Οδήγηση Ορισμοί Πράξεις διανυσμάτων

1. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Grammik 'Algebra
Apaloif tou Gkˆouc me od ghsh
OrismoÐ & prˆxeic dianusmˆtwn
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
6 OktwbrÐou 2014

2. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Algìrijmoc thc apaloif c qwrÐc od ghsh (enallagèc
gramm¸n)
Gia k = 1; : : : ; n 1 (ta b mata thc apaloif c)
. Gia i = k + 1; : : : ; n (oi upìloipec exis¸seic)
. p = ai;k=ak;k
. Gia j = k + 1; : : : ; n (suntel. upoloÐpwn agn¸stwn)
. ai;j = ai;j p ak;j
. bi = bi p bk

3. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
H apaloif me qr¸mata
Den qrhsimopoioÔntai, qrhsimopoioÔntai, upologÐzontai

4. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Od ghsh
prin xekin seic kˆpoio (èstw k) b ma thc apaloif c
1. an ak;k6= 0 suneqÐzeic thn apaloif kanonikˆ

5. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Od ghsh
prin xekin seic kˆpoio (èstw k) b ma thc apaloif c
1. an ak;k6= 0 suneqÐzeic thn apaloif kanonikˆ
2. an ak;k = 0 yˆqneic gia èna stoiqeÐo sthn upost lh kˆtw apo
to odhgì stoiqeÐo

6. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Od ghsh
prin xekin seic kˆpoio (èstw k) b ma thc apaloif c
1. an ak;k6= 0 suneqÐzeic thn apaloif kanonikˆ
2. an ak;k = 0 yˆqneic gia èna stoiqeÐo sthn upost lh kˆtw apo
to odhgì stoiqeÐo
2.1 an upˆrqei tètoio stoiqeÐo (èstw to as;k) to kˆneic odhgì
stoiqeÐo allˆzontac thn seirˆ twn exis¸sewn kai suneqÐzeic
thn apaloif kanonikˆ

7. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Od ghsh
prin xekin seic kˆpoio (èstw k) b ma thc apaloif c
1. an ak;k6= 0 suneqÐzeic thn apaloif kanonikˆ
2. an ak;k = 0 yˆqneic gia èna stoiqeÐo sthn upost lh kˆtw apo
to odhgì stoiqeÐo
2.1 an upˆrqei tètoio stoiqeÐo (èstw to as;k) to kˆneic odhgì
stoiqeÐo allˆzontac thn seirˆ twn exis¸sewn kai suneqÐzeic
thn apaloif kanonikˆ
2.2 an den upˆrqei tìte proqwrˆc sto epìmeno b ma thc
apaloif c

8. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775

9. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775

10. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775
!

11. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 3 2 7
0 0 6 0 12
3
775

12. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 3 2 7
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 0 4 2
0 0 0 4 2
3
775

13. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 3 2 7
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 0 4 2
0 0 0 4 2
3
775
odhgˆ stoiqeÐa ta 2; 0; 0; 4,

14. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Parˆdeigma me mhdenikì odhgì
2
664
0 0 6 0 12
2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
3
775
!
2
664 2 2 1 6 4
4 4 1 10 13
8 8 1 26 23
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 3 2 7
0 0 6 0 12
3
775
!
2
664
2 2 1 6 4
0 0 3 2 5
0 0 0 4 2
0 0 0 4 2
3
775
odhgˆ stoiqeÐa ta 2; 0; 0; 4,
lÔsh h x4 = 1=2; x3 = s; x2 = t; x1 = 2 t + s=2 3=2.

15. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Je¸rhma Ôparxhc kai monadikìthtac lÔshc
Kˆje sÔsthma èqei monadik
lÔsh ann a(i)
i;i6= 0 8i ìpou a(i)
i;i
eÐnai to i-sto diag¸nio
stoiqeÐo metˆ thn diadikasÐa
thc apaloif c me od ghsh.

16. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Ask seic
1. 'Allaxe mia perissìterec timèc ston parapˆnw arqikì
pÐnaka ètsi ¸ste to sÔsthma na (a) èqei mìnon mia lÔsh kai
(b) na mhn èqei kamÐa lÔsh.
2. Gia poièc timèc thc paramètrou t 2 R èqei lÔsh to parakˆtw
sÔsthma?
x1 + x2 + x3 = b1
tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2
(t + 1)x1 + 2tx3 = b3
3. UpologÐste thn lÔsh tou parapˆnw sust matoc an b1 = 3,
b2 = 3t + 2 kai b3 = 3t + 1.
4. 'Eqei to parakˆtw sÔsthma lÔsh?
2 sin cos

17. + 3 tan
= 3
4 sin + 2 cos

18. 2 tan
= 10
6 sin 3 cos

19. + tan
= 9

20. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
DianÔsmata kai PÐnakec
x2 + 2 x3 x4 = 1
x1 + x3 + x4 = 4
x1 + x2 x4 = 2
2 x2 + 3 x3 x4 = 7

21. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
DianÔsmata kai PÐnakec
x2 + 2 x3 x4 = 1
x1 + x3 + x4 = 4
x1 + x2 x4 = 2
2 x2 + 3 x3 x4 = 7
A =
2
664
0 1 2 1
1 0 1 1
1 1 0 1
0 2 3 1
3
775

22. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
DianÔsmata kai PÐnakec
x2 + 2 x3 x4 = 1
x1 + x3 + x4 = 4
x1 + x2 x4 = 2
2 x2 + 3 x3 x4 = 7
A =
2
664
0 1 2 1
1 0 1 1
1 1 0 1
0 2 3 1
3
775
b =
2
664
1
4
2
7
3
775

23. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
DianÔsmata kai PÐnakec
x2 + 2 x3 x4 = 1
x1 + x3 + x4 = 4
x1 + x2 x4 = 2
2 x2 + 3 x3 x4 = 7
A =
2
664
0 1 2 1
1 0 1 1
1 1 0 1
0 2 3 1
3
775
b =
2
664
1
4
2
7
3
775
x =
2
664
x1
x2
x3
x4
3
775

24. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
DianÔsmata
Orismìc - Diˆnusma eÐnai èna sÔnolo arijm¸n
diatetagmènwn se mia seirˆ.
Sumbolismìc -
x 2 Rn ) x =
2
664
x1
x2
: : :
xn
3
775
; xi 2 R; i = 1; : : : ; n
StoiqeÐa dianÔsmatoc - xi eÐnai h i-sth sunist¸sa
tou dianÔsmatoc x.

25. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Prˆxeic me dianÔsmata
x; y 2 Rn; x+y =
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
+
2
6664
y1
y2
...
yn
3
7775
=
2
6664
x1 + y1
x2 + y2
...
xn + yn
3
7775
2 R; x =
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
=
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775

26. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
Grammikìc sundoiasmìc dianusmˆtwn
;

27. ;
2 R; x; y; z 2 Rn
x +

28. y +
z =
=
2
6664
x1
x2
... xn
3
7775+

29. 2
6664 y1
y2
...
yn
3
7775
+
2
6664
z1
z2
...
zn
3
7775
=
2
6664
x1 +

30. y1 +
z1
x2 +

31. y2 +
z2
...
xn +

32. yn +
zn
3
7775

33. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
ParadeÐgmata
2
4
3
5 +
1
2
3
2
4
4
5
6
3
5 =
2
4
3
5;
5
7
9

34. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
ParadeÐgmata
2
4
3
5 +
1
2
3
2
4
4
5
6
3
5 =
2
4
3
5; 1
5
7
9
2
4
1
2
3
3
5 =
2
4
1
2
3
3
5

35. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
ParadeÐgmata
2
4
3
5 +
1
2
3
2
4
4
5
6
3
5 =
2
4
3
5; 1
5
7
9
2
4
1
2
3
3
5 =
2
4
1
2
3
3
5
3
2
4
3
5 7
1
2
3
2
4
3
5 + 2
0
2
4
2
4
1
1
0
3
5 =

36. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
ParadeÐgmata
2
4
3
5 +
1
2
3
2
4
4
5
6
3
5 =
2
4
3
5; 1
5
7
9
2
4
1
2
3
3
5 =
2
4
1
2
3
3
5
3
2
4
3
5 7
1
2
3
2
4
3
5 + 2
0
2
4
2
4
1
1
0
3
5 =
2
4
3 1 7 0 + 2 1
3 2 7 2 + 2 (1)
3 3 7 4 + 2 0
3
5 =

37. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
ParadeÐgmata
2
4
3
5 +
1
2
3
2
4
4
5
6
3
5 =
2
4
3
5; 1
5
7
9
2
4
1
2
3
3
5 =
2
4
1
2
3
3
5
3
2
4
3
5 7
1
2
3
2
4
3
5 + 2
0
2
4
2
4
1
1
0
3
5 =
2
4
3 1 7 0 + 2 1
3 2 7 2 + 2 (1)
3 3 7 4 + 2 0
3
5 =
2
4
3
5
5
10
19

38. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
'Askhsh
7
2
4
1
2
3
3
5 3
2
4
3
5 2
0
2
4
2
4
1
1
0
3
5 =

39. Apaloif me od ghsh OrismoÐ kai prˆxeic
'Askhsh
7
2
4
1
2
3
3
5 3
2
4
3
5 2
0
2
4
2
4
1
1
0
3
5 =
A)
2
4
3
5 B)
5
10
19
2
4
5
9
10
3
5 G)
2
4
3
5 D)
5
10
9
2
4
5
19
10
3
5 E)
2
4
3
5
5
10
19