More Related Content
What's hot
What's hot (20)
はじめてのルベーグ積分
- 7. ルベーグ積分の記法 ルベーグ積分強調したい場合は下記のような記法を用いる。 これは のときは下記に相当する は測度(measure)のギリシア語の頭文字 fdμ∫ R R = [a, b] fdx∫ b a μ
- 8. ルベーグ積分で計算 その１ xdμ∫ [0,1] = = = = + 2 + ⋯ + + ⋯( ) 1 2 2 ( ) 1 4 2 2 n−1 ( ) 1 2 n 2 ∑ n=0 ∞ 2 n−1 ( ) 1 2 2n = 1 2 ∑ n=0 ∞ ( ) 1 2 n 1 4 ∑ n=0 ∞ ( ) 1 2 n−1 = 1 4 1 1 − 1 2 1 2
- 12. 可測関数その２ 可測関数の可算和も可測関数。 言い換えると が可測関数のとき、 も可測関数。, , ⋯f1 f2 ∑ ∞ n=0 fn ※ となるとは限らない。dμ = dμ∫ R ∑ ∞ n=0 fn ∑ ∞ n=0 ∫ R fn
- 13. 可測関数その３ 可測関数の差でかける関数も可測関数。 言い換えると が可測関数のとき、 も可測関数。f, g f − g ※ だが、計算できるとは限らない。(f − g)dμ = fdμ − gdμ∫ R ∫ R ∫ R
- 14. 可測関数とは 1. 可算個の長方形で埋め尽くせる関数 2. が可測関数のとき、 3. が可測関数のとき、 , , ⋯f1 f2 ∑ ∞ n=0 fn f, g f − g ※2，3の定義は再帰的
- 15. 可測関数の積分値 に対して として計算します。 (x)f+ (x)f− := := { f(x) 0 (f(x) >= 0) (f(x) < 0) { −f(x) 0 (f(x) < 0) (f(x) >= 0) ∫ fdμ := ∫ dμ − ∫ dμf+ f−
- 16. ルベーグ積分で計算 その２ 有理数上0、無理数上1となる関数 の積分 を考える。f f(x)dμ∫ 1 0 このままだと計算できないので、 （有理数上1、無理数上0）を考えると、 有理数は可算集合なので 1 − f (1 − f)dμ∫ 1 0 = = = dμ∫ 1 0 ∑ a:rational 1{a} dμ∑ a:rational ∫ 1 0 1{a} 0 = 0∑ a:rational 従って fdμ∫ 1 0 = = (1 − (1 − f))dμ∫ 1 0 1
- 17. は計算できない∞ − ∞ f(x) := { −1 1 (x < 0) (x >= 0) について を考えるfdμ∫ ∞ −∞ fdμ∫ a+b −a = = = fdμ + fdμ∫ 0 −a ∫ a+b 0 − dμ + dμ∫ 0 −a ∫ a+b 0 − a + (a + b) = b 従って fdμ∫ ∞ −∞ = fdμ = blim a→∞ ∫ a+b −a は任意の値をとれるので値が確定しない。b
- 18. 可積分関数 可測関数 は2つの正の可測関数 によって と書ける の積分値が有限のとき可積分関数と呼ぶ。 f ,f+ f− −f+ f− ,f+ f− dμ < ∞∫ R f+ dμ < ∞∫ R f− これをひとつの式で表すと |f|dμ < ∞∫ R ※ ルベーグ積分の主な対象はこの可積分関数がメインとなる。