Ctdl c4-cay

Ch ng 5: Cây (Tree)ươ
Nội dung
2
 Cấu trúc cây (Tree)
 Cấu trúc cây nhị phân (Binary Tree)
 Cấu trúc cây nhị phân tìm kiếm (Binary Search Tree)

Tree – Định nghĩa
3
 Cây là một tập gồm 1 hay nhiều nút T, trong đó có một nút
đặc biệt được gọi là gốc, các nút còn lại được chia thành
những tập rời nhau T1, T2 , ... , Tn theo quan hệ phân cấp trong
đó Ti cũng là một cây

Tree – Ví dụ
4
 Sơ đồ tổ chức của một công ty
Công ty ACông ty A
R&DR&D Kinh doanhKinh doanh Taøi vuïTaøi vuï Saûn xuaátSaûn xuaát
TVTV CDCD AmplierAmplierNoäi ñòaNoäi ñòa Quoác teáQuoác teá
Chaâu aâuChaâu aâu MyõMyõ Caùc nöôùcCaùc nöôùc

Tree – Ví dụ
 Cây thư mục
5

Tree – Ví dụ

Tree – Ví dụ
 Không phải cây
7
Trong cấu trúc cây không tồn tại chu trình

Tree - Một số khái niệm cơ bản
 Bậc của một nút (Degree of a Node of a Tree):
 Là số cây con của nút đó. Nếu bậc của một nút bằng 0 thì nút đó
gọi là nút lá (leaf node)
 Bậc của một cây (Degree of a Tree):
 Là bậc lớn nhất của các nút trong cây. Cây có bậc n thì gọi là
cây n-phân
 Nút gốc (Root node):
 Là nút không có nút cha
 Nút lá (Leaf node):
 Là nút có bậc bằng 0
8

Tree - Một số khái niệm cơ bản
9
 Nút nhánh:
 Là nút có bậc khác 0 và không phải là gốc
 Mức của một nút (Level of a node):
 mức (gốc (T) ) = 0.
 gọi T1, T2, T3, ... , Tn là các cây con của T0
 mức (T1) = mức (T2) = ... = mức (Tn) = mức (T0) + 1.
 Chiều cao của cây (độ sâu) (Height – Depth of a tree):
 Là mức cao nhất của nút

Nội dung
10

Binary Tree – Định nghĩa
11
 Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con (cây có
bậc là 2)
Cây
con trái
Cây
con
phải
Hình ảnh một cây nhị phân

Binary Tree – Ví dụ
 Cây lệch trái và cây lệch phải

Binary Tree – Ví dụ
 Cây nhị phân đầy đủ (A full binary tree)

Binary Tree – Ứng dụng
 Cây biểu thức: được dùng để biểu diễn một biểu thức toán học
14

Binary Tree – Một số tính chất
 Số nút tại mức i ≤ 2i-1
 Số nút lá ≤ 2h-1
, với h là chiều cao của cây
 Số nút trong cây ≤ 2h
-1, với h là chiều cao của cây
 Chiều cao của cây ≥ log2N, với N là số nút trong cây
15

Trắc nghiệm
 Số nút lá trong cây nhị phân với chiều cao 4 là:
 2 4 6 8
 Chiều cao tối thiểu của cây nhị phân với 31 nút là bao nhiêu?
 4 7 5 3
16

Binary Tree - Biểu diễn
17
 Sử dụng cấu trúc để lưu trữ các thông tin của một nút gồm:
 Dữ liệu của nút
 Địa chỉ nút gốc của cây con trái
 Địa chỉ nút gốc của cây con phải
 Khai báo cấu trúc cây nhị phân:
typedef struct Node
{
DataType data;
Node *pLeft, *pRight;
};
typedef struct Tree
{
Node *pRoot;
};

Binary Tree – Khởi tạo cây
 Khởi tạo cây rỗng:
void InitTree (Tree &t)
{
t.pRoot = NULL;
}
18

Binary Tree - Duyệt cây nhị phân
19
 Có 3 kiểu duyệt chính có thể áp dụng trên cây nhị phân:
 Duyệt theo thứ tự trước - preorder (Node-Left-Right: NLR)
 Duyệt theo thứ tự giữa - inorder (Left-Node-Right: LNR)
 Duyệt theo thứ tự sau - postorder (Left-Right-Node: LRN)
 Tên của 3 kiểu duyệt này được đặt dựa trên trình tự của việc
thăm nút gốc so với việc thăm 2 cây con

