El documento explica las propiedades de las potencias. Define potencia como una expresión que consta de una base y un exponente. Explica que una potencia representa de forma abreviada una multiplicación recurrente de la base. Luego, describe ocho propiedades de las potencias, incluyendo potencias de exponente cero y uno, multiplicación y división de potencias de igual o distinta base, potencia de una potencia, y potencia con exponente negativo.

1. POTENCIAS
¿Qué es una Potencia?
1. Potencia de Exponente 0
2. Potencia de Exponente 1
3. Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente
4. Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente
5. División de Potencias de Igual Base y Distintos Exponentes
6. División de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente
7. Potencia de una Potencia
8. Potencia de Exponente Negativo
Potencias de Bases 2 y 3.
Harold Leiva Miranda
Profesor de Matemática
H.L.M.

2. ¿Qué es una Potencia?
Potencia es una expresión que consta
de una BASE y un EXPONENTE.
¿Qué es una Base y un Exponente?
BASE EXPONENTE
b
a
4
2
8
(-5,3)
4
4
 
5

3. ¿Qué significa una Potencia?
Potencia es una forma abreviada de
escribir una multiplicación recurrente.
4 El 2 se multiplica por si mismo las
2 = 2 • 2• 2 • 2 veces que indica el exponente 4.
m
n = n n … n
• • •
n se multiplica por si mismo las
veces que indica el exponente m.
m veces
5
(-5,3) = (-5,3) • (-5,3) • (-5,3) •(-5,3) •(-5,3)
2
4  4• 4 Ojo: El Exponente 1 no se
  =     escribe. Si la base no tiene
5 5 5 exponente se asume que es 1.

4. Algo importante:
Lectura de una Potencia.
2 2
-Exponente 2, Cuadrado. Ej. 6 x3
-Exponente 3, Cubo. Ej. 6 g
3
-En General se puede usar la palabra
“ELEVADO A”.
Paréntesis en una Potencia.
No es lo mismo ( − 3) y − 3
2 2
( − 3) • ( − 3) − 3• 3
9 −9

5. 1 - Propiedad:
Potencia de Exponente Cero.
Excepción
0 0 0
2 = 1 m = 1 0 No Existe
2 - Propiedad:
Potencia de Exponente Uno.
1 1
2 = 2 n = n

6. 3 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Igual Base
y Distinto Exponente.
4
Sabiendo que: 2 = 2 • 2• 2 • 2
4 veces
¿Cuál será el resultado de? En General
4 2 6 4+2 a b a+b
3 • 3 =3 = 3 n• n = n
Escribe o di un
enunciado que
3•3 •3 •3 3• 3 = 3•3• 3•3 •3• 3 describa la
Propiedad
4 veces 2 veces En Total son
6 veces

7. 3 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Igual Base
y Distinto Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
5 3 8 5 3 2 2
a) 2 • 2 • 2 = d) 2 • 7 • 2 • 7 =
3 7 Ordene
b)  4  •  4  •  4  =
     
5 5 5 = • • •
3 5 -6 7 5
c) − • − •  −  =

1  1  1 = 2 • 7
 2  2  2
Resultado Final

8. 4 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Distinta
Base e Igual Exponente.
4
Sabiendo que: 2 = 2 • 2• 2 • 2
4 veces
¿Cuál será el resultado de?
En General
2 2 2 2 a a a
5•3 = (5 • 3) = 15 m • n = (n • m)
Escribe o di un
enunciado que
5 •5 • 3 • 3 = (5 • 3) • (5 • 3) describa la
2 veces
Propiedad
2 veces En Total son
2 veces

9. 4 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Distinta
Base e Igual Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
6 6 6 4 3 4 3
a) 6 • 2 • 4 = d) 8 • 5 • 7 • 6 =
4 Ordene
4 4
b)  1 • − 2  •  1  =
    
5  3  4 = • • •
3 3 3 4 3
c) − 5 •  2  •  1  = 56 30
= •
     
 3  3  3 Resultado Final

10. 5 - Propiedad:
División de Potencias de Igual Base y
Distinto Exponente.
4 4
Sabiendo que: 2 = 2 • 2• 2 • 2 y 4 = 1
4 veces
¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se
4 veces puede separar así
4
4 2
3 3 3 3 3
• • •
3 •
_ 3
_ 3 •3
3 :3 = ─ 2 = ______________
= •
3 3 •3 3 3 2
2 veces = 1• 1 • 3 • 3 = 3
4
a b a-b
3 4-2 2
n : n =n
Más Rápido ─ =3
2
= 3 En General
3

11. 5 - Propiedad:
División de Potencias de Igual Base y
Distinto Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
5
a) 2 : 2 : 2
3 8
= d) ( 2)
1
4
=
5
( 12 ) 2
8
b) = 103 • 26
8 9
e) 3 =
2 • 10 7
58 • 12 4
c) 3 5 =
5 • 12 f) 915 ÷ 9 25 =

12. 6 - Propiedad:
División de Potencias de Distintas Bases
e Igual Exponente.
4
4
Sabiendo que: 2 = 2 2 2 2
• • • y =1
4 veces
4
¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se puede
4 veces separar así
4
4 4
9 9 9 9 9
• • •
9 • 9 9 _
_ •9
9 :3 = ─4 = ______________
= _ _ •
3 3 • 3 •3 • 3 3 3 3 3
4
4 veces = 3• 3 • 3 • 3 = 3
4 a
9
4
a a
9 4
m : n = (m : n)
Más Rápido ─ = 3 = 3 En General
 
4
3

13. 6 - Propiedad:
División de Potencias de Distintas Bases
e Igual Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
3
a) 5 : 10 : 2
3 3
= d) ( 4)
1
4
=
( 12 ) 4
65
b) 5
= 103 • 26
12
e) 6 3 =
4 •5
153 • 2 4
c) 3 4 =
5 • 12 f) 325 ÷ 9 25 =

14. 7 - Propiedad:
Potencia de una Potencia.
4
Sabiendo que: 2 = 2 • 2• 2 • 2
4 veces
¿Cuál será el resultado de?
2 6 12
(5 )
2•6
= 5 = 15
2 2 2 2 2 2
5 •5 •5 • 5 •5 • 5 6 veces
12
5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 •5 •5 • 5 • 5 •5 = 5
12 veces
a b a•b
En General (m ) = m

15. 7 - Propiedad:
Potencia de una Potencia.
Resuelve usando Propiedad de Potencia
2 3 2 4
a) (3 ) = e) (2 ) =
3 1 3 4
( )
b) ( − 2 ) = f) (7 ) =
2 3 2 1 5 2
c) ( 3  )
 
= g) ( 4  )
 
=
9 0 -4 -3
d) (4 ) = h) (( − 1) ) =

16. 8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.
Ejemplos
-4 - 10
2 (-7)
-2
-3 4
0,6  
5

17. 8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.
¿Qué hace la propiedad?
-4 1
__ -4
4 1
___
2 = (-5) =
4
2
-7
-3 1
__ 3
__
0,6 = =
3
0,6 2
a −a a
1 m n
En General m −a =  ó   = 
m n m

18. 8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.
Así podemos aplicar la propiedad varias
veces sobre un mismo número.
2 1 2 1
__ = 7 = __
7 = -2 -2
7 7
-2 1 -2 1
__ = 7 = __
7 = 2 2
7 7

19. 8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.
Ejercicios: Cambiar el signo del exponente
1
−6
4 = 1 ( − 5) −6
=
4
6
( − 5) 6
−3 3
−3 1  3  2
1,12 = 3 −  = − 
1,12  2  3

20. Observa lo siguiente
−4 1 1
2 = 1024
10
2 = 4
2
2 = 4=
2 16
2 =
9
512 2 = 2
1
2 =
8 2 = 1
0
−5 1 1
256 2 = 5=
27 = −1 1 2 32
128 2 =
2 =
6
64
2 1 1
−6
−2 1 1 2 = 6=
2 =
5
32 2 = 2= 2 64
2 4
2 =
4
16
1 1
−3
2 = 3=
2 =
3
8 2 8

21. Observa lo siguiente
1 1
3 =
10
59049 3 =
2
9
−4
3 = 4=
3 =
1 3 81
3 =
9
19683 3
3 =
0
1 −5 1 1
3 =
8
6561 3 = 5=
3 =
7 −1 1 3 243
2187 3 =
3 =
6
729
3 −6 1 1
−2 1 1 3 = 6 =
35 = 243 3 = 2= 3 729
3 9
3 =
4
81
1 1
−3
3 = 3=
33 = 27 3 27

22. Curiosidades
1) De los números naturales, 2) El número de días del año (365)
excluidos el 1, son el 8 y el 27 los es igual a la suma de los cuadrados
únicos cuyo cubo da exactamente de tres números naturales
dígitos que suman 8 y 27, consecutivos.
respectivamente.
3
8 = 512 10 2 + 112 + 12 2
5 +1+ 2 = 8 100 + 121 + 144 = 350
Y de dos números consecutivos
27 3 = 19683
1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 132 + 14 2
169 + 196 = 350
3) 12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321

23. LINKS
http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=7169
http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo2/3/mdeleon.pdf
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potenc
ias_desarrollo.htm
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/co
nmates/unid-5/potencias.htm
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/index.htm
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm
http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique52
http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=MATEMATICAS+-+PROBLEMAS,+EJERCICIOS,+ETC

24. POTENCIAS
Harold Leiva Miranda
Harold.leiva@sekmail.com
Colegio Sek – Pacífico H.L.M.