Shows how to optimal stop searching for normal distributed values with search costs and correlated costly observable attributes

1. Partielle Information in der
Entscheidungstheorie
em.o.Univ. Prof. Dkfm. Dr.
Wolfgang Janko, WU

2. Grundmodell der
Entscheidungstheorie
Handlungsalternativen
Umweltzustände
z1
z2
…
zm
Konsequenzen
a1
x11
x12
…
x1m
a2
x21
x22
…
x2m
…
…
…
…
…
an
xn1
xn2
…
xnm
Umweltzustände
Handlungsalternativen
z1
z2
…
zm
a1
u(x11)
u(x12)
…
u(x1n)
a2
u(x21)
u(x22)
…
u(x2n)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
…
u(xmn)
am
u(xm1) u(xm2)
Nutzenmatrix

3. Informationssystem:
Nachrichten
Umweltzustände
y1
y2
…
yk
Wahrscheinlichkeiten
z1
w(y1│z1)
w(y2│z1)
…
w(yk│z1)
z2
w(y1│z2)
w(y2│z2)
…
w(yk│z2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
zm
w(y1│zm)
w(y2│zm)
…
w(yk│zm)

4. Bayes‘sches Theorem:
m
w( yj )
w( yj zi ) w( zi )
i 0
w( zi yj )
w( yj zi ) w( zi )
n
w( yj zi ) w( zi )
i 0

5. Informationsbeschaffung
a. Entscheidungstheorie formuliert auch Abbildungen
von Nachrichten in den Aktionenraum (die auch
randomisiert werden können; s. Ferschl, Nutzenund Entscheidungstheorie,Opladen,1975).Statt für
Aktionen wird das Problem nun für
Entscheidungsfunktionen betrachtet und liefert den
Wert des Informationssystems.
Igz zu vollständigen Aktionenmengen wird hier die
Aktionenmenge als nur teilweise bekannt und zu
Kosten c erweiterbar angesehen:
a. Einstufig
b. mehrstufig (sequentielle Beschaffungsmodelle)

6. Aktionensuche:

7. Alternativensuchmodelle
+viele andere Modelle

8. Optimale Politik bei einfacher
Alternativensuche und bekannter
Verteilung des (Geld-)Nutzens
F(u) mit Dichte f(u):
Ermittlung von v* = erwarteter Wert bei optimaler Fortsetzung der Suche
Stoppen wenn u ≥ v*!
Ermittlung:
v E max u, v c
s
v
vf (u )du
u f (u )du cs
v
vF(v)
u f (u )du cs
v
v
v
(u v) f (u )du cs
v
TF(v)
Wir erhalten v* als Nullstelle: TF(v)-cs=0
Bsp.:
Für G(u,s) gilt: TF(v)-f(v)-v(1-F(v))
Für N [0,1] gilt: TF(v)=(v²+1)/2-v und v* = 1-√2cs
(cs < ½)
v f (u )du
v
u f (u )du cs
v

9. Aktionensuche

10. Konjugierte Familie: a priori Verteilung = a posteriori Verteilung ,
Beispiele:
Parameter
Konjugierte Familie
Bernoulli-Verteilung
Beta-Verteilung
Normalverteilung
Gamma-Verteilung
Normal
Poisson-Verteilung
Gamma-Verteilung
Negative Binomialverteilung
Beta-Verteilung
Gleichverteilung
Pareto-Verteilung
Multinomialverteilung
Dirichlet-Verteilung
mehrdimensionale
Normalverteilung
Wishart-Verteilung

11. Sequentielle Alternativensuche
mit Datenpräzisierung
Bekannt: 3-dimensionale Verteilung der ZV
X=
(x1, x2, x3)
Entscheider kann:
X1 mit Suchkosten c1 beobachten,
X2 mit Testkosten c2 beobachten.
Er kann in jedem Fall akzeptieren oder mit der Suche
fortfahren.
Den wahren Wert X3 kennt er erst nach Akzeptanz.
Wir nehmen an X ist multivariat normalverteilt mit
den Parametern
und der
Korrelationsmatrix M.

