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1. Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto
interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el
punto medio de la hipotenusa.

2. En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.
Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

3. El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de
gravedad del triángulo.
Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo ABC obtenemos el
triángulo MNP que tiene el mismo baricentro que ABC y sus medianas miden la
mitad que las de ABC.
Además los lados de MNP miden la mitad que los lados de ABC y la superficie
de MNP es la cuarta parte de la superficie de ABC, pues podemos comprobar que
al trazar MNP se han definido otros tres triángulos iguales: BMP, PCN Y AMN .

4. Consideramos una mediana AP. Si B es el baricentro se cumple que AB=2BP.
Se cumple también que si se dibuja BY, la mediana de la mediana AP, ésta corta
al lado AC siendo: ZC=2AZ .
Las alturas

5. Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del
triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.
En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

6. En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con
el vértice del ángulo recto.
Las bisectrices

7. Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo ABC se cortan en un
punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como
el incentro I pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el
centro de la circunferencia inscrita a ABC.
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre
los lados. Basta con trazar una perpendicular desde I a uno de ellos, por ejemplo
al lado c, obteniendo Tc y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los
lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que ATc=ATb, BTc=BTa y
CTa=CTb .
El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al
lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.
PROPIEDADES RELATIVAS A LAS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE LOS
TRIÁNGULOS
Suma de vectores

8. En un triángulo ABC, cuyo circuncentro es C y su ortocentro es O, se verifica
que el vector CO es igual a la suma de los vectores CA + CC + CB.
Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach
El triángulo HaHbHc que tiene como vértices los pies de las alturas de un
triángulo ABC se llama triángulo órtico.
Las bisectrices del triángulo órtico de ABC están en las mismas rectas que
contienen a las alturas de dicho triángulo.
La circunferencia circunscrita al órtico de ABC se llama circunferencia
de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por
los puntos medios de los lados de ABC, M, N y P y por los puntos medios de los
segmentos que unen el ortocentro con los vértices de ABC, X, Y y Z.

9. Sea HaHbHc es el triángulo órtico de un triángulo desconocido ABC. Al hallar
ABC vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y
cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos
distintos.
Dibujamos las bisectrices de ABC, que coinciden con las alturas de ABC.
Trazamos por Ha, Hb y Hc perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados
del triángulo buscado, ABC. Esta es la primera solución. Señalamos
el ortocentro O y la circunferencia de Feuerbach.

10. Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al
considerar como lados las alturas de ABC, como ABD, cuyo ortocentro coincide
con el vértice C. Las otras soluciones serían ACD, con ortocentro en B y BCD,
con ortocentro en A.

11. Recta de Simson
Sea un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas
perpendiculares a los lados de ABC desde un punto arbitrario P de la
circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta
que se llama recta de Simson.
Si unimos P con el ortocentro de ABC el punto medio M del segmento obtenido
está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbachde ABC.

12. Recta de Euler
La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC se
llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al
centro de la circunferencia de Feuerbach, X.
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre
el baricentro y el ortocentro: BC=BO/2.
El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de CO, segmento
definido por el circuncentro y el ortocentro.

13. Propiedad de las mediatrices y las bisectrices
Sea un triángulo ABC. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del
lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.
Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo
Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo ABC.

14. Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del
ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán
dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres
circunferencias exinscritas al triángulo.
Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices A,
B y C.
El triángulo definido por exincentros tiene como triángulo órtico a ABC.
Alturas y ortocentro
La Altura es un segmento de recta perpendicular a un lado, o su prolongación,
que pasa por el vértice opuesto al lado.

15. Fíjate que la altura no siempre intersecta al lado del triángulo.
Por su puesto que aquí también hay una altura para cada lado del triángulo. Y
como te podrías imaginar también las alturas se intersectan en un punto
llamado ORTOCENTRO. las alturas no se intersectan dentro del triángulo
entonces hay que prolongarlas para ver el punto de intersección.
A continuación te presentamos una animación donde se muestra el ortocentro de
un triángulo. En la parte baja hay unos botones que permiten trazar
un triángulo con los puntos A, B y C como vértices. Además de presentarse las
longitudes de los lados.
Presiona los botones y mueve los vértices del triángulo para contestar las
siguientes preguntas:

16. Los centros del triángulo:
incentro, baricentro,
circuncentro y ortocentro
Publicado por ^DiAmOnD^ el 15 de julio de
2010 en Centros del triángulo | 55
comentarios
Comenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la
presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya que
se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente bajos de
nuestra vida académica. Vamos con ellos.
 Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la
distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia).
Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de
los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en
dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar
las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la
imagen siguiente podéis verlo:

17.  Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de
intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento
que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar
gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto
en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:
 Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio
de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las
mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado
que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente
el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de
intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la
siguiente imagen:

18.  Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del
triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular
al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el
ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto
en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:
En la entrada de presentación de esta serie de artículos comenté que intentaría en
la medida de lo posible ilustrar cada uno de ellos con algo deGeoGebra. Como lo
prometido es deuda, ahí va un applet de GeoGebra en el que se aparecen los
cuatro puntos descritos. En él podéis ver cada uno de ellos por separado o varios
de ellos a la vez y jugar con el tamaño y la forma del triángulo moviendo los
vértices del mismo, además de una sorpresa: