 2 3 6 6+ − <x 2 3 6 6− <x 4− 2 3 6 2− <x 2 3 6 2 2 2 − < x 3 6 1− <x
  18. 18. 18 3 6 1− <x 1 3 6 1− < − <x 1 6 3 1 6− + < < +x 5 3 7< <x 5 3 7 3 3 3 < < x 5 7 3 3 < <x
  19. 19. 19 5/3 7/3 ( ) 5 7 . . , 3 3   =  ÷   C S 5 7 3 3 < <x
  20. 20. 20 Si a es un número positivo, entonces 0 a-a uu }} Teorema 2:Teorema 2:
  21. 21. 21 ó 4 18x ≤ − x ≤ − 9 2 4 12x ≥ x ≥ 3 C.S.= -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ] [ Resuelva: Ejemplo 1 4 : 53 1+ ≥x 9 / 3 2 x R x ó x   ∈ ≤ − ≥    = [ ) 9 , 3, 2 −  −∞ ∞   U
  22. 22. 22 124 −≤x 3−≤x 84 ≥x 2≥x C.S.= -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ] [ Resuelv Ejemplo a: 4 1 2: 02+ ≥x 4 2 10 4 2 10x ó x+ ≤ − + ≥ ( ] [ ), 3 2,−∞ − ∞U
  23. 23. 23 Si -a es un número negativo entonces, Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor que un número negativo, la desigualdad es inconsistente. Teorema 3:Teorema 3:
  24. 24. 24 Ejemplos: 462.1 −<−x −<+ 2. 7 2 3 6 4x+ − < Siempre es falso { } φ==..SC 2 3 6 4x − < 7−
  25. 25. 25 2 3 6 4 7x − < − 2 3 6 3x − < − −<+ Siempre es falso { } φ==..SC 3 3 6 2 x − − <
  26. 26. 26 Si -a es un número negativo, entonces Teorema 4:Teorema 4:
  27. 27. 27 Ejemplos: 1. 2 8 4x − > − +>− 2. 8 5 3 6 4x+ − ≥ Siempre es cierto . .C S R= 5 3 6 4x − ≥ 8− 5 3 6 4x − ≥ −
  28. 28. 28 + ≥ − Siempre es Cierto . .C S R= 5 3 6 4x − ≥ − 5 3 6 4 5 5 x − − ≥ 4 3 6 5 x − − ≥
  29. 29. 29 Teorema 5:Teorema 5: Si 0 entonces 0 ó 0 . El conjunto solución es todos los números reales excepto el 0. Si 0 entonces el conjunto solución es R. u u u u > > < ≥ Ejemplo 1: 3 6 0x − ≥ . .C S R= Ejemplo 2 : 3 6 0x − > { }. . 0C S R= −
  30. 30. 30Ejercicios: Resuelva la ecuación o la desigualdad. 1. 5 10 15 2. 15 10 25 3. 4 3 10 15 4. 20 4 1 15 5. 5 20 15 6. 8 2 5 10 15 7. 10 4 2 10 20 8. 25 100 125 x x x x x x x x − = − = + − = + − = − ≤ − − < − − − ≥ − − > Solución Solución Solución Solución Solución Solución Solución Solución
  31. 31. 31Ejercicios resueltos: 15105.1 =−x 5 10 15 5 10 15x ó x− = − = − 5 15 10x = + 5 25x = 5 25 5 5 x = 5x = 5 15 10x = − + 5 5x = − 5 5 5 5 x = − 1x = − { }. . 5, 1C S = − Ejercicios
  32. 32. 32 2. 15 10 25x − = 15 10 25 15 10 25x ó x− = − = − 15 25 10x = + 15 35x = 15 35 15 15 x = 7 3 x = 15 25 10x = − + 15 15x = − 15 15 15 15 x = − 1x = − 7 . . , 1 3 C S   = −    Ejercicios
  33. 33. 33 3. 4 3 10 15x+ − = 3 10 11 3 10 11x ó x− = − = − 3 1011x = + 3 21x = 3 1 101x = − + 3 1x = − 43 10 15x − = − 3 10 11x − = Ejercicios
  34. 34. 34 3 21 3 3 x = 7x = 3 1 3 3 x = − 1 3 x = − 1 . . 7, 3 C S   = −    Ejercicios
  35. 35. 35 4. 20 4 1 15x+ − = { }. .C S φ= = 4 1 1 205x − = − 4 1 5x − = − Es siempre falso, la ecuación es inconsistente. Ejercicios
  36. 36. 36 5. 5 20 15x − ≤ 1520515 ≤−≤− x 15 5 120 5 20x− ≤ ≤+ + 5 5 35x≤ ≤ 5 5 5 5 35 5 x ≤ ≤ 1 7x≤ ≤ 1 7 [ ] [ ]7,1.. =SC Ejercicios
  37. 37. 37 6. 8 2 5 10 15x− − < 2 5 10 5 81x− − < − 2 5 10 7x− − < 2 5 10 2 2 7x− − − > − 7 5 10 2 x − > − Es cierto siempre. RSC =.. Ejercicios
  38. 38. 38 7. 10 4 2 10 20x− − − ≥ 4 2 10 2 00 1x− − ≥ + 4 2 10 30x− − ≥ 4 4 4 2 10 30x − − ≤ − − 15 2 10 2 x − ≤ − Es falso siempre. { } φ==..SC Ejercicios
  39. 39. 39 8. 25 100 125x− − > 25 100 125 25 100 125x ó x− − > − − < − 25 12 1005x− > + 25 225x− > 2 25 225 5 25 x < − − − 9x < − 25 125 100x− < − + 25 25x− < − 25 25 25 25x > − − − − 1x >
  40. 40. 40 9x < − 1x > 1 9 () ( ) ( ). . , 9 1,C S = −∞ − ∪ ∞ Ejercicios

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