Your SlideShare is downloading. ×
0
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Ch08
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Ch08

1,484

Published on

Published in: Education, Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,484
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
169
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide
  • Lecture slides by Lawrie Brown for “Cryptography and Network Security”, 4/e, by William Stallings, Chapter 8 – “ Introduction to Number Theory ”.
  • Transcript

    • 1. Chương 8: Giới thiệu Lý thuyết số Fourth Edition by William Stallings Lecture slides by Lawrie Brown
    • 2. Các số nguyên tố Prime Numbers <ul><li>Là các số nguyên dương chỉ có ước số là 1 và chính nó. </li></ul><ul><li>Chúng không thể được viết dưới dạng tích của các số khác </li></ul><ul><li>1 là số nguyên tố, nhưng không quan tâm đến nó </li></ul><ul><li>2, 3, 5, 7 là số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 không phải là số nguyên tố </li></ul><ul><li>Các số nguyên tố là trung tâm của lý thuyết số </li></ul><ul><li>Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 200 </li></ul><ul><ul><li>2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 </li></ul></ul>
    • 3. Phân tích ra thừa số nguyên tố Prime Factorisation <ul><li>Phân tích ra thừa số nguyên tố số N tức là viết nó dưới dạng tích của các số nguyên tố : n=a x b x c </li></ul><ul><li>Lưu ý rằng phân tích là bài toán khó hơn rất nhiều so với bài toán nhân các số để nhận được tích </li></ul><ul><ul><li>eg. 91=7x13 ; 3600=2 4 x3 2 x5 2 </li></ul></ul>
    • 4. Các số nguyên tố cùng nhau và GCD <ul><li>Hai số a và b không có ước chung nào ngoài 1, được gọi là nguyên tố cùng nhau </li></ul><ul><ul><li>Ví dụ: 8 và 15 là nguyên tố cùng nhau, vì ước của 8 là 1, 2, 4, 8, còn ước của 15 là 1, 3, 5, 15. Chỉ có 1 là ước chung </li></ul></ul><ul><li>Ngược lại có thể xác định ước chung lớn nhất bằng cách trong các phân tích ra thừa số của chúng, tìm các thừa số nguyên tố chung và lấy bậc lũy thừa nhỏ nhất. </li></ul><ul><ul><li>eg. 300 =2 1 x3 1 x5 2 18=2 1 x3 2 hence GCD(18,300)=2 1 x3 1 x5 0 =6 </li></ul></ul>
    • 5. Định lý Ferma Fermat&apos;s Theorem <ul><li>a p-1 = 1 (mod p) </li></ul><ul><ul><li>trong đó p là số nguyên tố và GCD(a, p) = 1 </li></ul></ul><ul><li>Hay a p = p (mod p) </li></ul><ul><li>Được dùng trong khoá công khai và kiểm tra tính nguyên tố </li></ul><ul><li>Ví dụ: </li></ul><ul><li>2 7-1 mod 7 = 2 6 mod 7 = 64 mod 7 = 1 </li></ul><ul><li>3 5-1 mod 5 = 3 4 mod 5 = 81 mod 5 = 1 </li></ul>
    • 6. Hàm Ole Euler Totient Function ø(n) <ul><li>Khi thực hiện phép tính đồng dư n </li></ul><ul><li>Tập đầy đủ các phần dư: 0, 1, 2, …, n-1 </li></ul><ul><li>Xét tậpết gọn của tập phần dư trên bao gồm các số nguyên tố cùng nhau với n </li></ul><ul><li>Ví dụ với n = 10 </li></ul><ul><ul><li>Tập đầy đủ các phần dư là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} </li></ul></ul><ul><li>Tập rút gọn các phần dư nguyên tố với 10 là {1,3,7,9} </li></ul><ul><li>Số các phần tử của tập rút gọn trên là giá trị của hàm Ole ø(n) </li></ul>