 Duyệt theo thứ tự trước NLR (Node-Left-Right)
 Kiểu duyệt này trước tiên thăm nút gốc sau đó thăm các nút của
cây con trái rồi đến cây con phải
 Thủ tục duyệt có thể trình bày đơn giản như sau:
20
void NLR (Node* t)
{
if (t != NULL)
{
// Xử lý t tương ứng theo nhu cầu
NLR(t->pLeft);
NLR(t->pRight);
}
}

NLR
21
A
B
D
H I
N
E
J K
O
C
F
L
P
G
M
AKết quả: B D H I N E J O K C F L P G M

 Duyệt theo thứ tự giữa LNR (Left-Node-Right)
 Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đó
thăm nút gốc rồi đến cây con phải
 Thủ tục duyệt có thể trình bày đơn giản như sau:
22
void LNR(Node* t)
{
if (t != NULL)
{
LNR(t->pLeft);
//Xử lý nút t theo nhu cầu
LNR(t->pRight);
}
}

LNR
23
A
B
D
H I
N
E
J K
O
C
F
L
P
G
M
HKết quả: D N I B J O E K A F P L C M G

 Duyệt theo thứ tự giữa LRN (Left-Right-Node)
 Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đó
thăm đến cây con phải rồi cuối cùng mới thăm nút gốc
 Thủ tục duyệt có thể trình bày đơn giản như sau:
24
void LRN(Node* t)
{
if (t != NULL)
{
LRN(t->pLeft);
LRN(t->pRight);
// Xử lý tương ứng t theo nhu cầu
}
}

LRN
25
A
B
D
H I
N
E
J K
O
C
F
L
P
G
M
HKết quả: N I D O J K E B P L F M G C A

Trắc nghiệm
 The order in which the nodes of this tree would be visited by a
post-order traversal is
26
a) GCMBEJQDFKY
b) BCDFEJKYQMG
c) GCBEDFMJKQY
d) BDFECKJYQMG

Trắc nghiệm
 The order in which the nodes of this tree would be visited by a
pre-order traversal is
27
a) GCMBEJQDFKY
b) BCDFEJKYQMG
c) BCDEFGKJMYQ
d) GCBEDFMJKQY

Trắc nghiệm
 For the binary tree, preorder and inorder traversals are as
follows:
preorder: G C B E D F M J K Q Y
inorder: B C D E F G K J M Y Q
What the postorder for this tree?
28
G
C M
B E J Q
KFD Y

Một số thao tác trên cây
 Đếm số node
 Đếm số node lá
 Tính chiều cao
 ...
29

Đếm số node
 Thuật toán:
 Nếu Tree rỗng, Số node (Tree) = 0
 Ngược lại, Số node (Tree) = 1 + Số node (Tree.Left) + Số node
(Tree.Right)
30

Đếm số node lá
 Thuật toán:
 Nếu Tree rỗng, Số nút lá (Tree) = 0
 Nếu Tree là nút lá, Số nút lá (Tree) = 1 + Số nút lá (Tree.Left) +
Số nút lá (Tree.Right)
 Nếu Tree không là nút lá, Số nút lá (Tree) = Số nút lá
(Tree.Left) + Số nút lá (Tree.Right)
31

Tính chiều cao
 Thuật toán:
 Nếu Tree rỗng, Height(Tree) = 0
 Ngược lại, Height(Tree) = 1 + max(Height(Tree.Left),
Height(Tree.Right))
32

Nội dung
33

Binary Search Tree - Định nghĩa
34
 Là cây nhị phân
 Giá trị của một node bất kỳ luôn lớn
hơn giá trị của tất cả các node bên
trái và nhỏ hơn giá trị tất cả các node
bên phải
Nút có giá trị nhỏ nhất nằm ở trái
nhất của cây
Nút có giá trị lớn nhất nằm ở phải
nhất của cây
7777
33 3636
11 66 1515 4040
232344

