1. 1
Operaciones Unitarias
Mecánica de Fluidos
EIQ 303
Primer Semestre 2012
Profesor: Luis Vega A
Balance de Energía al
Flujo de Fluidos
Ecuación de Continuidad
Para un fluido que fluye a través de una tubería el flujo
volumétrico se puede calcular:
[ ] 





⋅=





s
m
vmA
s
m
F 2
3
Para un fluido que fluye a través de una tubería el Balance de
Masa es extremadamente sencillo:
21 mm =
222111 vAvA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
tetanConsvA =⋅⋅ρ
Se conoce como la Ecuación de Continuidad.
Balance de Energía para el Flujo de
Fluidos
Considerando una corriente de materia que fluye en régimen
estacionario entre los puntos 1 y 2 de una tubería, como se
muestra en la figura.
Bomba
1
2
Plano de Referencia
z1
z2WE

2. 2
Bomba
1
2
Plano de Referencia
z1
z2WE
En Termodinámica habíamos establecido que el Balance de
Energía para esta situación para un fluido incompresible es:
m
W
h
g
zg
g2
vP E
F
cc
2
=+
∆
+
∆
+
ρ
∆
Donde hF eran las perdidas por fricción.
Para obtener la expresión anterior aplicamos la Primera Ley de
la Termodinámica al sistema:
PcE EEHWQ ∆+∆+∆=+
E
cc
2
WQz
g
g
m
2g
v
mhm +=∆+
∆
+∆
m
WQ
z
g
g
2g
v
h E
cc
2
+
=∆+
∆
+∆
Bomba
1
2
Plano de Referencia
z1
z2WE
dPvdhdsT ⋅−=⋅De la relación termodinámica:
∫∫ +=∆
2
1
2
1
dPvdsTh
Reemplazando en la primera ley de la termodinámica:
E
cc
2
2
1
2
1
wqz
g
g
2g
v
dPvdsT +=∆+
∆
++
∫∫
Expresando la ecuación anterior para una unidad de masa que
fluye:
E
cc
2
wqz
g
g
2g
v
h +=∆+
∆
+∆
Este término tiene en cuenta el calor total
añadido al fluido; tanto los efectos calóricos
como los de fricción.
∫
2
1
dsT
f
2
1
hqdsT +=
∫
q: calor desde el entorno
calor generado dentro del fluido
por fricción (F/m)
hf:
Donde:
Luego:
Reemplazando:
E
cc
2
2
1
f wqz
g
g
2g
v
dPvhq +=∆+
∆
+++
∫

3. 3
Ef
cc
2
2
1
whz
g
g
2g
vdP
=+∆+
∆
+
ρ∫
Luego, tenemos:
Para fluidos incompresibles la ecuación queda:
sf
cc
2
whz
g
g
2g
vP
=+∆+
∆
+
ρ
∆
Cte≅ρ
Ecuación de Bernoulli
Para el caso especial que el fluido no intercambia trabajo con
los alrededores y que las perdidas por fricción son pequeñas
que pueden despreciar, el balance de energía se reduce a lo
que se conoce como la ecuación de Bernoulli.
0z
g
g
2g
vdP
cc
2
2
1
=∆+
∆
+
ρ∫
Para fluidos incompresibles la ecuación queda:
0z
g
g
2g
vP
cc
2
=∆+
∆
+
ρ
∆
0z
g
g
2g
vP
cc
2
=∆+
∆
+
ρ
∆
2
cc
2
22
1
cc
2
11
z
g
g
2g
vP
z
g
g
2g
vP
++
ρ
=++
ρ
De la ecuación de Bernoulli:
2
cc
2
22
1
cc
2
11
z
g
g
2g
vP
z
g
g
2g
vP
++
ρ
=++
ρ
Cada termino de esta ecuación presentada de esta forma tiene
unidades de:





 ⋅
≡





kg
mN
kg
J
Si a la ecuación la dividimos por g:
2
cc
2
22
1
cc
2
11
z
g
1
gg2
v
g
P
z
g
1
gg2
v
g
P
+
⋅⋅
+
⋅ρ
=+
⋅⋅
+
⋅ρ
Entenderemos por Peso Especifico γγγγ a la cantidad dada por:
ρ⋅=γ g

4. 4
Luego, la ecuación de Bernoulli queda:
2
cc
2
22
1
cc
2
11
z
g
1
gg2
vP
z
g
1
gg2
vP
+
⋅⋅
+
γ
=+
⋅⋅
+
γ
Y sin colocar el factor de conversión gc queda:
2
2
22
1
2
11
z
g2
vP
z
g2
vP
+
⋅
+
γ
=+
⋅
+
γ
Donde las unidades de cada termino son:
[ ]m
N
mN
s
mkg
J
2
≡




