Sistemas estructurales - Obtención de deformaciones en estructuras reticuladas (continuas) sometidas a flexión por el método de la carga unitaria (trabajos virtuales). Ejemplo paso a paso.

1. Sistemas estructurales – Curso 2013/2014 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Bloque B. Obtención de giros y desplazamientos en estructuras isostáticas reticuladas planas sometidas a flexión usando el método de la carga unitaria (Trabajos virtuales). Ejercicio de ejemplo resuelto paso a paso.

2. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.

3. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫

4. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual

5. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real

6. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual

7. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real

8. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real Si no se especifica otra cosa, son nulos

9. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real Funciones Módulo de Young y momento de inercia Si no se especifica otra cosa, son nulos

10. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real Funciones Módulo de Young y momento de inercia Si no se especifica otra cosa, son nulos

11. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real Función momento real Funciones Módulo de Young y momento de inercia Si no se especifica otra cosa, son nulos

12. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Acción virtual Deformación real Reacciones del sistema virtual Desplazamientos en los apoyos del sistema real Función momento real Función momento virtual Funciones Módulo de Young y momento de inercia Si no se especifica otra cosa, son nulos

13. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento en una dirección concreta o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( )L a b a b M x M x P R dx EI δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ La acción virtual será una carga de valor 1 cuya dirección será la del desplazamiento que queremos conocer o un momento de valor 1 si lo que buscamos es un giro

14. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento en una dirección concreta o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( )L a b a b M x M x P R dx EI δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ La acción virtual será una carga de valor 1 cuya dirección será la del desplazamiento que queremos conocer o un momento de valor 1 si lo que buscamos es un giro Deformación real que obtendremos

15. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento en una dirección concreta o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( )L a b a b M x M x P R dx EI δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ La acción virtual será una carga de valor 1 cuya dirección será la del desplazamiento que queremos conocer o un momento de valor 1 si lo que buscamos es un giro Deformación real que obtendremos Función momento real

16. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento en una dirección concreta o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( )L a b a b M x M x P R dx EI δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ La acción virtual será una carga de valor 1 cuya dirección será la del desplazamiento que queremos conocer o un momento de valor 1 si lo que buscamos es un giro Deformación real que obtendremos Función momento real Función momento virtual producido por la carga unitaria

17. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Consideraciones iniciales:  El método de la carga unitaria es adecuado cuando deseamos conocer el desplazamiento (según una dirección concreta) o el giro de una sección determinada de la estructura.  Deberemos repetirlo tantas veces como giros o desplazamientos deseemos obtener.  Despreciaremos la deformación que produce el esfuerzo axil.  Ecuación general de los trabajos virtuales para estructuras sometidas a flexión * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L a b a b M x M x P R dx E x I x δ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ =∑ ∑ ∫ Hay que resolver tantas integrales como productos diferentes haya de función momento real por función momento virtual en la estructura a estudiar.

18. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil.

19. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil. Para aplicar la ecuación general de los trabajos virtuales, * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 L L a b a b b a b M x M x M x M x P R dx como P dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = ∆ = → ⋅ =∑ ∑ ∫ ∫

20. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil. Para aplicar la ecuación general de los trabajos virtuales, Lo primero que necesitaré serán las funciones momento real en cada barra de la estructura. Para ello, comienzo por obtener los diagramas: * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 L L a b a b b a b M x M x M x M x P R dx como P dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = ∆ = → ⋅ =∑ ∑ ∫ ∫

21. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil. Para aplicar la ecuación general de los trabajos virtuales, Lo primero que necesitaré serán las funciones momento real en cada barra de la estructura. Para ello, comienzo por obtener los diagramas: * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 L L a b a b b a b M x M x M x M x P R dx como P dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = ∆ = → ⋅ =∑ ∑ ∫ ∫ Tendré una función momento real para el pilar y otra para la viga

22. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil. Para aplicar la ecuación general de los trabajos virtuales, Lo primero que necesitaré serán las funciones momento real en cada barra de la estructura. Para ello, comienzo por obtener los diagramas: * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 L L a b a b b a b M x M x M x M x P R dx como P dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = ∆ = → ⋅ =∑ ∑ ∫ ∫ Función momento en la viga: 200 ( ) 40 3 M x kNm x kN=− + ⋅ ⋅ x -M

23. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria.  Ejemplo de aplicación:  Obtener el giro en el punto B (en radianes) y el desplazamiento horizontal en el punto D (en cm) de la estructura de la figura.  Todas las barras de la estructura tienen la misma sección, cuyo momento de inercia es 104 cm4  El material con el que se va a construir la estructura tiene un módulo de Young E=2· 104 kN/cm2 Se despreciarán las deformaciones debidas al esfuerzo axil. Para aplicar la ecuación general de los trabajos virtuales, Lo primero que necesitaré serán las funciones momento real en cada barra de la estructura. Para ello, comienzo por obtener los diagramas: * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 L L a b a b b a b M x M x M x M x P R dx como P dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = ∆ = → ⋅ =∑ ∑ ∫ ∫ Función momento en la viga: Función momento real en el soporte: x -M 200 ( ) 40 3 M x kNm x kN=− + ⋅ ⋅ 2 20 ( ) 40 2 kN x mM x kN x ⋅ =+ ⋅ −

24. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: x -M ( ) * 3 x M x = −

25. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: x -M ( ) * 3 x M x = − En los sistemas virtuales en lugar de usar “kN” como unidad de medida, usaremos “*”

26. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: El resto de barras tienen función momento virtual nula: M(x)=0 x -M ( ) * 3 x M x = −

27. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: El resto de barras tienen función momento virtual nula: M(x)=0 x -M ( ) * 3 x M x = − Aplicamos la ecuación de los trabajos virtuales: * * 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* viga viga L m a b b M x M x M x M x P dx m dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅= → ⋅=∫ ∫

28. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: El resto de barras tienen función momento virtual nula: M(x)=0 x -M ( ) * 3 x M x = − Aplicamos la ecuación de los trabajos virtuales: Como EI es constante: * * 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* viga viga L m a b b M x M x M x M x P dx m dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅= → ⋅=∫ ∫

29. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Para la obtención del giro en el nudo B, necesitaremos las funciones momento virtual que produciría un momento de valor 1 aplicado en dicho punto. Función momento en la viga: El resto de barras tienen función momento virtual nula: M(x)=0 x -M ( ) * 3 x M x = − Aplicamos la ecuación de los trabajos virtuales: Como EI es constante: * * 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* viga viga L m a b b M x M x M x M x P dx m dx EI EI δ δ ⋅ ⋅ ⋅= → ⋅=∫ ∫ ( ) 3 0 32 2 3 3 0 0 3 3 3 3 3 4 3 1 200 40 * 3 3 1 40 200 1 20 * 200 * * * 3 9 3 27 1 140 * 60 * 200 * 140 * 140 1* ; 0,007 2 10 m m B B x x kNm kN dx EI x x kNm x kN x kNm kN dx EI EI kN m kN m kN m EI EI kN m kN m m rad EI kN m θ θ ⋅    = − + ⋅ − =         ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅= − =    =⋅ − =− ⋅ ⋅ ⋅ =− =− =− ⋅ ⋅ ∫ ∫

37. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Resolver las integrales definidas por este procedimiento es farragoso. Como habitualmente la función a integrar (resultado del producto de la función momento real por la función momento virtual) es continua y derivable hasta la 4ª derivada, se recomienda utilizar el integrador de Simpson para resolverlas. * ( ) ( ) ( ) * ( ) 4 * ( ) * ( ) 2 3 2 2 b a L b a b a M x M x dx M a M a M M M b M b  ∆ − −    ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅    ⋅      ∫

38. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Resolver las integrales definidas por este procedimiento es farragoso. Como habitualmente la función a integrar (resultado del producto de la función momento real por la función momento virtual) es continua y derivable hasta la 4ª derivada, se recomienda utilizar el integrador de Simpson para resolverlas. Resolvemos el caso anterior, aplicando ahora la regla de Simpson: Debemos tener preparados los valores de los momentos reales y virtuales en los extremos de los intervalos y en los puntos medios de las mismas. * ( ) ( ) ( ) * ( ) 4 * ( ) * ( ) 2 3 2 2 b a L b a b a M x M x dx M a M a M M M b M b  ∆ − −    ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅    ⋅      ∫

39. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Resolver las integrales definidas por este procedimiento es farragoso. Como habitualmente la función a integrar (resultado del producto de la función momento real por la función momento virtual) es continua y derivable hasta la 4ª derivada, se recomienda utilizar el integrador de Simpson para resolverlas. Resolvemos el caso anterior, aplicando ahora la regla de Simpson: Debemos tener preparados los valores de los momentos reales y virtuales en los extremos de los intervalos y en los puntos medios de las mismas. * ( ) ( ) ( ) * ( ) 4 * ( ) * ( ) 2 3 2 2 b a L b a b a M x M x dx M a M a M M M b M b  ∆ − −    ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅    ⋅      ∫

40. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Resolver las integrales definidas por este procedimiento es farragoso. Como habitualmente la función a integrar (resultado del producto de la función momento real por la función momento virtual) es continua y derivable hasta la 4ª derivada, se recomienda utilizar el integrador de Simpson para resolverlas. Resolvemos el caso anterior, aplicando ahora la regla de Simpson: Debemos tener preparados los valores de los momentos reales y virtuales en los extremos de los intervalos y en los puntos medios de las mismas. * ( ) ( ) ( ) * ( ) 4 * ( ) * ( ) 2 3 2 2 b a L b a b a M x M x dx M a M a M M M b M b  ∆ − −    ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅    ⋅      ∫ * 3 0 3 3 3 4 2 ( ) ( ) 1* 1 3 1 140 * 1* 160 1* 4 60 * 40 0 2 3 2 140 * 140 1* ; 1* ; 0,007 2 10 B B B B B M x M x m dx EI m kN m m kNm m kNm m kNm EI EI kN m kN m m m rad EI kN m θ θ θ θ θ ⋅ ⋅ ⋅ =   → ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =− ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅ ⋅ =− =− ⋅ ⋅ ∫

42. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Resolver las integrales definidas por este procedimiento es farragoso. Como habitualmente la función a integrar (resultado del producto de la función momento real por la función momento virtual) es continua y derivable hasta la 4ª derivada, se recomienda utilizar el integrador de Simpson para resolverlas. Resolvemos el caso anterior, aplicando ahora la regla de Simpson: Debemos tener preparados los valores de los momentos reales y virtuales en los extremos de los intervalos y en los puntos medios de las mismas. * ( ) ( ) ( ) * ( ) 4 * ( ) * ( ) 2 3 2 2 b a L b a b a M x M x dx M a M a M M M b M b  ∆ − −    ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅    ⋅      ∫ * 3 0 3 3 3 4 2 ( ) ( ) 1* 1 3 1 140 * 1* 160 1* 4 60 * 40 0 2 3 2 140 * 140 1* ; 1* ; 0,007 2 10 B B B B B M x M x m dx EI m kN m m kNm m kNm m kNm EI EI kN m kN m m m rad EI kN m θ θ θ θ θ ⋅ ⋅ ⋅ =   → ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =− ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅ ⋅ =− =− ⋅ ⋅ ∫ Como puede observarse, el resultado de la integral es el mismo

46. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Continuamos con nuestro problema obteniendo el desplazamiento horizontal en el apoyo deslizante (nudo D). Igual que en el caso anterior, lo primero que necesitaremos serán el diagrama de momentos virtuales, producidos por una fuerza horizontal de valor 1 aplicada en el apoyo deslizante:

47. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Continuamos con nuestro problema obteniendo el desplazamiento horizontal en el apoyo deslizante (nudo D). Igual que en el caso anterior, lo primero que necesitaremos serán el diagrama de momentos virtuales, producidos por una fuerza horizontal de valor 1 aplicada en el apoyo deslizante: El diagrama de momentos reales ya lo obtuvimos para calcular el giro en B.

48. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Continuamos con nuestro problema obteniendo el desplazamiento horizontal en el apoyo deslizante (nudo D). Igual que en el caso anterior, lo primero que necesitaremos serán el diagrama de momentos virtuales, producidos por una fuerza horizontal de valor 1 aplicada en el apoyo deslizante: El diagrama de momentos reales ya lo obtuvimos para calcular el giro en B. Pasamos a aplicar la ecuación de los trabajos virtuales (esta vez tendremos “activado” el pilar izquierdo y la viga: * * 4 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* m mpilar pilar viga viga apoyo pilar pilar M x M x M x M x dx dx EI EI δ ⋅ ⋅ ⋅= +∫ ∫

49. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Continuamos con nuestro problema obteniendo el desplazamiento horizontal en el apoyo deslizante (nudo D). Igual que en el caso anterior, lo primero que necesitaremos serán el diagrama de momentos virtuales, producidos por una fuerza horizontal de valor 1 aplicada en el apoyo deslizante: El diagrama de momentos reales ya lo obtuvimos para calcular el giro en B. Pasamos a aplicar la ecuación de los trabajos virtuales (esta vez tendremos “activado” el pilar izquierdo y la viga: * * 4 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* m mpilar pilar viga viga apoyo pilar pilar M x M x M x M x dx dx EI EI δ ⋅ ⋅ ⋅= +∫ ∫ Resolveremos las integrales utilizando el método de Simpson

50. Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Deformaciones en estructuras reticuladas planas. Método de la carga unitaria. Continuamos con nuestro problema obteniendo el desplazamiento horizontal en el apoyo deslizante (nudo D). Igual que en el caso anterior, lo primero que necesitaremos serán el diagrama de momentos virtuales, producidos por una fuerza horizontal de valor 1 aplicada en el apoyo deslizante: ( ) * * 4 3 0 0 * 3 4 0 * 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1* ( ) ( ) 1 4 3200 * 0 0 * 4 120 2 * 160 4 * 2 3 3 ( ) ( ) 1 m mpilar pilar viga viga apoyo pilar pilar m pilar pilar pilar m viga viga viga M x M x M x M x dx dx EI EI M x M x m m dx kNm m kNm m kNm m EI EI EI M x M x dx EI E δ ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ → = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 3 3 3 4 2 3 720 * 160 4 * 4 60 4 * 40 4 * 2 3 3200 * 720 * 5360 * 5360 * 1* 0,089 8,9 3 3 3 2 10 apoyo m kN m kNm m kNm m kNm m I EI m kN m kN m kN m m cm EI EI EI kN m δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + = = = = ⋅ ⋅ ⋅

58. Sistemas estructurales – Curso 2013/2014 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla Bloque B. Obtención de giros y desplazamientos en estructuras isostáticas reticuladas planas sometidas a flexión usando el método de la carga unitaria (Trabajos virtuales). Ejercicio de ejemplo resuelto paso a paso.

Sistemas estructurales - Obtención de deformaciones en estructuras reticuladas (continuas) sometidas a flexión por el método de la carga unitaria (trabajos virtuales). Ejemplo paso a paso.

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