Tesis Técnicas Computacionales y Álgebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robótica Móvil y Simulación Numérica

´ ´ ´
Introduccion. BSD y T-BSD. Procesos LCM: BFD y BFD-A. Robotica Movil: BTD y T-BTD. Conclusiones. Trabajos Futuros. Publicaciones.

´ ´
Tecnicas Computacionales y Algebra
´
Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica
´ ´ ´
Movil y Simulacion Numerica.

´
Tesis Doctoral defendida por Luc´a Hilario Perez.
ı

´ ´ ´
Dirigida por: Dr. Nicolas Montes y Dr. Antonio Falco.

10 de Diciembre, 2012 Valencia

´ ´ ´ ´ ´ ´
L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion Numerica. 1/114

´ ´ ´

´
1 Introduccion: Contenidos de la Tesis.

´ ´ ´
2 Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores.

´ ´
3 Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front
Deformation-Area.

´ ´ ´ ´
4 Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory
Deformation.

5 Conclusiones de la Tesis Doctoral.

6 Trabajos Futuros a partir de esta Tesis Doctoral.

7 Publicaciones relativas a la Tesis Doctoral.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

1 ´
Introduccion: Contenidos de la Tesis.

2 ´ ´ ´
Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores.
´
Formulacion tradicional: BSD.
´
Formulacion basada en tensores: T-BSD.
Comparativa entre el BSD y T-BSD.

3 ´ ´
Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front Deformation-Area.
BFD.
Simulaciones BFD.
BFD-A.
Simulaciones BFD-A.

4 ´ ´ ´ ´
Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory Deformation.
BTD.
Simulaciones BTD.
T-BTD.
Simulaciones T-BTD.




´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Objetivos y Aportaciones de la Tesis

Objetivo de la Tesis
´
El objetivo principal de la Tesis es abordar la deformacion de
´ ´
curvas Bezier a traves de vectores y sus aplicaciones. En
´ ´
particular se ha aplicado en dos ambitos diferenciados: la robotica
´
movil y el llenado de moldes.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Motivacion

´ ´
Robotica Movil
´
Importante dos problematicas:
Generar trayectoria con curvas parametricas. ´
International Conference on Robotics and Automation Washington D.C., May 15th 2002

Trajectory Deformation : an Iterative Process
Campos potenciales para evitar obstaculos. ´
detect obstacles and compute direction of deformation η(s),

!(s)
q(0)

q(s)
obstacles

q(S)

´
Hasta ahora no se ha fusionado la trayectoria de un robot movil
´ ´
deﬁnida mediante una curva parametrica con la evitacion de
´
obstaculos mediante campos potenciales.

´ ´ ´ ´ ´ Numerica.
L.Hilario — Tecnicas Computacionales y Algebra Tensorial para sus Aplicaciones en Robotica Movil y Simulacion2002
talk.tex 7 2 mai
´ 5/114

´ ´ ´

´
Motivacion

Llenado de Moldes de resina
En LCM (Liquid Composite Moulding) se utiliza el frente de avance
como herramienta para mejora del proceso del llenado.

Pese a que en la realidad es una curva continua, siempre se utiliza
´
una representacion discreta.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Motivacion

CAGD
´ ´
En CAGD, la deformacion de curvas parametricas es uno de los
´ ´
topicos mas investigados. En consecuencia, se desarrollan
´
muchas tecnicas al respecto.

Tensores
´
El tiempo de computo es un punto cr´tico en los algoritmos. Los
ı
´
tensores se utilizan para reducir el tiempo de computo.

Esto justiﬁca dos tipos de aportaciones de la Tesis:
´ ´
1 Transversales en el ambito matematico.

2 ´
Verticales en el ambito aplicado de la ingenier´a.
ı

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Aportaciones de la Tesis

Aportaciones de la Tesis
1 Aportaciones
transversales
Mejoras en las
´
tecnicas CAGD.
´
Utilizacion de los
tensores en CAGD.
2 Aportaciones
[73],[74]
verticales
…………..
´ ´
La robotica movil.
[69],[70],[72],[73],[74],[75]
[71],[117]
El llenado de moldes
con resina l´quida.
ı
···

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Curvas parametricas

´ ´
Las curvas parametricas son las mas utilizadas en CAGD
(Computer Aided Geometric Design) puesto que sus puntos se
calculan de forma sencilla.
´ ´
Estas curvas parametricas son: Bezier, B-Splines, NURBS, RBC.

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´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Comparativa propiedades curvas

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!6(789'
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B5'!8CA !"#$%& -./*$+01$234,3, 735$/+3*,!"#$%& 897!(
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4/+,)/4$5$</46
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2/+5&/*
B+5%&)/*3,)&$1%&,A,
C*5$1/,);+5/,=%, (@ 8/ (@ 8/
2/+5&/*
,D3+E%+2$3,3*,
)/*@E/+/,=%,2/+5&/*,
(@ 8/ (@ 8/
%+,%*,);+5/,$+$2$3*,A,
?$+3*

´
Bezier F?@+,$+<3&$3+5% (@ (@ (@ (@

!34%4,7%2;&&%+5%4 8/ (@ 8/ (@

:/+5&/*,*/23* 8/ (@ 8/ (@

:/+5&/*,E*/G3* (@ 8/ (@ 8/

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´
Diferentes tecnicas de deformacion

´ ´
Deformacion de curvas parametricas
´ ´ ´
Uno de los topicos mas investigados en CAGD es la manipulacion de
´
las curvas parametricas.

!"#$#%&'(!)*+$,+-
!"#$%&'(%)*+,-*'(% @"#$%&'(%+./-(01'2+3.-(%23.0.A'.%)7'.9-'.53%)*3B7-,'(%5-%./012345267-
+./-(01'2+3.-(%-,)+-4'.% 89:;827<2=4>%
%
5-63*,'.53%7'(%28*/'(%
')7+2'.53%23.2-)93(%5-%
1-3,-9*:'#%
% !"#$%=-%,+.+,+4'%-.%7'(% @"#$=-%,+.+,+4'%7'%5+(9'.2+'% O"#$%=-%5-('**377'%-7%
CDEF=%7'%)-*98*B'2+G.%H8-% -.9*-%53(%28*/'(%FL4+-*#% '713*+9,3%FL4+-*%
%
?'I%-.%73(%)8.93(%5-%23.9*37% =?')-%P-63*,'03.#%
'%,35+J2'*#% =-%')7+2'%-.%&QR%I%
% *3BG02'#%=-%
+.9*3582-.%73(%
1989
! 1997! 2002 y 2005
! 9-.(3*-(#%
%

2001! ;.%M8%-9%'7#%I%
N8%-9%'7# %

2008, 2010-2012.!
;.%<+-17#
%
;.%=>.2?-4#
% ;.%%K8%-9%'7#
%

!

;.%%R3.9L(%-9%'7#%I%K+7'*+3%-9%'7#
%

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Aportaciones transversales

´ ´
Manipulacion de una Bezier
´
En vista de las ventajosas propiedades que facilitan la manipulacion
de una curva de Bezier =⇒ se desarrolla un algoritmo que
´
´ ´ ´
deformara una familia de curvas de Bezier a traves de un campo de
vectores.

BSD
´
Bezier Shape Deformation

T-BSD
´
Tensor-Bezier Shape Deformation

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

1 ´
Introduccion: Contenidos de la Tesis.

2 ´ ´ ´
Deformacion de una curva Bezier a traves de vectores.
´
Formulacion tradicional: BSD.
´
Formulacion basada en tensores: T-BSD.
Comparativa entre el BSD y T-BSD.

3 ´ ´
Procesos LCM: Bezier Flow Front Deformation y Bezier Flow Front Deformation-Area.
BFD.
Simulaciones BFD.
BFD-A.
Simulaciones BFD-A.

