1. Денисенко Віктор Сергійович,
доцент кафедри економічної кібернетики
Черкаського національного університету ім. Б. Хмельницького
Робастна стійкість
економічних систем з
імпульсним керуючим
впливом
2. Стійкість економічної системи
Стійкість - здатність економічної системи, що
зазнала несприятливого відхилення за межі її
допустимого значення, повернутися в стан
рівноваги за рахунок власних або позичкових
ресурсів, перепрофілювання виробництва та ін.
У такому випадку стан рівноваги називається
стійким. Другому варіанту відповідає нестійкість
стану економічних систем.
Стан рівноваги – стан системи, який зберігається
як завгодно довго за відсутності зовнішніх
збурень.
3. Втрата стійкості
Втрата стійкості в загальному випадку може
відбутися внаслідок:
зміни параметрів системи (біфуркації)
через наявність зовнішніх впливів (зокрема, занадто
значних або якісно несумісних з системою)
при порушенні зв'язків у системі, коли змінюється її
структура (структурна нестійкість)
4. Вплив зовнішніх факторів
Зовнішні фактори можуть:
посилювати або зменшувати дію внутрішніх
властивостей системи з нескінченною швидкістю
(відбувається стрибок в інший стан);
посилювати або зменшувати дію внутрішніх
властивостей системи з певною швидкістю
(відбувається плавний перехід системи в інший
стан);
згладжувати або підсилювати внутрішні процеси,
що відбуваються в системі;
не чинити ніякого впливу на властивості системи.
5. Актуальність дослідження
Детермінований підхід у дослідженні стійкості
економічних систем пов'язаний з точними
оцінками її параметрів, що певною мірою важко,
так як будь-яка система, в тому числі економічна
система піддається впливу не тільки регулярного,
але і ймовірнісного характеру, а отже містить
неточно задані параметри, які можуть належати
певним наперед заданим множинам.
Таким чином, за наявності параметричної
невизначеності (невизначеності в елементах
матриць простору станів) необхідно досліджувати
робастну стійкість економічних систем (стійкість
цілого класу систем), а також аналізувати
отримані робастні оцінки параметрів системи та їх
характеристики.
6. Актуальність дослідження
Актуальність досліджень робастної стійкості в
системах управління на сьогоднішній день
обумовлена сучасними потребами науки і техніки.
У практичних завданнях, пов'язаних з
конструюванням і моделюванням процесів
управління в техніці, економіці, біології та інших
сферах робастна стійкість є одним з ключових
факторів, що гарантують застосовність моделей і
надійність роботи спроектованих систем.
Фактично результати, отримані в теорії робастної
стійкості, дозволяють забезпечувати динамічну
безпеку керованих промислових систем на етапі їх
конструювання та експлуатації.
7. Класичний результат
Класичним результатом для оцінки стійкості
економічних систем з параметричною
невизначеністю є застосування результатів
В.Л. Харитонова, - для систем, які моделюються
лінійними диференціальними рівняннями n-го
порядку ним було отримані необхідні і достатні
умови інтервальної (робастної) стійкості.
На жаль, результати, отримані для лінійних
звичайних диференціальних рівнянь, виявилися
малоефективними для інших класів динамічних
систем (в тому числі й для систем
диференціальних рівнянь з імпульсною дією).
8. Системи з імпульсною дією
Відмітимо, що існує досить багато динамічних систем і процесів,
управління якими здійснюється протягом настільки
короткотривалих проміжків, що їх можна ідеалізувати як миттєві, а
результати дії приводять до швидкої зміни процесу - скачкам
фазової траєкторії системи, що моделюється.
Формалізація таких процесів неможлива без переходу до
керування імпульсного типу та динамічних систем з розривними
траєкторіями.
Важливі приклади подібних ситуацій можна знайти в механіці,
ракетодинаміці, квантовій електроніці, робототехніці, медико-
терапії, математичній екології, економіці і т.д.
Математичною формалізацією моделей таких процесів і явищ є
диференціальні рівняння з імпульсною дією.
