Презентация с 10 Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 24-31 августа 2011

1. Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
Асланов В. С.
Нелинейная динамика
спутников-гиростатов
Самара 2011

2. Постановка задачи
Рассматривается движение спутников-гиростатов с изменяющейся структурой
Изменение структуры может приводить к
• изменению моментов инерции платформы и ротора
• нарушению динамической симметрии системы относительно оси вращения
Необходимы новые математические модели учитывающие эти процессы
Динамику вращающихся тел изучали великие математики: Л.Эйлер, О.Коши, К.Якоби, С.Пуассон, Ж.Лагранж, С.Ковалевская и
другие. Исследование поведения вращающихся тел в приложениях космической динамики посвящены работы: В.Румянцева,
В.Сарычева и С.Мирера, Й.Виттенбурга, J.Cochran, R.Rand, S.Hall, P.Hughes, J.Kuang, X.Tong, J.Cavas, A. Vigueras и другие.

3. Содержание
• Уравнения движения
– Описание системы
– Уравнения Эйлера
– Уравнения в переменный Андуайе-Депри
– Безразмерные уравнения
• Невозмущенное движение
– Типы гиростатов
– Фазовое пространство
– Аналитические решения
• Спутник-гиростат с изменяющейся структурой
– Деформация фазового пространства
– Адиабатические инварианты
– Стабилизация

4. 1. Уравнения движения
Описание системы

dG
ω G 0 (1)
dt

G J ω Gr a (2) Кинетический момент (КМ) системы

Gr Cr 
 (3) КМ ротора относительно платформы
J Jp Jr (4) Тензор инерции системы

dG
J 1 
G Gr a G G J 1 
G Gr a (5)
dt
Проекции КМ на оси Ox p y p z p G (Gx , Gy , Gz )
Структура тензора инерции системы с
асимметричными платформой и ротором
Jx J xy 0
J J xy Jy 0 (6)
0 0 Jz

5. 1. Уравнения движения
Динамические уравнения Эйлера
2
Gy J xy 
J x J y Gr Gz Gx J z J xy 2
Gy J xy Jx Jz Jy

Gx (7)
2
Jz JxJ y J xy
2
Gz Gy J z J xy Gx J xy J y Jz Jx 
Gx Gr

Gy (8)
2
J z (Jx J y J xy ) Jz
GxGy J x Jy Gx2 Gy J xy
2

Gz (9)
2
JxJy J xy
Уравнения для осесимметричного ротора, при J 0, ( , x, y, z )
Jy Jz 
Gr Jz Jx 
Gr Jx Jy

Gx Gz Gy (10) 
Gy Gz Gx (11) 
Gz GxGy (12)
Jy Jz Jz JxJz Jz JxJ y

6. 1. Уравнения движения
Уравнения в переменных Депри
Кинетический момент системы
l, g, h, L, G, H - переменные Андуайе-Депри
Gx G2 L2 sin l (13)
Gy G2 L2 cos l (14)
Gz L (15)
Уравнения для асимметричного ротора
Ar Br
 1 (16)
Ar
Bp Ap cos 2l Ap Bp 2 Ar L Cr
l L Fl (l , s, )
2 Ap Ar Ar Bp C p Cr
(17)
2 2
G L Ap B p sin 2l

L FL (l , s, )
2 Ap Ar Ar Bp

7. 1. Уравнения движения
Уравнение относительного движения
Векторное уравнение движения платформы
dG p
ω Gp ga
 Mc (18)
dt
Скалярная форма
 1 1
G pz Gpx Gpy 
g (19)
BP AP
Уравнение (19) в переменных Андуайе-Депри
при малой асимметрии ротора
G2 L2 Bp Ap Cr Cp
 sin 2l 
ga
2C p Ap Ar Ar Bp C p Cr
(20)
Cr ( C p
 L)
F (l , s, )
Cr (C p Cr )

8. 1. Уравнения движения
Безразмерные уравнения
Безразмерные параметры
Cp Cp Cp Ar
a ,b ,c ,w (21)
Ap Ar Bp Ar Cp Cr Cp
Безразмерные переменные
L Cr L C p 
s , d (22)
G G C p Cr
Безразмерный внутренний момент
Cp (23)
ga 2

ga
G
Безразмерное время
G
t (24)
Cp

9. 1. Уравнения движения
Безразмерные уравнения
s
l s d a b b a cos 2l fl (l , s, )
2
1
s b a 1 s 2 sin 2l f s (l , s, )
2 (25)
d
s f (l , s, )
1 c
d f d (l , s, )
Слагаемые, выделенные цветом, отличны от нуля для системы с асимметричным ротором