12. Der Such- und Testprozess
Verwerfen
Verwerfen
X1 Beobachten
c1
X2 Testen
c2
Akzeptieren
X3

13. Optimale Politik
Es muss untersucht werden, ob Testen überhaupt sinnvoll ist. Wenn
nicht, dann ermittelt man den Wert der Politik v0 wie bei einer sequ.
Politik.
Ist Testen sinnvoll, so werden die Werte x* (<) und y* ermittelt,
die das Testintervall definieren. Für x>y* nehme an, für x<x*
verwerfe und für x*<x<y* teste. Mit v* errechnet man den Wert der
Politik.

14. Tabelle 1: The influence of search costs c1 on the optimal policy
0.6
0.4
10
10
10
x0
x*
y*
v*
30,065
24,957
21,865
18,828
13,708
11,563
9,051
7,053
5,854
4,805
3,334
2,437
1,169
-4,193
41,262
36,152
33,063
30,024
24,905
22,763
20,249
18,248
17,053
16,004
14,532
13,636
12,368
6,563
20,265
18,222
16,986
15,770
13,723
12,866
11,860
11,059
10,582
10,162
9,573
9,215
8,708
7,005
10
yx-xx = konstant
c2
1
v0
c1
0.01
0.05
0.1
0.2
0.5
0.7
1.0
1.3
1.5
1.7
2.0
2.2
2.5
4.0
10
10
50.0
40.0
30.0
x*
20.0
y*
v*
10.0
0.0
-10.0
0.01
0.05
0.1
0.2
0.5
0.7
1.0
1.3
1.5
1.7
2.0
2.2
2.5
4.0
0.4
Tabelle 2: The influence of testing costs on the optimal policy
15,535
18,792
20,352
21,846
23,011
23,785
24,523
25,51
27,027
-
47,098
42,883
40,776
38,169
36,629
33,83
31,947
29,861
27,478
-
22,787
22,505
22,333
22,005
21,593
21,284
20,947
20,611
20,352
-
27,3724
27,373
27,3739
27,3748
20,424
20,424
20,4243
20,4249
50.0
45.0
40.0
35.0
x*
30.0
y*
25.0
v*
20.0
15.0
x0
10.0
v0
5.0
0.0
2.5
0,01
0,05
0,1
0,2
0,35
0,5
0,7
1,
1,5
1,7
2,
2,2
2,5
2.2
v0
2.
x0
1.7
v*
1.5
y*
c1
0.1
10
1.
x*
10
0.7
c2
10
0.5
10
0.35
10
0.2
10
0.1
0.4
0.05
0.6
0.01
0.6

15. Tabelle 3: The influence of the ratio c 1 /c 2 on the optimal policy
0,395
0,39
0,35
0,3
0,25
0,22
0,2
0,18
0,15
0,1
0,05
0,01
0,005
0,01266
0,0256
0,1428
0,3333
0,6
0,8182
1,0
1,222
1,667
3,0
7,0
39,0
79,0
29,195
28,417
23,155
20,291
17,095
16,360
15,582
14,797
13,584
11,267
8,100
2,336
0,483
52,205
51,559
47,367
46,022
45,381
45,020
45,136
45,296
45,669
46,775
49,079
54,194
56,347
28,413
27,993
25,163
23,891
22,987
22,418
22,215
22,027
21,770
21,416
21,156
21,014
21,010
Tabelle 4: The influence of the mean value
0.6
1 of
Hohe Testkosten c2 weniger Einfluss als hohe
Suchkosten c1
90.0
80.0
70.0
60.0
c2
50.0
c1/c2
40.0
x*
30.0
v*
10.0
0.0
x 1 on the optimal policy
0.6
0.4
10
10
10
x*
3
5
10
15
20
y*
20.0
0.3…
0,005
0,01
0,05
0,1
0,15
0,18
0,2
0,22
0,25
0,3
0,35
0,39
0,395
0.39
v*
0.35
y*
0.3
x*
0.25
c1/c2
10
0.22
c2
10
0.2
c1
10
0.18
10
0.15
10
0.1
10
0.05
0.4
0.01
0.8
0.0…
0.6
c1 + c2
0.4
y*
v*
x0
v0
14,846
16,846
21,846
26,846
31,846
31,169
33,169
38,169
43,169
48,169
22,005
22,005
22,005
22,005
22,005
-
-
10
c2
0.2
60.0
50.0
Erwarteter Ertrag vx bleibt gleich bei unverändertem Rest
Testbereich verschiebt sich exakt um
Mittelwertverschiebung
10
c1
0.1
40.0
x*
30.0
y*
20.0
v*
10.0
0.0
3
5
10
15
20