4 ´ ´ ´ ´
Robotica Movil: Bezier Trajectory Deformation y Tensor-Bezier Trajectory Deformation.
BTD.
Simulaciones BTD.
T-BTD.
Simulaciones T-BTD.




´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Formulacion Tradicional: BSD.

´
Definicion
´
Una curva de Bezier se define como,
n
α(u) = ∑ Pi · Bi,n (u) (1)
i =0

´
n es el orden de la curva de Bezier.
Bi,n (u) = n u i (1 − u)n−i Bases de Bernstein.
i
u ∈ [0, 1] es el parametro Intrńseco.
´ ı
ézier Curve Properties We Use
(n + 1) Puntos de Control, Pi tal que i = 0, 1, · · · , n.
p6
p1
t) $ n 'n$ p3
" = ( pk % "t k (1 ! t )n !k p0 p5
) # k =0 % k "
"
& #
p4
p2
´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Definiciones

´
Definicion
´
Una curva de Bezier modificada se define como,
n
Sε (α(u)) := ∑ (Pi + εi ) · Bi,n (u); u ∈ [0, 1] (2)
i =0

´ ´
Para deformar una curva de Bezier tan solo hay que modificar los
´
puntos de control. Para ello hay que calcular cual es la
perturbacion εi de cada punto de control.
´

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Problema de optimizacion restringida

Publicaciones anteriores
´
Minimizar los cambios que sufre la curva de Bezier modiﬁcada, (Wu
et al.2005) =⇒ un buen punto de partida.

Nuestro Objetivo
1 ı ´
Minimizar la energ´a utilizada por la curva de Bezier para
deformarla desde α(u) a Sε (α(u)).
2 ´
Minimizar la deformacion entre la dos curvas.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Problema de optimizacion restringida

Consecuencia
´
Las perturbaciones de los puntos de control se calculan a traves
´
de un problema de optimizacion restringida.
Se resuelve con el Teorema de los Multiplicadores de Lagrange.

´
Deﬁnicion
´
La funcion a optimizar se deﬁne como,
1
2
α(u) − Sε (α(u)) 2 du (3)
0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Funcion a optimizar

Desventaja: grado y puntos de control
´
El grado depende del numero de puntos de control de la Bezier. Esto
´
´
provoca que sea numericamente inestable cuando se necesitan
muchos puntos de control, en concreto a partir de grado 10.

Resulta necesario tener que concatenar curvas cuando se
trabaja con un gran numero de puntos de control.
´
´
Por ello, se define de nuevo la funcion a optimizar.

´
Definicion
´ ´
La funcion a minimizar utilizando k -curvas de Bezier se define como,
k 1
g := mń ∑
ı αl (u) − Sε (αl (u)) 2
2 du (4)
l =1 0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Conjunto de restricciones

´
Primera restriccion
La curva modiﬁcada, Sε (αi (u)), tiene que pasar a traves de los
´
Puntos Finales (Target Points), Ti .

´ ´
Formulacion Matematica
k rl
∑∑
(l ) (l )
r1 = λ, Tj − Sε (αl (uj )) ; rl ≤ nl − 1 (5)
l =1 j =1

En la imagen el vector une los
Puntos Iniciales (Start Points, Si ),
que son puntos de la curva
original, con los Puntos Finales
(Ti ), que son puntos de la curva
modiﬁcada.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Conjunto de restricciones

´
Segundo restriccion
Para conseguir suavidad en la curva y como consecuencia de haber
´
concatenado curvas de Bezier, es necesario imponer continuidad y
´ ´
derivable en los puntos de union de las Bezier.