10. 2. Невозмущенное движение
Гамильтонова форма уравнений
Каноническая форма уравнений при 0
H s
l s d a b b a cos 2l
s 2 (26)
H 1
s b a 1 s 2 sin 2l
l 2
Гамильтониан
1 s2 s2
H l, s a b (b a)cos 2l sd h const (27)
4 2
s, d – обобщ. импульсы, l – позиционная координата, – цикл. координата, d const

11. 2. Невозмущенное движение
Фазовые траектории и стационарные
решения
Решая
1 s2 s2 (28)
H l, s a b (b a)cos 2l sd h
4 2
получим уравнение фазовой траектории
a b 2 s2 4ds 4h a b (29)
cos 2l 2
1 s b a
Стационарные решения, определяющие структуру фазового пространства
d d
1) cos 2l* 1, s* 2) cos 2l* 1, s*
1 b 1 a
(30)
2 a b 2d 2 a b 2d
3) cos 2l* , s* 1 3) cos 2l* , s* 1
b a b a

12. 2. Невозмущенное движение
Типы гиростатов
Пять типов гиростатов, определяемых соотношением моментов инерции
# Тип подтип Условие Доп. условие
a |d/(1-a)|<1
1 Oblate CP>A>B (b>a>1)
b |d/(1-a)|≥1
2 Oblate-intermediate CP=A>B (b>a=1) |d/(1-a)|
a |d/(1-a)|≥1
3 Intermediate b A>CP>B (b>1>a) |d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1
c |d/(1-b)|≥1
4 Intermediate-prolate A>CP=B (b=1>a) |d/(1-b)|
a |d/(1-b)|≥1
5 Prolate A>B>CP (1>b>a)
b |d/(1-b)|<1

13. 2. Невозмущенное движение
Сплюснутый гиростат (oblate)
CP A B (b a 1)
d d
Стац. точки для случая 1а 1 Стац. точки для случая 1b 1
1 a 1 a
Сёдла Сёдла
ls k , ss d / (1 a) (31) 2 a b 2d
2 cos 2ls , ss sgn d (33)
b a
Центры Центры
lc k , sc d/ 1 b (32) lc k , sc d/ 1 b (34)

14. 2. Невозмущенное движение
Oblate-intermediate (2), Intermediate (3.a)
Oblate-intermediate (2) Intermediate (3.a)
CP A B (b a 1) A CP B (b a 1), d / (1 a) 1
Стационарные точки Стационарные точки
сёдла сёдла
2 a b 2d 2 a b 2d
cos 2ls , ss sgn d (35) cos 2ls , ss sgn d (37)
b a b a
центры центры
lc k , sc d/ 1 b (36) lc k , sc d/ 1 b (38)

15. 2. Невозмущенное движение
Промежуточный
A CP B (b 1 a)
Стационарные точки для случая 3b
Сёдла
2 a b 2d 2 a b 2d
cos 2ls , ss sgn d (39) cos 2ls , ss sgn d (41)
b a b a
центры
lc k , sc d/ 1 b (40) lc /2 k , sc d/ 1 b (42)

16. 2. Unperturbed motion
Critical points
Intermediate (3.c), Intermediate-prolate (4)
Промежуточный (Intermediate) (3.c) Intermediate-prolate (4)
A CP B (b 1 a), d b 1 A CP B (b 1 a)
Стационарные точки Стационарные точки
Сёдла Сёдла
2 a b 2d 2 a b 2d
cos 2ls , ss sgn d (43) cos 2ls , ss sgn d (45)
b a b a
Центры Центры
lc k , sc d/ 1 b (44) lc k , sc d/ 1 b (46)

17. 2. Невозмущенное движение
Вытянутый гиростат
A B CP (1 b a)
d d
Стационарные точки для случая 5a 1 Стационарные точки для случая 5b 1
1 b 1 b
Сёдла Сёдла
2 a b 2d
cos 2ls , ss sgn d (47) ls 0, ss d / (1 b) (49)
b a
Центры Центры
lc k , sc d/ 1 a (48) lc k , sc d/ 1 a (50)
2 2

18. 2. Невозмущенное движение
Интегралы
Исключая l из (28), получим
1 2 2
s 1 s2 b a a b 2 s2 4ds 4h a b F4 (s) (51)
2
F4 (s) Полином 4 степени по s
После разделения переменных и интегрирования (51)
ds
const (52)
s1 s s s2 s s3 s s4
где A CP B CP / AB

19. 2. Невозмущенное движение
Решения
Уравнение сепаратрисы
ds 4ei exp
const, (53) s ss 2
(54)
s ss s1 s s s2 ei exp 4
(s1..4 ), (s1..4 ), R( x) x x2 , x s ss , ei 2 / si ss , s1...4 s1...4 (a, b, h, d )
Уравнения вращательных и колебательных траекторий
1 2sn2 ,k
s 2
(55)
3 4 sn ,k
1...4 1...4 ( s1..4 ), ( s1..4 , )
Координата l ( ) может быть получен
подстановкой (54) или (55) в (29).

20. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Система с переменным
моментом инерции
Изменяющиеся параметры системы
AR (t ) BR (t ) AR 0 f A (t ), CR (t ) CR 0 fC (t ) (56)
Уравнения для переменных по времени a(t), b(t) сохраняют свой вид
H s
l s d a b b a cos 2l
s 2
(57)
H 1
s b a 1 s 2 sin 2l
l 2

21. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
Ar увеличивается (a уменьшается)
ss изменяется от d/(1-a) до -sgn d
Oblate

22. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
Сёдла достигают положения /2± k
при
d
1
1 a
Oblate 1a-1b

23. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
Дальнейшее увеличение Ar :
ss = -sgn d, cos 2ls= (2-a-b+2d)/(b-a)
Сёдла движутся к 0± k
Oblate Oblate-intermediate Intermediate 3a

24. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
При|d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1
зарождается «верхняя» сепаратриса
Intermediate 3b

25. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
При |d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1
«нижняя» сепаратриса исчезает
Intermediate 3b

26. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
Седловые точки движутся к 0± k
Prolate 5a

27. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
Седловые дочки достигают 0± k при
d
1
1 b
Prolate 5a-5b

28. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства
d
1
1 b
Prolate 5b

29. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Деформация фазового пространства

30. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Adiabatic Invariants
Для системы с изменяющимся H( ) можно ввести каноническую переменную - действие
I( ) s l dl const (58)
Интегрирование в (58) проводится на полном периоде вращения или колебаний.
Используя замену
x cos 2l xi xi (a, b, h, d , )
(59)
интеграл (58) приводится к форме
1 2d b a x x1 x x2
I
2
 b a x x 1 x 2 dx (60)
3
I2 2.1kg m2 , I3 1.6 kg m2 , I p 2.5 kg m2 , 0.005
Интеграл действия – адиабатический инвариант
площадь ограниченная фазовой траекторией на
полном периоде движения

31. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Адиабатические инварианты
Первый интеграл для системы с медленно меняющимися параметрами
I d ( ), h( ) const (61)
Вид интеграла определяется типом гиростата, видом движения (вращение, колебание).
Структура интеграла
I 0 1 (n1 , m) 2 (n2 , m) 3 (m) (62)
(ni , m) - полный эллиптический интеграл третьего рода
K (m) - полный эллиптический интеграл первого рода
j j (a, b, h, d , ), j 0,1,2,3

32. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Адиабатические инварианты
Изменение a( ), b( ) Изменение энергии системы h( )
Фазовая траектория Интеграл действия

33. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Стабилизация
Программное движение * при AR AR 0 f A (t )
• Стационарная точка для CP A
d L
s cos
1 b G
• Начальное значение d
d0 1 b0 cos * b0 CP / BP AR 0
• Дифференцируя
CP
d 1 cos *
BP AR 0 f A (t )

CP f A (t )

d cos
2 *
BP AR 0 f A (t )

f A (t )
ga t 2
CP G cos *
BP AR 0 f A (t )

34. 3. Спутник гиростат переменной структуры
Пример
AP 1.0 кг м2 , BP 0.6 кг м2 , CP 1.2 кг м2 , AR 0 0.08 кг м 2 G 1кг м2c 1
f A (t ) 1.92 10 4 t кг м2
AR AR 0 f A (t ) l0 0, s0 0.81908 cos * 0.7
При действии внутреннего
Вид движения
«стабилизирующего» момента
меняется из-за изменения моментов инерции
вид движения сохраняется

f A (t )
ga t 0 ga t 2
CP G cos *
BP AR 0 f A (t )

35. Заключение
• Получены уравнения движения асимметричного одноосного гиростата с
переменными моментами инерции.
• Уравнения движения одноосных гиростатов приведены к двум
обыкновенным дифференциальных уравнений первого порядка для
канонических переменных Andoyer-Deprit.
• Для невозмущенного движения, когда внутренний момент равен нулю,
найдены стационарные решения и изучена их устойчивость.
• Получены общие аналитические решения в эллиптических функциях и
сепаратрисные решения в элементарных функциях уравнений движения
осесимметричного свободного гиростата.
• Для гиростатов с медленно меняющимися моментами инерции найдены
адиабатические инварианты как функции полных эллиптических интегралов.
• Рассмотрена задача по стабилизации заданного пространственного
положения гиростата.