    • 7. Euler Totient Function ø(n) <ul><li>Muốn tính ø(n) việc đếm số các số ngưyên tố cùng nhau với n và nhỏ hơn n được loại bỏ vì đây là bài toán tốn nhiều công sức </li></ul><ul><li>Nói chung cần biểu thức phân tích ra thừa số </li></ul><ul><ul><li>Nếu p là số nguyên tố ø(p) = p-1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Nếu p và q là hai số nguyên tố khác nhau </li></ul></ul><ul><ul><li>ø(p.q) = (p-1)(q-1) </li></ul></ul><ul><li>Vidụ </li></ul><ul><ul><li>ø(37) = 36 </li></ul></ul><ul><ul><li>ø(21) = (3–1)×(7–1) = 2×6 = 12 </li></ul></ul>
    • 8. Tính ø(n) <ul><li>Ví dụ: </li></ul><ul><li>ø(72) = ø(8.9) = ø(8). ø(9) = ø(23).ø(32) = </li></ul><ul><li>= (23-22)(32-31) = 4.6 = 24 </li></ul>
    • 9. Định lý Ole Euler&apos;s Theorem <ul><li>Tổng quát hoá của Định lý Ferma </li></ul><ul><li>a ø(n) = 1 (mod n) </li></ul><ul><ul><li>với mọi a,n trong đó gcd(a,n)=1 </li></ul></ul><ul><li>eg. </li></ul><ul><ul><li>a =3; n =10; ø(10)=4; </li></ul></ul><ul><ul><li>hence 3 4 = 81 = 1 mod 10 </li></ul></ul><ul><ul><li>a =2; n =11; ø(11)=10; </li></ul></ul><ul><ul><li>hence 2 10 = 1024 = 1 mod 11 </li></ul></ul>
    • 10. Kiểm tra tính nguyên tố Primality Testing <ul><li>Giả sử cần phải tìm một số nguyên tố rất lớn </li></ul><ul><ul><li>Lấy một số đủ lớn. Phương pháp truyền thống là thử bằng phép chia </li></ul></ul><ul><ul><li>Chia cho tất cả các số (chỉ cần nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của số đó. </li></ul></ul><ul><li>Chỉ hiệu quả khi các số nhỏ </li></ul><ul><li>Có phương pháp khác sử dụng các phép kiểm tra tính nguyên tố thống kê dựa trên các tính chất </li></ul><ul><ul><li>Mà mọi số nguyên tố phải thỏa mãn </li></ul></ul><ul><ul><li>Nhưng có một số số không nguyên tố, gọi là giả nguyên tố cũng thoả mãn tính chất đó. </li></ul></ul>
    • 11. Thuật toán Miller - Rabin <ul><li>Là phép kiểm tra dựa trên Định lý Ferma </li></ul><ul><li>Thuật toán như sau: TEST ( n ) is: </li></ul><ul><ul><li>1. Find integers k , q , k &gt; 0, q odd, so that ( n –1)=2 k q </li></ul></ul><ul><ul><li>2. Select a random integer a , 1&lt; a &lt; n –1 </li></ul></ul><ul><ul><li>3. if a q mod n = 1 then return (“maybe prime&amp;quot;); </li></ul></ul><ul><ul><li>4. for j = 0 to k – 1 do </li></ul></ul><ul><ul><li>5. if ( a 2 j q mod n = n -1 ) </li></ul></ul><ul><ul><li> then return(&amp;quot; maybe prime &amp;quot;) </li></ul></ul><ul><ul><li>6. return (&amp;quot;composite&amp;quot;) </li></ul></ul>
    • 12. Các xem xét về mặt xác suất <ul><li>Nếu thuật toán Miller Rabin trả về số “composite” thì số đó chắc chắn không là số nguyên tố. </li></ul><ul><li>Ngược lại số đó có thể là số nguyên tố hoặc giả nguyên tố </li></ul><ul><li>Xác suất để số đó là giả nguyên tố là ¼ </li></ul><ul><li>Suy ra nếu lặp phép thử với các lựa chọn ngẫu nhiên khác nhau. Khi đó xác suất để số n sau t phép thử là số nguyên tố là: 1-4-t </li></ul><ul><li>VD t = 10, thì xác suất &gt; 0.99999 </li></ul>
