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Técnicas Computacionales y Álgebra
Tensorial para sus Aplicaciones en Robótica Móvil y Simulación Numérica.

Tesis Doctoral defendida por Lucía Hilario Pérez.
Dirigida por: Dr. Nicolás Montés y Dr. Antonio Falcó.
10 de Diciembre, 2012 Valencia.

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  1. 1. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ ´ Tecnicas Computacionales y Algebra ´ Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica ´ ´ ´ Movil y Simulacion Numerica. ´ Tesis Doctoral defendida por Luc´a Hilario Perez. ı ´ ´ ´ Dirigida por: Dr. Nicolas Montes y Dr. Antonio Falco. 10 de Diciembre, 2012 Valencia ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 1/114
  2. 2. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ 1 Introduccion: Contenidos de la Tesis. ´ ´ ´ 2 Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores. ´ ´ 3 Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front Deformation-Area. ´ ´ ´ ´ 4 Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory Deformation. 5 Conclusiones de la Tesis Doctoral. 6 Trabajos Futuros a partir de esta Tesis Doctoral. 7 Publicaciones relativas a la Tesis Doctoral. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 2/114
  3. 3. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. 1 ´ Introduccion: Contenidos de la Tesis. 2 ´ ´ ´ Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores. ´ Formulacion tradicional: BSD. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD. Comparativa entre el BSD y T-BSD. 3 ´ ´ Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front Deformation-Area. BFD. Simulaciones BFD. BFD-A. Simulaciones BFD-A. 4 ´ ´ ´ ´ Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory Deformation. BTD. Simulaciones BTD. T-BTD. Simulaciones T-BTD. 5 Conclusiones de la Tesis Doctoral. 6 Trabajos Futuros a partir de esta Tesis Doctoral. 7 Publicaciones relativas a la Tesis Doctoral. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 3/114
  4. 4. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Objetivos y Aportaciones de la Tesis Objetivo de la Tesis ´ El objetivo principal de la Tesis es abordar la deformacion de ´ ´ curvas Bezier a traves de vectores y sus aplicaciones. En ´ ´ particular se ha aplicado en dos ambitos diferenciados: la robotica ´ movil y el llenado de moldes. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 4/114
  5. 5. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Motivacion ´ ´ Robotica Movil ´ Importante dos problematicas: Generar trayectoria con curvas parametricas. ´ International Conference on Robotics and Automation Washington D.C., May 15th 2002 Trajectory Deformation : an Iterative Process Campos potenciales para evitar obstaculos. ´ detect obstacles and compute direction of deformation η(s), !(s) q(0) q(s) obstacles q(S) ´ Hasta ahora no se ha fusionado la trayectoria de un robot movil ´ ´ definida mediante una curva parametrica con la evitacion de ´ obstaculos mediante campos potenciales. ´ ´ ´ ´ ´ Numerica.L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion2002 talk.tex 7 2 mai ´ 5/114
  6. 6. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Motivacion Llenado de Moldes de resina En LCM (Liquid Composite Moulding) se utiliza el frente de avance como herramienta para mejora del proceso del llenado. Pese a que en la realidad es una curva continua, siempre se utiliza ´ una representacion discreta. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 6/114