´ ´
k−1
∑
(l ) (l +1)
r2 = λ, Sε (αl (uf )) − Sε (αl +1 (u0 )) (6)
l =1

k−1
∑
(l ) (l +1)
r3 = λ, Sε (αl (uf )) − Sε (αl +1 (u0 )) (7)
l =1
´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

El conjunto de restricciones

´
Tercera restriccion
Para evitar oscilaciones en los extremos de la curva resultante
deformada es necesario imponer restricciones que mantengan la
tangencia en dichos puntos entre la curva original y la deformada.

´ ´
r4 = λ, α1 (0+ ) − Sε (α1 (0+ ) + λ, αk (1− ) − Sε (αk (1− ) (8)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Multiplicadores de Lagrange

Para resolver el problema se aplica el Teorema de los Multiplicadores
´ ´
de Lagrange. Minimizando la funcion a optimizar, ecuacion 4, e
incluyendo el conjunto de restricciones que se acaba de deﬁnir.

´
Funcion Lagrangiana

L(ε(1) , · · · , ε(k ) , λ) = g + r1 + r2 + r3 + r4 (9)

´
Solucion del problema
Para obtener el punto estacionario hay que hacer cero las parciales
´
de la funcion Lagrangiana.

∂L
= 0; (l) = 1, · · · , k (10)
∂ ε(l )
∂L
=0 (11)
∂λ

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Perturbaciones de los puntos de control

Se obtiene un sistema lineal cuadrado de ecuaciones A · X = b.
La solucion X = (ε, λ) nos da la perturbacion necesaria en cada
´ ´
´
punto de control para deformar la curva de Bezier.

Ejemplo

Ejemplo

!

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Termino fuente

´
Termino fuente
´
El termino fuente b del sistema lineal se deﬁne como:

 
0  
  v(1) C0,(1,2)
   C1,(1,2) 
  .
.  
b=  .  . 
  C= .
.  (14)
 v(k )   
 C0,((k −1),k 
C
C1,((k −1),k
(12)

  (l) (l−1)
(l ) (l )
C0,((l−1),l = P0 − Pnl
T1 − S1 (l−1) (l−1) (l) (l)
 .  C1,((l−1),l) = nl−1 · Pnl−1 −1 − Pnl + nl · P1 − P0
v =
(l )
 .
.

 (15)
(l ) (l )
Trl − Srl
(13)
´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

La matriz del sistema

La matriz A
La Matriz A deﬁnida por bloques.

 
A11 A12 A13 A14
 A21 0 0 0 
A=
 A31
 (16)
0 0 0 
A41 0 0 0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Bloques relacionados con las parciales

´
El bloque A11 relacionado con las derivadas parciales de la funcion a
optimizar.

 ( 1)

A11 0 ··· 0
 ( 2) 
 0 A11 ··· 0 
A11 = 
 . . .. . ,
 (17)
 .
. .
. . .
. 
(k )
0 0 ··· A11
1
(l )
A11 = Bnl (u)Bnl (u)T du (18)
0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


El bloque A12 relacionado con las derivadas parciales asociadas a la
´
retriccion de los Puntos Finales.

 ( 1)

A12 0 ··· 0
 ( 2) 
 0 A12 ··· 0 
A12 = 
 . . .. . ,
 (19)
 .
. .
. . .
. 
(k )
0 0 ··· A12
 
−1 (l ) −1 (l )
2 B0,nl (u1 ) ··· 2 B0,nl (url )
(l )  . .. . 
A12 = 
 .
. . .
.

 (20)
−1 (l ) −1 (l )
2 Bnl ,nl (u1 ) ··· 2 Bnl ,nl (url )

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


´
tangencia en los extremos de la Bezier.

−nk −nk
0 0 0 ··· ··· 0
AT =
13 −n1 n1
2 2 (21)
2 2 0 ··· ··· 0 0 0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


continuidad y derivabilidad en los puntos donde se concatenan las
´
curvas de Bezier.

