PFI seminar on 9/2 by Kenta OONO

1. PFIセミナー 位相幾何学入門

2. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

3. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

4. 参考文献？

5. 幾何学(geometry)とは ・物の形を調べる学問 ・古代オリエントでナイル川の氾濫をめぐる土地測量に由来する geo(土地)+metry(測量)

6. 幾何学の種類 ユークリッド幾何 非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何） 位相幾何学 微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何） 微分位相幾何学 シンプレクティック幾何 代数幾何 非可換幾何 ・・・

7. 幾何学の種類 ユークリッド幾何 非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何） 位相幾何学 微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何） 微分位相幾何学 シンプレクティック幾何 代数幾何 非可換幾何 ・・・

8. 位相幾何学の考え方 ・図形はゴムのように伸び縮み、曲げ伸ばしできる -> ドーナツと浮輪は「同じ」形 -> ドーナツとコーヒーカップは「同じ」形 ・穴をあけてはダメ -> ドーナツとスイカは「異なる」形

10. 分類問題 世の中にある図形をグループ分けする Q 2つの図形が「同じ」か「異なる」か判定する Q 世の中にはどれだけの種類の図形があるか？ （モジュライ理論、サーストンの幾何化予想） π1(SO(3)/I60) -> 「同じ」の判定基準が必要

11. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

12. 分類問題 世の中にある図形をグループ分けする Q どの図形を「同じ」とみなすか？ Q 世の中にはどれだけの図形があるか？ グループ分けの基準が必要

13. 分類の基準の違い

14. 合同な図形が「同じ」

15. 相似な図形が「同じ」

16. N角形なら「同じ」

17. 分類の仕方を分類する ・「比較」 2つの図形を比較し、「同じ」か「異なる」かを判定する（合同、相似） ・「ラベル付け」 それぞれの図形に対してある量を付随させる （辺の数による分類）

18. 内在的方法

19. ラベル付けによる分類：辺の数

20. ラベル付けによる分類：辺の数

21. ラベル付けによる分類：辺の数

22. ラベル付けによる分類：種数

23. それぞれの長所・短所 ・「比較」 「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい ・「ラベル付け」 「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい -> 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい

24. それぞれの長所・短所 ・「比較」 -> ホモトピー同値 「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい ・「ラベル付け」 -> ホモトピー、ホモロジー 「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい -> 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい

25. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

26. 予備知識 全単射 ・定義 X,Yを集合（位相空間）とする。f : X->Yが全単射であるとは、g : Y->Xが存在して、 g・f=1X f・g=1Y となることである。

27. 全単射：イメージ図

28. 全単射：イメージ図

29. ホモトピー同値 定義 X,Yを位相空間とする、f : X->Yがホモトピー同値であるとは、g : Y->Xが存在して、 g ・ f ～ 1X f ・ g ～ 1Y を満たすことである。

30. ホモトピック 定義 p: A->Bとq : A->Bがホモトピックであるとは、pを「連続的に変形」してqにできることであり、記号で p～q と書く。

32. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

33. ホモトピック 定義 正確にはF:A×[0,1]->Bが存在して ・F(a,0) = p(a) ∀a ∈ A ・F(a,1) = q(a) ∀a ∈ A を満たすことである。

34. ホモトピー同値 イメージ図 -> ホワイトボードで説明します

35. 良い「ラベル付け」をする ホモトピー同値で同じになる「ラベル」にはどんなものがあるか？ ホモトピー（1904ごろ～？） 定義が簡単 ⇔ 計算しにくい ホモロジー 定義が面倒 ⇔ 計算しやすい

36. 図形にたくさんのラベル付けをする

37. （1次元）ホモトピー 直観的定義 「ある1点から出るループを何個にグループ分け出来るか」を表した量

38. 数学的定義 Xを位相空間、x ∈ Xとする。 π1(X,x) = { l : [0,1] -> X , l は連続、l (0) = l (1) = x } / ～ をｘを起点とするXの1次元ホモトピー、もしくは基本群という。（1904年 ポアンカレ）

39. 高次元ホモトピー 数学的定義 Xを位相空間、x∈Xとする。 π1(X,x) = { l : [0,1]n-> X , l は連続、l (t) = x ∀t ∈ ∂In } / ～ をxを起点とするXのn次元ホモトピーという。

40. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

41. ホモロジー 特異ホモロジー・コホモロジー チェックコホモロジー 層係数のホモロジー・コホモロジー ドラームコホモロジー エタールコホモロジー ・・・ (Eireberg – Steenrodの公理)

42. 数学的定義 -> 略

43. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモトピー、ホモロジーの性質・使用例 ７ ポアンカレ予想

44. ホモロジーの良い性質 ・マイヤー・ビエトリスの完全系列 (図形を2つ部分に分けて、その両方のホモロジーからもとのホモロジーを計算できる) ・0次元ホモロジーは連結成分の数

45. ホモロジーと種数の関係 gを種数とすると、 面の数ー辺の数＋頂点の数＝2-2g

46. ホモロジーと種数の関係 gを種数とすると、 面の数 ー 辺の数 ＋ 頂点の数 ＝ 2 - 2g 面の数 ＝ 2次元ホモロジー H2(X) の次元 辺の数 ＝ 1次元ホモロジー H1(X) の次元 頂点の数 ＝ 0次元ホモロジー H0(X) の次元

47. ホモトピー・ホモロジーの性質 ホモトピー・ホモロジーは「良い」ラベル付けである X ～ Y ならば、 πn(X,x) = πn(Y,y) (n = 0,1,2・・・) Hn(X) = Hn(Y) (n = 0,1,2・・・)

48. ホモトピーで2次元と3次元を区別する

49. 変わった空間 SL(n,R) レンズ空間 関数空間 モジュライ空間 シュティーフェル多様体

50. 目次 １ イントロダクション ２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」） ３ 比較・・・ホモトピー同値 ４ ラベル付け１・・・ホモトピー ５ ラベル付け２・・・ホモロジー ６ ホモロジーの性質 ７ ポアンカレ予想

51. ポアンカレ予想 3次元の閉多様体で1次元ホモトピーが消えているものは3次元球面と同相 これの難しいところ 「ホモトピーが違うなら違う図形」は言えるが 「ホモトピーが同じでも同じ図形」とは限らない

52. ポアンカレ予想の証明 実は手法は微分幾何学的（リッチフローを用いる） (サーストンの幾何化予想) http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183548782 （プレプリント） http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245 (解説記事) http://arxiv.org/abs/math.DG/0605667 http://arxiv.org/abs/math.DG/0607607