Lineaire verbanden - Havo 2 - 1.theorie

1. Theorie
Lineaire verbanden

2. Inleiding
Amy moet voor een biologie project de groei van een boon onderzoeken. Elke maandag
schrijft ze de lengte op van het plantje dat boven de grond uitkomt. Hieronder zie je haar
gegevens:
Lengte van de boon:
Om een goed overzicht te krijgen van de groei zet Amy alle lengtes in een assenstelsel. Dit
doet ze door het aantal weken op de horizontale as te zetten en de lengte op de verticale as.
Elke meting zet ze doormiddel van een punt in het assenstelsel. Het gaat om de punten:
(0,0), (1,3), (2,6), (3,9), (4,12) en (5,15). De betekenis van het punt (2,6) is dat in week 2 de
lengte van de boon 6 cm was.
week 0 0 cm
week 1 3 cm
week 2 6 cm
week 3 9 cm
week 4 12 cm
week 5 15 cm

3. Opgave 1: Welk figuur hoort bij de boon van Amy?
figuur 1 figuur 2 figuur 3
Antwoord:
Figuur 2 is onjuist, omdat de lengte en de weken op de verkeerde assen staan.
Figuur 3 is onjuist, omdat de stapgrootte van de verticale as niet gelijk zijn.
Figuur 1 is juist!

4. Wanneer Amy de punten in het assenstelsel verbindt
valt haar iets op. Er ontstaat namelijk een rechte lijn.
Wanneer je punten op een rechte lijn vallen heb je te
maken met een lineaire verband.
Een lineair verband kun je naast de rechte lijn in een assenstelsel ook herkennen in een
tabel. Wanneer er per eenheid hetzelfde getal bij opgeteld of afgehaald word heb je te
maken met een lineair verband. Hieronder zie je de tabel van Amy. Aan de linkerkant van
de tabel wordt steeds +1 week gedaan en aan de rechterkant +3 centimeter.

5. Opgave 2: Amy ziet op school het verslag van haar vriendinnen. Hieronder
zie hun tabellen en grafieken. Bij welke vriendin groeit de boon niet Lineair?
Lotte Hedwig Vera
Antwoord:
De bonen van Lotte en Vera groeien allebei lineair. Dit is zowel te zien in hun tabellen als aan hun
grafieken. In de tabellen is te zien dat er telkens dezelfde stappen worden genomen. Bij Lotte zijn dit
stappen van +2 en bij Vera +4. De grafieken zijn allebei rechte lijnen wat een lineaire verband
weergeeft.
Hedwig heeft geen lineair verband. De stappen in haar tabel verschillen. Haar stappen zijn namelijk:
+0,5, +05, +1, +2 en +4. Daarnaast is haar grafiek geen rechte lijn.

6. a > 0 dan stijgt de
grafiek
a = 0 dan is de grafiek horizontale
a < 0 dan daalt de grafiek
Hellingsgetal
Amy wil voor de groei van haar boon een formule maken, zodat ze kan uitrekenen hoe
lang de boon na 20 weken is.
Het eerste wat ze daarvoor nodig heeft is het hellingsgetal, ook wel richtingscoëfficiënt
genoemd. Dit word afgekort met de letter a.Het hellingsgetal(a) geeft aan hoeveel er per
eenheid bijkomt of afgaat.
Een hellinggetal(a) kan drie soorten waarden aannemen, namelijk:

7. Hier rechts zie je de grafiek van Amy.
Om a te bereken heeft Amy twee punten nodig die op haar
grafiek liggen. Ze pakt (2,6) en (4,12).
Met de twee punten kan ze op de volgende manier a
berekenen:
De boon van Amy heeft dus een hellingsgetal van +3. In haar grafiek kun je dit terug zien
aan de stappen die genomen worden per week. Als je 1 week naar rechts gaat moet je 3
cm omhoog om weer op de grafiek te komen.
Wat Amy opvalt is dat deze +3 ook terug komt in haar tabel.
Dit waren namelijk de stappen die ze aan de rechter kant
moest nemen om op de volgende lengte uit te komen.

8. Opgave 3: Lotte, de vriendin van Amy, wil ook het hellingsgetal
van haar boon weten. Bereken het hellingsgetal.
Pak twee punten die op de grafiek liggen.
Bijvoorbeeld (1,2) en (4,8).
Vul ze vervolgens in om a te berekenen:
Hellingsgetal van Lotte is dus +2.
Als we naar de tabel van Lotte kijken zien we dat aan de rechterkant
stappen van +2 genomen moeten worden om op het volgende uit te
komen.
Het maakt niet uit welke twee punten je pakt als ze maar op je
grafiek liggen. (De punten (0,0); (2,4) en (5,10) mogen ook)

9. Formule
Nu Amy het hellingsgetal van haar grafiek weet (a = 3) kan ze de formule gaan maken.
Bij een lineair verband hoort de standaard formule van de vorm:
begingetal (b)
Vul hier de eenheid die op de verticale as staat in.
Staat er bijvoorbeeld hoogte dan krijg je:
hellingsgetal (a)
Vul hier de eenheid die op de horizontale as staat in.
Staat er bijvoorbeeld tijd dan krijg je:
Het begingetal(b) betekend de waarde van de grafiek bij x=0. Deze kun je uit de tabel
en/of uit de grafiek aflezen. Links onder in de grafiek is het begingetal 40 en bij de
rechter is het begingetal 8.

10. Formule
Amy kan al een aantal dingen invullen in de standaard formule.
Zo heeft ze geen x en y bij haar assen staan, maar weken en
lengte. Daarnaast is haar hellingsgetal 3. Als ze deze
gegevens invult krijgt ze:
Het laatste wat ze moet doen is het begingetal(b) invullen. Deze leest Amy af uit haar
grafiek en vindt ze bij 0 weken. In dit geval is dit 0. Bij 0 weken heeft de boon namelijk
een lengte van 0 cm.
De formule voor de boon van Amy wordt dan als volgt:
Amy wilde weten wat de lengte van de boon is na 20 weken. Om dit te weten te komen
vult ze voor het aantal weken 20 in en krijg je:

11. Opgave 4: Dennis gooit een steen vanuit een toren naar beneden. De grafiek hieronder
geeft aan wat de hoogte is van het steentje per seconde. Maak een formule van de grafiek.
- Twee punten op de grafiek:
(4,0) en (5,0)
- Het hellingsgetal berekenen:
2. Hellingsgetal(a) berekenen
1. Algemene vorm
4. Formule invullen
3. Begingetal(b) aflezen
b = 4
Kan korter