 ( 1)

A14 0 ··· 0
 ( 2) 
 0 A14 ··· 0 
A14 = 
 . . .. . ,
 (22)
 .
. .
. . .
. 
(k−1)
0 0 ··· A14
−nl nl nl+1 −nl+1
(l ) 0 ··· ··· 0
(A14 )T = 2 2
1
2
−1
2 (23)
0 ··· 0 2 2 0 ··· 0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Bloques relacionados con las restricciones

El bloque A21 relacionado con las restricciones correspondientes a
los Puntos Finales.

 ( 1)

A21 0 ··· 0
 ( 2) 
 0 A21 ··· 0 
A21 = 
 . . .. . ,
 (24)
 .
. .
. . .
. 
(k )
0 0 ··· A11
 
(l ) (l )
B0,nl (u1 ) ··· Bnl ,nl (u1 )
(l )  . .. . 

A21 =  . . .  (25)
. . 
l (l )
B0,nl (url ) ··· Bnl ,nl (url )

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


´
mantener la tangencia en los extremos de la Bezier.

−n1 n1 0 ··· ··· 0 0
A31 = (26)
0 0 · · · · · · 0 −nk nk

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


mantener la continuidad y derivabilidad en los puntos donde se
´
concatenan las curvas de Bezier.

 ( 1)

A41 0 ··· 0
 ( 2) 
 0 A41 ··· 0 
A41 = 
 . . .. . ,
 (27)
 .
. .
. . .
. 
(k−1)
0 0 ··· A41
(l ) 0 ··· 0 1 −1 0 ··· 0
A41 = (28)
0 · · · nl−1 nl−1 −nl −nl ···0

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Formulacion basada en tensores: T-BSD

El BSD es un buen algoritmo:
1 Se obtiene un sistema lineal.
2 Coste computacional, en principio, relativamente bajo.

Ejemplo

!

´ ´
8 curvas cuadraticas de Bezier. Coste computacional=0.23 ms
utilizando un Pentium IV 2.4 Ghz.
3 ´
A puede precomputarse si se mantiene el valor del parametro
´
intr´nseco asociado al Punto Final, Ti y el orden de las Bezier.
ı

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´

´
Aportacion transversal
1 ´ ´
El BSD ya es una buena aportacion transversal al ambito de las
´ ´
tecnicas desarrolladas en cuanto a la deformacion de las curvas
´
parametricas en CAGD.
2 ´ ´
En las aplicaciones se vera como el BSD tambien es una buena
´
aportacion vertical.

´ ´
Precision de la deformacion
´ ´
La precision de la deformacion en el BSD depende del numero de
´
curvas y del numero de vectores.
´

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´

Inconveniente: Coste computacional
El algoritmo BSD aumenta su coste computacional de forma
´
exponencial a medida que aumenta el numero de curvas de Bezier
´
que se tienen que concatenar. Tiene un coste computacional del
orden: O(nf ).

Punto cr´tico en los algoritmos
ı
´
El tiempo de computo siempre es un punto cr´tico en los
ı
´
algoritmos. Por eso hay que reducirlo al maximo en el BSD.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´

Tensores
˜
En los ultimos anos se ha introducido el uso de los tensores en
´
´
numerosos algoritmos para reducir el tiempo de computo de
estos.
Nos permite reducir el tiempo de computo de O(nf ) a O(fn).
´
´
Hay diversas aplicaciones donde podemos ver su uso. La mas
reciente es el libro publicado en 2012 por W.Hackbusch.

T-BSD
´
De esta forma se desarrolla el algoritmo T-BSD (Tensor-Bezier
Shape Deformation) formulando:
´
1 Una matrizacion del problema.

2 ´
Una tensorizacion del problema.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Deﬁniciones

´
Deﬁnicion
Dada una matriz m × n, A = [A1 · · · An ] donde Aj es el vector de la
columna j-esima. El operador vec de la matriz A transforma una
´
matriz en un vector colocando cada columna una bajo de la otra de la
siguiente forma,  
A1
 . 
vec A =  .  ..
An

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Definiciones

´
Definicion
El producto de Kronecker entre A ∈ Rn1 ×n1 y B ∈ Rn2 ×n2 , se denota
como A ⊗ B, es la operacion tensor-algebraica definida como,
´
 
a11 B a12 B · · · a1n B
1
 a B a B ··· a B 
 21 22 2n1 
A⊗B =   . . .. .  ∈ Rn1 n2 ×n1 n2 .