  7. 7. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Motivacion CAGD ´ ´ En CAGD, la deformacion de curvas parametricas es uno de los ´ ´ topicos mas investigados. En consecuencia, se desarrollan ´ muchas tecnicas al respecto. Tensores ´ El tiempo de computo es un punto cr´tico en los algoritmos. Los ı ´ tensores se utilizan para reducir el tiempo de computo. Esto justifica dos tipos de aportaciones de la Tesis: ´ ´ 1 Transversales en el ambito matematico. 2 ´ Verticales en el ambito aplicado de la ingenier´a. ı ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 7/114
  8. 8. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Aportaciones de la Tesis Aportaciones de la Tesis 1 Aportaciones transversales Mejoras en las ´ tecnicas CAGD. ´ Utilizacion de los tensores en CAGD. 2 Aportaciones [73],[74]   verticales …………..   ´ ´ La robotica movil. [69],[70],[72],[73],[74],[75]   [71],[117]   El llenado de moldes con resina l´quida. ı ··· ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 8/114
  9. 9. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Curvas parametricas ´ ´ Las curvas parametricas son las mas utilizadas en CAGD (Computer Aided Geometric Design) puesto que sus puntos se calculan de forma sencilla. ´ ´ Estas curvas parametricas son: Bezier, B-Splines, NURBS, RBC. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#$%&& & & & & & & & & & & && & & & & &$%()*+,& & ! & ! ! #$-& & ! ! $./*,0& & & ! & & ! ! & ! ! & ! & ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 9/114
  10. 10. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Comparativa propiedades curvas !"#$%&3+-*,+4*%-.&/5+ !"#$%&(%)*+,%-.&/0.,.#%# !6(789 (%)*+,%-.&2 )1,*)%&2 38(8:;<(=!89 :>96<=?=@8A89 !()*$+%, B5!8CA !"#$%& -./*$+01$234,3, 735$/+3*,!"#$%& 897!( 5&/#/46 :;&<3,2/+5%+$=3,%+, *3,%+</*5;&3, (@,-40*/,*/23*,A,4$, (@,-4$,*/4,)%4/4, 2/+<%>3,=%?$+$=3, (@ (@,-40*/,*/23*6, */4,)%4/4,4/+, 4/+,)/4$5$</46 )/&,*/4,);+5/4,=%, )/4$5$</46 2/+5&/* B+5%&)/*3,)&$1%&,A, C*5$1/,);+5/,=%, (@ 8/ (@ 8/ 2/+5&/* ,D3+E%+2$3,3*, )/*@E/+/,=%,2/+5&/*, (@ 8/ (@ 8/ %+,%*,);+5/,$+$2$3*,A, ?$+3* ´ Bezier F?@+,$+<3&$3+5% (@ (@ (@ (@ !34%4,7%2;&&%+5%4 8/ (@ 8/ (@ :/+5&/*,*/23* 8/ (@ 8/ (@ :/+5&/*,E*/G3* (@ 8/ (@ 8/ ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 10/114
  11. 11. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ ´ Diferentes tecnicas de deformacion ´ ´ Deformacion de curvas parametricas ´ ´ ´ Uno de los topicos mas investigados en CAGD es la manipulacion de ´ las curvas parametricas. !"#$#%&(!)*+$,+- !"#$%&(%)*+,-*(% @"#$%&(%+./-(012+3.-(%23.0.A.%)7.9-.53%)*3B7-,(%5-%./012345267- +./-(012+3.-(%-,)+-4.% 89:;827<2=4>% % 5-63*,.53%7(%28*/(% )7+2.53%23.2-)93(%5-% 1-3,-9*:#% % !"#$%=-%,+.+,+4%-.%7(% @"#$=-%,+.+,+4%7%5+(9.2+% O"#$%=-%5-(**377%-7% CDEF=%7%)-*98*B2+G.%H8-% -.9*-%53(%28*/(%FL4+-*#% 713*+9,3%FL4+-*% % ?I%-.%73(%)8.93(%5-%23.9*37% =?)-%P-63*,03.#% %,35+J2*#% =-%)7+2%-.%&QR%I% % *3BG02#%=-% +.9*3582-.%73(% 1989 ! 1997! 2002 y 2005 ! 9-.(3*-(#% % 2001! ;.%M8%-9%7#%I% N8%-9%7# % 2008, 2010-2012.! ;.%<+-17# % ;.%=>.2?-4# % ;.%%K8%-9%7# % ! ;.%%R3.9L(%-9%7#%I%K+7*+3%-9%7# % ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 11/114
  12. 12. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Aportaciones transversales ´ ´ Manipulacion de una Bezier ´ En vista de las ventajosas propiedades que facilitan la manipulacion de una curva de Bezier =⇒ se desarrolla un algoritmo que ´ ´ ´ ´ deformara una familia de curvas de Bezier a traves de un campo de vectores. BSD ´ Bezier Shape Deformation T-BSD ´ Tensor-Bezier Shape Deformation ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 12/114