    • 13. Phân bố nguyên tố Prime Distribution <ul><li>Định lý về số nguyên tố khẳng định số nguyên tố xuất hiện sau mỗi khoảng ln n số nguyên (xét các sô trong kích thước n) </li></ul><ul><li>Như vậy bỏ qua số chẵn và các bội số của 5, ta cần kiểm tra 0.4 ln n số trong kích thước n để tìm được 1 số nguyên tố. </li></ul><ul><ul><li>Lưu ý đây chỉ là trung bình, vì có lúc các số nguyên rất gần nhau và có lúc lại rất xa nhau. </li></ul></ul>
    • 14. Định lý phần dư Trung Hoa Chinese Remainder Theorem <ul><li>Sử dụng để tăng tốc độ tính toán Modulo </li></ul><ul><li>Tính toán trên modulo của một tích các số mod M với M= m1m2..mk </li></ul><ul><li>Định lý phần dư Trung Hoa cho phép làm việc trên từng Modulo mi riêng biệt </li></ul><ul><li>Vì thời gian tính toán tỷ lệ với kích thước nên điều đó sẽ nhanh hơn tính toán trên toàn bộ M </li></ul>
    • 15. Chinese Remainder Theorem <ul><li>Có thể tri ển khai Định lý Trung Hoa theo một số cách </li></ul><ul><li>Để tính A mod M </li></ul><ul><ul><li>Trước hết ta cần tính tất cả a i = A mod m i </li></ul></ul><ul><ul><li>Tính C i theo công thức sau với M i = M/m i </li></ul></ul><ul><ul><li>Sau đó sử dụng công thức </li></ul></ul>
    • 16. Ví dụ Định lý ph ần dư Trung Hoa
    • 17. Căn nguyên tố Primitive Roots <ul><li>Từ Định lý Ole ta có a ø(n) mod n=1 </li></ul><ul><li>Xét m để a m mod n = 1, GCD(a,n)=1 </li></ul><ul><li>Có m = ø(n) thỏa mãn nhưng có thể có giá trị nhỏ hơn </li></ul><ul><li>Khi đạt được m như vậy sẽ có vòng lặp </li></ul><ul><li>Nếu giá trị m = ø(n) là số dương nhỏ nhất thoả mãn công thức trên thì a được gọi là căn nguyên tố của n. </li></ul><ul><li>Nếu p là số nguyên tố, thì các luỹ thừa thích hợp của a: a0, a1, …sẽ sinh ra nhóm modulo p. </li></ul><ul><li>Điều này có ích nhưng tương đối khó tìm </li></ul>
    • 18. Ví dụ căn nguyên t ố <ul><li>Xét số nguyên tố p = 5 và xét xem a = 2 có phải là căn nguyên tố của 5 không? </li></ul><ul><li>2 mod 5 = 2; 2 2 mod 5 = 4; 2 3 mod 5 = 3; 2 4 mod 5 = 1 </li></ul><ul><li>Rõ ràng m= 4= ø(5) l à s ố mũ nhỏ nhất có t ính chất 2m mod 5 = 1, nên </li></ul><ul><li>2 là căn nguyên tố của 5. </li></ul><ul><li>Xét số n = 6 và xét xem a = 3 có phải là căn nguyên tố của 3 không? </li></ul><ul><li>3 mod 8 = 3; 3 2 mod 8 = 1; 3 3 mod 8 = 3; 3 4 mod 8 = 1 </li></ul><ul><li>Rõ ràng m= 2 &lt; 4 = ø(8) l à s ố mũ nhỏ nhất có t ính chất 3m mod 8 = 1, nên 3 không là căn nguyên tố của 8. </li></ul>
    • 19. Logarit rời rạc Discrete Logarithms <ul><li>Bài toán ngược của bài toán lũy thừa là tìm logarit rời rạc của một sô modulo p </li></ul><ul><li>Tức là tìm x sao cho a x = b mod p </li></ul><ul><li>Hay còn được viết là x = log a b mod p or x= ind a,p (b) </li></ul><ul><li>Nếu a là căn nguyên tố thì luôn luôn tồn tại, ngược lại thì có thể không </li></ul><ul><li>x = log 2 3 mod 13 = 4 bằng cách thử lần lượt </li></ul><ul><li>x = log 3 4 mod 13 (tìm x: 3 x = 4 mod 13) không có lời giải </li></ul><ul><li>Trong khi lũy thừa là bài toán dễ dàng, thì bài toán logarit rời rạc là bài toán khó. </li></ul>
    • 20. Summary <ul><li>have considered: </li></ul><ul><ul><li>prime numbers </li></ul></ul><ul><ul><li>Fermat’s and Euler’s Theorems &amp; ø(n) </li></ul></ul><ul><ul><li>Primality Testing </li></ul></ul><ul><ul><li>Chinese Remainder Theorem </li></ul></ul><ul><ul><li>Discrete Logarithms </li></ul></ul>

    ×