信息安全数学。第

1. 多项式环
.
.
.
环（下）
.
.. .
广州大学数学与信息科学学院
October 28, 2009
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

2. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
§7.3 多项式环
.
.
.
.. .
. . . . . .
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3. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 R 是有单位元的交换环，x 是一个不定元，形式和
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
（其中 ai ∈ R, n 是非负整数）称为环 R 上的一个多项式。通
常用符号 f(x), g(x) 等表示多项式，R 上多项式全体记为 R[x].
.
.
.. .
. . . . . .
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4. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
.
.
.
.. .
. . . . . .
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5. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
. ∑n
. 在多项式 f(x) =
.
.1
i=0 ai x
i 中，ai 称为 xi 的系数; .
.
.
.. .
. . . . . .
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6. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
. ∑
. 在多项式 f(x) = n aixi 中，ai 称为 xi 的系数;
.
.1
i=0
.
.
. 当 ai = 0 时，规定 ai x = 0，这一项在 f(x) 的表达式中
.2
可以略去;
.
.
.. .
. . . . . .
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7. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
. ∑
. 在多项式 f(x) = n aixi 中，ai 称为 xi 的系数;
.
.1
i=0
.
.
. 当 ai = 0 时，规定 ai x = 0，这一项在 f(x) 的表达式中
.2
可以略去;
. 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记
.
.3
为 deg(f);
.
.
.. .
. . . . . .
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8. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
. ∑
. 在多项式 f(x) = n aixi 中，ai 称为 xi 的系数;
.
.1
i=0
.
.
. 当 ai = 0 时，规定 ai x = 0，这一项在 f(x) 的表达式中
.2
可以略去;
. 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记
.
.3
为 deg(f);
. 若 deg(f) = n，则称 an
.
.4 的系数为 f(x) 的首项系数;
.
.
.. .
. . . . . .
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9. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
. ∑
. 在多项式 f(x) = n aixi 中，ai 称为 xi 的系数;
.
.
1
i=0
.
.
. 当 ai = 0 时，规定 ai x = 0，这一项在 f(x) 的表达式中
.
2
可以略去;
. 若 an = 0，则称 n 为多项式 f(x) 的次数，并记
.
.
3
为 deg(f);
. 若 deg(f) = n，则称 an 的系数为 f(x) 的首项系数;
.
.4
. . 零次多项式为非零常数，对多项式 0 不定义次数。
.
.5
.
.. .
. . . . . .
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10. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
∑
n ∑
m
设 f(x) = ai xi , g(x) = b i xi ，
i=0 i=0
如果 m = n,且 ai = bi , i = 0, · · · , m，
则称 f(x) 于 g(x) 相等，并记为 f(x) = g(x).
.
.
.. .
. . . . . .
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11. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
对环 R 上的两个多项式
∑
n ∑
m
f(x) = ai xi , g(x) = b i xi , n m,
i=0 i=0
令 bn = bn−1 = · · · = bm+1 = 0, 定义加法和乘法
∑
n
f(x) + g(x) = (ak + bk )xi
k=0
∑
m+n ∑
f(x)g(x) = ck xk , ck = ai bj
. k=0 i+j=k
.
.. .
. . . . . .
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12. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
. . . . . .
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13. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
.
∑
n ∑
m .
设 f(x) = ai xi , g(x) = bj xj ，且 an = 0, bm = 0；
i=0 j=0
.
.
.. .
. . . . . .
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14. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
.
∑
n ∑
m .
设 f(x) = ai xi , g(x) = bj xj ，且 an = 0, bm = 0；
i=0 j=0
∑
n+m
f(x) · g(x) = ck xk ；
k=0
.
.
.. .
. . . . . .
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15. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
.
∑
n ∑
m .
设 f(x) = ai xi , g(x) = bj xj ，且 an = 0, bm = 0；
i=0 j=0
∑
n+m
f(x) · g(x) = ck xk ；
k=0
f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 an bm ；
.
.
.. .
. . . . . .
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16. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
.
∑
n ∑
m .
设 f(x) = ai xi , g(x) = bj xj ，且 an = 0, bm = 0；
i=0 j=0
∑
n+m
f(x) · g(x) = ck xk ；
k=0
f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 an bm ；
由于 R 无零因子，所以 an bm = 0；
.
.
.. .
. . . . . .
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17. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
R[x] 关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当 R 为整环
时，R[x] 也 为整环。
.
.
.. .
.
∑
n ∑
m .
设 f(x) = ai xi , g(x) = bj xj ，且 an = 0, bm = 0；
i=0 j=0
∑
n+m
f(x) · g(x) = ck xk ；
k=0
f(x)g(x) 的 m + n 次项的系数为 an bm ；
由于 R 无零因子，所以 an bm = 0；
. f(x)g(x) = 0。
.
.. .
. . . . . .
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18. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
推论 .
..
R 是无零因子环，f(x), g(x) ∈ R[x]，则
. deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x)。
.
.. .
. . . . . .
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19. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
推论 .
..
R 是无零因子环，f(x), g(x) ∈ R[x]，则
. deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x)。
.
.. .
.
注意 .
..
这个众所周知的结论在有零因子环上并不成立。
.
.
.. .
. . . . . .
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20. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得
f(x) = q(x)g(x) + r(x),
其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x).
.
.
.. .
. . . . . .
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21. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得
f(x) = q(x)g(x) + r(x),
其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x).
.
.
.. .
.
请自行证明； .
.
.
.. .
. . . . . .