  13. 13. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. 1 ´ Introduccion: Contenidos de la Tesis. 2 ´ ´ ´ Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores. ´ Formulacion tradicional: BSD. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD. Comparativa entre el BSD y T-BSD. 3 ´ ´ Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front Deformation-Area. BFD. Simulaciones BFD. BFD-A. Simulaciones BFD-A. 4 ´ ´ ´ ´ Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory Deformation. BTD. Simulaciones BTD. T-BTD. Simulaciones T-BTD. 5 Conclusiones de la Tesis Doctoral. 6 Trabajos Futuros a partir de esta Tesis Doctoral. 7 Publicaciones relativas a la Tesis Doctoral. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 13/114
  14. 14. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion Tradicional: BSD. ´ Definicion ´ Una curva de Bezier se define como, n α(u) = ∑ Pi · Bi,n (u) (1) i =0 ´ n es el orden de la curva de Bezier. Bi,n (u) = n u i (1 − u)n−i Bases de Bernstein. i u ∈ [0, 1] es el parametro Intr´nseco. ´ ıézier Curve Properties We Use (n + 1) Puntos de Control, Pi tal que i = 0, 1, · · · , n. p6 p1t) $ n n$ p3 " = ( pk % "t k (1 ! t )n !k p0 p5) # k =0 % k " " & # p4 p2 ´ ´ ´ ´ ´ ´ L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 14/114
  15. 15. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Definiciones ´ Definicion ´ Una curva de Bezier modificada se define como, n Sε (α(u)) := ∑ (Pi + εi ) · Bi,n (u); u ∈ [0, 1] (2) i =0 ´ ´ Para deformar una curva de Bezier tan solo hay que modificar los ´ puntos de control. Para ello hay que calcular cual es la perturbacion εi de cada punto de control. ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 15/114
  16. 16. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Problema de optimizacion restringida Publicaciones anteriores ´ Minimizar los cambios que sufre la curva de Bezier modificada, (Wu et al.2005) =⇒ un buen punto de partida. Nuestro Objetivo 1 ı ´ Minimizar la energ´a utilizada por la curva de Bezier para deformarla desde α(u) a Sε (α(u)). 2 ´ Minimizar la deformacion entre la dos curvas. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 16/114
  17. 17. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Problema de optimizacion restringida Consecuencia ´ Las perturbaciones de los puntos de control se calculan a traves ´ de un problema de optimizacion restringida. Se resuelve con el Teorema de los Multiplicadores de Lagrange. ´ Definicion ´ La funcion a optimizar se define como, 1 2 α(u) − Sε (α(u)) 2 du (3) 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 17/114
  18. 18. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Funcion a optimizar Desventaja: grado y puntos de control ´ El grado depende del numero de puntos de control de la Bezier. Esto ´ ´ provoca que sea numericamente inestable cuando se necesitan muchos puntos de control, en concreto a partir de grado 10. Resulta necesario tener que concatenar curvas cuando se trabaja con un gran numero de puntos de control. ´ ´ Por ello, se define de nuevo la funcion a optimizar. ´ Definicion ´ ´ La funcion a minimizar utilizando k -curvas de Bezier se define como, k 1 g := m´n ∑ ı αl (u) − Sε (αl (u)) 2 2 du (4) l =1 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 18/114
