1. 第6回 統計工学特論発表MEASURES OF LOCATIONAND DISPERSION位置と分散の測定 学番：1181816 氏名：指田大輔

2. 1 目次 ■ 2.1：分布のタイプ ■ 2.2：分布の比較(正規分布を例に) -位置母数と尺度母数 ■ 2.3：算術平均による位置の測定 -連続型と離散型 -例題2.1：算術平均の計算 -例題2.2：ベータ分布の平均 ■ 2.4：二項分布 -例題2.3：二項分布の平均

3. 2.1：分布の多様性とタイプ分け 2 Type(c) Type(d) Type(a) Type(b) 第1章により、統計的に発生する分布には、 性質の差異があることが分かった ■ 1つの最大値を持つ ■ 左右対称な分布 4つのタイプに分割 ■ 1つの最大値を持つ ■ 左右非対称な分布 ■ 歪みが強い分布 ■ J型分布 ■ U型分布

4. Type(a)の分布 3 表1.7(p8)より、Type(a)の分布の特徴を確認 図表１：イギリス人男性の身長の度数分布 最大値 対称 上図から分かるようにType(a)の分布は、“最大値が1つ”かつ“左右対称”の分布である

5. Type(b)の分布 4 表1.8(p9)より、Type(b)の分布の特徴を確認 図表2：オーストラリア人の花婿の年齢に応じた結婚の数の分布 最大値 非対称 上図から分かるようにType(b)の分布は、“最大値が1つ”かつ“左右非対称”の分布である

6. Type(c)の分布 5 表1.2(p3)より、Type(c)の分布の特徴を確認 図表3：イギリス人の年収による付加税の分布 J型分布 上図から分かるようにType(c)の分布は、歪みが強く、J型分布と呼ばれている

7. Type(d)の分布 6 表1.13(p12)より、Type(d)の分布の特徴を確認 図表4：グリニッジにおける雲量を表した分布 U型分布 上図から分かるようにType(d)の分布は、U型分布と呼ばれている

8. 2.2 分布の比較 7 2つの分布を比較する際は、以下のような3種の特徴を調べることで、比較が可能となる 最大値のような、“中心の値”を比較 分布の広がりを反映する“散らばり”を比較 分布の“歪み”の程度 テキストp39より、正規分布を例に考える 分布の比較は定数𝜇と𝜎の値を比較することで行うことが出来る

9. 正規分布：平均μを固定 8 と定めて、σの値を変動させる 𝜎=0.7 𝜎=2 𝜎=1 図1：μが一定の際の正規分布の形状 平均値が一定だとしても、標準偏差を動かすことで、分布の広がりが異なる

10. 正規分布：標準偏差σを固定 9 と定めて、μの値を変動させる 𝜇=0 𝜇=−3 𝜇=3 図2：σが一定の際の正規分布の形状 標準偏差が一定だとしても、平均値を動かすことで、モードが異なる 以上のような定数を、分布の“パラメータ(母数)”と呼ぶ

11. 位置母数と尺度母数 10 平均やモードなどのように分布の位置を示している母数 尺度母数 標準偏差などのように分布の広がり具合を示している母数 𝑓𝑥=𝑥2 例： 𝑓(𝑥−2)=𝑥−22 ・位置母数=2 ・尺度母数=2 としてグラフを描写 𝑓(𝑥)=𝑥2 12𝑓(𝑥−22)=12𝑥−222 図3：位置・尺度母数を示すグラフ

12. 2.3 位置の測定方法:算術平均 11 位置の測定方法は3種類に分けられる 算術平均 平均値 幾何平均 測定方法 中央値 調和平均 最頻値 最も一般的な測り方である“算術平均”に着目していく 「統計学自体よりも、古い」とされている

13. 算術平均の定義：連続分布の場合 12 変量𝑥 の確率関数 の𝑥=𝑎における算術平均𝜇1′ 𝑎=0とすると より 連続分布の平均と一致する

14. 算術平均の定義：離散分布の場合 13 離散分布における平均は以下のような式となる 例： 5人にテストを行い、90点が2人、60点が2人、10点が1人の時

15. 式(2.4)に関して 14 復習 ・・・式(2.1) aを移項 ・・・式(2.4) 任意の値aで平均値が求まるならば、その他の値bにおける平均値も簡単に計算できる

