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Ecuaciones exponenciales
Prof. Viviana Lloret
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en donde la incógnita figura en el exponente.
Veamos algunos ejemplos:
𝟑 𝟐𝒙+𝟒= 2...
Resolveremos ahora:
25𝑥 −3 = 8 𝑥+4
En este caso vemos que también 8 puede ser expresado como potencia de 2, luego
25𝑥 −3
=...
A continuación resolveremos:
𝟐 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟓 𝟐 𝒙+𝟒
Como 5 no puede ser expresado como potencia de 2, aplicamos logaritmo (en ba...
Resolveremos:
23𝑥+2. 82𝑥+1= 16 𝑥+1: 42𝑥+3
Como 8, 16 y 4 son potencias de 2 reemplazamos 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 4 = 2 2
23𝑥+...
Resolveremos:
𝟓3𝑥+2
. 𝟑2𝑥+1
= 𝟐 𝑥+1
: 𝟔2𝑥+3
Como 5, 3, 2, 6 no pueden expresarse como potencias de un mismo número aplicam...
Resolveremos ahora la siguiente ecuación:
3 𝑥+2 + 3 𝑥+1 = 36
Sabemos que a n . a m = a n+m es decir que si tenemos a n+m l...
Función Exponencial (Repaso)
Recordaremos cómo graficar la función f(x)= 2 x – 4
En primer lugar trazamos la asíntota por ...
Calculamos la raíz (y=0)
0= 2 x – 4
4= 2 x
x= 2
Intersección con y (x=0)
y = 2 0 – 4
y= 1 – 4
y= -3
Hacemos una tabla para obtener más valores:
x y
1 -2
3 4
-1 -3,5
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  1. 1. Ecuaciones exponenciales Prof. Viviana Lloret
  2. 2. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en donde la incógnita figura en el exponente. Veamos algunos ejemplos: 𝟑 𝟐𝒙+𝟒= 27 Podemos observar que 27 puede ser expresado como potencia de 3 (27 = 3 3), luego 3 𝟐𝒙+𝟒 = 3 3 Como las potencias tienen el mismo resultado y las bases son iguales concluimos que los exponentes necesariamente deben ser iguales, por lo tanto igualamos 2x+4 a 3 2x + 4 = 3 Por último despejamos x 2x = 3 – 4 x = -1/2
  3. 3. Resolveremos ahora: 25𝑥 −3 = 8 𝑥+4 En este caso vemos que también 8 puede ser expresado como potencia de 2, luego 25𝑥 −3 = (23 ) 𝑥+4 Aplicamos en el segundo miembro Potencia de otra Potencia 25𝑥 −3 =23.(𝑥+4) Aplicamos distributiva en el exponente del segundo miembro 25𝑥 −3 =23𝑥+12 Igualamos exponente y despejamos x: 5x – 3 = 3x + 12 5x – 3x = 12 + 3 2x = 15 X = 15/2
  4. 4. A continuación resolveremos: 𝟐 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟓 𝟐 𝒙+𝟒 Como 5 no puede ser expresado como potencia de 2, aplicamos logaritmo (en base 10) en cada miembro: log 23𝑥+1 = 𝑙𝑜𝑔 52 𝑥+4 Aplicamos, en ambos miembros la propiedad log a n = n. log a (3x+1) log 2 = (2x + 4). log 5 Como log 2=0,3 y log 5= 0,7 nos queda: (3x+1) . 0,3 = (2x + 4). 0,7 Aplicamos propiedad distributiva: 0,9 x + 0,3 = 1,4 x + 2,8 Despejamos x: 0,9 x – 1,4 x = 2,8 -0,3 -0,5 x = 2,5 X= - 2,5/0,5 X= 5
  5. 5. Resolveremos: 23𝑥+2. 82𝑥+1= 16 𝑥+1: 42𝑥+3 Como 8, 16 y 4 son potencias de 2 reemplazamos 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 4 = 2 2 23𝑥+2 . 23(2𝑥+1) = 2 𝟒(𝑥+1) : 22(2𝑥+3) Aplicamos propiedad distributiva 23𝑥+2 . 2 6𝑥+3 = 2 𝟒𝑥+𝟒 : 2 4𝑥+6 Aplicamos a n . a m = a n+m y a n : am = a n -m 2 3𝑥+2+6𝑥+3 = 2 𝟒𝑥+𝟒−4𝑥 −6 Igualamos exponentes: 3𝑥 + 2 + 6𝑥 + 3= 4𝑥 + 𝟒 − 4𝑥 − 6 Despejamos x 9 x = 4 -6 - 2 – 3 9x = -7 x= -7/9
  6. 6. Resolveremos: 𝟓3𝑥+2 . 𝟑2𝑥+1 = 𝟐 𝑥+1 : 𝟔2𝑥+3 Como 5, 3, 2, 6 no pueden expresarse como potencias de un mismo número aplicamos logaritmo en ambos miembros, para ello recordemos que: log (a.c) = log a + log b y log (a : c) = log a - log b 𝐥𝐨𝐠 (𝟓3𝑥+2. 𝟑2𝑥+1)= log (𝟐 𝑥+1: 𝟔2𝑥+3 ) 𝐥𝐨𝐠 𝟓3𝑥+2 + 𝒍𝒐𝒈 𝟑2𝑥+1 = log 𝟐 𝑥+1 − 𝐥𝐨𝐠 𝟔2𝑥+3 (3x+2) log 5 + (2x +1) log 3 = (x+1) log 2 – (2x+3) log 6 (3x+2) . 0,7 + (2x +1) 0,5 = (x+1) 0,3 – (2x+3) . 0,8 Aplicamos propiedad distributiva y despejamos x. 2,1 x + 1,4 + 1 x + 0,5 = 0,3 x + 0,3 – 1,6 x + 2,4 2,1 x +1 x - 0,3 x + 1,6 x = 0,3 + 2,4 – 1,4 – 0,5 4,4 x =0,8 X = 0,8 / 4,4 X= 2/11
  7. 7. Resolveremos ahora la siguiente ecuación: 3 𝑥+2 + 3 𝑥+1 = 36 Sabemos que a n . a m = a n+m es decir que si tenemos a n+m lo podemos reemplazar por a n . a m Luego 3 𝑥+2 = 3 𝑥 . 32 y 3 𝑥+1 = 3 𝑥. 31 3 𝑥 . 32 + 3 𝑥 . 31 = 36 Sacamos factor común 3 𝑥 3 𝑥 ( 32 + 31 ) = 36 3 𝑥 . 12 = 36 3 𝑥 = 36 : 12 3 𝑥 = 3 x = 1
  8. 8. Función Exponencial (Repaso) Recordaremos cómo graficar la función f(x)= 2 x – 4 En primer lugar trazamos la asíntota por y = -4
  9. 9. Calculamos la raíz (y=0) 0= 2 x – 4 4= 2 x x= 2
  10. 10. Intersección con y (x=0) y = 2 0 – 4 y= 1 – 4 y= -3
  11. 11. Hacemos una tabla para obtener más valores: x y 1 -2 3 4 -1 -3,5

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