  19. 19. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Conjunto de restricciones ´ Primera restriccion La curva modificada, Sε (αi (u)), tiene que pasar a traves de los ´ Puntos Finales (Target Points), Ti . ´ ´ Formulacion Matematica k rl ∑∑ (l ) (l ) r1 = λ, Tj − Sε (αl (uj )) ; rl ≤ nl − 1 (5) l =1 j =1 En la imagen el vector une los Puntos Iniciales (Start Points, Si ), que son puntos de la curva original, con los Puntos Finales (Ti ), que son puntos de la curva modificada. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 19/114
  20. 20. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Conjunto de restricciones ´ Segundo restriccion Para conseguir suavidad en la curva y como consecuencia de haber ´ concatenado curvas de Bezier, es necesario imponer continuidad y ´ ´ derivable en los puntos de union de las Bezier. ´ ´ Formulacion Matematica k−1 ∑ (l ) (l +1) r2 = λ, Sε (αl (uf )) − Sε (αl +1 (u0 )) (6) l =1 k−1 ∑ (l ) (l +1) r3 = λ, Sε (αl (uf )) − Sε (αl +1 (u0 )) (7) l =1 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 20/114
  21. 21. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. El conjunto de restricciones ´ Tercera restriccion Para evitar oscilaciones en los extremos de la curva resultante deformada es necesario imponer restricciones que mantengan la tangencia en dichos puntos entre la curva original y la deformada. ´ ´ Formulacion Matematica r4 = λ, α1 (0+ ) − Sε (α1 (0+ ) + λ, αk (1− ) − Sε (αk (1− ) (8) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 21/114
  22. 22. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Multiplicadores de Lagrange Para resolver el problema se aplica el Teorema de los Multiplicadores ´ ´ de Lagrange. Minimizando la funcion a optimizar, ecuacion 4, e incluyendo el conjunto de restricciones que se acaba de definir. ´ Funcion Lagrangiana L(ε(1) , · · · , ε(k ) , λ) = g + r1 + r2 + r3 + r4 (9) ´ Solucion del problema Para obtener el punto estacionario hay que hacer cero las parciales ´ de la funcion Lagrangiana. ∂L = 0; (l) = 1, · · · , k (10) ∂ ε(l ) ∂L =0 (11) ∂λ ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 22/114
  23. 23. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Perturbaciones de los puntos de control Se obtiene un sistema lineal cuadrado de ecuaciones A · X = b. La solucion X = (ε, λ) nos da la perturbacion necesaria en cada ´ ´ ´ punto de control para deformar la curva de Bezier. Ejemplo Ejemplo ! ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 23/114
  24. 24. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Termino fuente ´ Termino fuente ´ El termino fuente b del sistema lineal se define como:   0     v(1) C0,(1,2)    C1,(1,2)    . .   b=  .  .    C= . .  (14)  v(k )     C0,((k −1),k  C C1,((k −1),k (12)   (l) (l−1) (l ) (l ) C0,((l−1),l = P0 − Pnl T1 − S1 (l−1) (l−1) (l) (l)  .  C1,((l−1),l) = nl−1 · Pnl−1 −1 − Pnl + nl · P1 − P0 v = (l )  . .   (15) (l ) (l ) Trl − Srl (13) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 24/114
  25. 25. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. La matriz del sistema La matriz A La Matriz A definida por bloques.   A11 A12 A13 A14  A21 0 0 0  A=  A31  (16) 0 0 0  A41 0 0 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 25/114
  26. 26. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales ´ El bloque A11 relacionado con las derivadas parciales de la funcion a optimizar.  ( 1)  A11 0 ··· 0  ( 2)   0 A11 ··· 0  A11 =   . . .. . ,  (17)  . . . . . . .  (k ) 0 0 ··· A11 1 (l ) A11 = Bnl (u)Bnl (u)T du (18) 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 26/114
