اتحادها

1. زهرا یارمحمدی،زهرا حیدری

3. تساوی
) x + 3)2=x2+6x+9
برقرار است. x به ازای هر مقدار از
این گونه تساوی ها را اتحاد می نامند.
نکته :
اگر دو عبارت جبری به گونه ای باشند که به ازای هر مقدار برای متغیرهایشان
مقدارهای یکسانی داشته باشند عبارت حاصل از تساوی بین آن ها را اتحاد می نامند.

4. 2
( x+5)
(x+5)(x+5)=x(x+5)+5(x+5)=x2+5x+25=x2+10x+25 (x+5)2=x2+10x+25
2
(2x-6)
)2x-6)2=(2x-6)(2x-6)=2x(2x-6)-6(2x-6)=4x2-12x+36=4x2-24x+36 (2x-6)2=4x2-24x+36
2
(a+b)
)a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2

5. با محاسبه a,b برای هر دو عدد
(a+b)(a+b)
برقرار است. a,b نتیجه می شود تساوی زیر به ازای هر مقداری برای
(a+b)2=a2+2ab+b2
تساوی بالا یک اتحاد است و آن را اتحاد مربع دو جمله ای می نامند.
از آنجا که در یک اتحاد تساوی به ازای هر مقدار از متغیرها برقرار است .اگر به جای متغیرها عبارت های
جبری نیز قرار دهیم باز هم تساوی برقرار خواهد بود.این عمل را جایگذاری می نامند.
در اتحاد
3 قرار می دهیم. ,b و به جای xy ,a به جای ,(a+b)2=a2+2ab+b2
در نتیجه :
) xy+3)2=(xy)2+2(xy)*3+32
پس از ساده کردن تساوی بالا به شکل
در می آید . این تساوی نیز یک اتحاد است. (xy+3)2=x2y2+6xy+9

6. بنویسیم : a2+2ab+b2=(a+b) اگر اتحاد مربع دو جمله ای را به صورت 2
مانند آن است که یک چند جمله ای را که به صورت مجموعی از یک چند جمله ای هاست به
صورت ضرب دو یا چند چند جمله ای در آورده ایم.
نکته :
اگر بتوان یک چند جمله ای را به صورت ضرب دو یا چند چند جمله ای نوشت به طوری که
درجه
آن ها کم تر باشد گوییم آن چند جمله ای را تجزیه کرده ایم.

7. تجزیه چند جمله ای ها عکس عمل ضرب چند جمله ای هاست. در عمل ضرب عبارت
هایی را که به صورت حاصل ضرب هستند با انجام عمل ضرب به صورت جمع چند یک جمله
ای در می آوریم.
ولی در تجزیه یک چند جمله ای را که به صورت جمع چند یک جمله ای است به صورت
حاصل ضرب دو یا چند چند جمله ای دیگر درمی آوریم.
اگرچه عمل ضرب ساده است ولی عمل تجزیه آسان نیست و فقط در حالت های خاص می توان
آن را انجام داد.
مثال:
را تجزیه کنید. x2-8x+ عبارت 16
.x2-8x+16=(x-4) این عبارت نمونه ای از اتحاد مربع دو جمله ای است وداریم: 2
اتحاد ها نقش مهمی در تجزیه ی چند جمله ای ها دارند.
هر اتحادی در واقع نشان دهنده یک عمل تجزیه است و با استفاده از نمونه های این اتحادها می
توان برخی از تجزیه ها را انجام داد.

8. با انجام عمل ضرب
نتیجه می شود : (x+a)(x+b)
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
این یک اتحاد است و ان را اتحاد ) یک جمله ی مشترک ( می نامند .
مثال:
تجزیه چند جمله ای:
x2+5x+4=x2+(4+1)x+4*1=(x+4)(x+1)

9. برقرارند b و a تساوی های زیر به ازای هر مقداری از
و آن ها را اتحاد های تفاضل و مجموعه مکعب دو جمله می نامند.
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

10. برقرار است و آن ها را اتحاد b و a تساوی های زیر به ازای هر مقداری از
مکعب دو جمله ای می نامند.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
مثال :
(2x-1)(4x2+2x+1)=(2x)3-13=8x3-1