Binary Search Tree – Biểu diễn
35
 Cấu trúc dữ liệu của CNPTK là cấu trúc dữ liệu biểu diễn cây
nhị phân
 Thao tác duyệt cây trên CNPTK hoàn toàn giống như trên cây
nhị phân
 Chú ý: khi duyệt theo thứ tự giữa, trình tự các nút duyệt qua sẽ
cho ta một dãy các nút theo thứ tự tăng dần của khóa

Binary Search Tree – Duyệt cây
36
25
10
3
1 6
5
18
12 20
13
37
29
35
32
50
41
Duyệt inorder: 1 3 5 6 10 12 13 18 20 25 29 32 35 37 41 50
Duyệt giữa trên CNPTK

37
25
10
3
1 6
5
18
12 20
13
37
29
35
32
50
41
Duyệt postorder: 1 5 6 3 13 12 20 18 10 32 35 29 41 50 37 25
Duyệt sau trên CNPTK

38
25
10
3
1 6
5
18
12 20
13
37
29
35
32
50
41
Duyệt preorder: 25 10 3 1 6 5 18 12 13 20 37 29 35 32 50 41
Duyệt trước trên CNPTK

Binary Search Tree – Thêm
39
40401515446611363633
7 36 3 1 6 4 15 40
7777  Nếu node cần
thêm < node đang
xét thì thêm về
bên trái.
 Ngược lại thì thêm
về bên phải.

Binary Search Tree – Thêm
 Thêm một phần tử vào cây:
40
void InsertNode(Node *T, DataType X)
{
if (T == NULL)
{
T = new Node;
T->data = X
T->pLeft=T->pRight=NULL;
}
else
{
if(X > T->data)
InsertNode(T->pRight,X);
else if(X < T->data) InsertNode(T->pLeft,X);
}
}

Binary Search Tree – Tìm kiếm
41
25
10
3
1 6
5
18
12 20
13
37
29
35
32
50
41
Tìm kiếm 13
Khác nhauGiống nhauNode gốc nhỏ hơnNode gốc lớn hơn
Tìm thấy
Số node duyệt: 5
Tìm kiếm trên CNPTK

42
25
10
3
1 6
5
18
12 20
13
37
29
35
32
50
41
Tìm kiếm 14
Khác nhauNode gốc nhỏ hơnNode gốc lớn hơn
Không tìm thấy
Số node duyệt: 5
Tìm kiếm trên CNPTK

 Tìm một phần tử x trong CNPTK (dùng đệ quy):
43
Node* searchNode(Node *T, DataType X)
{
if (T)
{
if(T->data == X)
return T;
if(T->data > X)
return searchNode(T->pLeft, X);
return searchNode(T->pRight, X);
}
return NULL;
}

 Tìm một phần tử x trong CNPTK (dùng vòng lặp):
44
Node* searchNode(Node* T, DataType x)
{
Node *p = T;
while (p != NULL)
{
if(x == p->data) return p;
else if(x < p->data) p = p->pLeft;
else p = p->pRight;
}
return NULL;
}

Bài tập
 Viết các hàm:
 Đếm số nút trên cây: CountNode
 Đếm số nút lá: CountLeaf
 Đếm số nút trong: CountInnerNode
 Xác định độ sâu/chiều cao của cây
 Tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất trên cây
 Tính tổng các giá trị trên cây
 Đếm số nút có giá trị bằng x
 Xuất các số nguyên tố trên cây
45

Binary Search Tree – Hủy một phần tử có
khóa X
46
 Việc hủy một phần tử X ra khỏi cây phải bảo đảm điều kiện
ràng buộc của CNPTK
 Có 3 trường hợp khi hủy nút X có thể xảy ra:
 X là nút lá
 X chỉ có 1 con (trái hoặc phải)
 X có đủ cả 2 con

khóa X
47
 Trường hợp 1: X là nút lá
 Chỉ đơn giản hủy X vì nó không móc nối đến phần tử nào khác
44
18 88
13 37 59 108
15 23 40 55 71
Hủy X=40