 .
. .
. . .
. 
an1 1 B an1 2 B · · · an1 n B
1

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´

´
Definicion
´ ´ ´
La matrizacion de la curva de Bezier a partir de la ecuacion (1), se
obtiene como sigue,

αn (u) = Pn (t) Bn (u); u ∈ [0, 1]
t (29)

donde
Pn (t) = P0 (t) · · · Pn (t)
n n ∈ R2×(n+1) (30)
T
Bn (u) = B0,n (u) · · · Bn,n (u) ∈ R(n+1)×1 . (31)

´
Definicion
La norma estandard eucl´dea se define como,
ı

αn (u)
t
2
2 = (Pn (t) Bn (u))T Pn (t) Bn (u) (32)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´

´
Definicion
Para un valor fijo t, la energá de la curva αn en el espacio
ı t
L2 ([0, 1], R2 ) se describe como,

1 1
1 2 1 2
αn ∆2
t = αn (u) 2 du
t 2 = T
(Pn (t)Bn (u)) Pn (t)Bn (u)du .
0 0
(33)

´
Objetivo: deformar la curva Bezier
Mover la curva-matriz inicial Bezier, denotada por αn a una
´ t
curva-matriz modificada Bezier que la denotamos como αn+∆t .
´ t

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´

´
Definicion
La matrizacion de la curva Bezier modificada,αn+∆t , se define
´ ´ t
como,
αn+∆t (u) = (Pn (t) + Xn ) Bn (u); u ∈ [0, 1]
t (34)
Donde Xn es la matriz de las perturbaciones,

Xn = X0
n · · · Xn
n ∈ R2×(n+1) . (35)

´
Restriccion
Considerando un conjunto finito de Puntos Finales T0 , . . . , Tr ⊂ D,
r r
siendo D un conjunto compacto y conexo en R2 .
´
La curva-matriz Bezier modificada tiene que pasar por estos
Puntos Finales.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Problema de Optimizacion Restringida

´
Calculo de la Matriz de las Perturbaciones Xn
Minimizar la energá que se utiliza al mover la curva desde αn a
ı t
αn+∆t .
t
La curva αn+∆t tiene que pasar por el conjunto de los Puntos
t
Finales T0 , . . . , Tr para unos determinados valores del
r r
´ ´
parametro intrńseco de la curva Bezier
ı
r r r r
0 = u1 < u2 < · · · < ur −1 < ur = 1.

´
Problema de Optimizacion Restringida
mń αn+∆t − αn
ı t t
2
∆2
(36)
s. a. αn+∆t (ujr ) = Tjr para 1 ≤ j ≤ r y r ≤ n − 1.
t

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Forma Matricial

Matriz de los Puntos Finales
Tr = T1
r · · · Tr
r ∈ R2×r . (37)

Matriz de las Bases de Bernstein asociadas a cada punto Final
r
Bn = r r
Bn (u1 ) · · · Bn (ur ) ∈ R(n+1)×r (38)

´
Funcion a optimizar matricial
1
Φn (Xn ) = (Xn Bn (u))T Xn Bn (u) du, (39)
0

´
Forma Matricial del Problema de Optimizacion
m´nXn ∈R2×(n+1) Φn (Xn )
ı
(40)
r
s. t. (Pn (t) + Xn )Bn = Tr

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Formulacion Matricial

´ ´
Tensorizacion del Problema de Optimizacion
mń(vec Xn )∈R2·(n+1)×1 Φn (vec Xn )
ı
(41)
s. a. ((Bn )T ⊗ I2 ) vec Xn = vec Tr − vec (Pn (t)Bn )
r r