  27. 27. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales El bloque A12 relacionado con las derivadas parciales asociadas a la ´ retriccion de los Puntos Finales.  ( 1)  A12 0 ··· 0  ( 2)   0 A12 ··· 0  A12 =   . . .. . ,  (19)  . . . . . . .  (k ) 0 0 ··· A12   −1 (l ) −1 (l ) 2 B0,nl (u1 ) ··· 2 B0,nl (url ) (l )  . .. .  A12 =   . . . . .   (20) −1 (l ) −1 (l ) 2 Bnl ,nl (u1 ) ··· 2 Bnl ,nl (url ) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 27/114
  28. 28. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales El bloque A13 relacionado con las derivadas parciales asociadas a la ´ tangencia en los extremos de la Bezier. −nk −nk 0 0 0 ··· ··· 0 AT = 13 −n1 n1 2 2 (21) 2 2 0 ··· ··· 0 0 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 28/114
  29. 29. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales El bloque A14 relacionado con las derivadas parciales asociadas a la continuidad y derivabilidad en los puntos donde se concatenan las ´ curvas de Bezier.  ( 1)  A14 0 ··· 0  ( 2)   0 A14 ··· 0  A14 =   . . .. . ,  (22)  . . . . . . .  (k−1) 0 0 ··· A14 −nl nl nl+1 −nl+1 (l ) 0 ··· ··· 0 (A14 )T = 2 2 1 2 −1 2 (23) 0 ··· 0 2 2 0 ··· 0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 29/114
  30. 30. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las restricciones El bloque A21 relacionado con las restricciones correspondientes a los Puntos Finales.  ( 1)  A21 0 ··· 0  ( 2)   0 A21 ··· 0  A21 =   . . .. . ,  (24)  . . . . . . .  (k ) 0 0 ··· A11   (l ) (l ) B0,nl (u1 ) ··· Bnl ,nl (u1 ) (l )  . .. .   A21 =  . . .  (25) . .  l (l ) B0,nl (url ) ··· Bnl ,nl (url ) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 30/114
  31. 31. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las restricciones El bloque A31 relacionado con las restricciones correspondientes a ´ mantener la tangencia en los extremos de la Bezier. −n1 n1 0 ··· ··· 0 0 A31 = (26) 0 0 · · · · · · 0 −nk nk ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 31/114
  32. 32. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las restricciones El bloque A41 relacionado con las restricciones correspondientes a mantener la continuidad y derivabilidad en los puntos donde se ´ concatenan las curvas de Bezier.  ( 1)  A41 0 ··· 0  ( 2)   0 A41 ··· 0  A41 =   . . .. . ,  (27)  . . . . . . .  (k−1) 0 0 ··· A41 (l ) 0 ··· 0 1 −1 0 ··· 0 A41 = (28) 0 · · · nl−1 nl−1 −nl −nl ···0 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 32/114
  33. 33. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD El BSD es un buen algoritmo: 1 Se obtiene un sistema lineal. 2 Coste computacional, en principio, relativamente bajo. Ejemplo ! ´ ´ 8 curvas cuadraticas de Bezier. Coste computacional=0.23 ms utilizando un Pentium IV 2.4 Ghz. 3 ´ A puede precomputarse si se mantiene el valor del parametro ´ intr´nseco asociado al Punto Final, Ti y el orden de las Bezier. ı ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 33/114
  34. 34. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD ´ Aportacion transversal 1 ´ ´ El BSD ya es una buena aportacion transversal al ambito de las ´ ´ tecnicas desarrolladas en cuanto a la deformacion de las curvas ´ parametricas en CAGD. 2 ´ ´ En las aplicaciones se vera como el BSD tambien es una buena ´ aportacion vertical. ´ ´ Precision de la deformacion ´ ´ La precision de la deformacion en el BSD depende del numero de ´ curvas y del numero de vectores. ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 34/114
  35. 35. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD Inconveniente: Coste computacional El algoritmo BSD aumenta su coste computacional de forma ´ exponencial a medida que aumenta el numero de curvas de Bezier ´ que se tienen que concatenar. Tiene un coste computacional del orden: O(nf ). Punto cr´tico en los algoritmos ı ´ El tiempo de computo siempre es un punto cr´tico en los ı ´ algoritmos. Por eso hay que reducirlo al maximo en el BSD. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 35/114
  36. 36. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion basada en tensores: T-BSD Tensores ˜ En los ultimos anos se ha introducido el uso de los tensores en ´ ´ numerosos algoritmos para reducir el tiempo de computo de estos. Nos permite reducir el tiempo de computo de O(nf ) a O(fn). ´ ´ Hay diversas aplicaciones donde podemos ver su uso. La mas reciente es el libro publicado en 2012 por W.Hackbusch. T-BSD ´ De esta forma se desarrolla el algoritmo T-BSD (Tensor-Bezier Shape Deformation) formulando: ´ 1 Una matrizacion del problema. 2 ´ Una tensorizacion del problema. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 36/114
  37. 37. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Definiciones ´ Definicion Dada una matriz m × n, A = [A1 · · · An ] donde Aj es el vector de la columna j-esima. El operador vec de la matriz A transforma una ´ matriz en un vector colocando cada columna una bajo de la otra de la siguiente forma,   A1  .  vec A =  .  .. An ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 37/114
  38. 38. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Definiciones ´ Definicion El producto de Kronecker entre A ∈ Rn1 ×n1 y B ∈ Rn2 ×n2 , se denota como A ⊗ B, es la operacion tensor-algebraica definida como, ´   a11 B a12 B · · · a1n B 1  a B a B ··· a B   21 22 2n1  A⊗B =   . . .. .  ∈ Rn1 n2 ×n1 n2 .   . . . . . . .  an1 1 B an1 2 B · · · an1 n B 1 ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 38/114
  39. 39. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ ´ Formulacion Matematica ´ Definicion ´ ´ ´ La matrizacion de la curva de Bezier a partir de la ecuacion (1), se obtiene como sigue, αn (u) = Pn (t) Bn (u); u ∈ [0, 1] t (29) donde Pn (t) = P0 (t) · · · Pn (t) n n ∈ R2×(n+1) (30) T Bn (u) = B0,n (u) · · · Bn,n (u) ∈ R(n+1)×1 . (31) ´ Definicion La norma estandard eucl´dea se define como, ı αn (u) t 2 2 = (Pn (t) Bn (u))T Pn (t) Bn (u) (32) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 39/114
  40. 40. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ ´ Formulacion Matematica ´ Definicion Para un valor fijo t, la energ´a de la curva αn en el espacio ı t L2 ([0, 1], R2 ) se describe como, 1 1 1 2 1 2 αn ∆2 t = αn (u) 2 du t 2 = T (Pn (t)Bn (u)) Pn (t)Bn (u)du . 0 0 (33) ´ Objetivo: deformar la curva Bezier Mover la curva-matriz inicial Bezier, denotada por αn a una ´ t curva-matriz modificada Bezier que la denotamos como αn+∆t . ´ t ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 40/114
