materi ini untuk mahasiswa teknik

1. PENGENALAN SISTEM-SISTEM KONTROL
Sistem Kontrol Terbuka/Open-Loop
INPUT OUTPUT
- output tidak diukur maupun di –feedback-kan
- bergantung pada kalibrasi
- hubungan antara output dan input diketahui
- tidak ada ‘internal disturbance’ maupun ‘eksternal disturbance’
Contoh : - kontrol traffic (lalu lintas)
- mesin cuci
Keuntungan : mudah terjadi kestabilan
Kekurangan : komponen-komponen relatif mahal dan memiliki akurasi tinggi
Sistem Kontrol Tertutup / Close-Loop
INPUT OUTPUT
→Terdapat ‘feedback’ untuk mengurangi ‘error’
A. Manual Feedback Control / Manual Close-Loop Control System
Blok Diagram : ‘Manual Feedback Control’ dari sebuah sistem thermal
B. Automatic Feedback Control / Automatic Close-Loop Control System
CONTROLLER
ER
PLANT / PROCESS
CONTROLLER
ER
PLANT / PROCESS
ELEMEN
PENGUKUR

2. Blok Diagram :
Kelebihan : komponen-komponen relatif lebih murah dan cukup akurat
Kekurangan : stabilitas menjadi persoalan utama
TRANSFORMASI LAPLACE
∫
∞
−
==
0
st
.dtf(t).eF(s)α[f(t)]
A. Fungsi Step
F(t) = 0 untuk t < 0
= A untuk t > 0
A
0 t
∫
∞
∞−−=−=
0
0
|ste
s
A
.dtstA.eF(s)
= 1)(0
s
A
−−
=
s
A
B. Fungsi Pulse
F(t) = 0 untuk t < 0 & t >T
= A untuk 0 ≤ t ≤ T

3. A
0 T t
∫
∞
−=
0
.dtstf(t).eF(s)
)ste(1
s
A
1)st(e
s
A
T
0
|st.e
s
A
T
0
.dtstA.e
−−=
−−−=
−−=
−= ∫
Fungsi Unit Step : f(t) = 1 (t) →F(s) = 1/s
C. Fungsi Impulse
to
A
0to
limf(t)
→
= untuk 0 < t < to
= 0 untuk t < 0 & to < t
)o
st
e(1
s
0
t
A
0
t
limF(s)
−
−
∞→
=
s
s
A
(tos)
dto
d
)]stoe[A(1
dto
d
0to
lim
=
−−
→
=
= A
Fungsi Unit-Impulse : f(t) = δ(t)
F(s) = 1
D. Fungsi Ramp
F(t) = 0 untuk t < 0
= At untuk t ≥ 0

4. A
0 1 t
.dtstA.t.e
0
F(s) −
∫
∞
=
2s
A
0
.dtste
s
A
dt
0 s
stA.e
0
|
s
ste
A.t.
0
.dtst-t.eA
=
∫
∞
−=
∫
∞
−
−
−∞
−
−
=
∫
∞
=
E. Fungsi Eksponensiil
F(t) = o untuk t < 0
= A αte− untuk t ≥ 0
F(s) ∫
∞
−−=
0
.dtst.eαtA.e
αs
A
1)(0
αs
A
0
|
α)t(s
e
αs
A
0
.dt
s)t(α
eA
+
=
−
+
−=
∞+−
+
−=
∫
∞ +−
=
F. Fungsi Sinus
f(t) = A sin ωt
∫
∞
−=
0
.dtstA.sinω.siF(s)

5. 22
22
ωs
ω
A.
ωs
jωsjωs
.
2j
A
]
jωs
1
jωs
1
[
2j
A
0
]
s)t(jω
e
sjω
1s)t(jω
e
sjω
1
[
2j
A
0
)dt
s)t(jω
e
s)t(jω
(e
2j
A
0
)dtst.e
tj
est.e
tj
(e
2j
A
dt
0
st.e
2j
tj
e
tj
e
A.
+
=
+
+−+
=
+
−
−
=
∞+−
+
+
−
−
=
∫
∞ +−
−
−
=
∫
∞
−−
−−=
∫
∞
−
−
−
=
ωω
ωω
G. Fungsi Cosinus
f(t) = A cos ωt
F(s) = A. 22
ωs
s
+
TEOREMA-TEOREMA TRANSFORMASI LAPLACE
1. Teorema Translasi
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka L [f (t - α)] = .F(s)α.se−
Bukti :
L [ f ( t - α ) ] ∫
∞
−−=
0
.dtstα)ef(t

