Este documento explica cómo reducir ángulos trigonométricos a su equivalente en el primer cuadrante. Describe tres casos: 1) ángulos entre 0° y 360°, 2) ángulos mayores que 360°, y 3) ángulos con medida negativa. Para cada caso, provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante en términos de uno dentro del primer cuadrante.
Para mis alumnos de 5to grado de la I.E. 0086 José María Arguedas y para los que quieran complementar sus aprendizajes en el sistema de conversiones angulares.
Para mis alumnos de 5to grado de la I.E. 0086 José María Arguedas y para los que quieran complementar sus aprendizajes en el sistema de conversiones angulares.
La gent vegana que viu al món de l’opulència, on el gen CRTC3 fa més nosa que servei, s’esforça en explicar que equilibra la seua alimentació de forma responsable...
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
180
CEPUNS R
360
R.T.()
RT()
Ciclo 2013-II 90
R Co R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Definición:
Tanº Tan (270 º 30º ) Cot 30º 3
240
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es * ()
agudo, en función de otro que sí lo sea.
Csc 330 º Csc(360 º 30 º ) Csc 30 º 2
R.T.( ) R.T.( )
* ()
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
: no es agudo : sí es agudo En este caso, se procede de la siguiente manera:
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un R.T. () = R.T. () ; donde 360º
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al q
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo Residuo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas. Por ejemplo, calculemos:
Casos:
3
I. Ángulos cuyas medidas están en Sen 2580 º Sen 60 º * Tan 3285º = Tan
2
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
2580º 360º 3285º 360º
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo 2520º 7 3240º 9
que sea agudo; para luego aplicar :
* 60º 45º
180 3
R Sen 2580 Sen 60º.()
º R.T * Tan 3285º = Tan45º = 1
RT() 360 2
2580º
90 360º 3285º 360º
R Co R.T.()
2520º
220 7 3240º 9
60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca *
el ángulo original " α " Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º ()
Por ejemplo; calculemos: 1080º 3
3
Sen120 º Sen (90 º 30 ) Cos 30 º
120º
()
2
* Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
1
Cos120 º Cos(180 º 60º ) Cos60º
Sen133 Sen 1 1
2 * Cos127 C
* () 2 2 3
133 4 127 6
132 33 126 21
* 1 1
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Por ejemplo, calculemos:
* Cos127 Cos 1 1 C Cos Cos 2 Cos 3 Cos 4 Cos 5 Cos 6
3 3 2 7 7 7 7 7 7
127 6
En esta expresión note que:
126 21 6 Cos Cos 6
1 7 7 7 7
R.T. a ; a 2b 2 5 Cos 2 Cos 5
Es decir, si fuese: b 7 7 7 7
Se divide: 3 4 Cos 3 Cos 4
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a "
C Cos 6 Cos 5 Cos 4 Cos 4 Cos 5 Cos 6
Tan 1315 Tan 3 * Sen 1345 7 7 7 7 7 7
4 4 3
Reduciendo, quedaría C = 0
1315 8 1345
51 164 PROBLEMAS RESUELTOS
35
3 1. Reducir:
*
sen(180º ) tg 270º sec 90º
Q
III. Ángulos de medida negativa: Se cos(90º ) ctg 360º csc 180º
procede de la siguiente manera: A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx RESOLUCIÓN
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Q sen ctg csc
sen ctg csc
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx Q 1 1 1 1
Por ejemplo, calculemos:
RPTA.: C
2
Sen (45 º ) Sen 45 º
* 2
2. Si
Cos (60 º ) Cos 60 º 1 3
* 2 Calcule:
sen 15 cos 92
Tan (120 º ) Tan 120 º Tan (90 º 30 º ) (Cot 30 º ) 3 P
927 1683
() sec csc
2 2
IV. Ángulos relacionados: A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 5
16 16 16 16
Senx Seny 16
Si : x y 180º Cosx Cosy
Tanx Tany RESOLUCIÓN
1. sen 15 sen 15 sen sen
cos 92 cos
Senx Seny 1683
csc sec
Si : x y 360º Cosx Cosy 2
Tanx Tany 927
sec csc
2. 2
Reemplazando:
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
P
sen cos
sen cos * ctg 2 3 ctg 2 2 ctg 180 ctg
csc sen 1
sen cos
sen2 cos2 Q
cos 2 tg
Q
cos 2
reemplazando: cos 2 ctg cos 180 2
tg 90
ctg
3
P sen2 cos2
3 3
Q
cos 2 ctg
2
2 cos 2 ctg
3 1 3
2
RPTA.: D
2 2
16
RPTA.: A 5. Reducir:
H cos 7 cos 3 cos 4 cos 6
7 7 7
3. Reduce:
cos x cos 24 x cos 53 x
W A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
47
sen x
2 RESOLUCIÓN
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0
H cos 7 cos 3 cos 4 cos 6
RESOLUCIÓN 7 7 7
3 3
* cos x cos x H cos cos
cos cos
7 7 7
7
* cos 24 x cos 2 12 x cos x
3 3
* cos 53 x cos 52 x cos x cos x H cos cos cos cos
7 7 7 7
*
sen x
47 47
sen
x sen 22 3 x
2 2
2
H=0 RPTA.: A
cos x cos x cos x
W
cos x 6. Si: ctg20 a
W=1 RPTA.: B Calcule: csc 200º sen110º
E
cos 290º csc 430º
4. Siendo “ ” y “ ” las medidas de dos
A) a B) -a C) a2 D) a2 E) 1
ángulos complementarios:
RESOLUCIÓN
cos 2 4 tg 3 2
Q ( ) ()
cos 4 6 ctg 2 3 E
csc 200 sen110
()
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2 cos 290 csc 430
()
RESOLUCIÓN csc 20 sen70
E
sen20 csc 70
* 90 csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
* cos 2 4 cos 2 2 2 cos 180 2 cos 2 cos2 20º
E
sen2 20º
2
* cos 4 6 cos 4 4 2 cos 360º 2 cos2 cos 20
E
sen20
* tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg
E ctg2 20º
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
E a2 RPTA.: D
sec1217 2
I. 6
PROBLEMA DE CLASE n
II. sen(n) cos(n) (1) , n Z
1. Calcular:
2 3 29 (csc csc ) ctg o
R Cos Cos Cos . . . Cos III. Si:
30 30
30 30
Entonces pertenece al IIIC:
29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
2. Simplificar:
Tan 5 Sen 7 Sec 9
8. Si es un arco del primer cuadrante positivo
K 2 2 2
Cos (5 )Csc(7 )Ctg(9 ) y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
sen( ) . Si: 1 2 .