  41. 41. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ ´ Formulacion Matematica ´ Definicion La matrizacion de la curva Bezier modificada,αn+∆t , se define ´ ´ t como, αn+∆t (u) = (Pn (t) + Xn ) Bn (u); u ∈ [0, 1] t (34) Donde Xn es la matriz de las perturbaciones, Xn = X0 n · · · Xn n ∈ R2×(n+1) . (35) ´ Restriccion Considerando un conjunto finito de Puntos Finales T0 , . . . , Tr ⊂ D, r r siendo D un conjunto compacto y conexo en R2 . ´ La curva-matriz Bezier modificada tiene que pasar por estos Puntos Finales. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 41/114
  42. 42. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Problema de Optimizacion Restringida ´ Calculo de la Matriz de las Perturbaciones Xn Minimizar la energ´a que se utiliza al mover la curva desde αn a ı t αn+∆t . t La curva αn+∆t tiene que pasar por el conjunto de los Puntos t Finales T0 , . . . , Tr para unos determinados valores del r r ´ ´ parametro intr´nseco de la curva Bezier ı r r r r 0 = u1 < u2 < · · · < ur −1 < ur = 1. ´ Problema de Optimizacion Restringida m´n αn+∆t − αn ı t t 2 ∆2 (36) s. a. αn+∆t (ujr ) = Tjr para 1 ≤ j ≤ r y r ≤ n − 1. t ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 42/114
  43. 43. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Forma Matricial Matriz de los Puntos Finales Tr = T1 r · · · Tr r ∈ R2×r . (37) Matriz de las Bases de Bernstein asociadas a cada punto Final r Bn = r r Bn (u1 ) · · · Bn (ur ) ∈ R(n+1)×r (38) ´ Funcion a optimizar matricial 1 Φn (Xn ) = (Xn Bn (u))T Xn Bn (u) du, (39) 0 ´ Forma Matricial del Problema de Optimizacion m´nXn ∈R2×(n+1) Φn (Xn ) ı (40) r s. t. (Pn (t) + Xn )Bn = Tr ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 43/114
  44. 44. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Formulacion Matricial ´ ´ Tensorizacion del Problema de Optimizacion m´n(vec Xn )∈R2·(n+1)×1 Φn (vec Xn ) ı (41) s. a. ((Bn )T ⊗ I2 ) vec Xn = vec Tr − vec (Pn (t)Bn ) r r ´ ´ Observacion: Clasificacion Punto Estacionario El conjunto de restricciones en (41) es lineal =⇒ la aplicacion ´ Φn esta definida en un conjunto convexo. ´ La funcion Φn es convexa porque D 2 Φn es simetrica definida ´ ´ positiva. El punto estacionario es un m´nimo absoluto. ı ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 44/114
  45. 45. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. T-BSD concatenado n n Concatenamos una familia de k curvas de Bezier αt 1 , . . . , αt k de ´ grados n1 , . . . , nk , respectivamente. Incluyendo las restricciones descritas en el algoritmo BSD. ´ Problema Matricial de Optimizacion Restringida concatenando k ´ curvas de Bezier Hay que calcular Xni ∈ R2×(ni +1) para 1 ≤ i ≤ k de forma que cumpla, m´n(Xn ,...,Xn ) ı Φ(Xn1 , . . . , Xnk ) = ∑k=1 Φni (Xni ) i 1 k r s. a. (Pni (t) + Xni )Bnii = Tri 1 ≤ i ≤ k ni Xni = X0i+1 , 1 ≤ i ≤ k − 1 n n n −1 (42) ni (Xnii − Xnii ) = ni +1 (X1i+1 − X0i+1 ), 1 ≤ i ≤ k − 1 n n n1 (X11 − X01 ) = 0 n n n n −1 nk (Xnk − Xnk ) = 0 k k ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 45/114
  46. 46. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. T-BSD concatenado ´ Matrizacion del resto de restricciones Para escribir de forma matricial las restricciones se definen las siguientes matrices. Para 1 ≤ i ≤ k se define, R ni = 0 ··· 0 I2 ∈ R2×2(ni +1) (43) ∗ R ni = 0 ··· 0 −I2 I2 ∈ R2×2(ni +1) (44) Lni = I2 0 ··· 0 ∈ R2×2(ni +1) (45) L∗ i = n −I2 I2 0 ··· 0 ∈ R2×2(ni +1) (46) ´ Estas matrices tambien se pueden expresar como productos tensoriales. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 46/114