36. Литература
1. Rumyantsev V.V.: On the Lyapunov's methods in the study of stability of motions of rigid bodies with fluid-filled cavities, Adv. Appl.
Mech. 8, 183-232 (1964)
2. Tong X., Tabarrok B., Rimrott F.: Chaotic motion of an asymmetric gyrostat in the gravitational field, Int. J. Non-Linear Mech. 30, 191-203
(1995)
3. Kinsey K.J., Mingori D.L., Rand R.H.: Non-linear control of dual-spin spacecraft during despin through precession phase lock, J. Guidance
Control Dyn. 19, 60-67 (1996)
4. Hall C.D.: Escape from gyrostat trap states, J. Guidance Control Dyn. 21, 421-426 (1998)
5. Hall, C. D., and Rand, R. H.: "Spinup Dynamics of Axial Dual-Spin Spacecraft," Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 17, n. 1, 30-37
(1994).
6. Anchev, A.: On the stability of the permanent rotations of a heavy gyrostat. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 26, n 1, 22-28
(1962).
7. Kane,T.R.: Solution of the Equations of rotational motion for a class of torque-free gyrostats. AIAA Journal, 8, n 6, 1141-1143 (1970).
8. Elipe, A.: Gyrostats in free rotation. IAU Colloquium, 165, 1-8 (1991).
9. El-Sabaa, F.M.: Periodic solutions and their stability for the problem of gyrostat. Astrophysics and Space Science, 183, 199-213 (1991).
10. Cochran, J. E., Shu, P.-H., and Rew, S. D.: Attitude Motion of Asymmetric Dual-Spin Spacecraft, Journal of Guidance, Control, and
Dynamics, 5, n 1, 37-42 (1982).
11. Cavas, J.A., Vigueras,A.: An integrable case of rotational motion analogue to that of Lagrange and Poisson for a gyrostat in a Newtonian
force field, Cel.Mech.Dynam.Astron., 60, 317-330 (1994).
12. El-Gohary, A. I.: On the stability of an equilibrium position and rotational motion of a gyrostat, Mech. Res. Comm., 24, 457-462 (1997).
13. El-Gohary A.: On the control of programmed motion of a rigid containing moving masses, Int. J. Non-Linear Mech, 35, n 1, 27-35(2000).
14. El-Gohary A.: On the stability of the relative programmed motion of a satellite gyrostat, Mechanics Research Communications, 25, n 4,
371-9 (1998).

37. Литература
15. El-Gohary A.: Optimal stabilization of the rotational motion of rigid body with the help of rotors, Int. J. Non-Linear Mech., 35, n 3,
393-403 (2000).
16. El-Gohary, A., Hassan, S.Z.: On the exponential stability of the permanent rotational motion of a gyrostat, Mechanics Research
Communications, 26, n 4, 479-488 (1999).
17. Tsogas, V., Kalvouridis, T.J., Mavraganis, A.G.: Equilibrium states of a gyrostat satellite moving in the gravitational field of an annular
configuration of N big bodies, Acta Mechanica, 175, n 1-4, 181-195 (2005).
18. Kalvouridis, T.J.: Stationary solutions of a small gyrostat in the Newtonian field of two massive bodies, Nonlinear Dynamics, 61, n 3,
373-381 (2010).
19. Balsas, M.C., Jimenez, E.S., Vera, J.A.: The motion of a gyrostat in a central gravitational field: phase portraits of an integrable case, J.
Nonlinear Math.Phys.,15, 53-64 (2008).
20. Neishtadt A.I., Pivovarov M.L.: Separatrix crossing in the dynamics of a dual-spin satellite, J. of Applied Mathematics and Mechanics,
64, 741-746 (2000).
21. Aslanov V.S., Doroshin A.V.: Chaotic dynamics of an unbalanced gyrostat. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 74, 524-535
(2010).
22. Hughes, P.C.: Spacecraft Attitude Dynamics, Wiley, New York (1986).
23. Andoyer H.: Cours de Mechanique Celeste, Vol. 1, Gauthier-Villars (1923).
24. Deprit A.: A free rotation of a rigid body studied in the phase plane, American Journal of Physics, 35 , 424 – 428 (1967)
25. Korn G., Korn T.: Mathematical handbook, McGraw-Hill Book Company, New York (1968).
26. Gradshteyn I., Ryzhik I.: Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, San Diego (1980).
27. Born M.: Problem of atomic dynamics, Massachusetts Institute of technology, Cambridge, Mass. (1926).
28. Wolfram MathWorldive Mathematics Resource (http://mathworld.wolfram.com/).