´ ´
Observacion: Clasificacion Punto Estacionario
El conjunto de restricciones en (41) es lineal =⇒ la aplicacion
´
Φn esta definida en un conjunto convexo.
´
La funcion Φn es convexa porque D 2 Φn es simetrica definida
´ ´
positiva.
El punto estacionario es un mńimo absoluto.
ı

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

T-BSD concatenado

n n
Concatenamos una familia de k curvas de Bezier αt 1 , . . . , αt k de
´
grados n1 , . . . , nk , respectivamente.
Incluyendo las restricciones descritas en el algoritmo BSD.

´
Problema Matricial de Optimizacion Restringida concatenando k
´
curvas de Bezier
Hay que calcular Xni ∈ R2×(ni +1) para 1 ≤ i ≤ k de forma que cumpla,

m´n(Xn ,...,Xn )
ı Φ(Xn1 , . . . , Xnk ) = ∑k=1 Φni (Xni )
i
1 k
r
s. a. (Pni (t) + Xni )Bnii = Tri 1 ≤ i ≤ k
ni
Xni = X0i+1 , 1 ≤ i ≤ k − 1
n
n n −1 (42)
ni (Xnii − Xnii ) = ni +1 (X1i+1 − X0i+1 ), 1 ≤ i ≤ k − 1
n n
n1 (X11 − X01 ) = 0
n n
n n −1
nk (Xnk − Xnk ) = 0
k k

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

T-BSD concatenado

´
Matrizacion del resto de restricciones
Para escribir de forma matricial las restricciones se deﬁnen las
siguientes matrices. Para 1 ≤ i ≤ k se deﬁne,

R ni = 0 ··· 0 I2 ∈ R2×2(ni +1) (43)
∗
R ni = 0 ··· 0 −I2 I2 ∈ R2×2(ni +1) (44)

Lni = I2 0 ··· 0 ∈ R2×2(ni +1) (45)

L∗ i =
n −I2 I2 0 ··· 0 ∈ R2×2(ni +1) (46)
´
Estas matrices tambien se pueden expresar como productos
tensoriales.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Funcion Lagrangiana

´
Funcion Lagrangiana Tensorizada
´
La funcion Lagrangiana asociada al problema tensorizado de (42),

L = ∑k=1 Φni (vec Xni )
i

r r r
− ∑k=1 (λi i )T ((Bnii )T ⊗ I2 )vec Xni − vec Tri + vec (Pni (t)Bnii )
i

−1
− ∑k=1 µT Rni vec Xni − Lni+1 vec Xni+1
i i

−µT n1 L∗ 1 vec Xn1
k n

∗
−µT+1 nk Rnk vec Xnk
k

−1
− ∑k=1 µT 1+k ni Rni vecXni − ni +1 L∗ i+1 vec Xni+1
i i+
∗
n
(47)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

´
Solucion

Para calcular la matriz de las perturbaciones de los puntos de control
Xni se anulan las derivadas parciales, ∂ (vecL )T = 0; 1 ≤ i ≤ k , de la
∂
X ni
´
funcion Lagrangiana y se obtiene un sistema lineal de ecuaciones.

´
Sistema lineal utilizando algebra tensorial
El sistema lineal,
Az = f (48)
´
La dimension de la matriz depende del numero de curvas, del orden
´
y de la cantidad de Puntos Finales.

A ∈ Rp×p (49)
k k k
p = 2 ∑ (ni + 1) + 2 ∑ ri + 2(k − 1) + 4 + 2(k − 1) = 2 ∑ (ni + ri ) + 6k .
i =1 i =1 i =1
(50)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

La Matriz del Sistema

Matriz del Sistema Tensorizada
´
Cada bloque esta relacionado o bien con las derivadas parciales o
con las restricciones.

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


´
El bloque A1,1 relativo a las derivadas parciales de la funcion a
optimizar.

