2. به یونانی: )) (Geometry : هندــسهـــ (بــه انگلیسی
ژئو "زمیـن"، -مترون "اندازه گیری") شاخه ؛(γεωμετρία
ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی
اشکال و ویژگیهای فضـا سـروکار دارد. ریاضیدانـی که در
شاخـه هندسـه کار م یکنـد هندسـ هدان نامیده می شود.
هندسـه بـه طور مسـتقلی در پار های از تمدنهای اولیـه به
شکـل بدن های از دانـش عملـی در مورد طول، مساحت و
حجـم ظهور کرد و پای هریزی آـن بـه عنوان یـک دانش
رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلد)
در غرب آغاز شد. در قرن سـوم پیـش از میلد هندسه
توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی در آمده بود و کار
اقلیدس - هندسه اقلیدسی - اسـتانداردی را پایه ریزی
نمود که قرنها دنبال شد. ارشمیدس روشهای هوشمندان های برای
محاسبه مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد
پیشرو حساب انتگرال جدید محسوب می شوند.
3. معرفـی دستگاه مختصات توسط رنه دکارت و
توسـعه همزمان در جبر، مرحله تازه ای را در
هندسـه آغاز کرد؛ زیرا اشکال هندسی همچون
منحنی های رویه ای را می شد به شکل تحلیلی
یعنی با توابع و معادلت نمایش داد. این موضوع
نقـش کلیدی در پیدایش حساب بی نهایت کوچک
در قرن هفدهـم داشت. علوه برایـن نظریه
ژرفانمایی نیز نشان داد که در هندسه چیزی بیش
از ویژگی های متریک اشکال وجود دارد. نظریه
ژرفانمایــی بنیان هندسه تصویری را بنا نهاد.
موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام
هندسـی و با شروع از کارهای اویلر و گاوس ،
غنــی تــر گردیــد و بــه پیدایش توپولوژی و
4. در دوران اقلیدس تمایـز آشکاری بیـن فضای فیزیکی و فضای
هندســـی وجود نداشت.از قرن نوزدهـــم و کشف
هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده
است و پرسشی پدیـد آمده است: کدام فضای هندسـی تطابق
بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی،
فضای هندسی (که در آن هنوز خط و نقطه معانی حسی خود
را دارا هسـتند) و فضاهای انتزاعـی تمایـز قائـل شد. هندسه
معاصـر امروز بـا خمینه هـا سـر و کار دارد؛ فضاهایـی که از
فضای اقلیدسی آشنـا بسـیار انتزاعـی تـر اسـت. م یتوان بـه این
فضا ها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در این فضا
ها صحبت کنیم.هندسه مدرن پیوند های مستحکمی با فیزیک
دارد کـه بـه طور نمونـه مـی توان بـه هندسـه شبـه ریمانی و
نسبیت عام اشاره نمود. یکـی از جوانتریـن نظری ههای فیزیکی
یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.
اگرچه ماهیت تصویری هندسه آن را در ابتدا از سایر شاخه های
ریاضیات مانند جبر و نظریه اعداد قابل درک تر می نماید، زبان
5. • هندسه عملی
• هندسه به عنوان دانشی عملی یه وجود آمد و
بسا بررسسی، اندازه گیری، مسساحت و حجم
مرتبط بود. دستاوردهای قابل توجه آن کشف
فرمولهایسسی برای طول، مسسساحت و حجم
بودند.مثسسل قضیه فیثاغورس ، محیط و
مساحت دایره، مساحت مثلث، حجم استوانه،
کره و هرم. روشسی برای محاسسبه فواصل و
ارتفاعهای دور از دسترس بااستفاده از تشابه
بسسه تالسسس نسسسبت داده مسسی شود. رشد
اخترشناسی به پیدایش مثلثات و مثلثات کروی
انجامید.
6. • هندسه اصل موضوعی
• اقلیدس در کتاب اصسسول خود دیدگاهی
انتزاعسی تسر در پیسش گرفت و اصول موضوع
خاصسی را مطرح نمود کسه ویژگیهای اولیسه یا
خودآشکار نقطه، خط و صفحه را بیان می
کرد و برای انتاج سایر ویژگی ها از استدلل
اسستفاده کرد. مشخصسه مهم دیدگاه اقلیدس
استواری نتیجه گیری ها بود. در ابتدای قرن
نوزدهسم کشسف هندسسه های نسا اقلیدسی
توسط گاوس، لباچفسکی و یانوش بویویی
و دیگران به احیای علقه منجر شد و در قرن
بیستم داوید هیلبرت استدلل اصل موضوعی
7. • احتمال بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول
هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان
م یکرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا م یگرفت. این
رویداد تمام علیم مرزی میان املک را از بین م یبرد و لزم
م یشد دوباره هر کس زمین خود را انداز هگیری و مرزبندی
کند. مصریان روش علمت گذاری زمی نها با تیرک و طناب را
ابداع کردند. آن ها تیرکی را در نقط های مناسب در زمین فرو
م یکردنسد و تیرک دیگری در جایسی دیگسر نصسب م یشد و دو
تیرک با طنابی که مرز را مشخص م یساخت به یکدیگر متصل
م یشدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای
کشت یا ساختمان سازی مشخص م یشد.
• در آغاز هندسه بر پایه دانست ههای تجربی پراکند های در مورد
طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی
و سساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لزم م یشد.
