Risk evaluation for non-equity investments

Analisi del rischio per prodotti di investimento
non-equity.

Patrizia Bettiga
Federico Boniardi
Angela Ciliberti
Federico Marini
Maria Teresa Pellegrino
Mattia Zanella

28/06/2011

Patrizia Bettiga Federico Boniardi Angela Ciliberti Federico Marini Maria Teresa Pellegrino Mattia Zanella
Analisi del rischio per prodotti di investimento non-equity.

Introduzione
Analizzeremo il prodotto di investimento non-equity Mediolanum
MedPlus Call Spread 3 emesso da Royal Bank of Scotland e
distribuito da Banca Mediolanum
Tipo di investimento:
Le obbligazioni riconoscono cedole annuali in misura ﬁssa del
2 % lordo e rimborsano a scadenza dei tre anni il capitale
nominale, eventualmente maggiorato di una partecipazione
legata all’andamento di un basket di indici.
Le obbligazioni corrispondono sul valore nominale investito
una cedola variabile il cui importo ` determinato in base al
e
paniere di riferimento composto da tre indici azionari: S&
P500 Index, Dow Jones Euro Stoxx 50 Index e Nikkei
225 Index.

Cedola variabile

La cedola variabile a tre anni ` calcolata nel seguente modo:
e
3 i i
Send − S0
60% × max 0, min 20%, wi i
× NA
i=1
S0

dove NA ` l’importo nominale investito e
e
w 1 = 58% riferito a S & P 500.
w 2 = 30% riferito a Dow Jones Euro Stoxx 50.
w 3 = 12% riferito a Nikkei 225.


Modello

Sotto ipotesi di non correlazione fra i tre indici, lo studio ` stato
e
condotto su un unico indice ottenuto come media pesata dei tre
indici del paniere di riferimento. Si ottiene la seguente formula del
Payoﬀ a tre anni per un importo nominale unitario:

Send − S0 1 1
60% × max 0, min 20%, + +
S0 i1 i1 i2
i1 = 1 + r1 ed i2 = 1 + r2 . Dove r1 , r2 sono i tassi d’interesse
risk-free a 1 e 2 anni.


EGARCH-model

Per la simulazione dell’indice pesato utilizziamo il modello
EGARCH(1,1):

1 2
ln St − ln St−1 = rt − σt + εt ,
2

2 εt−1 εt−1 2 2
ln σt = a0 + a1a + a1b − + b1 ln σt−1
σt−1 σt−1 π

2
dove εt |Φt−1 ∼ N (0, σt ), rt ` il tasso d’interesse giornaliero
e
a0 , a1a , a1b e b1 < 1 sono parametri indipendenti dal tempo.


CIR-model

Il seguente modello stocastico ` stato utilizzato per simulare
e
l’andamento del tasso d’interesse risk-free rt che compare
all’interno delle equazioni dell’EGARCH-model.
√
drt = ν(r0 − rt )dt + θ rt dWt .

con θ, r0 , ν > 0 parametri indipendenti dal tempo.


Stima dei parametri

Per stimare i parametri ` stata utilizzata la seguente funzione di
e
massima verosimiglianza, a partire dall’ipotesi di normalit` ed
a
indipendenza del rumore εt :
t t
1 2 1 ej2
ln f(ε1 ,...,εt ) (e) = − ln 2πσt − 2
2 2 σt
j=1 j=1

dove  
εt−1 εt−1 2
a0 +a1a +a1b  − +b1 ln σ 2
t−1
2 σt−1 σt−1 π
σt = e .


Sono stati utlizzati i dati della serie storica


Simulazione
I parametri stimati, sulla base della serie storica delle indice, sono
stati inseriti nelle equazioni dell’EGARCH-model, per ottenere la
simulazione dell’andamento dell’indice nei successivi tre anni. Sono
state eseguite 10000 simulazioni dell’indice.


In particolare, riducendo il numero di simulazioni, si ottengono gli
andamenti mostrati in ﬁgura.


Riportiamo l’istogramma della distribuzione dei valori simulati
dell’indice a tre anni


Istogramma del payoﬀ confrontato con un investimento risk-free.


Tabella dell’evoluzione della probabilit` di ottenere un payoﬀ
a
minore rispetto ad investimento risk-free a parit` di investimento
a
nominale.


Tabella dell’evoluzione della volatilit` (deviazione standard)
a
dell’investimento.


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