16. Tabelle 5: The influence of the mean value
0.6
2 of
x 2 on the optimal policy
0.4
10
10
10
x*
5
10
20
0.6
y*
v*
x0
v0
21,846
21,846
21,846
38,169
38,169
38,169
22,005
22,005
22,005
-
-
10
c1
0.1
10
c2
0.2
Kein Einfluss bei sonst gleichen
Werten
50.0
40.0
30.0
x*
20.0
y*
v*
10.0
0.0
Tabelle 6: The influence of the mean value
0.6
3 of
x 3 on the optimal policy
5
0.6
10
10
10
10
x*
0
5
10
12
15
20
0.8
y*
v*
x0
v0
20,873
20,819
20,831
20,817
20,817
20,825
30,980
30,960
30,958
30,957
30,957
30,963
9,547
14,535
19,538
21,533
24,533
29,536
-
-
10
20
c1
0.2
10
c2
1.0
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
x*
y*
v*
0
vx steigt mit
5
10
3
12
15
gleichmäßig parallel
20

17. Tabelle 7: The influence of
0.6
the standard deviation of x 1 on the optimal policy
0.6
10
10
10
x*
5
7
10
13
15
20
0.8
y*
v*
x0
v0
15,415
17,582
20,831
24,079
26,246
31,661
20,483
24,676
30,966
37,256
41,450
51,934
19,539
19,539
19,539
19,539
19,539
19,539
-
-
10
c1
0.2
10
c2
1.0
1 kein Einfluss auf Ertrag, Testbereich
wächst mit steigenden 1
60.0
50.0
40.0
x*
30.0
y*
20.0
v*
10.0
0.0
5
Tabelle 8: The influence of
0.6
2 the
10
13
15
20
standard deviation of x 2 on the optimal policy
0.8
0.6
10
10
10
x*
5
10
15
7
y*
v*
x0
v0
20,830
20,830
20,830
30,967
30,967
30,967
19,539
19,539
19,539
-
-
10
c1
0.2
10
c2
1.0
2 hat keinen Einfluss auf Testbereich
und vx.
40.0
x*
20.0
y*
0.0
v*
5
10
15

18. Tabelle 9: The influence of
0.6
0.8
3 the
standard deviation of x 3 on the optimal policy
0.6
10
10
10
x*
2,5
5
7
10
13
15
20
y*
v*
x0
v0
20,501
20,432
20,831
21,454
21,717
22,187
21,834
26,270
30,966
34,518
36,296
39,667
13,350
15,607
19,539
24,029
27,106
35,116
17,404
-
11,110
-
10
c1
0.2
10
45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
x*
y*
v*
x0
v0
2.5
5
7
Mit abnehmendem
Mit zunehmendem
v*steigt mit 3.
Tabelle 10: The influence of the correlation
0.4
13 of
10
13
15
20
wird nicht mehr getestet!
erweitert sich der Testbereich;
3
3
x 1 and x 3 on the optimal policy
0.4
10
10
10
10
x*
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
c2
1.0
y*
v*
x0
v0
13,316
17,683
20,677
23,364
25,249
26,778
27,928
-
54,855
40,568
34,351
31,643
30,061
29,239
28,809
-
14,817
15,738
17,077
18,751
20,593
22,605
24,695
-
28,978
27,081
10
c1
0.1
10
c2
0.2
60.0
50.0
x*
40.0
y*
30.0
v*
20.0
x0
10.0
v0
0.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Testbereich wird kleiner mit wachsendem 13 bis kein Test mehr;
Wert der Politik steigt (Testkosten relativ klein)

19. Tabelle 11: The influence of the correlation
0.4
3 of
x 1 and x 3 on the optimal policy
10
10
10
10
10
c2
0,4
0,6
0,8
0,4
0,6
0,8
0,4
0,6
0,4
0,6
0.4
x*
y*
v*
x0
v0
35.0
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0
2,0
2,0
3,0
3,0
22,847
26,594
25,177
-
29,679
28,046
25,628
-
16,504
20,393
16,161
-
28,522
27,370
28,506
25,687
27,373
25,687
27,376
24,818
20,422
24,805
16,275
20,424
16,275
20,425
c1
0.1
10
30.0
25.0
x*
20.0
y*
15.0
v*
10.0
x0
5.0
v0
0.0
0
2
4
6
8
10
12
Größe der Testkosten zu vx bestimmend für Testbereich;
c2 groß führt zum reinen Suchen.
Tabelle 12: The influence of
1.0
13 in
the extreme situation of
23 = 1 with
12 = 0,4
0.4
10
10
10
10
x*
y*
v*
x0
v0
-18,782
2,723
9,039
12,423
14,926
16,931
18,701
20,178
21,467
22,678
333,50
169,664
114,361
86,948
70,987
60,712
53,721
48,668
44,888
42,033
24,740
25,232
25,560
25,876
26,479
27,293
28,343
29,537
30,855
32,333
-
-
10
10
c1
0.1
c2
0.2
400.0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
350.0
300.0
250.0
x*
200.0
y*
150.0
v*
100.0
50.0
0.0
-50.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
vx wächst mit 13;
Testintervall wird mit zunehmendm
13
1
kleiner.

20. Tabelle 13: The influence of
0
13 with
23 = 0 and
variable
13
10
10
10
10
x*
0,1
0,3
0,5
0,7
0.4
10
y*
v*
x0
v0
10
27,686
31,643
33,925
14,447
18,753
23,315
19,016
-
10,902
-
c2
0.2
40.0
21,930
23,364
24,117
c1
0.1
30.0
x*
y*
20.0
v*
10.0
x0
0.0
0.1
10
10
23
x*
y*
v*
Testbereich
250.0
-3,941
11,334
17,816
24,557
25,091
22,855
21,229
20,231
211,868
79,123
39,915
26,560
27,745
35,152
42,088
48,342
19,391
16,953
15,659
16,223
18,208
21,402
25,162
29,429
215,800
67,800
22,100
2,000
2,654
12,300
20,860
28,110
200.0
150.0
x*
100.0
y*
50.0
v*
0.0
0,32
-50.0
Testbereich
0,23
10
0,14
-0,31
-0,22
-0,13
-0,04
0,05
0,14
0,23
0,32
10
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
10
12 13 -
v0
0.7
c2
0.2
-0,04
f=
10
c1
0.1
-0,13
0.9
on the optimal policy with highly correlated variables x 1 and x 2
-0,22
0.4
13
0.5
Ergebnis nicht verständlich!
Wozu testen?
-0,31
Tabelle 14: The influence of
0.3
From this results the conclusion that it seems reasonable that we require f < 0.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Nicht plausibel für f > 0
f= 13 12- 23

21. Tabelle 15: The influence of
0.6
12 on
the optimal policy
12 ≠ 1)
according to the preconditions
10
10
x*
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
0,95
0,98
0.8
10
10
y*
v*
Testbereich
17,802
18,265
19,169
19,766
20,032
17,869
14,901
55,896
53,131
48,713
45,484
44,724
55,497
74,862
26,104
25,418
24,362
23,379
23,430
26,006
30,934
38,094
34,866
29,544
25,718
24,702
37,601
59,961
10
10
80.0
70.0
60.0
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
x*
y*
v*
Testbereich
0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 0.95 0.98
Nicht plausibel, da für große
12
ein Testen nicht sinnvoll erscheint.
!

22. Tabelle 16: An investigation into the role of f and
12 23 -
13 on
the optimal policy
x*
0,20
0,30
0,32
0,34
0,35
0,37
0,39
0,41
0,43
0,44
0,444
0,45
0,47
0,49
y*
v*
x0
v0
11,334
17,816
19,168
20,571
21,257
22,614
23,945
25,125
26,034
25,406
79,123
39,915
35,780
32,524
31,153
28,883
27,207
26,035
26,123
27,144
16,953
15,659
15,593
15,626
15,671
15,827
16,074
16,388
17,557
17,975
25,994
26,185
26,129
26,185
-
16,877
17,079
17,161
17,283
-
Tabelle 17: The influence of
0.6
0.4
23 on
90.0
80.0
70.0
60.0
x*
50.0
y*
40.0
v*
30.0
x0
20.0
v0
10.0
0.0
the optimal policy
10
10
10
10
10
c1
0.1
10
c2
0.2
70.0
x*
0,28
0,3
0,4
0,6
0,8
0,9
1,0
y*
v*
x0
v0
60.0
27,079
25,249
21,846
19,169
18,017
16,931
27,522
30,061
38,169
48,713
54,575
60,712
20,380
20,593
22,005
24,362
25,775
27,293
27,367
-
20,420
-
50.0
x*
40.0
y*
30.0
v*
20.0
x0
10.0
v0
0.0
0.28
0.3
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0

