复习资料

1. 线性代数复习
一. 计算行列式.
∑ ( −1)
τ ( j1 j2
定义. 设 A = (aij ) n×n 是 n 阶方阵, 则 A =
jn )
a1 j1 a2 j2 anjn .
j1 j2 jn是一个n级排列
定理. 设 A = (aij ) n×n 是 n 阶方阵, 则
A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain , ( i = 1, 2, , n ) (行列式按第 i 行展开.)
A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj , ( j = 1, 2, , n ) (行列式按第 j 列展开.)
a11
性质 1.
* = a11a22 ann . (上三角行列式)
0 ann
a11
0
= a11a22 ann . (下三角行列式)
* ann
a11 a1k c11 c1n
ak 1 akk ck 1 ckn a11 … a1k b11 … b1n An C n× m
b11 b1n = ⋅ . 即
0 Bm
=| A | ⋅ | B | .
ak 1 akk bn1 bnn
0
bn1 bnn
a11 a1k
0 a11 … a1k b11 … b1n
ak 1 akk An 0
= ⋅ . 即 =| A | ⋅ | B | .
d11 d1k b11 b1n Dm×n Bm
ak 1 akk bn1 bnn
d n1 d nk bn1 bn1
性质 2. 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
ri ↔ rj
性质 3. 若 D ⎯⎯⎯⎯ D1 , 则 D1 = − D .
→
(或ci ↔ c j )
性质 4. 行列式的第 i 行(或列)乘以 k , 记为 kri (或 kci ).
kri
设 D ⎯⎯⎯ D1 , 则 D1 = kD .
→
(或kci )
ri + krj
性质 5. 若 D ⎯⎯⎯⎯ D1 , 则 D1 = D .
→
(或ci + kc j )
1

2. a11 a1i + b1i a1n a11 a1i a1n a11 b1i a1n
a21 a2i + b2i a2 n a21 a2 i a2 n a21 b2i a2 n
性质 6. = + .
an1 ani + bni ann an1 ani ann an1 bni ann
性质 7. A
T
= A
性质 8 λA = λn A , 其中 n 为矩阵 A 的阶.
性质 9. 若 A, B 都是 n 阶矩阵, 则 |AB|=|A||B|.
性质 10. 若 A 可逆, 则 | A−1 |=| A |−1 .
a b b b
b a b b
例 1. 计算 D = .
b b a b
b b b a
a + 3b b b b a + 3b b b b
c1 + c2 r2 − r1
D c + c a + 3b a b b r −r 0 a −b 0 0
解: 1 3 3 1
c1 + c4 a + 3b b a b r4 − r1 0 0 a−b 0
a + 3b b b a 0 0 0 a −b
= (a + 3b)(a − b)3 . □
2 3 0 0 0
1 2 0 0 0
例 2. 求 D = 4 5 2 3 0 .
6 7 1 2 3
8 9 0 1 2
2 3 0 2 3 0 0 −1 −6
2 3 r1 − 2r2 按第一列展开
解: D = ⋅ 1 2 3 = (4 − 3) ⋅ 1 2 3 1 2 3 = −4 . □
1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
1 0 0 x
0 2 x 0
例 3. 求方程 D = = 0 的根.
0 x 3 0
x 0 0 4
1 0 0 x
2 x 0
r4 − xr1 0 2 x 0 按第一列展开 按第三列展开
解: D x 3 0 (4 − x 2 )(6 − x 2 ) .
0 x 3 0
0 0 4 − x2
0 0 0 4 − x2
所以 D 的根是 ±2 , ± 3 . □
2

3. 伴随矩阵的性质.
1. 设 A 为 n 阶方阵,
⎛ A11 A21 An1 ⎞
⎜ ⎟
∗ ⎜A A22 An 2 ⎟
A = ⎜ 12 ⎟ 称为矩阵 A 的伴随矩阵,
⎜ ⎟
⎜A Ann ⎟
⎝ 1n A2 n ⎠
其中 Aij 是 | A | 的 (i, j ) 元的代数余子式. 则 AA = A A =| A | E .
* *
1 * −1
2. | A |≠ 0 ⇔ A 可逆, 且 A = A , 其中 A* 为 A 的伴随矩阵.
| A|
* −1 −1 *
3. 设 A 可逆. 则 A 可逆, 且 ( A ) = ( A ) , 其中 A 为伴随矩阵.
* *
4. 若 | A |= 0 , 则 | A |= 0 , 其中 A 为 A 的伴随矩阵.
* *
n −1
5. | A |=| A | , 其中 n 为矩阵 A 的阶数.
*
n −1 *
6. ( kA) = k A .
*
7. 设 A 为 n 阶矩阵 (n ≥ 2) , A 为 A 的伴随矩阵, 则
*
⎧ n, 若R ( A) = n,
⎪
R ( A ) = ⎨1, 若R ( A) = n − 1,
*
⎪ 0, 若R ( A) ≤ n − 2.
⎩
1 −1
例 4. 设 A 为 3 阶矩阵. | A |= . 求 | ( 2 A) − 5 A | .
*
2
−1 1 −1
解 | ( 2 A) A − 5 | A | A−1 =| −2 A−1 |= (−2)3 | A−1 |= −16 .
− 5 A* |= □
2
2x x 1 2
1 x 1 −1
例 5. 计算 f ( x) =
4 3
中 x 与 x 的系数.
3 2 x 1
1 1 1 x
x 1 −1 1 1 −1 1 x −1 1 x 1
按第1行展开
解: f ( x ) 2x 2 x 1 −x3 x 1 +3 2 1 −2 3 2 x
1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 1
1 x −1
行列式 3 2 1 中只有两个 x , 而行列式是不同行不同列的元素的乘积的代数和, 所以
1 1 x
1 x −1 1 x 1
3 2 1 展开后不出现 x 和 x . 类似的, 3 2 x 展开后也不出现 x 4 和 x 3 .
4 3
1 1 x 1 1 1
x 1 −1 1 1 −1
3 2
2 x 1 展开后 x 的系数是 1 , x 的系数是 0 . 3 x 1 展开后 x 2 的系数是 1 .
1 1 x 1 1 x
所以 f ( x) = 2 x( x + *x + *) − x( x + *x + *) + = 2 x 4 − x3 +
3 2
.
3

4. 所以 x 的系数是 2, x 的系数是 −1.
4 3
□
a11 … a1n
性质. 设 中 aij 的代数余子式是 Aij .
an1 ann
a11 a1n
ai −1,1 ai −1,n
则 b1 bn = b1 Ai1 + b2 Ai 2 + + bn Ain ,
ai +1,1 ai +1,n
an1 ann
a11 a1, j −1 b1 a1, j +1 a1n
= b1 A1 j + b2 A2 j + + bn Anj
an1 an , j −1 bn an , j +1 ann
2 3 5
例 6. 设 D = 3 2 7 , D 的 (i, j ) 元的代数余子式记作 Aij .
4 5 6
求 2 A21 + 3 A22 + 5 A23 和 3 A13 + 2 A23 + 5 A33 .
2 3 5 2 3 3
解. 2 A21 + 3 A22 + 5 A23 = 2 3 5 = 0 , 3 A13 + 2 A23 + 5 A33 = 3 2 2 = 0 . □
4 5 6 4 5 5
性质. 设 A = (α1 , , βi + γ i , ,α n ) n×n , 则 | A |= | α1 , , βi , , α n | + | α1 , ,γ i , ,α n | .
例 7. 设 α 1 , α 2 , α 3 , β1 , β 2 均为 4 维列向量. | α1 ,α 2 ,α 3 , β1 |= m , | α1 ,α 2 , β 2 ,α 3 |= n .
求 | α 3 , α 2 , α 1 , β1 + β 2 | .
| α 3 ,α 2 ,α1 , β1 + β 2 |=| α 3 ,α 2 ,α1 , β1 | + | α 3 ,α 2 ,α 1 , β 2 |
解: . □
= − | α 1 ,α 2 ,α 3 , β1 | + | α 1 ,α 2 , β 2 ,α 3 |= −m + n
性质. (1)设 n 阶矩阵 A 的所有特征值为 λ1 , λ2 , , λn , 则 | A |= λ1λ2 λn .
(2)设 λ 是 n 阶矩阵 A 的特征值, ϕ(x)= a0 + a1 x + + am x 则 m
(a)ϕ(λ)是矩阵多项式 ϕ(A)的特征值
(b)当 A 可逆时, 则 λ −1 是 A−1 的特征值.
(3)若 λ1 , , λn 是 n 阶矩阵 A 的所有特征值, ϕ(x)是一个一元多项式, 则 ϕ (λ1 ), ,ϕ (λn )
是 ϕ ( A) 的所有特征值, 所以|ϕ ( A) |= ϕ (λ1 ) ϕ (λn ) .
例 8. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, −1, 2 . 求 | A + 3 A − 2 E | . *
解: 设 A* + 3 A − 2 E 有 3 个特征值 λ1 , λ2 , λ3 , 则 | A* + 3 A − 2 E |= λ1λ2 λ3 .
所以只要求出 A* + 3 A − 2 E 的所有特征值.
4

5. A*
A−1 = , 所以 A* =| A | A−1 = 1 ⋅ (−1) ⋅ 2 A−1 = −2 A−1 .
| A|
令 ϕ ( x) = −2 x −1 + 3 x − 2 , 则 ϕ ( A) = −2 A−1 + 3 A − 2 = A* + 3 A − 2 .
虽然 ϕ ( A) 不是矩阵多项式, 但是它的性质和矩阵多项式的性质是类似的.
所以 ϕ ( A) 的特征值分别是 ϕ (1) = −1, ϕ (−1) = −3, ϕ (2) = 3 .
所以 | A* + 3 A − 2 E |= (−1) ⋅ (−3) ⋅ 3 = 9 . □
二. 设矩阵 A ⎯⎯⎯⎯ 矩阵 F . 则存在可逆矩阵 P , 使 PA = F . 如何求 P .
→ 行初等变换
定理. (1) A 行等价于 B ⇔ 存在可逆矩阵 P , 使 PA = B .
(2) A 列等价于 B ⇔ 存在可逆矩阵 Q , 使 PAQ = B .
(3) A 等价于 B ⇔ 存在可逆矩阵 P , Q 使 PAQ = B .
引理. 设 ( A, E ) ⎯⎯ ⎯⎯→( F , P ) , 则 P 可逆, 且 PA = F .
行初等变换
⎛ 2 −1 −1⎞
⎜ ⎟
例 1. 设 A = ⎜ 1 1 − 2 ⎟ 的最简形矩阵为 F . 求 F , 并求一个可逆矩阵 P , 使 PA = F .
⎜4 − 6 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛1 0 −1 − 3 3 1 ⎞ ⎛ 1 0 − 1⎞ ⎛− 3 3 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
解: ( A, E ) ⎯⎯ → 0 1 − 1 3 − 2 − 1 .所以 F = 0 1 − 1 , P = 3 − 2 − 1 .
⎯ ⎜
行变换
⎟
⎜ 0 0 0 10 − 8 − 3 ⎟ ⎜
⎜0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 10 − 8 − 3 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
三. 求解方程组.
定义. 若在矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D 非零, 且所有的 r+1 阶子式(如果存在的话)都为零,
则称 D 为矩阵 A 的一个最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵 A 的秩, 记作 R(A). 规定零矩阵的
秩为零.
矩阵 A 的秩 R(A)就是 A 中非零子式的最高阶数.
矩阵秩的基本性质
1. 0 ≤ R ( Am× n ) ≤ min{m, n} . 指 m, n 中最小的数.
2. R ( A ) = R ( A) .
T
3. 若 A ∼ B , 则 R ( A) = R( B) .
4. 若 P , Q 可逆, 则 R ( PAQ) = R ( A) . 所以若数 λ ≠ 0 , 则 R (λA) = R ( A) .
5. A 可逆 ⇔ A ≠ 0 ⇔ R( A) = n .
6. max{R ( A), R( B )} ≤ R ( A, B) ≤ R ( A) + R ( B) .
当 B = β 为列向量时, 有 R ( A) ≤ R ( A, β ) ≤ R ( A) + 1 .
7. R ( A + B) ≤ R( A) + R( B) .
8. R ( AB ) ≤ min{R ( A), R ( B )} .
9. 若 Am× n Bn×t = 0 , 则 R ( A) + R( B) ≤ n .
(一). 线性方程组 Am×nXn×1=βm×1 的求解.
定理. 设 A 是 m 行 n 列的矩阵. 则
(1) AX = β 无解 ⇔ R ( A) < R ( A, β ) ,
(2) AX = β 有唯一解 ⇔ R( A) = R( A, β ) = n ,
(3) AX = β 有无穷解 ⇔ R ( A) = R ( A, β ) < n .
1.不含参数的线性方程组的求解.
( A, β ) ⎯行初等变换→ 最简形矩阵 ( A1 , β1 ) (或阶梯形矩阵).
⎯ ⎯⎯
AX = β 与 AX 1 = β1 同解.
2.含参数的线性方程组的求解.
5

6. (1) ( A, β ) ⎯行初等变换→ 阶梯形矩阵 ( A1 , β1 ) (因为含参数的矩阵不太好化简成简化阶梯型矩
⎯ ⎯⎯
阵, 一般只能把它化简成阶梯形矩阵.)
(2) 若 A 是含参数的矩阵, 且 A 是 n 阶方阵, 则用克拉默法则求解.
即| An× n |≠ 0 ⇒ AX = β 有唯一解.
然后对 | An× n |= 0 时讨论方程组的求解.
克拉默法则 若线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
⎪a x + a x + + a2 n xn = b2
⎪ 21 1 22 2
⎨ (1)
⎪
⎪an1 x1 + an 2 x2 +
⎩ + ann xn = bn
a11 … a1n
D1 D Dn
的系数行列式 D = ≠ 0 , 则(1)有唯一解: x1 = , x2 = 2 , , xn = ,
D D D
an1 ann
a11 a1, j −1 b1 a1, j +1 a1n
其中 D j = .
an1 an , j −1 bn an , j +1 ann
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
⎪ 3x + 2 x + x + x − 3x = a
⎪ 1 2 3 4 5
例 1. (2005.1(12 分)) a, b 取何值时, 线性方程组 ⎨ 无解, 有唯
⎪ x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 3
⎪5 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = b
⎩
一解或有无穷解. 有解时求它的解.
⎛1 1 1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1 1 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 3 2 1 1 − 3 a ⎟ 行变换 ⎜ 0 1 2 2 6 3 − a⎟
解: ( A, β ) = ⎜ ⎯⎯⎯→⎜
0 1 2 2 6 3⎟ a ⎟
.
0 0 0 0 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜5 4 3 3 −1 b⎟ ⎜0 0 0 0 b − 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
(1) 若 a ≠ 0 或 b ≠ 2 时 R ( A) = 2 < R ( A, β ) , 无解.
(2) 若 a = 0 , b = 2 时 R ( A) = R ( A, β ) = 2 < 5 , 无穷解.
⎛1 1 1 1 1 1⎞ ⎛1 0 −1 −1 − 5 − 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 2 2 6 3 ⎟ r1 − r2 ⎜ 0 1 2 2 6 3 ⎟
( A, β ) ⎯⎯⎯→⎜
行变换
⎯⎯ ⎯→⎜
0 0 0 0 0 0⎟ 0 ⎟
.
0 0 0 0 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠
⎧ x1 = x3 + x4 + 5 x5 − 2
⎨ 令 x3 = k1 , x4 = k2 , x5 = k3 .
⎩ x2 = −2 x3 − 2 x4 − 6 x5 + 3
⎛ x1 ⎞ ⎛ k1 + k2 + 5k3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ − 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ ⎜ − 2k1 − 2k 2 − 6k3 + 3 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ − 6⎟ ⎜ 3 ⎟
则 3⎜x ⎟ =⎜ k1 ⎟ = k ⎜ 1 ⎟ + k ⎜ 0 ⎟ + k ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟. □
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x4 ⎟ ⎜ k2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ k3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6

7. ⎧ λx1 + x2 + x3 = 4
⎪
例 2. (2007.9.(15 分)) 讨论 λ , μ 取何值时, ⎨ x1 + μx2 + x3 = 3 有解, 求其解.
⎪ x + 2μx + x = 4
⎩ 1 2 3
λ 1 1 λ 1 1
r3 − r2
解: 1 μ 1 1 μ 1 = −(λ − 1) μ .
1 2μ 1 0 μ 0
(1) 若 (λ − 1) μ ≠ 0 即 λ ≠ 1 , μ ≠ 0 时, 方程有唯一解.
−1 + 2 μ 1 −4μ + 2λμ + 1
解为 x1 = , x2 = , x3 = .
(λ − 1) μ μ μ (λ − 1)
⎛ λ 1 1 4⎞ ⎛ λ 1 1 4⎞ ⎛ λ 1 1 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r3 − r2 ⎜ ⎟
(2) 若 μ = 0 时, ( A, β ) = ⎜ 1 μ 1 3 ⎟ = ⎜ 1 0 1 3 ⎟ ⎯⎯ ⎯→⎜ 1 0 1 3 ⎟ .
⎜ 1 2μ 1 4 ⎟ ⎜ 1 0 1 4 ⎟ ⎜ 0 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 1 1 4 ⎞ ⎛1 1 1 4⎞
⎜ ⎟ r3 − 2r2 ⎜ ⎟
(3) 若 λ = 1 时, ( A, β ) = 1 μ 1 3 ⎯⎯⎯⎯ r2 −r1 → ⎜ 0 μ − 1 0 −1 ⎟
⎜ ⎟
⎜1 2μ 1 4 ⎟ ⎜ −1 −1 −2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛1 1 1 4⎞ ⎛1 1 1 4 ⎞
r3 + r1 ⎜ ⎟ r2 ↔r3 ⎜ ⎟
⎯⎯⎯ ⎜ 0 μ − 1 0 −1⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0
→ 2 ⎟.
r3 −( μ −1)r2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 1 0 2⎠ ⎝ 0 0 0 −2 μ + 1⎠
1
若 μ ≠ 时, 无解.
2
⎛1 1 1 4⎞ ⎛1 0 1 2⎞
1 ⎜ ⎟ r1 −r2 ⎜ ⎟
若μ = 时, ( A, β ) → ⎜ 0 1 0 2 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 2 ⎟
→
2 ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ x = − x3 + 2
R ( A) = R( A, β ) = 2 < 3 , 无穷解. ⎨ 1 令 x3 = k .
⎩ x2 = 2
⎛ x1 ⎞ ⎛ − k + 2 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
则 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ = k ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ , k 为任意数. □
⎜x ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0⎟
⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛a⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
例 3. (109 页, 习题 28)设有向量组 A : α1 = ⎜ 2 ⎟ ,α 2 = ⎜ 1 ⎟ ,α 3 = ⎜ 1 ⎟ 及向量 β = ⎜ b ⎟ . 问
⎜10 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜4⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a, b 为何值时
(1) 向量 β 不能由向量组 A 线性表示;
(2) 向量 β 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一;
(3) 向量 β 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.
解. 记 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ) .
AX = β 无解 ⇔ β 不能由向量组 A 线性表示.
AX = β 有唯一解 ⇔ β 可由向量组 A 唯一的线性表示.
AX = β 有无穷解 ⇔ β 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一.
7

8. 若 | A |≠ 0 , 即 a ≠ −4 , 则 AX = β 有唯一解, 所以 β 可由向量组 A 唯一的线性表示.
⎛ 2 1 0 −1 − b ⎞
⎜ ⎟
若 a = −4 , ( A, β ) ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 0 1 1 + 2b ⎟ .
行初等变换
⎜ 0 0 0 −3b ⎟
⎝ ⎠
所以若 b ≠ 0 , 则 AX = β 无解, 所以 β 不能由向量组 A 线性表示.
⎛2 1 0 −1⎞
⎜ ⎟
若 b = 0 , 则 ( A, β ) ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 0
行初等变换
1 1 ⎟.
⎜0 0 0 0⎟
⎝ ⎠
所以 R ( A) = R ( A, β ) = 2 < 3 , 所以 AX = β 有无穷解. 所以 β 能由向量组 A 线性表示, 且表
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛ c ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
示式不唯一, 此时 AX = β 的通解为 X = c ⎜ −2 ⎟ + ⎜ −1⎟ = ⎜ −(2c + 1) ⎟ , c ∈ . 所以 β 由向量
⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ c ⎞
⎜ ⎟
组 A 线性表示的表示式是 β = AX = (α1 ,α 2 ,α 3 ) ⎜ −(2c + 1) ⎟ = cα1 − (2c + 1)α 2 + α 3 , c ∈ . □
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
性质. (1) Am×n X = 0 的解集的秩为 n − R ( A) .
若 Am×n X = β ( β ≠ 0 )有解. 则 Am×n X = β 的解集的秩为 n − R ( A) + 1 .
(2) 设 η 为 AX = β ( β ≠ 0) 的解, ζ 1, ζ 2 , , ζ n − r 是 AX = 0 的基础解系. 则 AX = 0 的
*
通解为 X = k1ζ 1 +k2ζ 2 + +kn − rζ n − r , 其中 k1 , k2 , ,kn − r 为任意实数. AX = β 的通解为
X = η * + k1ζ 1 +k2ζ 2 + +kn − rζ n − r , 其中 k1 , k2 , ,kn − r 为任意实数.
⎧ x1 − x2 − x3 + x4 = 0
⎪
例 4. 求齐次线性方程组 ⎨ x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 0 的基础解系与通解.
⎪ x − x − 2 x + 3x = 0
⎩ 1 2 3 4
⎛ 1 −1 0 −1 ⎞
行初等变换 ⎜ ⎟ ⎧ x1 = x2 + x4
解. A ⎯⎯ ⎯ ⎯ → ⎜ 0 0 1 −2 ⎟ , ⎨
⎯ ,
⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎩ x3 = 2 x4
⎝ ⎠
⎛ x2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
分别令 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 和 ⎜ ⎟ . 求得 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 和 ⎜ ⎟ .
⎝ x4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 0
令 ζ 1 = ⎜ ⎟ , ζ 2 = ⎜ ⎟ . 则 ζ 1 , ζ 2 为基础解系.
⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠ ⎝1⎠
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x2
所以通解为 ⎜ ⎟ = c1ζ 1 + c2ζ 2 (c1 , c2 ∈ ). □
⎜ x3 ⎟
⎜ ⎟
⎝ x4 ⎠
例 5. (109 页, 习题 27)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 , η1 ,η2 ,η3 是它的三个
解向量, 且
8

9. ⎛ 2⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 2
η1 = ⎜ ⎟ , η2 + η3 = ⎜ ⎟ .
⎜ 4⎟ ⎜ 3⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝5⎠ ⎝ 4⎠
求该方程组的通解.
解: 设 AX = β ( β ≠ 0) . 则 AX = 0 的解空间的维数 = n − R ( A) = 4 − 3 = 1 . 2η1 − (η 2 + η3 ) 是
⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
AX = 0 的基础解系. 所以 AX = β 的通解是 X = η1 + k (2η1 − (η2 + η3 )) = ⎜ 3 ⎟ + k ⎜ 4 ⎟ , 其中
⎜ 4⎟ ⎜5⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝5⎠ ⎝6⎠
k 是任何实数. □
(二). 求解矩阵方程 Am×nXn×l=Bm×l.
定理. AX = B 有解 ⇔ R ( A) = R( A, B) .
, X l ) , Bm×l = ( β1 , , β l )
设 X n×l = ( X 1 ,
则 AX = B ⇔ AX i = β i , 1 ≤ i ≤ l .
(所以矩阵方程的求解实际上是若干个线性方程组的求解).
( A, B) ⎯行初等变换→ 最简形矩阵 ( A1 , B1 ) ,
⎯ ⎯⎯
则 AX = B 与 A1 X = B1 同解.
−1 −1
特别的, 若 A 可逆, 则 X = A B , ( A, B ) ⎯⎯ ⎯⎯→ 最简形矩阵 ( E , A B ) .
行初等变换
−1 −1
若 A 可逆, 且 B = E . 则 X = A , ( A, E ) ⎯⎯ ⎯⎯→ 最简形矩阵 ( E , A ) .
行初等变换
⎛1 3⎞ ⎛1 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
例 6. (2006.1.(12 分)) 已知 ⎜ 2 4 ⎟ X = ⎜ a 1 ⎟ . 求 a , b 使得 X 存在, 并求矩阵 X .
⎜1 1⎟ ⎜0 b⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 3 1 2⎞ ⎛1 3 12 ⎞
⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟
解. ( A, B ) = ⎜ 2 4 a 1 ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 −2 a−2 −3 ⎟.
⎜1 1 0 b⎟ ⎜0 0 1 − a b + 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
若 a ≠ 1 或 b ≠ −1 时, 则 R ( A) = 2 < 3 = R ( A, B ) .
若 a = 1 且 b = −1 时, 则 X 存在.
⎛1 3 1 2 ⎞ ⎛1 0 −
1
− ⎞ 5
− 1 r2 ⎜ ⎟
2 2
⎜ ⎟
( A, B ) → ⎜ 0 −2 −1 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1
2
→ 1
2 ⎟
3
.
⎜ 0 0 0 0 ⎟ r1 − 3r2 ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝0 0 0 0⎠
⎛ −1 − ⎞5
⎛ 1 5⎞
⎛ X ⎞ ⎛E⎞ ⎜1
2
⎟
2 ⎜− − ⎟
所以 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ X = ⎜ . 所以 X = ⎜ 2 2⎟.
2 ⎟
3
□
⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ ⎜
2
⎟ ⎜ 1
⎜
3 ⎟
⎟
⎝0 0⎠ ⎝ 2 2 ⎠
⎛1 0 0⎞
例 7.(56 页, 习题 18)设 A = diag(1,−2,1) , 其中 diag(1, −2,1) = ⎜ 0 −2 0 ⎟ . A BA = 2 BA − 8 E .
*
⎜ ⎟
⎜0 1⎟
⎝ 0 ⎠
求B.
−1
解 ( A − 2 E ) BA = −8 E ⇒ A( A − 2 E ) BAA
* *
= −8 AEA−1 = −8E .
9

10. ∴ (| A | E − 2 A) B = −8E
⎛− 4
⎜ 0 ⎞ ⎛⎛ − 2
⎟ ⎜⎜ 0 ⎞ ⎛1
⎟ ⎜ 0 ⎞⎞
⎟⎟
∴⎜ 2 ⎟B = ⎜ ⎜ −2 ⎟ − 2⎜ − 2 ⎟ ⎟ B = −8E .
⎜⎜
⎜
⎝ 0 − 4⎟
⎠ ⎝⎝ 0 − 2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0 1⎟ ⎟
⎠⎠
⎛ 1 ⎞
⎜−
⎜ 4 0 ⎟ ⎛2
⎟ ⎜ 0⎞⎟
∴ B = −8⎜ ⎟=⎜
1
−4 ⎟. □
⎜ 2 ⎟ ⎜
⎜ 1⎟ ⎝ 0 2⎟
⎠
⎜ 0 − ⎟
⎝ 4⎠
−1 −1
⎛A 0⎞ ⎛ A−1 0 ⎞ ⎛0 A⎞ ⎛ 0 B −1 ⎞
性质. 设 A, B 可逆, 则 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟, ⎜
⎜B ⎟ = ⎜ −1
⎟ ⎜A
⎟.
⎝ 0 B⎠ ⎝ 0 B −1 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0 ⎟ ⎠
⎛0 0 5 2⎞ ⎛1 0 0 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 2 1⎟ ⎜0 1 1 0⎟
例 8. 设 A = ⎜ , B=⎜ , AX = B − E . 求 X .
8 3 0 0⎟ 0 1 1 0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜5 ⎟ ⎜1 1⎟
⎝ 2 0 0⎠ ⎝ 0 0 ⎠
⎛ 2 − 3⎞ ⎛ 0 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−1 −1 ⎜ 0 −5 8 ⎟ ⎜ 0 1 0⎟
解: X = A ( B − E ) , A = ⎜ ⎟ , B − E = ⎜0 1 ⎟.
1 −2
⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟
⎜− 2 5 ⎟ ⎜1 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛− 3 2
⎜ 0 ⎞
⎟
⎜ 8 −5 ⎟
所以 X = ⎜ .
−2 1 ⎟
⎜ 0 5 − 2⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
四. 讨论向量组的线性相关性.
定理. 设 A = (α1 , ,α n ) m×n , 则
α1 , ,α n 线性相关 ⇔ x1α1 + + xmα m = 0有非零解 ⇔ AX = 0 有非零解 ⇔ R ( A ) < n .
α1 , ,α n 线性无关 ⇔ x1α1 + + xmα m = 0只有零解 ⇔ AX = 0 只有零解 ⇔ R ( A ) = n .
特别的, 设 An× n = (α1 , ,α n ) (按列分块).
则向量组 α1 , , α n 线性相关 ⇔ AX = 0 有非零解 ⇔ R ( A) < n ⇔ | A |= 0 ⇔ A 不可逆
α1 , , α n 线性无关 ⇔ AX = 0 只有零解 ⇔ R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 ⇔ A 可逆.
例 1. 已知向量组 α1 , α 2 , , α m ( m ≥ 2 )线性无关, 设 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , ,
β m = α m + α1 . 试讨论向量组 β1 , β 2 , β m 的线性相关性.
10

11. ⎛1 0 0 1⎞
⎜ ⎟
⎜1 1 0 0⎟
⎜0 1 0 0⎟
解. ( β1 , β 2 , β m ) = (α1 , α 2 , , α m ) K , 其中 K = ⎜ ⎟.
⎜ ⎟
⎜0 0 1 0⎟
⎜
⎜0 0 ⎟
⎝ 1 1⎟
⎠
记 B = ( β1 , β 2 , β m ) , A = (α1 , α 2 , , α m ) . 则 B = AK .
若 | K |≠ 0 , 则 R( B) = R( A) = m , 所以 β1 , β 2 , β m 线性无关.
若 | K |= 0 , 则 R ( B) ≤ R( K ) < m . 所以 β1 , β 2 , β m 线性相关.
所以 β1 , β 2 , β m 线性无关 ⇔ | K |≠ 0 .
1
0
1 1
0
按第一行展开 1 ⎧ 2 m是奇数
|K| + (−1) m +1 = 1 + (−1) m +1 = ⎨ .
1 ⎩0 m是偶数
0 1 1
0 1
所以 β1 , β 2 , β m 线性无关 ⇔ | K |≠ 0 ⇔ m 是奇数. □
例 2.(2006.1(10 分))设 α1 , α 2 , , α m 为齐次线性方程组 CX = 0 的基础解系.
⎧ β1 = sα1 + tα 2
⎪ β = sα + tα
⎪ 2
, s, t 为实常数. 问 s, t 满足什么关系时, β1 , β 2 , , β m 也是 CX = 0 的基
2 3
⎨
⎪
⎪ β m = sα m + tα1
⎩
础解系.
⎛s 0 0 t⎞
⎜ ⎟
⎜t s 0 0⎟
解: ( β1 , β 2 , , β m ) = (α1 , α 2 , , α m ) K , 其中 K = ⎜ 0 t 0 0⎟ .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 t s⎟
⎝ ⎠
因为 α1 , α 2 , , α m 为齐次线性方程组 CX = 0 的基础解系, 所以 CX = 0 的解集的秩是 m .
所以解集中的任何 m 个线性无关的向量都是方程组的基础解系. 显然每个 β i 都是方程组的
解.
所以 β1 , β 2 , , β m 是 CX = 0 的基础解系 ⇔ β1 , β 2 , , β m 线性无关
⇔ R ( β1 , β 2 , , β m ) = m .
若 | K |≠ 0 , 则 K 可逆, 所以
R ( β1 , β 2 , , β m ) = R ((α1 , α 2 , , α m ) K ) = R(α1 , α 2 , , α m ) = m .
若 | K |= 0 , 则 R ( β1 , β 2 , , β m ) ≤ R ( K ) < m .
所以 β1 , β 2 , , β m 是 CX = 0 的基础解系 ⇔ | K |≠ 0 .
11

12. t s
s
0 t
0
按第一行展开 t s
|K| s + (−1) m +1 t = s m + (−1) m +1 t m .
s
0 t s
0 t
m −1 m −1
所以 β1 , β 2 , , β s 是 CX = 0 的基础解系 ⇔ s + (−1) m +1 m
m
t ≠ 0. □
例 3.( 108 页, 习题 17) 设向量组 B : β1 , , β r 能由向量组 A : α1 , , α s 线性表示为
( β1 , , β r ) = (α1 , , α s ) K , 其中 K 为 s × r 矩阵, 且 A 组线性无关 证明 B 组线性无
关的充要条件是 R ( K ) = r .
证: B 组线性无关 ⇔ ( β1 , , β r ) X = 0 只有零解 ⇔ (α1 , , α s ) KX = 0 只有零解
因为 α1 , , α s 线性无关, 所以 (α1 , , α s ) KX = 0 与 KX = 0 同解.
(显然若 KX 0 = 0 , 则 (α1 , , α s ) KX 0 = 0 . 反之若 (α1 , , α s ) KX 0 = 0 , 则由于
α1 , , α s 线性无关可知 KX 0 = 0 . 所以 (α1 , , α s ) KX = 0 与 KX = 0 同解.)
所以 (α1 , , α s ) KX = 0 只有零解 ⇔ KX = 0 只有零解 ⇔ R( K ) = r .
所以 B 组线性无关 ⇔ R ( K ) = r . □
五. 求向量组的最大无关组.
定义. 设有向量组 A , 若(1) {α1 , ,α r } ⊆ A
线性无关
(2) 向量组 A 中任意 r + 1 个向量都线性相关.
则称向量组 α1 , , α r 是向量组 A 的一个最大线性无关组(简称最大无关组), r 称为向量组
A 的秩, 记为 RA . 规定只含零向量的向量组的秩为 0 .
定理(最大无关组的等价定义). 设向量组 {α1 , , α r } ⊆ 向量组A
(1) α1 , ,α r 线性无关.
(2) 任意 β ∈ A , β 可由 α1 , ,α r 线性表示.
注意:一般来说, 最大无关组不唯一. 实际上, 设向量组 A 的秩为 r , 则向量组 A 的任意 r 个
线性无关的向量都是向量组 A 的最大无关组.
定理. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.
求 m 维列向量组 α1 ,…, αn 的最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线
性表示.
令 Am× n = (α1 , ,α n ) . A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 最简形矩阵 B = ( β1 , , β n ) , 则
有限次行初等变换
→
R ( A) = 矩阵 B 中非零行的个数.
设 i1 , , ir 分别是矩阵 B 的每一个非零行的第一个非零元(即首元素)所在的列.
则 β i , , β i 是β1 , , β n的最大无关组 , 所以 α i1 , ,α i r 是 α1 , , α n 的最大无关组.
1 r
且 α j = k1α i1 + + krα ir ⇔ β j = k1β i1 + + kr β ir .
⎛2 −1 −1 1 2⎞
⎜ ⎟
⎜1 1 − 2 1 4⎟
例 1. 设 A = ⎜ . 求矩阵 A 的秩和 A 的列向量组的一个最大无关组,
4 −6 2 −2 4⎟
⎜ ⎟
⎜3 6 − 9 7 9⎟
⎝ ⎠
并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
12

13. ⎛1 0 −1 0 4 ⎞
⎜ ⎟
0 1 −1 0 3 ⎟
解. A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 ) ⎯⎯⎯⎯→ ⎜
行初等变换
= B = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) .
⎜0 0 0 1 −3 ⎟
⎜ ⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
R ( A) = R ( B ) = 3 . β1 , β 2 , β 4 是 β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 的 最 大 无 关 组 . 所 以 α1 , α 2 , α 4 是
α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 的最大无关组.
显然 β 3 = − β1 − β 2 , β 5 = 4β1 + 3β 2 − 3β 4 .
所以 α 3 = −α1 − α 2 , α 5 = 4α1 + 3α 2 − 3α 4 . □
六. 矩阵的对角化.
1. 讨论一般矩阵的对角化问题.
性质. 设 λ1 , , λn 是 n 阶矩阵 A 的所有特征值. 则
(1) λ1 + λ2 + + λn = a11 + a22 + + ann .
(2) λ1λ2 λn =| A | .
矩阵可对角化的判别准则.
λ0 作为 A − λ E 的根出现的重数, 称为 λ0 的代数重数.
例: 若 A − λ E = (1 − λ ) 2 (2 − λ ) , 则 1 的代数重数是 2 , 2 的代数重数是 1 .
设 λ0 是矩阵 A 的特征值, 则 ( A − λ0 E ) X = 0 的解空间的维数称为 λ0 的几何重数.
定理 1. 设 λ1 , , λs 是 n 阶矩阵 A 的全部不同的特征值, ( A − λi E ) X = 0 的解集的秩为
ri = n − R( A − λi E ) . 则 A 可对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量 ⇔ n = r1 + + rs
⇔ λi 的几何重数= λi 的代数重数, (1 ≤ i ≤ s ) .
定理 2. 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化.
⎛0 0 1⎞
⎜ ⎟
例 1. 设 A = ⎜ 1 1 x ⎟ . 问 x 为何值时, A 可对角化.
⎜1 0 0⎟
⎝ ⎠
解: | A − λ E |= −(λ − 1) (λ + 1) . 所以 A 的所有不同特征值为 λ1 = −1 , λ2 = 1 .
2
根据我们上面这个定理我们知道矩阵 A 可对角化当前仅当它的所有的不同特征值的几何重
数加起来等于矩阵 A 的阶数.
所以矩阵 A 可对角化 ⇔ 3 = (3 − R ( A − λ1 E )) + (3 − R ( A − λ2 E ))
⇔ R( A − λ1 E ) + R( A − λ2 E ) = 3 .
⎛1 0 1 ⎞ ⎛1 0 1 ⎞
⎜ ⎟ r2 − r1 ⎜ ⎟
A − λ1 E = ⎜1 2 x ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 2
→ x − 1⎟ . 所以 R ( A − λ1 E ) =2,
⎜1 0 1 ⎟ r3 − r1 ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1 0 1 ⎞ ⎛ −1 0 1 ⎞
⎜ ⎟ r3 − r1 ⎜ ⎟
A − λ2 E = ⎜ 1 0 x ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 → 0 x + 1⎟ .
⎜ 1 0 −1⎟ r2 + r1 ⎜ 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
∴ A 可对角化 ⇔ R ( A − λ1 E ) + R ( A − λ2 E ) = 3 ⇔ R( A − λ2 E ) = 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 . □
例 2.(2007.1)(10 分) 设 P[ x]2 为所有次数不超过 2 的实系数多项式构成的向量空间. (1)
试写出微分运算 D 在 P[ x]2 的基 p1 = 1 , p2 = 2 x + 1 , p3 = 3 x 2 + 2 x + 1 下的矩阵. (2)问是
否存在 P[ x]2 的基, 使得 D 在该基下的矩阵为对角矩阵? 若是, 请写出该基以及 D 在该基
下的矩阵.
解: D ( p1 ) = 0 , D ( p2 ) = 2 = 2 p1 , D( p3 ) = 6 x + 2 = − p1 + 3 p2 .
⎛ 0 2 −1⎞
⎜ ⎟
则 ( D ( p1 ), D( p2 ), D ( p3 )) = ( p1 , p2 , p3 ) ⎜ 0 0 3 ⎟ .
⎜0 0 0 ⎟
⎝ ⎠
13

14. ⎛ 0 2 −1⎞
⎜ ⎟
记 A = ⎜ 0 0 3 ⎟ . 则 | A − λ E |= −λ 3 . 所以 A 的特征值为 0 ( 3 重),
⎜0 0 0 ⎟
⎝ ⎠
( A − 0 E ) X = 0 的解集的秩为 3 − R ( A − 0 E ) = 3 − 2 = 1 < 3 . 所以 A 不可对角化. 所以不存在
P[ x]2 的基, 使得 D 在该基下的矩阵为对角矩阵. □
性质. 设 A 为 n 阶矩阵, Api = λi pi , (1 ≤ i ≤ n) , 且 P = ( p1 , p2 , , pn ) 可逆,
⎛λ ⎞
⎜ 1 0 ⎟
则 P AP = ⎜
−1
⎟.
⎜ ⎟
⎜
⎝
0 λn ⎟
⎠
⎛1
⎛2 0 x⎞
⎜ ⎟ ⎜ 0⎞
⎟
例 3. 已知 A = ⎜ 3 1 3 ⎟ 与 B = ⎜ y ⎟ 相似. 求 x, y , 并求一个可逆矩阵 P , 使得
⎜4 0 5⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜
⎝
0 6⎟
⎠
P −1 AP = B .
解: 矩阵 A 的所有特征值为 1, y, 6 .
⎧2 + 1 + 5 = 1 + y + 6
⎪ ⎧x =1
⎨| A − E |= 0 . 求得 ⎨ .
⎪| A − 6 E |= 0 ⎩y =1
⎩
A 的特征值为 λ1 = 1 ( 2 重), λ2 = 6 ( 1 重).
⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
对于 λ1 = 1 , 解方程 ( A − E ) X = 0 , 求得基础解系为 p1 = ⎜ 0 ⎟ , p2 = ⎜ 1 ⎟ .
⎜1⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛4⎞
1
⎜ ⎟
对于 λ2 = 6 , 解方程 ( A − 6 E ) X = 0 , 求得基础解系为 p3 = ⎜ 3 ⎟ .
4
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎛1 ⎞
⎜ 0⎟
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P −1 AP = ⎜ 1 ⎟ = B. □
⎜ ⎟
0 ⎜
⎝ 6⎟
⎠
例 4. (136 页, 习题 23.). 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 λ1 = 6 , λ2 = λ3 = 3 . 与特征值 λ1 = 6 对
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
应的特征向量为 p1 = ⎜1⎟ . 求 A .
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
解: 因为对称矩阵的不同特征值的实特征向量正交. 所以特征值 λ2 = λ3 = 3 的特征向量满足
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
方程 x1 + x2 + x3 = ( X , p1 ) = 0 . 求得基础解系为 p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = ⎜ 0 ⎟ .
⎜0⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 6 0 0⎞
−1 ⎜ ⎟
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) . 则 P AP = ⎜ 0 3 0 ⎟ .
⎜ 0 0 3⎟
⎝ ⎠
14

15. ⎛ 1 1 1 ⎞
⎜ 3 3 ⎟
⎛6 0 0⎞ ⎛1 −1 −1⎞⎛ 6 0 0 ⎞ ⎜ 3
⎟ ⎛ 4 1 1⎞
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 1 2 1⎟ ⎜ ⎟
所以 A = P ⎜ 0 3 0 ⎟ P = ⎜1 1 0 ⎟⎜ 0 3 0 ⎟ − − = ⎜1 4 1⎟ . □
⎜ 3 3 ⎟
⎜ 0 0 3⎟ ⎜1 0 1 ⎟⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜
3
⎟ ⎜ 1 1 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠
⎜−
⎜ −
1 2
⎟
⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
例 5. (2007.12)(15 分)(参考 136 页, 习题 24) 设 α = (a1 , a2 , , an )T (n ≥ 2) 为非零向量,
A = αα T .
(1) 证明 A = αα T 为对称矩阵;
(2) 证明矩阵 A 的秩为 1;
(3) 求矩阵 A 的所有特征值;
(4) 求可逆矩阵 P , 使得 P −1 AP = Λ 为对角矩阵.
( ) = (α )
T T T
解: (1) AT = αα T α T = αα T = A . 所以 A 为对称矩阵.
(2) 回忆对任何矩阵 B , BBT = 0 ⇔ B = 0 .
因为 α ≠ 0 , 所以 A ≠ 0 . 所以 R ( A) ≥ 1 .
而 R ( A) ≤ R (α ) ≤ 1 . 所以 R( A) = 1 .
(3) 因为 R( A) = 1 , 所以 AX = 0 的解集的秩为 n − 1 , 所以 0 作为矩阵 A 的特征值的几何重
数是 n − 1 , 但是因为矩阵 A 是对称矩阵, 所以 A 可对角化, 所以 0 作为矩阵 A 的特征值的代
数重数= 0 的几何重数= n − 1 .
Aα = α (α T α ) = (a12 + a2 +
2
+ an )α . 所以 a12 + a2 +
2 2
+ an 是 A 的非零特征值. α 是对应的
2
特征向量.
所以矩阵 A 的所有的特征值是 λ1 = = λn −1 = 0, λn = a12 + a2 +
2
+ an .
2
(4) 不妨设 a1 ≠ 0 . 对 λ1 = = λn −1 = 0, 求解方程组 AX = 0 ,
⎛ a12 a1a2 a1an ⎞ ⎛ a1 a2 an ⎞ ⎛ a1 a2 an ⎞
⎜ ⎟ 1r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
a2 an ⎟ a1 1 ⎜ a2 a1 a2
2
a2 an ⎟ r2 −a2r1 ⎜ 0 0 0⎟
A=⎜ 2 1
aa a2
⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯ → .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜a a ⎟ ⎜ 2 ⎟
rn −an r1 ⎜ ⎟
⎝ n 1 an a2 an ⎟
2
⎠ ⎝ an a1 an a2 an ⎠ ⎝0 0 0⎠
⎛ − a2 ⎞ ⎛ − an ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ a1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
所以 AX = 0 的基础解系为 p1 = ⎜ 0 ⎟ , pn −1 = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜ a ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠
记 pn = α , 则 α 是属于特征值 a12 + a2 + + an 的特征向量.
2 2
⎛0 ⎞
⎜ ⎟
⎜
令 P = ( p1 , p2 , , pn ) , 则 P −1 AP = ⎜
⎟0
⎟. □
⎜ ⎟
⎜
⎜
0
0 2 ⎟
⎝ a1 + a2 + + an ⎟
2 2
⎠
2. 用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵, 或者利用正交变换把二次型化简成标准形.
施密特正交化定理. 设 α1 , ,α r 是向量空间 V ⊆ n 的一个基.
15

16. ⎧ β1 = α1
⎪
⎪ β 2 = α 2 − (α 2 , β1 ) β1
⎪ ( β1 , β1 )
令⎨ ,
⎪
⎪ (α r , β1 ) (α , β ) (α r , β r −1 )
⎪ βr = α r − β1 − r 2 β 2 − − β r −1
⎩ ( β1 , β1 ) (β2 , β2 ) ( β r −1 , β r −1 )
则 β1 ,
, β r 两两正交, 且 β1 , , β k 与 α1 , ,α k 等价 ( 1 ≤ k ≤ r ).
1 1
再把它们单位化, 令 η1 = β1 , , ηr = β r . 则 η1 , ,ηr 是 V 的一个规范正交基.
β1 βr
求正交矩阵, 把 n 阶对称矩阵 A 化为对角矩阵的一般步骤.
1. 设 | λ E − A |= (λ − λ1 ) k1 (λ − λs ) ks , 其中 λi ≠ λ j (i ≠ j ) .
2. 求出 ( A − λi E ) X = 0 的基础解系: ξi1 , , ξi , ki .
把它们正交化, 单位化, 得到 ki 个两两正交的单位向量 pi1 , , pi ,ki .
3. 令 P = ( p11 , , p1,k1 , , ps1 , , ps ,ks ) , 则 P 是正交阵, 且
⎛ λ1 ⎞ ⎫
⎜ ⎟ ⎪k
⎜ ⎟ ⎬ 1
⎟ ⎪
−1
⎜
⎜
P AP = ⎜
λ1
⎟
⎭ 0
⎟ .
⎜ λs ⎟ ⎫
⎜
⎜ 0 ⎟ ⎪
⎟ ⎬ ks
⎜ λs ⎟ ⎪
⎝ ⎠ ⎭
注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和正交矩阵 P 中列向量的排列是
对应的.
⎛ 0 −1 1 ⎞
⎜ ⎟
例 6. 设 A = ⎜ −1 0 1 ⎟ . 求一个正交阵 P , 使 P −1 AP 为对角阵.
⎜ 1 1 0⎟
⎝ ⎠
−λ −1 1 −λ −1 1 −λ −2 1
r2 + r3 c2 − c3
解: | A − λ E |= −1 −λ 1 0 1− λ 1− λ 0 0 1− λ .
1 1 −λ 1 1 −λ 1 1 + λ −λ
= −(1 − λ )(−λ (1 + λ ) + 2) = −(λ − 1) 2 (λ + 2) .
求得 A 的所有不同的特征值为 λ1 = −2 (1 重), λ2 = 1 (2 重).
对 λ1 = −2 , 解方程 ( A + 2 E ) X = ( A − λ1 E ) X = 0 .
⎛ 2 −1 1 ⎞ ⎛ 0 3 3⎞ ⎛ −1 2 1 ⎞
⎜ ⎟ r1 + 2r2 ⎜ ⎟ r1 ↔r2 ⎜ ⎟
A + 2 E = ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 3 3 ⎟
r3 + r1 → r3 −r2 →
⎜ 1 1 2⎟ ⎜ 0 3 3⎟ ⎜ 0 0 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 −2 −1⎞ ⎛1 0 1⎞
−1⋅r1 ⎜ ⎟ r1 + 2r2 ⎜ ⎟ ⎧ x1 + x3 = 0
⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ . ⎨
→ → .
⎜ 0 0 0 ⎟ ⎩ x2 + x3 = 0
1
r
3 2 ⎜0 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟
令 x3 = 1 , 则 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . 所以 ξ1 = ⎜ −1⎟ 是基础解系.
⎝ x2 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎜1⎟
⎝ ⎠
16

17. ⎛ −1⎞
1 1 ⎜ ⎟
把 ξ1 单位化, 得 p1 = ξ1 = −1 .
|| ξ1 || 3⎜ ⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
对 λ2 = 1 , 解方程 ( A − E ) X = ( A − λ2 E ) X = 0 .
⎛ −1 −1 1 ⎞ ⎛ −1 −1 1⎞ ⎛ 1 1 −1 ⎞
⎜ ⎟ r2 −r1 ⎜ ⎟ −1⋅r1 ⎜ ⎟
A − E = ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 → 0 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 0 ⎟ .
→
⎜ 1 1 −1⎟ r3 + r1 ⎜ 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞
x1 + x2 − x3 = 0 . 分别令 ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ 和 ⎜ ⎟ , 求得 x1 = −1 和 1 .
⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ −1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
所以 ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , ξ3 = ⎜ 0 ⎟ 是基础解系.
⎜0⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(η 2 , ξ3 )
把 ξ 2 , ξ3 正交化: 取 η 2 = ξ 2 , η3 = ξ3 − η2 (η2 , ξ3 ) = (ξ 2 , ξ3 ) = −1 ,
(η 2 ,η 2 )
⎛1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
(η2 ,η2 ) = (ξ 2 , ξ 2 ) = 2 , 所以 η3 = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ .
⎜1⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ 2 ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
1 1 ⎜ ⎟ 1 1 1⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
将 η 2 ,η3 单位化, 得 p2 = η2 = 1 , p3 = η3 = ⋅ ⎜1⎟ = 1 .
|| η2 || 2⎜ ⎟
⎜0⎟ || η3 || 1 1 2⎜ ⎟ 6⎜ ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠ + +1 ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠
4 4
⎛ −2 0 0 ⎞
−1 ⎜ ⎟
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P 是正交阵, 且 P AP = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞
−1 ⎜ ⎟
如果令 Q = ( p2 , p1 , p3 ) , 则 Q AQ = ⎜ 0 −2 0 ⎟ . □
⎜0 0 1⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 −2 −4 ⎞ ⎛5 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
例 7.(135 页, 习题 20)设矩阵 A = ⎜ −2 x −2 ⎟ 与 Λ = ⎜ 0 −4 0 ⎟ 相似, 求 x, y ; 并求一
⎜ −4 −2 1 ⎟ ⎜0 0 y⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
个正交矩阵 P , 使 P −1 AP = Λ .
证: 首先求参数 x, y . A 的所有特征值为 5, −4, y .
⎧ 5 + (−4) + y = 1 + x + 1
⎪
所以 ⎨ | A + 4 E |= 0 . 从而求出 x = 4, y = 5 .
⎪| A − 5 E |= 0
⎩
所以矩阵 A 的所有不同特征值为 λ1 = 5 (2 重), λ2 = −4 (1 重)
⎛ −1 ⎞ ⎛ −1⎞
⎜ 2⎟ ⎜ ⎟
对于 λ1 = 5 , 解方程 ( A − 5 E ) X = 0 , 求得基础解系为 ξ1 = ⎜ 1 ⎟ , ξ 2 = ⎜ 0 ⎟ , 把它们正交
⎜0⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17

18. ⎛ −1⎞ ⎛ −4 ⎞
1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
化, 单位化, 求得 p1 = 2 , p2 = −2 ;
5⎜ ⎟
⎜0⎟ 3 5⎜ ⎟
⎜ 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
对应于 λ2 = −4 , 解方程 ( A + 4 E ) X = 0 , 求得基础解系为 ξ3 = ⎜ 1 ⎟ , 把它单位化, 求得
2
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎛ 2⎞
1⎜ ⎟
p3 = ⎜ 1 ⎟ .
3⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 1 2 4 ⎞
⎜− 5 3 − 3 5 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 2
令 P = ( p1 , p3 , p2 ) = ⎜
1
−
2 ⎟
. 则 P 是正交矩阵, 且 P −1 AP = Λ . □
5 3 3 5⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 2 5 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3 3 5 ⎠
例 8. 求一个正交变换 X = PY , 把二次型 f = −2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 化为标准形. 并求二次
型 f 的规范形.
⎛ 0 −1 1 ⎞
⎜ ⎟
解: 二次型的矩阵为 A = ⎜ −1 0 1 ⎟ .
⎜ 1 1 0⎟
⎝ ⎠
这个矩阵和我们例题 6 中的矩阵是一样的.
⎛ 1 1 1 ⎞
⎜− − ⎟
⎜ 3 2 6⎟
⎜ 1 1 1 ⎟
所以根据例 6 的结果, 有正交阵 P = ⎜ − ⎟,
⎜ 3 2 6⎟
⎜ 1 2 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ 3 6⎠
⎛ −2 0 0 ⎞
−1 ⎜ ⎟
使 P AP = P AP = ⎜ 0 1 0 ⎟ . 令 X = PY .
T
⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠
⎛ −2 0 0 ⎞
⎜ ⎟
( )
2
则 f ( PY ) = Y ⎜ 0 1 0 ⎟ Y = −2 y12 + y2 + y3 = −
T 2 2
2 y1 + y2 + y3 为标准形.
2 2
⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠
⎧ z1 = 2 y1 ⎧ w1 = z2
⎪ ⎪
令 ⎨ z2 = y2 . 则 f = − z1 + z2 + z3 . 令 ⎨ w2 = z3 , 则 f = w12 + w2 − w3 为规范形.
2 2 2 2 2
□
⎪ z =y ⎪w = z
⎩ 3 3 ⎩ 3 1
七. 计算矩阵的 k 次幂.
⎛λ ⎞ ⎛λk ⎞
⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 1 0 ⎟
性质. 若 P AP = ⎜
−1
⎟, ϕ ( x) 是 x 的一元多项式. 则 P A P = ⎜
−1 k
⎟,
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝
0 λn ⎟
⎠
⎜
⎝
0 λnk ⎟
⎠
18

19. ⎛ ϕ (λ ) ⎞
⎜ 1 0 ⎟
P −1ϕ ( A) P = ⎜ ⎟.
⎜ ⎟
⎜
⎝
0 ϕ (λn ) ⎟
⎠
⎛λ 1 0 ⎞
⎜ ⎟
例 1. 设 A = ⎜ 0 λ 1 ⎟ . 求 A .
n
⎜0 0 λ⎟
⎝ ⎠
⎛ 0 1 0⎞ ⎛0 0 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
解: A = λE + B , 其中 B = ⎜ 0 0 1 ⎟ . B = ⎜ 0 0 0 ⎟ , B = 0, B = 0 , k ≥ 3 .
2 3 k
⎜ 0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ λ nλn −1 n ( n2−1) λn − 2 ⎞
n
n 2 ⎜ ⎟
An = (λE + B) n = ∑ Cn (λE ) n − k B k = ∑ Cn λn − k B k = ⎜ 0
k k
λn nλn −1 ⎟ . □
k =0 k =0 ⎜
⎜0 ⎟
⎟
⎝ 0 λ n
⎠
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
例 2. α = ⎜ 2 ⎟ , β = ⎜ 1 ⎟ , A = αβ . 求 A .
T n
2
⎜ 3⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝3⎠
解 A = (αβ )(αβ ) = α ( β α ) β = 3αβ = 3 A .
2 T T T T T
⎛1⎞ ⎛1 1 1
⎞
n −1 n −1
⎜ ⎟⎛ 1 1⎞ n −1
⎜ 2 3
⎟
∴ A = 3 A = 3 ⎜ 2 ⎟⎜ 1, ⎟ = 3 ⎜2
n
3⎟.
2
, 1 □
⎜ 3 ⎟⎝ 2 3⎠ ⎜3 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
例 3. 已知 AP = PB . 其中 B = ⎜ 0 0 0 ⎟ , P = ⎜ 2 − 1 0 ⎟ . 求 A .
11
⎜ 0 0 − 1⎟ ⎜ 2 1 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1 0 0 ⎞
−1 −1
⎜ ⎟
解: A = PBP . P = ⎜ − 2 1 0 ⎟.
⎜ 4 − 1 − 1⎟
⎝ ⎠
⎛1 0 0 ⎞
−1⎜ ⎟
−1
A = PB P = PBP = ⎜ 2 0 0 ⎟ .
11 11
□
⎜ 6 −1 −1⎟
⎝ ⎠
⎛1 4 2⎞
⎜ ⎟
例 4.设 A = ⎜ 0 −3 4 ⎟ , 求 A100 .
⎜0 4 3⎟
⎝ ⎠
解: 利用矩阵 A 的相似对角阵来求 A100 .
| A − λ E |= (1 − λ )(λ − 5)(λ + 5) . A 的特征值为 λ1 = −5 , λ2 = 1 , λ3 = 5 .
⎛1⎞
⎜ ⎟
对 λ1 = −5 , 解方程 ( A + 5 E ) X = 0 . 求得 p1 = ⎜ −2 ⎟ 是基础解系.
⎜1⎟
⎝ ⎠
19

20. ⎛1⎞
⎜ ⎟
对 λ2 = 1 , 解方程 ( A − E ) X = 0 . 求得 p2 = ⎜ 0 ⎟ 是基础解系.
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
对 λ3 = 5 , 解方程 ( A − 5 E ) X = 0 . 求得 p3 = ⎜ 1 ⎟ 是基础解系.
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ ⎛ −5 ⎞
⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ −1
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) . 则 P −1 AP = ⎜ 1 ⎟ . 所以 A = P ⎜ 1 ⎟P .
⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ 5⎟
⎠
⎜
⎝ 5⎟
⎠
100
⎛ −5 ⎞ ⎛ 1 0 5100 − 1⎞
⎜ ⎟ 0 −1 ⎜ ⎟
所以 A100 = P ⎜ 1 ⎟ P = ⎜0 5
100
0 ⎟. □
⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜0 0 5100 ⎟
⎝ 5⎟⎠ ⎝ ⎠
八. 讨论二次型的正定性.
定理. n 阶对称矩阵 A 正定 ⇔ A 的各阶顺序主子式为正数, 即
a11 a12 a13 a11 a1n
a11 a12
a11 > 0, > 0, a21 a22 a23 > 0 , , > 0.
a21 a22
a31 a32 a33 an1 ann
对称矩阵 A 为负定 ⇔ − A 正定.
例. 设 f = x12 + x2 + 5 x3 + 2ax1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 为正定二次型, 求 a .
2 2
⎛ 1 a −1⎞
⎜ ⎟
解. 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ a 1 2 ⎟ .
⎜ −1 2 5 ⎟
⎝ ⎠
1 a 4
A 正定 ⇔ 1 > 0 , = 1 − a 2 > 0 , 且 A = −a(5a + 4) > 0 ⇔ − < a < 0 . □
a 1 5
九. 计算线性变换的矩阵.
定义. 设 V , U 是两个线性空间, T : V → U 是映射, 满足
(1) T 保持加法, 即 T (α + β ) = T (α ) + T ( β ) , ∀α , β ∈ V .
(2) T 保持数乘, 即 T (kα ) = kT (α ) , ∀α ∈ V .
则称 T 是从 V 到 U 的线性映射, 或称为线性变换. 若 V = U , 则称 T 是线性空间 V 上的线性
变换.
定义. 设 T 是线性空间 V 中的线性变换, 在 V 中取定一个基 α1 , ,α n . 设
⎧ T (α1 ) = a11α1 + a21α 2 + + an1α n ⎛ a11 a12 a1n ⎞
⎪T (α ) = a α + a α + + a α ⎜ ⎟
⎪ a a22 a2 n ⎟
⎨
2 12 1 22 2 n2 n
, 令 A = ⎜ 21 ,
⎪ ⎜ ⎟
⎪T (α n ) = a1nα1 + a2 nα 2 + + annα n ⎜ ⎟
⎩ ⎝ an1 an 2 ann ⎠
记 T (α1 , , α n ) = (T (α1 ), , T (α n )) . 则 T (α1 , , α n ) = (T (α1 ), , T (α n )) = (α1 , ,α n ) A .
称矩阵 A 为线性变换 T 在基 α1 , , α n 下的矩阵.
注意矩阵 A 的第一列是 T (α1 ) 在 α1 , ,α n 这组基下的坐标, 矩阵 A 的第二列是 T (α 2 ) 在
α1 , ,α n 这组基下的坐标, , 矩阵 A 的第 n 列是 T (α n ) 在 α1 , ,α n 这组基下的坐标.
性质 1. 设 L 是由向量组 β1 , , β m 生成的向量空间. 则 dim( L) = 向量组 β1 , , β m 的秩, 向
量组 β1 , , β m 的任意一个最大无关组都是 L 的基.
20

21. 性质 2. 设 α1 , ,α n 是线性空间 V 的一组基, T 是 V 上的线性变换, 则 T (V ) = {k1T (α1 ) +
k2T (α 2 ) + + knT (α n ) | ki ∈ ,1 ≤ i ≤ n} , 所以 dim(T (V )) = 向量组 T (α1 ), T (α 2 ), , T (α n ) 的
秩, 向量组 T (α1 ), T (α 2 ), , T (α n ) 的任意一个最大无关组都是 T (V ) 的基.
例 1.(2005.1)(10 分)在次数不超过 n 的实系数多项式所形成的线性空间 V = P[ x]n 中定义
线 性 变 换 T 为 T ( f ( x)) = f ( x + 1) − f ( x) . 求 线 性 变 换 T 在 V 的 一 个 基 α1 = 1 , α 2 = x ,
1 1
α 3 = x( x − 1) , , α n +1 = x( x − 1) ( x − n + 1) 下的矩阵 B .
2 n!
解: T (α1 ) = 1 − 1 = 0 . T (α 2 ) = ( x + 1) − x = 1 = α1 ,
1 1
T (α 3 ) = ( x + 1) x − x( x − 1) = x = α 2 .
2 2
1 1
T (α n +1 ) = ( x + 1) x ( x − n + 2) − x( x − 1) ( x − n + 1)
n! n!
1 1
= x( x − 1) ( x − n + 2)( x + 1 − ( x − n + 1)) = x( x − 1) ( x − n + 2) = α n .
n! (n − 1)!
⎛0 1 0 0⎞
⎜ ⎟
⎜0 0 1 0⎟
⎜0 0 0 0⎟
所以 T (α1 ,α 2 ,α 3 , ,α n +1 ) = (α1 ,α 2 ,α 3 , ,α n +1 ) ⎜ ⎟. □
⎜ ⎟
⎜0 0 0 1⎟
⎜
⎜0 0 0 ⎟
⎝ 0⎟
⎠
例 2. (2007.9)(15 分) 设 V 为全部二阶实方阵所构成的线性空间. 对任意 A ∈ V , 定义:
1
P ( A) = ( A − AT ) . 其中 AT 表示转置矩阵.
2
(1) 证明: P 为线性变换.
⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞
(2) 求 P 在基 E11 = ⎜ ⎟ , E12 = ⎜ ⎟ , E21 = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ 下的矩阵.
⎝0 0⎠ ⎝0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝1 1⎠
(3) 求 P 的核及像空间.
证: (1) 对任意的 A1 , A2 ∈ V 和任意的 k ∈ ,
1 1 1
P ( A1 + A2 ) = ( A1 + A2 − ( A1 + A2 )T ) = ( A1 − A1T ) + ( A2 − A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) .
T
2 2 2
1 1
P (kA1 ) = (kA1 − (kA1 )T ) = k ( A1 − A1T ) = kP ( A1 ) .
2 2
所以 P 是线性变换
1 ⎛0 1⎞ 1 ⎛0 0⎞ 1 1
(2) P ( E11 ) = 0 , P ( E12 ) = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ = E12 − E21 .
2 ⎝0 0⎠ 2 ⎝1 0⎠ 2 2
1 ⎛ 0 0⎞ 1 ⎛ 0 1⎞ 1 1
P ( E21 ) = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ = − E12 + E21 .
2 ⎝1 0⎠ 2 ⎝ 0 0⎠ 2 2
1 ⎛ 0 0 ⎞ 1 ⎛ 0 1⎞ 1 ⎛ 0 −1⎞ 1 1
P( B) = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = − E12 + E21 .
2 ⎝ 1 1 ⎠ 2 ⎝ 0 1⎠ 2 ⎝ 1 0 ⎠ 2 2
21

22. ⎛0 0 0 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0 1 − 1 − 1 ⎟
⎜ 2 2 2⎟
所以 P ( E11 , E12 , E21 , B ) = ( E11 , E12 , E21 , B ) ⎜ .
1 1 1 ⎟
⎜0 − ⎟
⎜ 2 2 2 ⎟
⎜0 0 0 ⎟
⎝ 0 ⎠
注意: 上面的等式的右边的矩阵乘积我们把 ( E11 , E12 , E21 , B ) 看成是 1 行 4 列的矩阵, 这个 1
行 4 列的矩阵中的元素是看成向量空间中的向量. 它和后面的 4 行 4 列的矩阵的乘积是按照
一个 1 行 4 列的矩阵和一个 4 行 4 列的矩阵的乘法运算规则来运算的. 不能把
( E11 , E12 , E21 , B ) 看成 2 行 8 列的矩阵, 如果把它看成是 2 行 8 列的矩阵的话, 它就没法和后
面的 4 行 4 列的矩阵相乘了.
(3) Ker( P) = { A ∈ V | P ( A) = 1 ( A − AT ) = 0} = { A ∈ V | A = AT } .
2
P (V ) = {P ( A) | A ∈ V } = {k1 P ( E11 ) + k2 P( E12 ) + k3 P ( E21 ) + k4 P( E22 ) | ki ∈ ,1 ≤ i ≤ n} .
= {k2 ( 1 E12 − 1 E21 ) − k3 ( 1 E12 − 1 E21 ) − k4 ( 1 E12 − 1 E21 ) | k2 , k3 , k4 ∈ } .
2 2 2 2 2 2
= { 1 (k2 − k3 − k4 )( E12 − E21 ) | k2 , k3 , k4 ∈ } = {k ( E12 − E21 ) | k ∈ } .
2
□
⎛ −1 0 1 ⎞
⎜ ⎟
例 3. (2007.12)(20 分 ) 设 A = ⎜ 1 2 0 ⎟ , 定义映射 T : 3
→ 3
如下 : 对任意 α ∈ 3
,
⎜ −1 4 3 ⎟
⎝ ⎠
T (α ) = Aα .
(1) 证明 T 为 3 上的线性变换;
(2) 求线性变换 T 的核 T −1 (0) .
3
(3) 求线性变换 T 的像空间 T ( ) 的维数及一组基;
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(4) 求线性变换 T 在基 ξ1 = ⎜1⎟ , ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , ξ3 = ⎜ 0 ⎟ 下的矩阵.
⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
解: (1) 对任意的 α , β ∈ , k ∈ . 3
T (α + β ) = A(α + β ) = Aα + Aβ = T (α ) + T ( β ) ,
T (kα ) = A(kα ) = k ( Aα ) = kT (α ) .
所以 T 为 3 上的线性变换.
(2) T −1 (0) = {α ∈ 3 | T (α ) = 0} = {α ∈ 3
| Aα = 0} .
下面求解方程组 AX = 0 .
⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ −1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1
A ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ . 求得基础解系为 ξ = ⎜ − ⎟ .
行初等变换
⎜
2
⎟ ⎜ 2⎟
⎝0 0 0 ⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
所以 T (0) = {kξ ∈ | k ∈ } .
−1 3
(3) 对矩阵 A 列分块, A = (α1 ,α 2 ,α 3 ) .
则T( 3
) = {T ( X ) | X ∈ 3
} = { AX | X ∈ 3
} = {x1α1 + x2α 2 + x3α 3 | x1 , x2 , x3 ∈ } .
⎛ 1 0 −1⎞
⎜ ⎟
A ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ , 所以 α1 ,α 2 是 α1 ,α 2 ,α 3 的最大无关组. 所以 α1 , α 2 是 T (
行初等变换
2
3
) 的基,
⎜ ⎟
⎝ 0 0 0⎠
T ( 3 ) 的维数是 2 .
22

23. ⎛ 0⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(4) T (ξ1 ) = Aξ1 = ⎜ 3 ⎟ = 3ξ 2 + 3ξ3 , T (ξ 2 ) = Aξ 2 = ⎜ 2 ⎟ = ξ1 + ξ 2 + 5ξ3 ,
⎜ 6⎟ ⎜7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎛0 1 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
T (ξ3 ) = Aξ3 = ⎜ 0 ⎟ = ξ1 − ξ 2 + 3ξ3 . 所以 T 在基 ξ1 , ξ 2 , ξ3 下的矩阵是 ⎜ 3 1 −1⎟ . □
⎜ 3⎟ ⎜3 5 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23