Імпульсні керуючі впливи (швидка зміна вектора стану системи) в
моделях економічних систем можуть виникати в результаті
фінансової кризи, при змінах в структурі фінансування і фіскальної
політики, науково-технічному прогресі і як наслідок, зростанні
продуктивності праці і т.д.
9. Мета дослідження
Мета роботи - розвиток прямого
методу Ляпунова і його застосування
для дослідження робастної
(інтервального) стійкості економічних
систем зі структурною
невизначеністю, математичними
моделями яких є лінійні системи
диференціальних рівнянь з
неперіодичною імпульсною дією.
10. Постановка задачі
Розглянемо економічну систему, модель якої
описується інтервальною лінійною системою
диференціальних рівнянь з неперіодичною
імпульсною дією
)1(
,,=),(=)(
,),(=
)(
∈∆
≠
kttxCtx
ttxA
dt
tdx
kk
k
τ
τ
11. де
– послідовність моментів імпульсної дії,
Матриці являються
інтервальними, тобто
Нерівність між матрицями розуміється
поелементно.
,n
x ∈ ,)(0)(=)( txtxtx −+∆
∞
1=}{ kkτ
.<0 211 ∞≤−≤≤ + θττθ kk
,A ∈kCk ,
,,, *
*
*
* ∈≤≤≤≤ kCCCAAA kkk
,),[ ∞∈ at
12. Означення. Система (1) називається
інтервально(робастно) стійкою, якщо
для будь-яких пар матриць
система (1) буде
асимптотично стійкою по Ляпунову.
,],[ *
* AAA∈
],[ *
* kkk CCC ∈
15. Основний результат
Теорема 1. Нехай для деякого
виконується припущення 1 і справедливі
оцінки
Тоді система (1) буде робастно стійкою.
1≥p
+++ PGSGSCIP
k
C
k
C
k
C
k
Ck
22
0)(2
( )( ) ,),(<2
!
)(
0
1
1=
00
∈−+
−
+ −
∑ kQPGS
l
m
l
A
l
AAA
l
kk
p
l
λ
ττ
( ) ( ).
1)(
2
11
11 0
00
P
P
GS
p
A
p
mp
A
p
AAA
++
++ −
≤−+
λ
16. Теорема 2. Нехай для деякого
виконується припущення 2 і справедливі
оцінки
Тоді система (1) буде робастно стійкою.
1≥p
+++ PGSGSCIP
k
C
k
C
k
C
k
Ck
22
0)(2
( )( ) +−+
−
+ −
∑ PGS
s
s
A
s
AAA
s
kk
p
s
00
2
!
)( 1
1=
ττ
( ) .),(<
1)!(
2
0
)(2))((2
1
1100
∈
+
+
+
−−Λ
+
++
kQPee
p
GS
m
A
G
A
SA
p
AAA kkkk
λ
ττττ
17. Теорема 3. Нехай для деякого
виконується припущення 3 і справедливі
оцінки
Тоді система (1) буде робастно стійкою.
1≥p
( )( )×−+
−+
∑ l
A
l
AAA
l
kk
p
l
GS
l
00
1
1=
2
!
)(
[
ττ
( )+++++× PCIPGSPCIGS k
k
C
k
Ck
k
C
k
C
2
0
22
0
++++ PGSCIPGS l
A
k
C
k
Ck
l
A
k
C
k
C 00
22
02
,),()(2 0
22
0 ] ∈≤+++ kQPGSGSCIP m
k
C
k
C
k
C
k
Ck λ
( )( ) .
)(
2
1
11 0
00
P
P
GS
p
AMp
A
p
AAA
+
++
−≤−+
λ
19. Висновки
У роботі на основі розвитку прямого методу
Ляпунова отримані достатні умови робастної
(інтервального) стійкості економічних систем з
параметричною невизначеністю, математичними
моделями яких є лінійні системи диференціальних
рівнянь з неперіодичним імпульсною дією.
Перевірка отриманих критеріїв робастної стійкості
в багатьох конкретних випадках не є складною,
так як проблема робастної стійкості зведена до
питання сумісності деякої системи лінійних
матричних нерівностей та виконання алгебраїчних
нерівностей, а розв'язання цих завдань
алгоритмізованно у відповідних системах
комп'ютерної математики.