6. .F(s)αse
0
dtstf(t).eαse
α
dτsτf(τ(τ)αse
α
dτsτf(τ(τ
0
α)s(t
.eαsα)ef(t
−=
∫
∞
−−=
∫
∞
−
−−=
∫
∞
−
−=
∫
∞ −−−−=
2. Teorema Perkalian Dengan αte−
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [ αte− .f(t) ] = F ( s + α )
Bukti :
L [ αte− .f(t) ] = ∫
∞
−−
0
.dtstf(t)eαte
α)F(s
0
.dt
α)t(s
f(t).e
+=
∫
∞ +−
=
3. Teorema Diferensiasi
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [
dt
df(t)
] = sF(s) – f(0)
Dimana f(0) adalah harga f(t) untuk t=0
L [
2dt
f(t)2d
] = s2
F(s) - sf(0) – fI
(0)
L [
3dt
f(t)3d
] = s3
F(s) – s2
f(0) – sfI
(0) – fii
(0)
Bukti :
L [
dt
df(t)
] = ∫
∞
−
0
.dtst)e
dt
df(t)
(
sF(s)f(0)
0
dtstf(t).esf(0)0
0
stf(t)de
0
|.f(t)ste
df(t)
0
ste
+−=
∫
∞
−+−=
∫
∞
−−∞−=
∫
∞
−=
4. Teorema Integrasi

7. Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [ ∫f(t)dt ] =
s
(0)1f
s
F(s) −
+
Dimana f-1
(0) adalah ∫f(t)dt untuk t = 0
Bukti :
L [ ∫f(t)dt ] ∫
∞
∫
−=
0
dtstf(t)dt]e[
s
(0)1f
s
F(s)
F(s)](0)1f[0
s
1
]
0
f(t)dtste
0
|f(t)dtst[e
s
1
0
stf(t)dt]de[
s
1
−
+=
−−−−=
∫ ∫
∞
−−∞−−=
∫
∞
∫
−−=
∴ L [ ∫∫ f(t)dt)dt( ] =
s
(0)iif
2s
(0)if
2s
F(s) −
+
−
+
5. Teorema Harga Awal Dan Harga Akhir
A. sF(s)
s
limf(t)
0t
lim
∞→
=
→
B. sF(s)
0s
limf(t)
t
lim
→
=
∞→
Bukti :
A. ∫
∞
=−
∞→ 0
0dtst]e
dt
df(t)
[
s
lim
0f(0)sF(s)
s
lim =−
∞→
sF(s)
s
limf(t)
0t
limf(0)
∞→
=
→
=
B. f(0)][sF(s)
0s
lim]
dt
df(t)
L[
0s
lim −
→
=
→
f(0)sF(s)
0s
lim −
→
=
karena 1ste
0s
lim =−
→
∫
∞
∞=
0
0
|f(t)]dt
dt
df(t)
[

8. f(0)-sF(s)
0s
lim
f(0))f(
→
=
−∞=
∴ sF(s)
0s
limf(t)
t
lim)f(
→
=
∞→
=∞
INVERSI TRANSFORMASI LAPLACE
Untuk mencari fungsi waktu f(t) dari transformasi laplacenya
L-I
[ F(s) ] = f(t)
Metode Ekspansi Pembagian Parsial (Partial Fraction Expantion)
F(s) = F1(s) + F2(s) + ….. + Fn(s)
L-I
[ F(s) ] = L-I
[ F1(s) ] + L-I
[ F2(s) ] + ….. + L-I
[ Fn(s) ]
F(t) = f1(t) + f2(t) + ….. + fn(t)
Contoh :
1. F(s) =
2)1)(s(s
3s
++
+
F(s) =
2)1)(s(s
3s
++
+
=
2s
a
1s
a 21
+
+
+
a1 =
2
1s
1)](s
2)1)(s(s
3s
[ =
−=
+
++
+
a2 = 1
2s
2)](s
2)1(s(s
3s
[ −=
−=
+
++
+
f(t) = L-1
[ F(s) ]
= L-1
[
1s
2
+
] + L-1
[
2
1
+
−
s
]
= 2. 2tete −−−
2. G(s) =
2)1)(s(s
79s5ss 23
++
+++
G(s) = s + 2 +
2)1)(s(s
3s
++
+
G(t) =
2tet2e(t)2δ(t)
dt
d −−−++ δ
3. F(s) =
1)ss(s
1s
2
++
+
F(s) =
1)ss(s
1s
2
++
+
=
s
a
1s2s
2
αs
1
α
+
++
+
Untuk mendapatkan α1 dan α2 :
1)ss(s
1s
2
++
+
=
s
a
1s2s
2
αs
1
α
+
++
+

