ゼミの発表用資料を雑に弄ったものです

1. Gröbner 基底への導入
情報システム系 4年
佐藤 海斗
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2. 演習内容 – 計算代数幾何学
読んだ本：
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3. 演習内容 – 計算代数幾何学
Gröbner 基底について：
性質の良い多変数多項式の集合
多変数連立代数方程式の求解に使える
（Lagrange の未定乗数法が代表例）
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4. 演習内容 – 計算代数幾何学
Toy Example：
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 − 90 = 0
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 12 = 0
ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 − 3𝑦 − 28 = 0
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5. 演習内容 – 計算代数幾何学
Toy Example：
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6. 演習内容 – 計算代数幾何学
Toy Example：
イデアル 𝑓, 𝑔, ℎ の辞書式順序(lex)による Gröbner 基底は
𝐺1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 5𝑧3 − 33𝑧2 + 56𝑧 − 18
𝐺2 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑦 + 5𝑧3
− 33𝑧2
+ 54𝑧 + 6
𝐺3 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5𝑧4 − 48𝑧3 + 155𝑧2 − 180𝑧 + 38
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7. 演習内容 – 計算代数幾何学
Toy Example：
𝑓, 𝑔, ℎ と 𝐺1, 𝐺2, 𝐺3 は同じ代数多様体を生成することが示せる
→ 𝑓 = 𝑔 = ℎ = 0 が解けた
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8. 演習内容 – 計算代数幾何学
理論的な話：
𝑅 : 可換環，𝑅[𝑋] : 𝑅 上多項式環，𝐼 ⊂ 𝑅[𝑋] : イデアル
Q1 (イデアル記述問題).
𝐼 は有限生成か？ 生成系をいかにして求めればよいか？
Q2 (イデアル所属問題).
任意の 𝑓 ∈ 𝑅[𝑋] について 𝑓 ∈ 𝐼 か否かを判定できるか？
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9. 演習内容 – 計算代数幾何学
理論的な話：
以下のどれかを満たす単位的可換環 𝑅 は Noether と呼ばれる
1. 𝑅 のイデアルからなる非空集合は極大元を持つ
2. 任意の 𝑅 のイデアルが有限生成
3. 𝑅 のイデアルがなす上昇列 𝐼0 ⊂ 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ は収束する，
すなわち ∃𝑁 ∈ ℕ 𝑠. 𝑡. ∀𝑛 ≥ 𝑁, 𝐼 𝑛 = 𝐼 𝑛+1
(ただし，3⇒2 と 2⇒1 には選択公理を要する)
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10. 演習内容 – 計算代数幾何学
理論的な話：
Hilbert の基底定理いわく，
𝑅 : Noether ⇔ 𝑅[𝑋] : Noether
ゆえに Q1 の前半は Yes.
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11. 演習内容 – 計算代数幾何学
理論的な話：
Hilbert の基底定理の証明は非構成的である
- “This is not mathematics; this is theology.”, Gordan
生成系の具体的な構成法を得ることはできない
→Buchberger のアルゴリズムを使う
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12. 演習内容 – 計算代数幾何学
多変数連立方程式が絡む様々な問題に応用できる：
• ロボットアームの挙動
• Lagrange の未定乗数法
• 整数計画問題
• 実験計画法
• 符号理論，暗号理論
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13. 今後の展望
Gröbner 基底を元にした研究テーマを考える+先行研究を調べる
考えられるテーマの例：
• 制御理論やロボティクスなどへの応用
• 原始的(primitive)なアルゴリズムとの理論的比較
• Buchberger のアルゴリズムの高速化
• Bézier 曲線やコンピュータグラフィックスへの応用
• 一般の体上での Gröbner 基底生成
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14. 今後の展望
当面（今年度中）の目標
• Dickson の補題，Buchberger アルゴリズムを理解する
• 数式処理システムの環境を整える
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