23. Man kann zeigen: Diese Probleme lassen
sich vermeiden,
wenn 12 23 - 13 ≤ 0 und 12 13- 23 ≤ 0 erfüllt wird!
MacQueen (1964) zeigt, daß
1) Eine Interpretation der Lösung als 2facher Test möglich ist und
2) hiedurch die optimale Ausschöpfung eines beschränkten Budgets für
wiederholte Sequentialtests approx. möglich ist
DeGroot, M.,Optimal Statistical Decisions,
McGraw-Hill Company,N.Y., 1970
MacQueen, J.B.,Optimal Policies for a Class of Search and
Evaluation Problems, Operations Research, Vol. 8, No.3

24. Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang PANNY
Full Professor (retired)
Department of Information Systems and Operations
WU Vienna University of Economics and Business
Welthandelsplatz 1, 1020 Vienna, Austria
Phone: +43-1-31336-5221, Fax: +43-1-31336-905221
wolfgang.panny@wu.ac.at
Personal data
Date of birth: August 5, 1948
Citizenship: Austria
Marital Status: married
Education
2005 – 2007
WU, Department of Information Systems and Operations
Chair of Department
1987 – 1989
WU, Department of Statistics and Mathematics
Associate Professor
1986 – 1987
University of Bamberg (Germany),
Department of Management Information Systems
Full Professor
1985 – 1986
WU, Department of Statistics and Mathematics
Associate Professor
1976 – 1985
WU, Department of Statistics and Mathematics
Assistant Professor
1973 – 1976
WU, Department of Statistics and Mathematics
Research and Teaching Assistant

25. Visiting positions
Visiting Scientist, McMaster University (Hamilton, Ontario, Canada), Department of
Mathematics and Statistics, 1987
Outside positions
Austrian member of ISO/IEC JTC1/SC32/WG3 (Database Languages)
Research interests
> Algorithms and data structures
> Design and analysis of algorithms
> Databases and database languages
Teaching experience >
>
>
>
>
Algorithms and data structures
Databases and database languages
Information retrieval
MIS, expert systems
Analysis of algorithms
Research projects
>
>
>
>
>
>
IDIOM Information Diffusion Across Interactive Online Media; Partners:
MODUL University Vienna, TU Graz, Gentics Software, Austria.info Systems
GmbH, Prisma
RAVEN Relation Analysis and Visualization for Evolving Networks;
Partners: MODUL University Vienna, Know-Center, Gentics Software,
SmApper Technologies
Conference chairs
> Section chair, Symposium Informationswirtschaft, Vienna 2003
> Section chair, 4th International Conf. on Lattice Path Combinatorics and
Applications, Vienna 1998
> Section chair, Operations Research, Vienna 1990
> Host and Organizer, Working Group Meeting ISO/IEC JTC1/SC32/WG3, Vienna
2002
> Scientific Committee, 6th International Conf. on Lattice Path Combinatorics and
Applications, Tennessee, USA, 2007
Refereeing
Occasional refereeing (e.g. for Wirtschaftsinformatik, Teubner, Springer, Random
Structures & Algorithms, The Computer Journal, Journal of Applied Probability,
Journal of Statistical Planning and Inference, …)

26. Memberships
>
>
>
>
>
>
Austrian Computer Society
Austrian Mathematical Society
Austrian Statistical Society
GI-Special Interest Group for Information Retrieval
Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
Institute of Combinatorics and its Applications (ICA)
Publications of the last years
W. PANNY: A Lattice Path Combinatorial Approach to Rothe Numbers and Related Convolution Results,
Fundamenta Informaticae 117 (2012), 265-277.
E. ASCHAUER, E. EBERHARTINGER, W. PANNY: Cross-Border hybrid Finance and Tax Planning: Does
International Tax Coordination Work? in: International Tax Coordination: An Interdisciplinary
Perspective on Virtues and Pitfalls, ed.: M. Zagler (Routledge: London, 2010), 115-133.
W. PANNY: Deletions in Random Binary Search Trees: A Story of Errors, Journal of Statistical Planning and
Inference 140 (2010), 2335-2345.