9. 1)ss(s
1s
2
++
+
=
1s2s
2
αs
1
α
++
+
1)ss(s
1s
2
++
+
. s2
+ s + 1 = j0,8660,5s
|
2
αs
1
α
−−=
+
2
αj0,866)0,5(
1
α
j0,8660,5
j0,8660,5
+−−=
−−
−
0,5 – j0.866 = α1 (0,25 + j0,866 – 0,75) + α2 (-0,5 – j0,866)
Real : 0,5 = -0,5α1 – 0,5α2 → α1 + α2 = -1
Imajiner : -0,866 = 0,866α1 – 0,866α2 → α1 + α2 = -1
α1 = -1 , α2 = 0
Untuk mendapatkan a :
1
0s
]
1)s2s(s
1)s(s
[a =
=
++
+
=
F(s) =
s
1
1s2s
s
+
++
−
= 20,86620,5)(s
0,5
2o,86620,5)(s
0,5s
s
1
++
+
++
+
−
f(t) = L-1
[ F(s) ]
= 1 – sin0,866t0,5t0,578ecos0,866t0,5te −+
4. F(s) = 31)(s
32s2s
+
++
F(s) = 1)(s
b1
21)(s
b2
31)(s
b3
+
+
+
+
+
b3 = [
31).(s
31)(s
32s2s
+
+
++
]s= -1
= (s2
+ 2s + 3)s= -1
= 2
b2 = 1s
]}31).(s
31)(s
32s2s
[
ds
d
{
1!
1
−=
+
+
++
= (2s +2)s= -1
= 0
b1 = 1s
]}31).(s
31)(s
32s2s
[
2ds
2d
{
2!
1
−=
+
+
++
= ½ . (2)
= 1
f(t) = L-1
[ F(s) ]

10. = L-1
[ 31)(s
2
+
] + L-1
[
1s
1
+
]
= t2
. e-t
+ e-t
SOAL LATIHAN
1. F(s) =
65s2s
1s
++
+
→f(t) = … ?
2. F(s) =
5)s23)(s(s31)(s
2)5(s
++++
+
→f(t) = … ?
3. f(t) = A cos (ωt + ϕ) →F(s)= … ?
4. f(t) = 0 untuk t < 0 & t > 2T
-A untuk 0 ≤ t < T → F(s) = … ?
A untuk T ≤ t ≤ 2T
5.
A → F(s) = …
?
T 2T t

11. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Contoh :
1. Selesaikan persamaan differensial berikut :
3(0)
.
x0,x(0)0,6x
.
x3
..
x ===++
Transformasi laplace dari persamaan differential diatas menghasilkan :
s2
X(s) – sx(0) - .
x
(0) + 3(sX(s) – x(0)) + 6X(s) = 0
s2
X(s) – 0 – 3 + 3 (sX(s) – 0) + 6X(s) = 0
X(s) (s2
+ 3s + 6) = 3
X(s) =
63s2s
3
++
Untuk mendapatkan x(t) :
X(s) =
6
4
9
4
9
3ss
3
2
+−++
=
15/43/2)(s
3
2
++
= 22
)15
2
1
(3/2)(s
3
++
= 22
)15(1/23/4)(s
151/2
15
6
++
∴ x(t) = )t]15.Sin[(1/23/2te15
5
2 −