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22. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x), g(x) ∈ F[x]，则存在 q(x), r(x) ∈ F[x] 使得
f(x) = q(x)g(x) + r(x),
其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x).
.
.
.. .
.
请自行证明； .
. 这个结论对环 R 上的多项式环 R[x] 并不成立。
.
.. .
. . . . . .
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23. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
.. ( )
设 f(x), g(x) ∈ F[x], f(x), g(x) 为 f(x), g(x) 的 最大公因子，
则存在 m(x), n(x) ∈ F[x]，使得
( )
f(x), g(x) = m(x)f(x) + n(x)g(x).
{ }
若 min deg f(x), deg g(x) = ( 则在辗转相除中，最多经
n, )
过 n 次带余除法就可以求出 f(x), g(x) .
.
.
.. .
. . . . . .
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24. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
.. ( )
设 f(x), g(x) ∈ F[x], f(x), g(x) 为 f(x), g(x) 的 最大公因子，
则存在 m(x), n(x) ∈ F[x]，使得
( )
f(x), g(x) = m(x)f(x) + n(x)g(x).
{ }
若 min deg f(x), deg g(x) = ( 则在辗转相除中，最多经
n, )
过 n 次带余除法就可以求出 f(x), g(x) .
.
.
.. .
.
请自行证明。
. .
.
.. .
. . . . . .
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25. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
. . . . . .
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26. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
.
.
.. .
. . . . . .
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27. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
.
.
.. .
. . . . . .
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28. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
. r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
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29. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
. r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；
.
. 3
. 由于 f(x) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
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30. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
. r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；
.
. 3
. 由于( f(x)) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。
.
. 4
. . I ⊆ f(x) ，
.
. 5
.
.. .
. . . . . .
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31. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
. r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；
.
. 3
. 由于( f(x)) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = 0。
.
. 4
( )
. . I ⊆ f(x) ，而显然 f(x) ⊆ I，
.
. 5
.
.. .
. . . . . .
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32. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
F[x] 中任一理想都是主理想。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 I 是 F[x] 中任一非零理想，其中次数最低的多项式 .
为 f(x);
. .
. 对 I 中的任一个多项式 g(x), 利用带余除法得到
2
g(x) = f(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg r(x) < deg f;
. r(x) = g(x) − f(x)q(x) ∈ I；
.
. 3
. 由于( f(x)) 是 I 中次数最低的，所以 r(x) = )
.
. 4
( ) (
0。
. . I ⊆ f(x) ，而显然 f(x) ⊆ I，有 I = f(x) 。
.
. 5
.
.. .
. . . . . .
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33. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. . . . . .
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34. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. ( )
. .
.
1 具有形式 g(x) + f(x) ; .
.
.
.. .
. . . . . .
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35. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. ( )
. .
.
1 具有形式 g(x) + f(x) ; .
. .
. 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x);
2
.
.
.. .
. . . . . .
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36. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. ( )
. .
.
1 具有形式 g(x) + f(x) ; .
. .
. 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x);
2
( )
. .
.
3 g(x) − r(x) ∈ f(x) ，即 g(x) = r(x);
.
.
.. .
. . . . . .
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37. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. ( )
. .
.
1 具有形式 g(x) + f(x) ; .
. .
. 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x);
2
( )
. .
.
3 g(x) − r(x) ∈ f(x) ，即 g(x) = r(x);
( ) ( )
. .
. 陪集 g(x) + f(x) 可以写成 r(x) + f(x) 。
4
.
.
.. .
. . . . . .
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38. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
.. ( )
F[x] 的理想 I 是主理想 f(x) ，则其商环具有什么形式？
.
.
.. .
. ( )
. .
.
1 具有形式 g(x) + f(x) ; .
. .
. 利用带余除法，把 g(x) 写成 f(x)q(x) + r(x);
2
( )
. .
.
3 g(x) − r(x) ∈ f(x) ，即 g(x) = r(x);
( ) ( )
. .
. 陪集 g(x) + f(x) 可以写成 r(x) + f(x) 。
4
. 若 deg f(x) = n, 则商环的元素总可以写成
.
. 5
( )
. a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + f(x) 。
.
.. .
. . . . . .
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39. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
注意 .
..
设 f(x) 是 F[x] 中一个 n 次多项式。若
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 = b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
则
a0 + · · · + an−1 xn−1 + (f(x)) = b0 + · · · + bn−1 xn−1 + (f(x))
所以这种表示是唯一的。
.
.
.. .
. . . . . .
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40. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
注意 .
..
设 f(x) 是 F[x] 中一个 n 次多项式。若
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 = b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
则
a0 + · · · + an−1 xn−1 + (f(x)) = b0 + · · · + bn−1 xn−1 + (f(x))
所以这种表示是唯一的。或者说，F[x] 对 f(x) 的陪集的次数
低于 n 的代表元是唯一的。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

41. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的多项式，若有次数大于零 的
多项式 g(x) 和 h(x) 使得 f(x) = g(x)h(x)，则称 f(x) 为可约
多项式，否则称 f(x) 为不可约多项式。
.
.
.. .
. . . . . .
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42. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个次数大于零的多项式，若有次数大于零 的
多项式 g(x) 和 h(x) 使得 f(x) = g(x)h(x)，则称 f(x) 为可约
多项式，否则称 f(x) 为不可约多项式。
.
.
.. .
.
类似于 Q[x] 上的惟一分解，可以证明任一域 F 上的多项式均 .
可以分解为不可约多项式的乘积。在不考虑相差一个域 F 中非
零因子及因子次序的前提下，这种分解是惟一的。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

43. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

44. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

45. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

46. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

47. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得
s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

48. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得
s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1;
f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

49. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得
s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1;
f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；
对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

50. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得
s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1;
f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；
对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I；
. I = R，
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

51. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 F[x] 是域 F 上的一个一元多项式环，f(x) ∈ F[x] 是一个 次
( )
数大于零的不可约多项式，则 f(x) 是 F[x] 的极大理想，从
( )
而 F[x]/ f(x) 是一个域。
.
.
.. .
. ( ) ( )
设 F[x] ⊆ I f(x) ， 令 g(x) ∈ I f(x) ； .
( )
g(x) ∈ f(x) ，所以 f(x) g(x) ⇒ (f(x), g(x)) = 1；
存在 s(x), t(x) ∈ F[x]，使得
s(x)f(x) + t(x)g(x) = 1;
f(x), g(x) ∈ I，所以 1 ∈ I；
对任意 h(x) ∈ R，有 h(x) · 1 ∈ I，所以 R ⊆ I；
( )
. I = R， f(x) 是极大的。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

52. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
设 I 是 F[x]) 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使
(
得 I = f(x) 。
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

53. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
设 I 是 F[x]) 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使
(
得 I = f(x) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

54. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
设 I 是 F[x]) 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使
(
得 I = f(x) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 .
R/I 中两个元素的乘法为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 · b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
=c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 ,
其中
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

55. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
设 I 是 F[x]) 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使
(
得 I = f(x) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 .
R/I 中两个元素的乘法为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 · b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
=c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 ,
其中
c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1
=(a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 )(b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1 ) (mod f(x))
. . . . . .
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56. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
设 I 是 F[x]) 中的任一理想，则存在 f(x) ∈ F[x] 使
(
得 I = f(x) 。若 n = deg f(x), 则 R/I 中的元素可以表示为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 .
R/I 中两个元素的乘法为：
a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 · b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
=c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 ,
其中
c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1
=(a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 )(b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1 ) (mod f(x))
( )
F[x]/ f(x) 中的元素也可以记为向量 (a0 , · · · , an−1 ).
. . . . . .
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57. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则
( )
Q[x]/ f(x) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ Q}
. = {(a0 , a1 , a2 ) | ai ∈ Q}.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

58. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则
( )
Q[x]/ f(x) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ Q}
. = {(a0 , a1 , a2 ) | ai ∈ Q}.
.
.. .
.
(a0 , a1 , a2 ) + (b0 , b1 , b2 ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ) .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

59. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则
( )
Q[x]/ f(x) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ Q}
. = {(a0 , a1 , a2 ) | ai ∈ Q}.
.
.. .
.
(a0 , a1 , a2 ) + (b0 , b1 , b2 ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ) .
(a0 , a1 , a2 )(b0 , b1 , b2 ) = (c0 , c1 , c2 )
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

60. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, f(x) = x3 + 1，则
( )
Q[x]/ f(x) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ Q}
. = {(a0 , a1 , a2 ) | ai ∈ Q}.
.
.. .
.
(a0 , a1 , a2 ) + (b0 , b1 , b2 ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ) .
(a0 , a1 , a2 )(b0 , b1 , b2 ) = (c0 , c1 , c2 )
其中
c0 = a0 b0 − (a2 b1 + a1 b2 )
c1 = a1 b0 + a0 b1 − a2 b2
. c2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 .
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

61. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则
( ) { }
Q[x]/ f(x) = a0 + a1 x | a0 , a1 ∈ Q
{ }
= (a0 , a1 ) | a0 , a1 ∈ Q .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

62. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则
( ) { }
Q[x]/ f(x) = a0 + a1 x | a0 , a1 ∈ Q
{ }
= (a0 , a1 ) | a0 , a1 ∈ Q .
.
.
.. .
.
.
(a0 , a1 )(b0 , b1 ) = (c0 , c1 ),
其中
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

63. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
设 F = Q, g(x) = x2 + x + 1, 则
( ) { }
Q[x]/ f(x) = a0 + a1 x | a0 , a1 ∈ Q
{ }
= (a0 , a1 ) | a0 , a1 ∈ Q .
.
.
.. .
.
.
(a0 , a1 )(b0 , b1 ) = (c0 , c1 ),
其中
. c0 = a0 b0 − a1 b1 , c1 = a0 b1 + a1 b0 − a1 b1 .
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

64. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) ∈ F[x], c ∈ F, 若 f(c) = 0，则称 c 是多项式 f(x) 的
一个根。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

65. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

66. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

67. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

68. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
. 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

69. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
. 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；
.
. 2
f(x) 总可以用带余除法写成：
f(x) = (x − c)q(x) + r
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

70. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
. 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；
.
. 2
f(x) 总可以用带余除法写成：
f(x) = (x − c)q(x) + r
把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

71. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
. 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；
.
. 2
f(x) 总可以用带余除法写成：
f(x) = (x − c)q(x) + r
把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r ⇒ 0 = r；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

72. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
. f(x) ∈ F[x]，则 c ∈ F 是 f(x) 的根当且仅当 (x − c)|f(x).
设
.
.. .
.
. .
.
1 若 (x − c) | f(x) .
存在 g(x) ∈ F[x] 使得 f(x) = (x − c)g(x)；
将 c 代入有 f(c) = (c − c)g(c) = 0，即 c 是 f(x) 的一根。
. 若 c 是 f(x) 的一个根，则 f(c) = 0；
.
. 2
f(x) 总可以用带余除法写成：
f(x) = (x − c)q(x) + r
把 c 代入有 f(c) = (c − c)q(c) + r ⇒ 0 = r；
. 于是有 f(x) = (x − c)q(x)，即 (x − c) | f(x)。
.
.. .
. . . . . .
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73. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) ∈ F[x], c ∈ F, 如果
(x − c)r |f(x), (x − c)r+1 f(x),
则称 c 是 f(x) 的 r 重根。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

74. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , 令
f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

75. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , 令
f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。
.
.
.. .
.
.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

76. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , 令
f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。
.
.
.. .
. ( )
..
. f(x) + g(x) = f (x) + g (x);
1 .
.
.
.. .
. . . . . .
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77. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , 令
f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。
.
.
.. .
. ( )
..
. f(x) + g(x) = f (x) + g (x);
1 .
( )
..
. f(x)g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x);
2
.
.
.. .
. . . . . .
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78. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定义 .
..
设 f(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , 令
f (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
称 f (x) 为 f(x) 的一阶导数。
.
.
.. .
. ( )
..
. f(x) + g(x) = f (x) + g (x);
1 .
( )
..
. f(x)g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x);
2
..
. . 若 a ∈ F，则 a = 0.
3
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

79. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r(
. 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

80. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

81. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
. .
. f (x) = r(x − c)r−1 g(x) + (x − c)r g (x)
2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

82. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
. .
. f (x) = r(x − c)r−1 g(x) + (x − c)r g (x)
2
( )
= (x − c)r−1 rg(x) + (x − c)g (x) ;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

83. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
. .
. f (x) = r(x − c)r−1 g(x) + (x − c)r g (x)
2
( )
= (x − c)r−1 rg(x) + (x − c)g (x) ;
. .
. 显然 (x − c)r−1 |f (x);
3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

84. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
. .
. f (x) = r(x − c)r−1 g(x) + (x − c)r g (x)
2
( )
= (x − c)r−1 rg(x) + (x − c)g (x) ;
. .
. 显然 (x − c)r−1 |f (x);
3
. 由于 x − c
.
. 4 g(x)，所以 (x − c)r f (x);
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

85. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
若 c 是 f(x) 的 r( 1) 重根，则 c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
.
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) = (x − c)r g(x), (x − c) g(x); .
. .
. f (x) = r(x − c)r−1 g(x) + (x − c)r g (x)
2
( )
= (x − c)r−1 rg(x) + (x − c)g (x) ;
. .
. 显然 (x − c)r−1 |f (x);
3
. 由于 x − c g(x)，所以 (x − c)r
4.
. f (x);
. . c 是 f (x) 的 r − 1 重根。
5.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

86. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
.. ( )
若 f(x), f (x) = 1，则 f(x) 没有重根。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

87. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
.. ( )
若 f(x), f (x) = 1，则 f(x) 没有重根。
.
.
.. .
.
设 α 是 f(x) 的 k 重根； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

88. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
.. ( )
若 f(x), f (x) = 1，则 f(x) 没有重根。
.
.
.. .
.
设 α 是 f(x) 的 k 重根； .
(x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

89. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
.. ( )
若 f(x), f (x) = 1，则 f(x) 没有重根。
.
.
.. .
.
设 α 是 f(x) 的 k 重根； .
(x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)；
(
(x − α)k−1 | f(x), f (x)) = 1；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

90. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
.. ( )
若 f(x), f (x) = 1，则 f(x) 没有重根。
.
.
.. .
.
设 α 是 f(x) 的 k 重根； .
(x − α)k−1 | f (x), (x − α)k f (x)；
(
(x − α)k−1 | f(x), f (x)) = 1；
. 所以 k = 1，f(x) 没有重根。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

91. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

92. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α , α , . . . , α
1 2 m；
.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

93. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α , α , . . . , α
1 2 m；
.
. .
. (x − αi ) | f(x)；
2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

94. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α , α , . . . , α
1 2 m；
.
. .
. (x − αi ) | f(x)；
2
. m 个一次多项式 x − αi
.
. 3 两两互素，有
∏
m
(x − αi ) | f(x);
i=1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

95. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α , α , . . . , α
1 2 m；
.
. .
. (x − αi ) | f(x)；
2
. m 个一次多项式 x − αi
.
.3 两两互素，有
∏
m
(x − αi ) | f(x);
i=1
. .
. . m
4 deg f(x)
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

96. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
定理 .
..
设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 1 次多项式，则 f(x) 在 F 中不同根
的个数
. n。
.
.. .
.
. .
.
1 设 f(x) 在 F 中有 m 个不同的根 α , α , . . . , α
1 2 m；
.
. .
. (x − αi ) | f(x)；
2
. m 个一次多项式 x − αi
.
.3 两两互素，有
∏
m
(x − αi ) | f(x);
i=1
. .
. . m
4 deg f(x) ⇒ m n。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

97. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
..
设 f(x), g(x) ∈ F[x] 是两个次数 n 的多项式，若有 n + 1 个
不同的元素 c1 , c2 , . . . , cn+1 ∈ F ，使得
f(ci ) = g(ci ), i = 1, 2, . . . , n + 1,
则
. f(x) = g(x).
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

98. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Corollary .
..
设 f(x), g(x) ∈ F[x] 是两个次数 n 的多项式，若有 n + 1 个
不同的元素 c1 , c2 , . . . , cn+1 ∈ F ，使得
f(ci ) = g(ci ), i = 1, 2, . . . , n + 1,
则
. f(x) = g(x).
.
.. .
.
引人辅助函数 F[x] = f(x) − g(x). .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

99. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
若给定域 F 中的 n + 1 个不同元素 a1 , a2 , . . . , an+1 已及任 .
意 n + 1 元素 b1 , b2 , ..., bn+1 ，则在 F[x] 中至多存在一个次数
不超过 n 的多项式 f(x)，使得
. f(ai ) = bi , i = 1, 2, . . . , n + 1.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

100. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
若给定域 F 中的 n + 1 个不同元素 a1 , a2 , . . . , an+1 已及任 .
意 n + 1 元素 b1 , b2 , ..., bn+1 ，则在 F[x] 中至多存在一个次数
不超过 n 的多项式 f(x)，使得
. f(ai ) = bi , i = 1, 2, . . . , n + 1.
.
.. .
.
(?) .
..
但这样的多项式一定存在吗？
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

101. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
∏
n+1
M(x)
M(x) = (x − ai ), Mj (x) = , 1 j n + 1.
(x − aj )
i=1
. . . . . .
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102. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
∏
n+1
M(x)
M(x) = (x − ai ), Mj (x) = , 1 j n + 1.
(x − aj )
i=1
{
Mi (x) 1 x = ai
=
Mi (ai ) 0 x = aj , j = i
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

103. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
∏
n+1
M(x)
M(x) = (x − ai ), Mj (x) = , 1 j n + 1.
(x − aj )
i=1
{
Mi (x) 1 x = ai
=
Mi (ai ) 0 x = aj , j = i
.
(Lagrange 插值) .
..
∑
n+1
Mi (x)
f(x) = bi
Mi (ai )
. i=1
.
.. .
. . . . . .
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104. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得
. f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

105. 多项式环
多项式环 根，重根
本原多项式
.
Example .
..
求次数小于 3 的多项式 f(x)，使得
. f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 3.
.
.. .
.
(x + 1)(x − 2) .
,
(1 + 1)(1 − 2)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》