Fisica 3

Tema 3: Fuerzas eléctricas y
campo eléctrico
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer curso
Curso 2006/2007

Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla

1

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico

Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss
Curso 2006/2007


2/50

Introducción
“elektron” es un vocablo griego que
significa ámbar
Al frotar el ámbar éste atrae pequeños
objetos (pajitas, plumas,…)
La electricidad es un fenómeno muy
presente en la vida diaria:
Fenómenos de electricidad estática
Ingeniería:Máquinas y motores eléctricos
Curso 2006/2007


3/50

Carga eléctrica
Evidencia experimental:
Dos barras de plástico frotadas con piel se
repelen
Dos barras de vidrio frotadas con seda se
repelen
La barra de vidrio y la de plástico se atraen

Se dice que las barras están cargadas
Hay dos tipos de carga:
Carga positiva
Carga negativa
Curso 2006/2007


4/50

Propiedades de la carga
Cuantización

La carga está cuantizada: Q = ± Ne
Donde e es la unidad fundamental de carga y
coincide con el valor absoluto de la carga del
electrón
Usualmente N es muy grande

Conservación de la carga
Unidades: culombio (C)
e = 1.60 × 10−19 C
Ejemplo: carga que se trasvasa al frotar dos
objetos es del orden de 50 nC:
50nC
50 × 10−9 C
N=
=
≈ 3 × 1011
e
1.60 × 10-19 C
Curso 2006/2007


5/50

Aislantes y conductores
Clasificación de la materia atendiendo a sus
propiedades de conducción eléctrica
Conductores: la carga puede desplazarse por
su interior con facilidad
Ejemplo: metales

Aislantes: La carga no puede moverse
libremente
Cuando se cargan por frotación la carga queda
confinada en la región frotada.
Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
Curso 2006/2007


6/50

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Campo eléctrico


Ley de Gauss
Curso 2006/2007


7/50

Ley de Coulomb
Fuerza ejercida por una carga puntual
sobre otra

Balanza de torsión
Curso 2006/2007

Está dirigida a lo largo de la línea que las
une
Disminuye con el cuadrado de la distancia
que separa las cargas
Es proporcional al producto de las cargas
Es repulsiva para cargas del mismo signo y
atractiva para cargas de signo contrario

8/50

Ley de Coulomb
Representación matemática:
F12 = k
F12

Nm2
k = 8.99 × 10
C2
9

Curso 2006/2007

ˆ
r12 =

q1q2
ˆ
r12
2
r12

r2 − r1
r
= 12
r2 − r1
r12

Constante de Coulomb
Medida experimentalmente


9/50

Cuando tenemos un sistema
de cargas la fuerza sobre
cada carga es la suma
vectorial de las fuerzas
individuales ejercidas por
cada una de las demás
cargas
Principio experimental
Curso 2006/2007


10/50

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Campo eléctrico


Ley de Gauss
Curso 2006/2007


11/50

Campo eléctrico: introducción
La fuerza entre cargas puede verse como
una acción a distancia.
Una visión alternativa es la del campo
eléctrico:
Una carga crea un campo eléctrico en todo
el espacio: magnitud vectorial
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre
otras cargas
Curso 2006/2007


12/50

Campo eléctrico: definición
En un punto colocamos una carga de prueba: q0
No perturba la distribución de cargas original (q0→0)
Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica
que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula
Magnitud vectorial

q1
q2

F

E=

F10
q0

Dirección de

F
q0

F

Independiente de q0
Unidades: N/C

F20

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13/50

Campo de una carga puntual
Ei

• Tenemos una carga puntual qi

rp

• Situamos una carga de prueba q0

qi
ri

qq
ˆ
Fi 0 = k i 2 0 rip
rip

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rip

z

• Ley de Coulomb:

F
Ei = i 0
q0

q0

Ei = k

x

qi
ˆ
r
2 ip
rip

O
i
p

y
Punto fuente
Punto campo

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA
CARGA PUNTUAL


14/50

Campo eléctrico de una
distribución de cargas puntuales
Principio de superposición para el
campo eléctrico

rp
q3
r3

q2

r2
q1

z

E p = ∑ Ei = ∑ k

r1
x

Es una consecuencia del principio de
superposición para la fuerza
El campo eléctrico de la distribución
de cargas es la suma vectorial de
los campos de cada carga puntual

O

y

i

Curso 2006/2007

i

qi
ˆ
r
2 ip
rip


15/50

Campo eléctrico de distribuciones
continuas de carga
Las distribuciones de carga son siempre discretas
(cuantización de la carga)
Cuando un punto de la distribución de cargas contiene
un número muy alto de cargas discretas la distribución
puede tratarse como una distribución continua de
carga
Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan
como distribuciones continuas de masa

ΔV

z
x

y

∑m

dm
ΔV →0 ΔV
dV
dm = ρm dV → m = ∫ ρm dV
ρm = lim

i

i

=

V

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16/50

Distribución volumétrica de carga
Campo debido a un dq:

V

z

dq = ρdV
P

r
x

dE = k

dq
ˆ
r
2
r

Campo total debido a la distribución
en V :

y

E=∫ k
V

Distribución volumétrica de carga:
Densidad de carga: ρ

dq = ρdV
Curso 2006/2007

E=∫ k
V

dq
ˆ
r
r2

ρdV
ˆ
r
2
r


17/50

Distribuciones superficial y
lineal de carga
Distribución superficial de carga:
z
dq = σdS
σdS
ˆ
E=∫ k 2 r
S
r
r
x
P
y
Distribución lineal de carga:
P r
dl
z
λdl
ˆ
E=∫ k 2 r
L
dq = λdl
r
x
y
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18/50

Ejemplo: Campo sobre el
eje de una carga lineal finita
y
dx
−L

Q
2L
P dEx
kdq
k λdx
x dEx =
=
( xP − x ) 2 ( xP − x ) 2
Distribución uniforme:

L

x

xP

u = xP − x
dx
Ex = k λ ∫
− L ( x − x)2
du = − dx
P
L

= −k λ ∫

λ=

xP − L

xP + L

du
u2

⎛ 1
1 ⎞ 2kLλ
kQ
−
= 2
= 2
Ex = k λ ⎜
⎟
xP − L xP + L ⎠ xP − L2 xP − L2
⎝
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xP > L
19/50

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Campo eléctrico


Ley de Gauss
Curso 2006/2007


20/50

Representación gráfica para visualizar el
campo eléctrico
El campo eléctrico es tangente a la línea de
campo
El módulo del campo eléctrico es mayor
cuanto más próximas están las líneas de
campo

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21/50

Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número
finito de líneas, pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
en ese campo

Curso 2006/2007


22/50

Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número
finito de líneas, pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
en ese campo

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23/50

Dos cargas positivas iguales

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24/50

Cargas iguales con distinto
signo: dipolo eléctrico

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25/50

Reglas para representar
líneas de campo
Salen de las cargas positivas y terminan en las
negativas
Si hay exceso de carga positiva debe haber líneas que
acaban en el infinito
Si hay exceso de carga negativa debe haber líneas que
salen del infinito
Para cada carga puntual las líneas se dibujan entrando
o saliendo de la carga y:
Uniformemente espaciadas
En número proporcional al valor de la carga

Dos líneas de campo no pueden cruzarse
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26/50

Ejemplo:
Exceso de carga
positiva: líneas que
terminan en el
infinito
Salen 16 líneas
equiespaciadas
Entran 8 líneas
equiespaciadas
Líneas salen de la
carga positiva y
entran en la carga
negativa
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27/50

Líneas a distancias grandes
A distancias grandes
comparadas con la
mayor distancia entre
cargas del sistema:
Líneas igualmente
espaciadas
Líneas radiales

Equivalen a las líneas de
una sola carga puntual
con carga igual a la
carga neta del sistema
Curso 2006/2007


28/50

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Campo eléctrico


Ley de Gauss
Curso 2006/2007


29/50

Movimiento de cargas en un
campo eléctrico
Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de
un campo eléctrico:

q

E

F = qE

Segunda Ley de Newton:

a=

F = ma = qE

q
E
m

Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado

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30/50

Ejemplo 1: electrón en campo
uniforme
E
F = −eE

y

q = −e

x

0 t
v( x) − v(0) = ∫ adt = at
0

t2
x − x0 = ∫ atdt = a
0
2
t

F = −eEi = ma
eE d 2 x
= 2
a=−
m dt
eE = dx
v=− t
dt
m
eE 2
x = x0 −
t
2m

Movimiento uniformemente acelerado
Curso 2006/2007


31/50

Ejemplo 2: electrón con
velocidad perpendicular al campo
Eje y : movimiento rectilíneo
uniforme

v0 E
y

F = −eE
x

q = −e

y = y0 + v0t
Eje x : movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado

x = x0 −

eE 2
t
2m

La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a
la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un
campo gravitatorio (tiro parabólico)
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32/50

Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Campo eléctrico


Ley de Gauss
Curso 2006/2007


33/50

Ley de Gauss
Ley general del electromagnetismo
Útil para calcular campos eléctricos
Sólo puede aplicarse para tal fin en
situaciones en que la distribución de
cargas tenga una alta simetría

Curso 2006/2007


34/50

Flujo eléctrico
Magnitud proporcional al número de líneas de campo
que atraviesan una superficie
Supongamos E uniforme y superficie perpendicular

Φ = EA FLUJO
E ' = xE → Φ ' = xΦ
A' = nA → Φ ' = nΦ

Definimos:

E

Si

A

Si

El flujo aumenta o disminuye
proporcionalmente al número de líneas
de campo que atraviesan la superficie

Curso 2006/2007


35/50

Flujo eléctrico
Supongamos una superficie no perpendicular:

ˆ
n

E

θ

A1 es perpendicular a
las líneas de campo

A2

A1

A1 es atravesada por el
mismo número de líneas
de campo que A2 :

Φ = EA1 = EA2 cos θ
En general: Φ = E ⋅ A
Curso 2006/2007

ˆ
Φ = E ⋅ A = E ⋅ nA = EA cos θ


36/50

Flujo eléctrico
Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme
Tomamos ΔAi tan pequeña
que pueda considerarse:

ˆ
ni

E

Superficie plana

ΔAi

Campo eléctrico uniforme

ˆ
ΔΦ i = Ei ⋅ ni ΔAi

ˆ
∑ E ⋅ n ΔA ; en el límite ΔA → 0
ˆ
Φ = ∫ E ⋅ ndA = ∫ E ⋅ dA

Flujo total: Φ ≈

i

i

S

Curso 2006/2007

i

i

:

S


37/50

Flujo en una superficie cerrada
Es aquella superficie que divide el espacio en dos
regiones: interior y exterior
A la hora de calcular el flujo en una superficie cerrada
ˆ
se toma por convenio el vector n hacia fuera de la
superficie:

ˆ
n

Φ=

∫

S

ˆ
E ⋅ ndA

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional al número neto de líneas que salen del
volumen
Curso 2006/2007


38/50

Ley de Gauss
Suponemos una carga puntual en el centro de una
esfera de radio R

Q
R2
E ⋅ dA =

ˆ
E ⋅ n = En = k

R

Φ=

Q
SR

∫

SR

Radial

∫

SR

En dA = En 4πR 2

Φ = 4πkQ

El flujo es independiente de R
El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera
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39/50

Ley de Gauss
Supongamos otras superficies no necesariamente
esféricas:

Q
S1

SR

A todas las superficies las
atraviesa el mismo número
de líneas
Mismo flujo neto para
todas las superficies:

Φ = 4πkQ
S2

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40/50

Ley de Gauss
Supongamos un sistema de cargas:

q3

Principio de superposición:

Φ=

∫

S

( E1 + E2 ) ⋅ dA = Φ1 + Φ 2

q2

q1

Φ = 4πk (q1 + q2 )

S

Para la carga exterior:

Φ3 =

∫

S

E3 ⋅ dA = 0

Curso 2006/2007

Todas las líneas de campo
que entran por un punto de
la superficie salen por otro


41/50

Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto a través de cualquier superficie
cerrada es 4πk veces la carga neta dentro
de la superficie
Φ=

∫

S

E ⋅ dA =

∫

S

En dA = 4πkQint

A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la
permitividad del espacio libre:

1
4πk =
ε0
Curso 2006/2007

con

ε0 = 8,85 × 10

−12


C2
Nm2

Φ=

Qint
ε0
42/50

Aplicaciones de la Ley de Gauss
Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquier
distribución de carga
A veces es útil para determinar el campo
eléctrico debido a una distribución de carga que
tiene un alto grado de simetría
La técnica consiste en emplear la ecuación de la Ley
de Gauss buscando una superficie de integración
(superficie gaussiana) tal que el campo eléctrico
pueda salir fuera de la integral
Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante ó nulo

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43/50

Simetría esférica
Carga puntual
Simetría: campo radial
Superficie gaussiana: esfera de radio r
Φ = ∫ En dA = En ∫ dA = En 4πr 2 = 4πkq
Sr

r

Sr

ˆ
E = En n

En = k

q
r2

Sr
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44/50

Simetría esférica
Esfera de radio R con carga Q uniformemente
distribuida en su volumen
Superficie gaussiana: esfera de radio r

r>R
Φ = ∫ En dA = 4πkQ
Sr

Φ = En 4πr 2

En = k

Q
r2

r < R Φ = En 4πr 2 = 4πkqint
r3
3
qint = ρ 4πr 3 = Q 3
R
Q
ρ=
4πR 3 3
En =

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kQ
r
R3

45/50

Esfera con carga uniforme
en volumen

Curso 2006/2007


46/50

Simetría cilíndrica
Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita (λ )
Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea
Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la
línea de carga

Φ=

ˆ
∫ E ⋅ ndA = ∫

S1

ˆ
ˆ
ˆ
E ⋅ ndA + ∫ E ⋅ ndA + ∫ E ⋅ ndA
S2

SL

Φ = En 2πrL =

S1

r
SL

En =

S2

Curso 2006/2007

1 λ
2πε 0 r

qint λL
=
ε0
ε0


47/50

Simetría plana
Plano infinito uniformemente cargado
Simetría:E ( z ) perpendicular al plano e impar en z
Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

Φ=

ˆ
∫ E ⋅ ndA = ∫

S1

z

ˆ
n

E ( z )dA − ∫ E (− z )dA = 2 E ( z ) A
S2

E( z)

S1

x

y

SL

S2
Curso 2006/2007

ˆ
n

ˆ
n

E (− z ) = − E ( z )
q
σA
Φ = 2 E ( z ) A = int =
ε0 ε0

E (− z )

E=

σ
= 2πk σ
2ε 0
48/50

Simetría plana
Ez

z

Curso 2006/2007


49/50

Resumen
La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia
es la carga eléctrica
Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).
Está cuantizada.
La carga se conserva.

La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la
Ley de Coulomb.
La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten
calcular el campo eléctrico de cualquier distribución de carga, sea
discreta o continua (sumatorio ó integración directa).
El campo eléctrico se representa gráficamente mediante líneas de
campo.
La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede
utilizarse para calcular el campo eléctrico creado por distribuciones
de carga que posean un alto grado de simetría.
Curso 2006/2007


50/50

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