16. 例題2.1：算術平均の計算(1) 15 表1.7(p8)のデータを用いて、算術平均を計算する 表1：表2.1の抜粋 合計=−8584 原点とする 合計=+8763 テキストの例では、67+716=67.435 を中心としている

18. 原点を設定せず、単純に身長データと度数の積を計算しても同じ平均値67.46が求められる

19. 算術平均の特徴：テキスト外 17 算術平均は“外れ値”の影響が強い 例：日本の国民所得に関する分布 57%の人が「生活が苦しい」と回答 平均以下 61% 平均所得：567万 中央値：451万 100万以上の差 図4：所得に関する相対度数：『国民生活基礎調査07』

20. 例題2.2：β分布の平均(連続型) 18 β分布の平均を求める式を証明していく 準備 𝐵𝑝,𝑞=01𝑥𝑝−11−𝑥𝑞−1𝑑𝑥 β関数を fx=1Bp,qxp−11−xq−1 , 0<𝑥<1 ;𝑝,𝑞>0 p.d.fを 目標 平均値 となる事を証明

21. β分布の特徴(1) 19 特徴 β分布は 𝑝,𝑞>0の値によって様々な分布の形状を持つ p=0.1,q=5と設定 p=5,q=0.1と設定 図5：β分布の形状(1) pとqの差が大きくなると、“J型分布”のような形状となる

22. β分布の特徴(2) 20 p=0.5,q=0.5と設定 “U型分布”のような形状となる p=1,q=1と設定 “一様分布”と一致 p=3,q=3と設定 様々な形状を取るので、分布の形状が不明な場合は、適当にパラメータを設定してフィッティングを良くできる 図6：β分布の形状(2) “正規分布”のような形状となる

23. B(0.5,0.5)のβ関数の値：テキスト外 21 𝑝=𝑞=0.5の際の、ベータ関数の値が“円周率𝜋”と一致した Rでの結果 と置換 ここで円周率𝜋が出現することに特別な意味はあるのか？

24. β分布の平均を求める証明(1)：テキスト外 22 連続型の平均なので、 を基に証明を開始 部分積分を行った この計算結果は0となる (1-x)を分配する

25. β分布の平均を求める証明(2)：テキスト外 23 この項は𝐵𝑝,𝑞と一致 この2項はE[X]と一致 従って、 が証明できた

26. β関数とΓ関数の関係(1) 24 テキストによると、証明の過程でガンマ関数を使用している この項は𝐵𝑝+1,𝑞と一致 ※ 置換積分、三角関数、極座標変換などを行うと・・・ という関係式を得る

27. β関数とΓ関数の関係(2) 25 前式の関係式から ここで、ガンマ関数の性質 を使用 従って、 が証明できた

28. ※ β関数からΓ関数への変換(1) 26 Γ関数の定義式 β関数の定義式 と置換 と置換

29. ※ β関数からΓ関数への変換(2) 27 と極座標変換 従って、 という関係を得る

30. 2.4 離散型における平均の算出 28 式(1.39)のような母関数によって特定されるなら、その平均は以下のように評価できる ・・・・・・(1.39)´

31. 例題2.3：二項分布の平均(離散型) 29 二項分布の平均を求める式を証明していく 準備 テキストp29の式(1.41)： を使用 目標 平均値が となることを証明する

32. 二項分布の平均を求める証明 30 微分を行いt=1を代入 括弧内のpが相殺される コイン投げのように試行が独立で、成功確率が一定であること

33. 二項分布の特徴(1)：試行回数を固定 31 二項分布がどのような形状を持つかを2パターンで確認する (1) 試行回数を固定(n=10) p=0.8 p=0.5 図7：二項分布の形状(1) p=0.2

34. 二項分布の特徴(2)：成功確率を固定 32 (2) 成功確率を固定(p=0.5) n=30 n=10 n=50 図8：二項分布の形状(2) 𝑛->∞に近づけていくと、正規分布に収束する

35. 質疑応答 33

36. 知っておくべき用語 34 ・位置母数 平均やモードのような中心値、典型値を定める意味で度数分布の位置を示している母数。 ・尺度母数 分布関数の母数で、変数の尺度に関連しているもの。例えば、正規分布の標準偏差などがそうである。 ・単峰型 単一のモードを持つ分布を表す。 ・母関数 パラメータtの関数で、べき級数に展開すると統計的に興味のある量を係数とする。 ・パラメータ(母数) 集合上を変動する未知の量を示す。確率分布を定義するための表現に用いられる。

37. 余談 35