 ⋅
≡










⋅
Razón por la cual los términos de la ecuación de Bernoulli se
conocen como alturas (también conocidas como cabezas o
cargas), refiriéndose a una altura sobre el nivel de referencia.
velocidaddeAltura=
g2
v
C
2
presiondeAltura=
P
ρ
EstáticaAltura=z
gC
g
Varios problemas de flujo unidimensional de un líquido ideal
pueden ser solucionados usando el teorema de Bernoulli y la
ecuación de la continuidad. A continuación se entregan algunas
aplicaciones de la Ecuación de Bernoulli.
Tubo Venturi
Este dispositivo en conjunto con un manómetro diferencial se
utiliza para medir el flujo volumétrico (caudal) de una tubería.
Este dispositivo coloca una obstrucción al paso del fluido que
genera una caída de presión que es proporcional al caudal.

5. 5
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
2
cc
2
22
1
cc
2
11
z
g
g
g2
vP
z
g
g
g2
vP
++=++
ρρ
Ya que: 21 zz =
ρ
21
c
2
1
2
2 PP
g2
vv −
=
−
Considerando la ecuación de continuidad:
1
22
1
A
Av
v =
ρ
21
c
2
1
22
2
PP
g2
A
A
1v
−
=














−
Reemplazando en la Ec. Bernoulli:
ρ
)PP(g2
A
A
1
1
v 21c
2
1
2
2
−






−
=
Por otra parte:
H
g
g
PP
c
21 ρ=−
Reemplazando en:
ρ
)PP(g2
A
A
1
1
v 21c
2
1
2
2
−






−
=
gH2
A
A
1
1
v
2
1
2
2






−
=
Luego, el flujo volumétrico (Caudal) teórico es:
gH2
A
A
1
A
vAF
2
1
2
2
22






−
==
gH2
A
A
1
A
CQ
2
1
2
2






−
=
Ya que hay perdidas de energía entre las secciones A1 y A2 la
ecuación anterior se expresa:
Donde C es conocida como Coeficiente de Descarga, y se
determina experimentalmente.

6. 6
Tubo Pitot
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
B
cc
2
BB
A
cc
2
AA
z
g
g
g2
vP
z
g
g
g2
vP
++=++
ρρ
Ya que zA = zB, y en el punto B el fluido
esta detenido vB = 0.
ρρ
B
c
2
AA P
g2
vP
=+ )PP(
g2
v AB
c
A −=
ρ
La presión estática en un flujo paralelo es la misma PA = PC.
)PP(
g2
v CB
c
A −=
ρ
Como:
c
CB
g
Hg
PP
ρ
=−
Hg2vA =
Luego:
Ya que ocurren perdidas de energía la ecuación se modifica:
Hg2Cv vA =
Donde CV es llamado Coeficiente de Velocidad, se debe deter-
minar experimentalmente.
Flujo a través de un pequeño orificio.
Caso en que el nivel de líquido no cambia
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
B
cc
2
BB
A
cc
2
AA
z
g
g
g2
vP
z
g
g
g2
vP
++=++
ρρ
Ya que: 0zyHz BA ==
0vA =
AATMOSFERICBA PPP ==
c
2
B
c g2
v
H
g
g
=
Reemplazando en la Ec. Bernoulli.
Luego:
Hg2vB =
Este es el resultado teórico, ya que no considera las perdidas.
Se conoce como el teorema de Torricelli.
Para considerar las perdidas de energía tomaremos el
Coeficiente de Velocidad que se define como la razón entre la
velocidad real y la velocidad teórica.
BTeórica
alRe
V
v
v
v
v
C ==
Hg2CvCv VBV ==
La velocidad real es menor que la velocidad teórica, por lo que
el Coeficiente de Velocidad es aproximadamente 0.95.