بعضی از این دانست هها بسیار پیشرفته بودند مثل هم مصریان
و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث
8. • یونانیان دانسست ههای هندسسی را مدون کردند و بر پای های
استدللی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم ترین دانش ها بود و
موضوع آسن را مفاهیسم مجردی م یدانسستند که اشکال مادی
فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلد
مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه
ب هشمار م یرود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را
به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود.
روش اسسستنتاجی روشسسی اسسست علمی (بر خلف روش
استقرایی) که در آن مسال های به وسیله قضایا و حکم ها ثابت
م یگردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمال از شاگردان
طالسس بود توانسست قضی های را کسه بسه نام او مشهور است
اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود. اما دانشمندی
به نام اقلیدس کسه در اسکندریه زندگسی م یکرد، هندسسه را به
صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلد
مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد
9. • بر اساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر
چه زمان م یگذذشت، شاخ ههای دیگری از هندسه توسط
ریاضیدانان مختلسف، توسسعه م ییافت. امروزه در بررسی
علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی
و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه
م یکننند.
• خدمت بزرگذی کنه یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند
ایسن بود کنسه آن هسا احکام ریاضسی را بسه جای تجربه بر
استدلل منطقی استوار کنردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث
۵۰۰ ق. م) و زنون ( ۴۹۰ ق. م.) نیز به پیشرفت علم -۵۷۲)
ریاضی خدمت بسیار کنرده بودند.
10. • در قرن دوم قبل از میلد ریاضیدانی به نام هیپارک،
مثلثات را اختراع کنرد. وی نخسستین کنسسی بود کنه
تقسیم بندی بابل یها را برای پیرامون دایره
پذیرفت. به این معنی کنه دایره را به ۳۶۰ درجه و
درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر
تقسسیم کنرد و جدولسی بر اسساس شعاع دایره به
دست آورد کنه وترهای بعضی قوس ها را به دست
م یداد و ایسن قدیم یتریسن جدول مثلثاتسی اسست کنه
تاکننون شناخته شد هاست.
• بعسد از آسن دانشمندان هندی موجسب پیشرفست علم
ریاضسی شدند. در سسده پنجم میلدی آپاستامبا، در
سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگذوپتا و
11. • هنسسدسه مقسسدماتی بسه دو قسسمت تقسیسم
م یشود:
• هنسدسه مسطحه
• هندسه فضایی
• هندسه خطی.
• هندسه پویا
• در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه
قرار م یگذیرند کنه فقط دو بعد دارند، هندسه
فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی
است. این بخش از هندسه در مورد اشکال
سسسه بعدی چون مکعب هسسا، استوان هها،
مخروط ها، کنر هها و غیر هاست.
12. قضیهاستدلل ، ترکنیب قانون مند
(های) معلوم برای رسیدن به
قضیه(های) تازه است. در استدلل ،
ذهن بین چند قضیه، ارتباط برقرار
م یکنند تا از پیوند آن ها، نتیجه زاده
شود و ب های نترتیب نسبتی مشکوک و
.مبهم به نسبتی یقینی تبدیل شود
13. اصول » استدلل منطقی روش نتیج هگییری براساس
« تفکر عقلنی » و « اندیشیدن » حاصل از « منطقی
است؛ بنابراین هرگیاه از استدللیی منطقی استفاده
« درستی » گیردد؛ باید دلیل ارای هشدده براساس اصول
اندیشه » نام م یگییرد. بدیهی است منطق باشدد که «
است.سفسطه بال گیزارهدر غیرای نصورت
پیشینه
و فلسفه سوفسطائیانچالیش های فراوانی میان
یونان باستان درمورد چگونگی چیدش روش استدلل
منطقی روی داد هاست و ارسطو در کتاب ارغنون
استدلل » روش هایی را در جهت روشد نکردن روش
ارایه داد هاست « .منطقی
14. روش استدلل منطقی
برعهده « غیرمغالیطاتی » منطق وظیفه حفظ شدکل استدلل در جهت
دارد؛ ولیی غیرمغالیط هبودن دللیت ذاتی گیزاره برعهده منطق نیست.
بیضی، دایره » و « بیضی، دایره است » برای نمونه وقتی دو گیزاره
کنار هم قرار م یگییرد، روش استدلل منطقی این دو را « نیست
متناقض و دست کم یکی را دارای مغالیطه برم یشدمارد. اما هنگامی که
کنار هم قرار « بیضی، استوانه است » و « بیضی، دایر هاست » دو گیزاره
م یگییرد، روش استدلل منطقی مغلط های در جهت ارتباط دهی میان
این دو گیزاره نم یبیند. ب هبیان دیگر از جهت سلمت شدکل گیزاره
مغالیط های دیده نم یشدود؛ اما ضروری است از دید راست آززمایی دللیت
و ذات گیزار هها که آزیا دارای قوام عقلی هستند یا خیر، به فلسفه روی
آزورد و همین مسئله تفاوت بنیادین میان منطق و فلسفه را م ینمایاند.
استدلل مبتنی بر منطق، شدرط لزم و ناکافی برای پای هریزی استدللت
عقلنی است و در واقع منطق این وظیفه را برعهده دارد که چگونگی
درست اندیشیدن را حاصل دهد تا بدی نصورت پای هریزی استدللت و
اندیشیدن درست (آزنگونه که منطق آزن را درست م یداند) فراهم گیردد.
