2016/10/4 Math Power 2016 @ニコファーレ『Math.pow() 〜 6名のプログラマが語る「数学のチカラ」』にて

1. 生命を記述する数学
curiosity株式会社
堀川 隆弘
@thorikawa

2. 本日の内容
生命の複雑な模様を数式で記述できるか

3. 複雑な模様はどのように形成されるか？
• 生物の形が作られる過程において、細胞はどのようにして、
細胞集団中の自己の位置情報を把握するのか
役割A
役割B
役割C

4. Wolpertの濃度勾配モデル
• モルフォゲンと呼ばれる物質がある場所（ソース）から発生
し、別の場所（シンク）で吸収されることにより濃度勾配が
形成される
• モルフォゲンの濃度によって、細胞は自己の位置を知る
• しかしこのモデルでは説明がつかないことも多い
→プラナリアの切断・再生など
モルフォゲンの濃度
細胞の位置
モルフォゲンの濃度から位置が分かり、
さらに何色になるべきかが分かる
ソース
シンク

5. Turingモデル - 反応拡散系
• A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis, 1952
• 互いに反応しあう2つ以上の物質が、特定条件下で拡散す
るとき、平衡状態においても、一様ではなく不安定な状態に
なることがある
• パラメータを調整することで定常波や振動に落ち着く
どちらのパターンの平衡状態もありえる！

6. Turingモデル - 反応拡散系
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑓 𝑢, 𝑣 + 𝐷* 𝛻,
𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝑔 𝑢, 𝑣 + 𝐷. 𝛻,
𝑣
拡散相互反応
拡散項のみだとただの拡散方程式
→濃度が一様な状態に落ち着く
反応項があることで不安定な状態に落ち着く

7. Turingモデル - 反応拡散系
• 実際にプログラムでシミュレーションを行うために
• f とgが線型であると仮定
• 離散化されており、終点と始点が繋がったリングを想定
𝜕𝑢/
𝜕𝑡
= 𝑎𝑢/ + 𝑏𝑣/ + 𝑐 + 𝐷*(𝑢/45 − 2𝑢/ + 𝑢/85)
𝜕𝑣/
𝜕𝑡
= 𝑑𝑢/ + 𝑒𝑣/ + 𝑓 + 𝐷.(𝑣/45 − 2𝑣/ + 𝑣/85)

8. Turingモデルの発展
• Turingのモデルをベースに、活性因子・抑制因子のモデル
で多様なパターンを作れることを提示
(Gierer and Meinhardt, 1972;)
• 活性因子は自分自身を増加させ、また抑制因子も作り出す
• 抑制因子は活性因子の増加を抑える
• 活性因子は拡散の遅く、抑制因子は拡散が速い

9. 活性因子・抑制因子
活性因子抑制因子
抑制（長距離）
活性（短距離）
活性（短距離）

10. Gierer-Meinhardt モデル
𝜕𝑎
𝜕𝑡
= 𝜌
𝑎,
ℎ
− 𝜇? 𝑎 + 𝐷?
𝜕,
𝑎
𝜕𝑥, + 𝜌?
𝜕ℎ
𝜕𝑡
= 𝜌𝑎,
− 𝜇Aℎ + 𝐷A
𝜕,
ℎ
𝜕𝑥, + 𝜌A
抑制因子

11. デモ
Turingモデルによる反応拡散波の生成

12. Turingモデルの立証 -タテジマキンチャクダイ
• タテジマキンチャクダイの模様の成長過程が、Turingモデル
のシミュレーションと一致
Kondo, S. and Asai, R.：A viable reaction-diffusion wave on the skin of Pomacanthus, a marine angelfish.
Nature, 1995, Aug, 31, 376, 765-768 (1995)
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/skondo/saibokogaku/takarasagashi2.html

13. Turingモデルの立証 – 異なる種類の魚の交配
Blending of animal colour patterns by hybridization.Miyazawa S, Okamoto M, Kondo S.: 2010
X

15. 参考文献
• 反応拡散系のシステムバイオロジー, 2010, 岩波・現代生物学入門
• 近藤滋, 発生における位置情報形成の原理, 2005, 蛋白質核酸酵素
• 高木泉, 生物の形づくりの数理 改訂版
• フィリップ・ボール, かたち: 自然が創り出す美しいパターン, 2011
• A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis, 1952
• Gierer and Meinhardt, A theory of biological pattern formation , 1972
• Kondo, S. and Asai, R.：A viable reaction-diffusion wave on the skin of
Pomacanthus, a marine angelfish., 1995
• Miyazawa S, Okamoto M, Kondo S, Blending of animal colour patterns by
hybridization, 2010
• こんどうしげるの生命科学の明日はどっちだ！？
• http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/skondo/saibokogaku/ashitahadocchida.html

16. ありがとうございました！