A1,1 = diag (Zn1 , . . . , Znk ) (51)

1
Zni = (Bni (u)T ⊗ Bni (u) ⊗ I2 )du ∈ R2(ni +1)×2(ni +1) ; i = 1, 2, . . . , k ,
0
(52)

El bloque A1,2 relativo a las derivadas parciales de la primera
´
restriccion.

r r
A1,2 = diag ((−1/2) · (Bn1 ⊗ I2 ), . . . , (−1/2) · (Bnkk ⊗ I2 ))
1
(53)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


´
El bloque A1,3 relativo a las parciales de la restriccion que imponen
continuidad en los puntos donde se concatenan las curvas de Bezier.´

 −1 T

2 R n1 0T1
n 0T1
n 0T1
n ··· 0T1
n 0T1
n
 1 T −1 T
0T2 0T2 ··· 0T2 0T2 
 2 Ln2 2 R n2 n n n n 
 0T3 1 T −1 T
0T3 ··· 0T3 0T3 
 n 2 Ln3 2 R n3 n n n 
A1,3 = 
 . . . . .. . . 

 .
. .
. .
. .
. . .
. .
. 
 T T T T 1 T −1 T 
 0nk−1 0nk −1 0nk −1 0nk −1 ··· 2 Lnk−1 2 Rnk −1 
1 T
0Tk
n 0Tk
n 0Tk
n 0Tk
n ··· 0Tk
n 2 Lnk
(54)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


El bloque A1,4 relativo a las parciales que imponen la tangencia en
´
los extremos de la curva Bezier.

 −1

∗ T 0T1
2 n1 (Ln1 ) n
 T
0n2 0T2 
 n 
 . . 
A1,4 = 
 .
. .
.

 (55)
 
 0Tk−1
n
T
0nk −1 
−1 ∗ T
0Tk
n 2 nk (Rnk )

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´


El bloque A1,5 relativo a las parciales que imponen la derivabilidad en
´
los puntos donde se concatenan las Bezier.

 −1 n (R ∗ )T 
0T 0T · 0T 0T 0T
2 1 n1 n1 n1 n1 n1 n1
 1 n (L∗ )T −1 n (R ∗ )T 
 0T · 0T 0T 0T 
 2 2 n2 2 2 n2 n2 n2 n2 n2 
 1 n (L∗ )T −1 n (R ∗ )T 
 0T
n3 · 0T 0T 0T 
 2 3 n3 2 3 n3 n3 n3 n3 
 
A1,5 =  . . . . . . . 
 . . . . . . . 
 . 
 . . . . . . 
 −1 n 

 0T 0T 0T · 0T 1n (L∗ )T (Rn∗ )T 

nk −1 nk −1 nk −1 nk −1 2 k −1 nk −1 2 k −1 k −1
T
0n T
0n 0nT · 0nT 0nT 1 n (L∗ )T
k k k k k 2 k nk
(56)

´ ´ ´ ´ ´ ´

´ ´ ´

Bloques relativos a las restricciones

´
El bloque A2,1 corresponde a la restriccion que impone que la curva
´
modiﬁcada pase a traves de los Puntos Finales.

r r
A2,1 = diag ((Bn1 )T ⊗ I2 , . . . , (Bnkk )T ⊗ I2 )
1
(57)

´
El bloque A3,1 corresponde a la restriccion que impone continuidad
´
en los puntos donde se concatenan las Bezier.

 
R n1 −Ln2 0n3 ··· 0nk−2 0nk−1 0nk
 0n1 R n2 −Ln3 ··· 0nk−2 0nk−1 0nk 
 
 .
. .
. .
. .. .
. .
. .
. 
A3,1 =  . . . . . . .  (58)
 
 0n 0n2 0n3 ··· Rnk−2 Rnk−1 0nk 
1
0n1 0n2 0n3 ··· 0nk −2 Rnk−1 −Lnk

´ ´ ´ ´ ´ ´

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