23
khóa X
 Trường hợp 2: X chỉ có 1 con (trái hoặc phải)
 Trước khi hủy X ta móc nối cha của X với con duy nhất của nó
48
44
18 88
13 37 59 108
15 23 55 71
Hủy X=37

khóa X
 Trường hợp 3: X có đủ 2 con:
 Không thể hủy trực tiếp do X có đủ 2 con
 Hủy gián tiếp:
 Thay vì hủy X, ta sẽ tìm một phần tử thế mạng Y. Phần tử
này có tối đa một con
 Thông tin lưu tại Y sẽ được chuyển lên lưu tại X
 Sau đó, nút bị hủy thật sự sẽ là Y giống như 2 trường hợp
đầu
 Vấn đề: chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X, cây vẫn
là CNPTK
49

khóa X
 Cách chọn phần tử thế mạng:
 Phần tử nhỏ nhất (trái nhất) trên cây con phải (của nút muốn
xóa)
 Phần tử lớn nhất (phải nhất) trên cây con trái (của nút muốn
xóa)
 Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng phụ thuộc vào
ý thích của người lập trình
 Ở đây, ta sẽ chọn phần tử nhỏ nhất trên cây con phải làm phần
tử thế mạng
50

khóa X
 Trường hợp 3: X có đủ 2 con:
 Khi hủy phần tử X=18 ra khỏi cây:
51
4444
8888
1313 3737 5959 108108
4040 5555 7171
Hủy X=18
3030
2323
1818
X
Chọn phần tử nhỏ nhất
trên cây con phải
 phần tử 23 là phần
tử thế mạng
2323

khóa X
52
 Xóa 51

khóa X
53
 Xóa 83

khóa X
54
 Xóa 36

khóa X
55
 Xóa nút gốc:

khóa X
56
 Xóa nút gốc:
 42 là thế mạng

khóa X
57
 Kết quả xóa:

khóa X
58
 Xóa gốc 42

khóa X
 Xóa gốc 42
 45 thế mạng
59

khóa X
60
 Kết quả xóa:

khóa X
 Các hàm dùng để hủy 1 phần tử:
 Hàm delNode trả về giá trị 1, 0 khi hủy thành công hoặc không
có X trong cây:
int delNode (Node* &T, DataType X)
 Hàm searchStandFor tìm phần tử thế mạng q và gán dữ liệu của
q cho nút muốn xóa p
void searchStandFor(Node* &p, Tree &q)
61

62
khóa X
 Hủy một nút
int delNode(Node* &T, DataType X)
{
if (T == NULL) return 0;
if (T->data > X) return delNode(T->pLeft, X);
if (T->data < X) return delNode(T->pRight, X);
Node *p = T;
if (T->pLeft == NULL) T = T->pRight;
else if (T->pRight == NULL) T = T->pLeft;
else // T có đủ 2 con
searchStandFor(p, T->pRight);
delete p;
}

khóa X
 Tìm phần tử thế mạng (nhỏ nhất trên cây con phải):
63
void searchStandFor(Node* &p, Node* &q)
{
if (q->pLeft != NULL)
searchStandFor (p, q->pLeft);
else
{
p->data = q->data;
p = q;
q = q->pRight;
}
}

Binary Search Tree – Hủy toàn bộ
cây
 Việc toàn bộ cây có thể được thực hiện thông qua thao tác
duyệt cây theo thứ tự sau. Nghĩa là ta sẽ hủy cây con trái, cây
con phải rồi mới hủy nút gốc
64
void removeTree(Node* &T)
{
if (T)
{
removeTree(T->pLeft);
removeTree(T->pRight);
delete(T);
}
}

Bài tập
 Viết các hàm:
 Đếm số nút có đúng 1 con
 Đếm số nút có đúng 2 con
 Đếm số nguyên tố trên cây
 Tính tổng các nút có đúng 1 con
 Tính tổng các nút có đúng 2 con
 Tính tổng các số chẵn
 Nhập x, tìm giá trị nhỏ nhất trên cây mà lớn hơn x
 Xuất số nguyên tố nhỏ nhất trên cây
 Nhập x, tìm x trên cây, nếu tìm thấy x thì cho biết x có bao
nhiêu con
 Xóa 1 nút
65

Ctdl c4-cay

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (19)

Similar to Ctdl c4-cay

Similar to Ctdl c4-cay (11)

Ctdl c4-cay

Editor's Notes