Доклад на ЛФК 2 нояюря 2010

1. ОнтологическийОнтологический
аргумент Гёделяаргумент Гёделя
Горбатов В.В.Горбатов В.В.

2. Курт Гёдель (1906-1978)Курт Гёдель (1906-1978)
 Австрийский логик,Австрийский логик,
математик и философматематик и философ
 Участвовал в работеУчаствовал в работе
Венского кружкаВенского кружка
 В 1940 эмигрировал вВ 1940 эмигрировал в
США и получил работу вСША и получил работу в
Институте перспективныхИнституте перспективных
исследований (Принстон)исследований (Принстон)
 Умер от истощения в 1978Умер от истощения в 1978

3. Курт Гёдель (1906-1978)Курт Гёдель (1906-1978)
 Теоремы оТеоремы о
неполноте (1931)неполноте (1931)
 МатематическаяМатематическая
возможностьвозможность
путешествий вопутешествий во
времени (1949)времени (1949)
 ОнтологическоеОнтологическое
доказательстводоказательство
(1954-1955; 1970)(1954-1955; 1970)

4. Онтологический аргумент (1970)Онтологический аргумент (1970)
 Представлен на семинаре Д.Скотта вПредставлен на семинаре Д.Скотта в
феврале 1970феврале 1970
 Позже он говорил Моргенштерну, чтоПозже он говорил Моргенштерну, что
хотя и удовлетворен доказательством,хотя и удовлетворен доказательством,
все же сомневается, стоит ли еговсе же сомневается, стоит ли его
публиковатьпубликовать
 Доказательство стало известным вДоказательство стало известным в
изложении Д.Скотта (1987); здесь будетизложении Д.Скотта (1987); здесь будет
рассмотрен исходный вариантрассмотрен исходный вариант

5. Обозначения:Обозначения:
 P(F) - свойство F являетсяP(F) - свойство F является
позитивнымпозитивным
 &, V, , ~ - пропозициональные→&, V, , ~ - пропозициональные→
связкисвязки
 ◊◊ - возможно- возможно
 □□ - необходимо- необходимо
 ∀∀ - квантор общности- квантор общности
 ∃∃ - квантор существования- квантор существования

6. ОпределенияОпределения
 D1. G(x) ↔D1. G(x) ↔ ∀∀F(P(F) F(x))→F(P(F) F(x))→
– Быть Богом (G) значит обладать всемиБыть Богом (G) значит обладать всеми
позитивными свойствамипозитивными свойствами**
** «Позитивное» Гёдель трактует неоднозначно«Позитивное» Гёдель трактует неоднозначно
– говоря о нем и как о чем-то «морально-– говоря о нем и как о чем-то «морально-
эстетически» ценном, и как о чем-то, что,эстетически» ценном, и как о чем-то, что,
будучи полностью проанализированным, небудучи полностью проанализированным, не
влечет никакого отрицаниявлечет никакого отрицания

7. ОпределенияОпределения
 D2. F ess x ↔D2. F ess x ↔ ∀∀H[H(x) □→H[H(x) □→ ∀∀x(H(x) F(x))]*→x(H(x) F(x))]*→
– Для свойства F быть сущностью предмета хДля свойства F быть сущностью предмета х
означает, что любое свойство, присущееозначает, что любое свойство, присущее
данному предмету, с необходимостьюданному предмету, с необходимостью
включается в свойство Fвключается в свойство F
* Дана Скотт добавил к этому определению конъюнкт* Дана Скотт добавил к этому определению конъюнкт
F(x); в противном случае, из наличия свойства, сF(x); в противном случае, из наличия свойства, с
необходимостью отсутствующего у всех объектов,необходимостью отсутствующего у всех объектов,
можно было бы вывести, что оно-то и являетсяможно было бы вывести, что оно-то и является
сущностью х, а вкупе с определениемсущностью х, а вкупе с определением D3D3 этоэто
означало бы, что ни один объект не обладаетозначало бы, что ни один объект не обладает
свойством Е (Адамс, с. 932)свойством Е (Адамс, с. 932)

8. ОпределенияОпределения
 D3. E(x) ↔D3. E(x) ↔ ∀∀F(F ess x □→F(F ess x □→ ∃∃xF(x))xF(x))
– Необходимое существование (Е) присущеНеобходимое существование (Е) присуще
предмету х, когда из сущности х вытекает,предмету х, когда из сущности х вытекает,
что необходимо найдется предмет,что необходимо найдется предмет,
обладающий этой сущностьюобладающий этой сущностью**
* Легко подобрать примеры из математики, когда* Легко подобрать примеры из математики, когда
существование объектов можно с необходимостьюсуществование объектов можно с необходимостью
дедуцировать из самого их определения (в рамкахдедуцировать из самого их определения (в рамках
имеющейся теории)имеющейся теории)
– Введение предиката Е не подпадает под кантовскуюВведение предиката Е не подпадает под кантовскую
критику «существование не есть реальныйкритику «существование не есть реальный
предикат», т.к. это предикатпредикат», т.к. это предикат
 фактически, второпорядковый (он определяется черезфактически, второпорядковый (он определяется через
второпорядковый предикатвторопорядковый предикат ess)ess)
 логический, а не реальныйлогический, а не реальный

9. АксиомыАксиомы
 А1. P(F) & P(Н) Р(F&Н)→А1. P(F) & P(Н) Р(F&Н)→
– конъюнкция позитивных свойств являетсяконъюнкция позитивных свойств является
позитивным свойствомпозитивным свойством
 А2. ~P(F) P(~F)↔А2. ~P(F) P(~F)↔
– свойство не является позитивным толькосвойство не является позитивным только
если позитивно его отрицание*если позитивно его отрицание*
** Э. Андерсон ставит под сомнение принцип «позитивногоЭ. Андерсон ставит под сомнение принцип «позитивного
исключенного третьего», подразумеваемый в А2; вместеисключенного третьего», подразумеваемый в А2; вместе
с определениемс определением D1D1 данная аксиома фактическиданная аксиома фактически
утверждает, что Богу присущие все позитивные свойстваутверждает, что Богу присущие все позитивные свойства
И ТОЛЬКО ониИ ТОЛЬКО они

10. АксиомыАксиомы
 А3. P(F) □P(F)→А3. P(F) □P(F)→
– позитивное свойство позитивно спозитивное свойство позитивно с
необходимостьюнеобходимостью**
 А4. Р(E)А4. Р(E)
– существование является позитивнымсуществование является позитивным
свойствомсвойством****
** То есть граница между позитивными иТо есть граница между позитивными и
негативными свойствами не только однозначнанегативными свойствами не только однозначна
(А2), но и неизменна сквозь возможные миры!(А2), но и неизменна сквозь возможные миры!
**** Это интуитивно вполне согласуется сЭто интуитивно вполне согласуется с
определением Е и А3определением Е и А3

11. АксиомыАксиомы
 А5. [P(F) & □А5. [P(F) & □∀∀x(F(x) Н(x)] P(Н)→ →x(F(x) Н(x)] P(Н)→ →
– все, что с необходимостью следует извсе, что с необходимостью следует из
позитивного свойства, является позитивнымпозитивного свойства, является позитивным
свойством (в частности, х=х - позитивноесвойством (в частности, х=х - позитивное
свойство, а х≠х – негативное)свойство, а х≠х – негативное)
 Собственно, здесь ключ к пониманиюСобственно, здесь ключ к пониманию
«позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что«позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что
(при полном анализе) не влечет никаких(при полном анализе) не влечет никаких
негативных следствийнегативных следствий
 Поскольку в А4 позитивность Е ужеПоскольку в А4 позитивность Е уже
постулирована, все позитивное должно бытьпостулирована, все позитивное должно быть
согласуемо с Есогласуемо с Е

12. ДоказательствоДоказательство
 Лемма 1. G(x) G ess x→Лемма 1. G(x) G ess x→
– быть Богом – существенное свойствобыть Богом – существенное свойство
1.1. G(x)G(x) доп.доп.
2.2. ∀∀F(P(F) F(x))→F(P(F) F(x))→ D1D1
3.3. ∀∀FF((F(x) P(F)→F(x) P(F)→ )) (2) A2(2) A2
4.4. ∀∀FF((F(x) □P(F)→F(x) □P(F)→ )) (3) A3(3) A3
5.5. ∀∀FF((F(x) □F↔F(x) □F↔ (x(x)))) ((22,4),4)
6.6. G(x)G(x) →→ ∀∀FF((F(x) □F↔F(x) □F↔ (x(x)))) ((55))
7.7. ∀∀xx(G(x)(G(x) →→ ∀∀FF((F(x) □F↔F(x) □F↔ (x(x)))))) (6)(6)
8.8. ∀∀FF((F(x) →F(x) → ∀∀x(x(G(x) □F(x)↔G(x) □F(x)↔ )) (7)(7)
9.9. ∀∀FF((F(x) □→F(x) □→ ∀∀x(Fx(F(x) G(x)↔(x) G(x)↔ )) (8)(8)
10.10. G ess xG ess x (9(9)) D2D2
11.11. G(x) G ess x→G(x) G ess x→ (10)(10)

13. ДоказательствоДоказательство
 Лемма 2. G(x) □→Лемма 2. G(x) □→ ∃∃yG(y)yG(y)
– если х является Богом, тоесли х является Богом, то
с необходимостьюс необходимостью
найдется объект, которыйнайдется объект, который
является Богомявляется Богом
1.1. Р(E)Р(E) A4A4
2.2. G(x) →G(x) → EE(x)(x) (1) D1(1) D1
3.3. G(x) G ess x→G(x) G ess x→ Лемма 1Лемма 1
4.4. EE(x) →(x) → ((G ess x □→G ess x □→ ∃∃xG(x))xG(x)) D3D3
5.5. G(x) □→G(x) □→ ∃∃yG(y)yG(y) (2-4)(2-4)

14. ДоказательствоДоказательство
 ЛеммаЛемма 33. ◊. ◊∃∃xxG(x) →G(x) →
◊□◊□∃∃yG(y)yG(y)
– Если существование БогаЕсли существование Бога
возможно, то возможно, чтовозможно, то возможно, что
оно необходимооно необходимо (из леммы 2(из леммы 2
по аксиоме □(А В) (◊А ◊В)→ → →по аксиоме □(А В) (◊А ◊В)→ → →
 ЛеммаЛемма 44. ◊. ◊∃∃xxG(x)G(x)
– Возможно, что существует БогВозможно, что существует Бог
(из(из A1A1 и А5 доказывается, чтои А5 доказывается, что
понятиепонятие GG логическилогически
непротиворечиво)непротиворечиво)

15. ДоказательствоДоказательство
 Теорема: □Теорема: □∃∃yG(y)yG(y)
– Бог необходимоБог необходимо
существуетсуществует
1.1. ◊◊∃∃xxG(x)G(x) Лемма 4Лемма 4
2.2. ◊◊∃∃xxG(x) ◊□→G(x) ◊□→ ∃∃yG(y)yG(y) Лемма 3Лемма 3
3.3. ◊□◊□∃∃yG(y) □→yG(y) □→ ∃∃yG(y)yG(y) S5S5
4.4. □□∃∃yG(y)yG(y)