Nimとgrundy数の大雑把な説明

NimとGrundy数の
大雑把な説明
かっさ(@__KasSA)

Nimとは
・一般的に、2人で盤上の石とかコインを取り合う
・1つの山を選択し、そこから1つ以上、好きなだけ取り除ける
・1つも取れなくなったほうが負けになるゲーム

Nimとは
必勝法が存在し、ゲームが始まる前に必勝か必敗かわかってしまう

Nimとは
必勝法が存在し、ゲームが始まる前に必勝か必敗かわかってしまう
必勝判定は、各山の枚数を XOR でまとめたときの値が
0ではない：先手の勝ち
0である：先手の負けとなっている

(ゲーム値) = (0) xor 9 = 9
0ではないので勝ち
9 枚
・9 枚全部取れば勝てる
・強い
1山のとき

2山ある時
4枚 4枚
戦略：先手が取った数だけ
後手が一方の山から取れば常に後手が勝てる
(勝ちの目を維持できる)
(ゲーム値) = 4 xor 4 = 0
0 なので負け
3枚 4枚 2枚 4枚 1枚 4枚 0枚 4枚
3枚 3枚 2枚 2枚 1枚 1枚 0枚 0枚
先手
後手

2山ある時
3枚 5枚
戦略：先手が右の山から2枚取ると、
後手と先手が入れ替わった先の状況が再現できる
(先手の番のゲーム値) = 3 xor 5 = 6
6 なので勝ち
3枚 3枚
(後手の番のゲーム値) = 3 xor 3 = 0
0 なので負け→先手の勝ち

3山ある時
3枚 7枚
のこり枚数の xor が0になるように
相手に手番を渡すことができれば勝ち
今 3 xor 7 xor 5 =1 なので、
3の山を2にすれば、
2 xor 7 xor 5 = 0 を相手に渡せる
Xorについて考えるとうまくいくことが
示せるが割愛
(記事にはNimKの場合で書いたので
K=1としても示せる)
(ゲーム値) = 3 xor 7 xor 5 =1
1 なので勝ち
5枚

N山ある時
3枚 7枚
のこり枚数の xor が0になるように
相手に手番を渡すことができれば勝ち
(ゲーム値) = pile[0] xor pile[1] xor pile[2] xor … xor pile[N-2] xor pile[N-1]
5枚
…
2枚 1枚 7枚

Nimまとめ
・各山のXORを取ると、必勝判定ができる
・各山の枚数を XOR でまとめたときの値が
0ではない：先手の勝ち
0である：先手の負けとなっている

ゲームの値。ざっくり言うと0のとき負け、
そうでないとき勝ち
求め方：
集合の非負整数を求める例1：
ある状態から、次の状態のgrundy数 {0,1,2,4,5,6,7,8}が得られたとき
→ ある状態のgrundy数は、3
集合の非負整数を求める例2：
ある状態から、次の状態のgrundy数 {1,2,3,4,5}が得られたとき
→ ある状態のgrundy数は、0
Grundy数
現在の状態から移行できる状態のGrundy数の集合の
うち、存在しない最小の非負整数(mex)

Grundy数
例：Nいっちゃだめゲーム (yukicoder No.008より改変)
Alice,Bobの2人で数字を増加させるゲームをプレイする。0からはじめ
て各プレイヤーは1から3までの数字を選択し、現在の数字に加算する。
最初にN以上の数字を作成した人の負けである。
2人が最適な洗濯をするとして、Aliceが先手のときAliceは必勝か？
Nが与えられるのでSampleみたいに出力してください。(説明をサボらないで)
制約:1≦N≦10^5
Sample Input1: 3
Sample Output1: Alice Win.
Sample Input2: 13
Sample Output2: Bob Win.