7. 7
Luego, el flujo volumétrico (caudal) que sale por el orificio:
Hg2CAvCAF VCBVC ⋅⋅=⋅⋅=
En el orificio se produce una
contracción del área de flujo.
Se define el Coeficiente de
Contracción como:
a
A
A
A
C C
Orificio
Contraida
C ==
El Coeficiente de Contracción tiene un valor aproximado de
0.65.
Por lo que el flujo volumétrico (caudal) que sale por un orificio
de área a es:
2gHaCC2gHCaCF VCVC ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
Se acostumbra a combinar ambos coeficientes en lo que se
conoce como Coeficiente de Descarga C, cuyo valor aproxi-
mado para pequeños orificios es de 0.60.
VC CCC ⋅=
2gHaCF ⋅⋅=
Luego:
Tanto Cv como CC se deben determinar experimentalmente
para saber su real valor.
Caso en que el nivel de líquido cambia
La velocidad de flujo teórica es:
Hg2v =
Asumiendo que una cantidad dF de líquido sale en un tiempo
dt, bajando el nivel de líquido la cantidad –dH.
A-dHdtHg2aCdF ⋅=⋅⋅⋅⋅=
2gHaC
dHA
dt
−
=
∫∫∫
−
=
−
=
2
1
2
1
2
1
H
H
H
H
t
t
H
dH
2gaC
A
2gHaC
dHA
dt
Reordenando la ecuación anterior:
Luego, el tiempo necesario para que el nivel de líquido
descienda desde H1 a H2 es:
[ ]2112 HH
2gaC
A2
tt −
⋅⋅
=−
Donde A es el área del estanque.

8. 8
Problemas Resueltos en
Clases
Problema Nº1. En el sifón de agua de la figura. en el que se
desprecian las pérdidas, el diámetro es constante igual a 150
mm, H = 3 m y zA = 4.5 m. Presión atmosférica = 770 Torr.
Calcular:
La velocidad en el desague.
Presión absoluta en el punto más alto del sifón.
a)
b)
Plano de referencia
ZA
H
Agua
Problema Nº2. Circula agua hacia arriba a través de un venturi
vertical de 30 cm por 15 cm cuyo coeficiente es 0.98. La
desviación del manómetro diferencial es 1.16 m de líquido de
densidad relativa 1.25 como se muestra en la figura.
Determine el caudal en m3/s.
Problema Nº3. En un test de una bomba centrífuga, el
manómetro de descarga marca 100 psi y el de succión 5 psi.
Ambos manómetros miden al mismo nivel. El diámetro de la
succión es de 3" y el de descarga de 2", ambas ubicadas al
mismo nivel. Se está bombeando aceite de 0,85 de gravedad
específica y un caudal de 100 GPM.
¿Cuál es la potencia entregada por la bomba si se supone
despreciable las pérdidas?
100 psi5 psi
Bomba
Centrifuga

9. 9
Problemas Propuestos
Problema Nº1. Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan
1800 It/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a
15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.
Respuesta: 0.43 y 1.70 m/s.
Problema Nº2. Un orificio normal de 10
cm de diámetro evacua agua bajo una
altura de carga de 6 m. ¿Cuál es el
caudal en m3/seg? (El coeficiente de
descarga es 0.594)
Respuesta: 0.051.
Problema Nº3. Un depósito de 1.2 m de diámetro contiene
aceite de 0,75 de densidad relativa. Cerca del fondo del
depósito se instala un corto tubo de 7,5 cm de diámetro (C =
0,85). ¿Cuánto tiempo tardará en bajar el nivel del aceite de 1,8
m a 1,2 m por encima del tubo?
Respuesta: 33.3 seg.
Problema Nº4. La velocidad real en la sección contraída de un
chorro de un líquido circulando por un orificio de 5 cm de
diámetro es 8,4 m/seg bajo una carga de 4,5 m.
Si el desagüe medido es 0,0114 m3/seg, determinar los
coeficientes de contracción y descarga.
a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de velocidad?
b)
Respuesta: a) CV=0.895 y b) C=0.627, Cc=0.69
Problema Nº5 (4.3 McCabe6). a) Un estanque con agua tiene
30 pie de diámetro y con una profundidad de 25 pie. La salida
está al fondo a través de una tubería de 4 pulgadas. Si esta
tubería es cortada cerca del estanque, ¿cuál es la velocidad
inicial del flujo de agua que sale del estanque? (ignore las
perdidas de fricción en el pedaso de tubería) b) ¿cuanto tiempo
le tomara al estanque vaciarse? c) Calcule la velocidad
promedio de flujo y compárela con la velocidad de flujo inicial.
Dato: El área de sección del interior de la tubería es:
[ ]2
pie0884.0S =

10. 10
Problema Nº6. Agua a 60 °F es sifoneada de un gran tanque a
través de una manguera de diámetro constante, como se
muestra en la figura. Determine la altura H, sobre el agua, si la
presión en el punto (2) es de 0.256 psia. El final del sifón esta 5
pie por debajo del fondo del tanque. La presión atmosférica es
de 14.7 psia.
(1)
(2)
(3)
15 pie
5 pie
H
Agua