  47. 47. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Funcion Lagrangiana ´ Funcion Lagrangiana Tensorizada ´ La funcion Lagrangiana asociada al problema tensorizado de (42), L = ∑k=1 Φni (vec Xni ) i r r r − ∑k=1 (λi i )T ((Bnii )T ⊗ I2 )vec Xni − vec Tri + vec (Pni (t)Bnii ) i −1 − ∑k=1 µT Rni vec Xni − Lni+1 vec Xni+1 i i −µT n1 L∗ 1 vec Xn1 k n ∗ −µT+1 nk Rnk vec Xnk k −1 − ∑k=1 µT 1+k ni Rni vecXni − ni +1 L∗ i+1 vec Xni+1 i i+ ∗ n (47) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 47/114
  48. 48. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. ´ Solucion Para calcular la matriz de las perturbaciones de los puntos de control Xni se anulan las derivadas parciales, ∂ (vecL )T = 0; 1 ≤ i ≤ k , de la ∂ X ni ´ funcion Lagrangiana y se obtiene un sistema lineal de ecuaciones. ´ Sistema lineal utilizando algebra tensorial El sistema lineal, Az = f (48) ´ La dimension de la matriz depende del numero de curvas, del orden ´ y de la cantidad de Puntos Finales. A ∈ Rp×p (49) k k k p = 2 ∑ (ni + 1) + 2 ∑ ri + 2(k − 1) + 4 + 2(k − 1) = 2 ∑ (ni + ri ) + 6k . i =1 i =1 i =1 (50) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 48/114
  49. 49. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. La Matriz del Sistema Matriz del Sistema Tensorizada ´ Cada bloque esta relacionado o bien con las derivadas parciales o con las restricciones. ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 49/114
  50. 50. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales ´ El bloque A1,1 relativo a las derivadas parciales de la funcion a optimizar. A1,1 = diag (Zn1 , . . . , Znk ) (51) 1 Zni = (Bni (u)T ⊗ Bni (u) ⊗ I2 )du ∈ R2(ni +1)×2(ni +1) ; i = 1, 2, . . . , k , 0 (52) El bloque A1,2 relativo a las derivadas parciales de la primera ´ restriccion. r r A1,2 = diag ((−1/2) · (Bn1 ⊗ I2 ), . . . , (−1/2) · (Bnkk ⊗ I2 )) 1 (53) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 50/114
  51. 51. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales ´ El bloque A1,3 relativo a las parciales de la restriccion que imponen continuidad en los puntos donde se concatenan las curvas de Bezier.´  −1 T  2 R n1 0T1 n 0T1 n 0T1 n ··· 0T1 n 0T1 n  1 T −1 T 0T2 0T2 ··· 0T2 0T2   2 Ln2 2 R n2 n n n n   0T3 1 T −1 T 0T3 ··· 0T3 0T3   n 2 Ln3 2 R n3 n n n  A1,3 =   . . . . .. . .    . . . . . . . . . . . . .   T T T T 1 T −1 T   0nk−1 0nk −1 0nk −1 0nk −1 ··· 2 Lnk−1 2 Rnk −1  1 T 0Tk n 0Tk n 0Tk n 0Tk n ··· 0Tk n 2 Lnk (54) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 51/114
  52. 52. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales El bloque A1,4 relativo a las parciales que imponen la tangencia en ´ los extremos de la curva Bezier.  −1  ∗ T 0T1 2 n1 (Ln1 ) n  T 0n2 0T2   n   . .  A1,4 =   . . . .   (55)    0Tk−1 n T 0nk −1  −1 ∗ T 0Tk n 2 nk (Rnk ) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 52/114
  53. 53. ´ ´ ´ Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones. Bloques relacionados con las parciales El bloque A1,5 relativo a las parciales que imponen la derivabilidad en ´ los puntos donde se concatenan las Bezier.  −1 n (R ∗ )T  0T 0T · 0T 0T 0T 2 1 n1 n1 n1 n1 n1 n1  1 n (L∗ )T −1 n (R ∗ )T   0T · 0T 0T 0T   2 2 n2 2 2 n2 n2 n2 n2 n2   1 n (L∗ )T −1 n (R ∗ )T   0T n3 · 0T 0T 0T   2 3 n3 2 3 n3 n3 n3 n3    A1,5 =  . . . . . . .   . . . . . . .   .   . . . . . .   −1 n    0T 0T 0T · 0T 1n (L∗ )T (Rn∗ )T   nk −1 nk −1 nk −1 nk −1 2 k −1 nk −1 2 k −1 k −1 T 0n T 0n 0nT · 0nT 0nT 1 n (L∗ )T k k k k k 2 k nk (56) ´ ´ ´ ´ ´ ´L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 53/114

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