Grundy数
制約:1≦N≦10^5
解いてみてください
次ペーシ解法です

Grundy数
制約:1≦N≦10^5
O(1)解法 : 周期から (N-1)%(3+1) が0のとき負け、そうでないときは勝ち
O(N)解法 :何も分からないのでにとりあえずGrundy数を求める

Grundy数
O(N)解法 :何も考えずにGrundy数を求める
負けの状態のGrundy数は0。今回負けなのは数字がN-1のとき。
(N-1が回ってくるとNを言わざるをえないから)
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
? 0? ?? ?? ?
20 1 …
?? ? …

Grundy数
(N-1が回ってくるとNを超えざるをえないから)
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
? 0? ?? ?? ?
20 1 …
?? ? …
N-1の状態から次の状態に移動するとき、どの状態にも移動できない {}
→N-1のgrundy数は0

Grundy数
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
1 0? ?? ?? ?
20 1 …
?? ? …
N-2の状態から次の状態に移動するとき、N-1に移動できる {0}

Grundy数
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
1 0? 2? ?? ?
20 1 …
?? ? …
N-2の状態から次の状態に移動するとき、N-1にしか移動できない {0}
N-3の状態から次の状態に移動するとき、N-2,N-1に移動できる {1,0}

Grundy数
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
1 03 2? ?? ?
20 1 …
?? ? …
N-4の状態から次の状態に移動するとき、N-3,N-2,N-1に移動できる {2,1,0}

Grundy数
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
1 03 2? 0? ?
20 1 …
?? ? …
N-5の状態から次の状態に移動するとき、N-4,N-3,N-2に移動できる {3,2,1}
N-1,N-5は負け状態であることがわかった
繰り返すことで、0 に対するGrundy数がわかる。→先手必勝かの判定ができる。

Grundy数
Grundy数の配列
N-2 N-1N-4 N-3N-6 N-5N-8 N-7
1 03 21 03 2
20 1 …
(N-1)%(3+1) …
Grundy数を求めていくと今回の問題では周期がGrundy数に存在して、
周期4だ…ということがわかる
→ 先のO(1)解法がわかる
(N-2)%(3+1)
(N-3)%(3+1)

Grundy数
再帰関数で実装
std::setはlogといっても結構遅いので
Grundy数の最大値が小さいなら、
bitset<MAX> Set や
bool Set[MAX]に
変更すると結構速くなる

問題：とにかく盤面の分割ができるゲームでの必勝判定をしたい
例：分割されるゲーム
Grundy数
その前にNimのGrundy数を考える

Grundy数
NimのGrundy数を考える
Nimの1山のGrundy数は、山にある石やコインの枚数に等しい。
全部の取る選択から、1枚だけ取るまでを選択できるので
Grundy数の定義から枚数に等しい値が得られる。
4枚 3枚 2枚 1枚 0枚
4 3 2 1 0
枚数
Grundy数

Grundy数
複数山あるときは、
XOR を取れば(なんかよくわからなくても)勝敗判定ができた
今 3 xor 7 xor 5 =1 なので、
3の山を2にすれば、
2 xor 7 xor 5 = 0 を相手に
渡せる
(ゲーム値) = 3 xor 7 xor 5 =1
1 なので勝ち

Grundy数
したがって、Grundy数が求められるゲームが並列してたくさんあるときは、
各ゲームをNimの山として扱い、必勝判定ができる。

Grundy数
なにかしらのゲームがあったとして、ある時この盤面を分割したとする。
→
(複数に分割)
分割された盤面のGrundy数がわかると、
これはNimに変換できる！

Grundy数
なにかしらのゲームがあったとして、ある時この盤面を分割したとする。
→
(複数に分割)
分割された盤面のGrundy数がわかると、
これはNimに変換できる！
↓
(Nimにみえる)
それぞれのGrundy数： 4 2 7
(分割前のGrundy数) =4 xor 2 xor 7 = 1

Grundy数まとめ
→
(複数に分割)
・分割された盤面のGrundy数がわかると、
これはNimに変換できる。
↓
(Nimにみえる)
4 2 7
(分割前のGrundy数) =4 xor 2 xor 7 = 1
・Nimの1山のGrundy数は、山にある石やコインの枚数に等しい。
・ゲームの値。0のとき負け、そうでないとき勝ち。
・求め方は、
現在の状態から移行できる状態のGrundy数の集合のうち、
存在しない最小の非負整数。(mex)

忘れないうちに、
HackerRankの 5 days of game theory
を解きましょう！
おわり

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