a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
A) cos 2 sen( ) 1
3. Cuál es la relación que existe entre x e y. B) -1 sen() sen1
40 x 15 4 x 2 y 89 C) -1 sen() cos1
Tg Ctg Cos
10 10 2 D) cos1< sen() 1
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k E) sen2 < sen() 1
9. Reduzca:
4. Sabiendo que:
37 77 E csc 2005 tg 2003
Ksen ctg cos(sen) 2
2 2
17 23
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en csc 2 c ot 2
x
términos de K es: (k > 0)
a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0
( k 2 1) ( k 2 1)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
37
tg 99 x . cos x . sec90 x
5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple: 2
R
A B C A B C 91
sen(A B C) cos2 sen2 ctg x .sen 40 x
2 2 2 2 2 2 2
Entonces el valor del ángulo D es: a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º?
3
a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2
6. Dado el siguiente intervalo: 2 2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
Además:
cos sen tg ctg
12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
5; 5 . Calcular:
que:
A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E)
2a 3b 6 3a 2b
Tg Ctg 0
7. Cuál de las siguientes proposiciones son 8 4
verdaderas: a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
13. El valor de la siguiente expresión:
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Es igual a: PROBLEMA DE REPASO
Sen 7 Sen
12 12 1. Simplifique:
7 sec(x 360).cos(x 270)tg(180 x)
Cos Cos E
12 12 cos(270 x).sen(x 306)csc(90 x)
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2 a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
14. Analice la veracidad de las proposiciones 2. Determinar el valor de: Cos1200º
siendo , n Z 3
i. Sen(n ) Sen a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2
ii. Sec(781 Cos ) Sec(Cos )
iii. 1 1 3. Simplificar:
Ctg 3n Ctg
3
x x Tg Tg Ctg Ctg
.
a) FFFF b) FFVF c) FVVV E 2 2
d) FVVF e) VFVF .Ctg
Ctg 3
Tg Tg
.
2 2
15. Si A y B son ángulos complementarios, al a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
simplificar:
4. Si a y b son ángulos complementarios,
Sen (A 2B)Tan (2 A 3 B)
E simplificar la expresión:
Cos (2 A B)Tan (4 A 3 B)
Sen 6a 7b.Tg 13b 14a
Se obtiene: M
Cos 4b 5a.Tg 10a 11b
a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
5. Del gráfico.
16. Si A y B son ángulos complementarios, al y
simplificar:
Sen (A 2B)Tan (2 A 3 B)
E
Cos (2 A B)Tan (4 A 3 B)
Se obtiene: b x
a
a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1
17. Del gráfico, calcule: Tg
C Determinar:
3 Sen a b Sena Senb
K 3
6 Cos a b Cosa Cosb
6
1 1 1 1 1
45º a) 2 b) 3 c) 4 d) 2 e) 3
A B
M
xy
6. Si 2 entonces al simplificar:
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
3sec x.sec y cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)
Se obtiene:
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 13. Simplifique:
sen179 sen173 sen167 sen161
E
3 3 cos109 cos103 cos97 cos91
tg
7. Si se cumple: 2 2
a) 2 b)0 c)-1 d)1 e)-1/2
M 13 sen(2) cos( )
Calcular: 14. Del gráfico, hallar: Tg
IIC C
1
a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e) 13
37º
8. Calcule el valor de: A
D
B
M tg 11 5csc 5 2sec 10 a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
4 6 3
a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3 cot 1,4.
15. De la figura, calcule tg cot , si
y
9. Simplifique:
(a-4;a)
sec(x 360).cos(x 270)tg(180 x)
E
cos(270 x).sen(x 306)csc(90 x)
a) -1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx x
sec x 3 2 a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
10. Si
2
d) -12/35 e) -24/35
17
cos x
P 2 tg 3sen 4cos 4cot 3 3
11 16. Si
3sec x
Calcule: 2 Además
IC y IIC Halle el valor de:
a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14 E 10 sec(180º ) 5sen( 270º)
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
11. Calcule el valor de:
cos(20) cos(160) 17. Si a y c son suplementarios, además a y b son
Q
cot(35).cot(55).sen110 complementarios. Reducir:
a)0 b)-1 c)1 d)-2 e) 2 4 cos(2a 3c)Csc(4b 3c) Sen(a b c)
M
tg (a b c) Sen(a b c)
12. Si se cumple que: a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
cos300° = n.tg225°
18. Calcular el valor de
2 8 143
sec m.sec Tg
5 5 6
E Cos(2k 1) ; k Z
109 253 2
Calcule: m + n Sen Sec
3 6
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2 a) 2 b) 2 c) 2 3 d) 2 3 e) 2 3
7 7 21 21 15
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo