CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

  1. 1. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. CAPITULO VIICIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 297
  2. 2. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.I. INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b Figura 7.1. Elementos de un circuito conectados: (a) en paralelo y (b) en serie Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2 Figura 7.2. Representación de elementos de un circuito En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.II. CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por dWR =dq = ∆V . IRdq = IR( Idt ) I 2 Rdt dWR = (7.1) 298
  3. 3. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Figura 7.3. Representación de un circuito simple para determinar la corriente que fluye a través de élDurante este mismo tiempo la fuente hace un trabajo para mover una carga (dq = Idt) dado por dWε ε= ε ( Idt ) ε Idt = dq = (7.2)Según la ley de conservación de la energía se tiene dWε = dWR ⇒ ε Idt = I 2 Rdt ε I= (7.3) RLa corriente también puede determinarse usando el criterio: “La suma algebraica de los cambios de potencialalrededor del circuito completo debe ser nulo” Va + ε − IR =a V ε I= RPara determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la direcciónde la corriente son las mostradas, se usan las reglas mostradas en la figura 7.4,Figura 7.4. Reglas para determinar la diferencia de potencial en elementos de un circuitoPor otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corrienteque fluye a través del circuito se determina en la forma Va + ε − rI − RI =a V ε (r + R) I = ε I= r+R (7.4) 299
  4. 4. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. (a) (b) Figura 7.5. Circuito eléctrico con una fem que pose una resistencia interna r y una resistencia de carga R, (b) cambio en el potencial eléctrico alrededor de un circuitoIII. RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R1 y R2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos. Figura 7.6. (a) Circuito con resistencias en serie, (b) circuito equivalente En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir I= I= I= I eq 1 2 3 (7.5) La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es, ∆V= I eq Req= I1 R1 + I 2 R2 + I 2 R3 (7.6) Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente Req como se muestra en la figura 7.3b Req = R1 + R2 + R2 (7.7) El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe. N Req = R1 + R2 + ... + Ri + ... + RN = ∑R i =1 i (7.8) Debe observarse que si una resistencia R1 es mucho mayor que la otra resistencia Ri, entonces la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R1. En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio. 300
  5. 5. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. (a) (b) (c)Figura 7.7. (a) Instalación de resistencias en serie utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en serie usando terminales metálicosEn seguida consideremos dos resistencias R1 y R2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje ∆V,como se muestra en la figura 7.8a.Figura 7.8. (a) Circuito con resistencias en paralelo, (b) circuito equivalentePor conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I1,la cual fluye a través de la resistencia R1 y una corriente I2 que fluye a través de la resistencia R2. Por otro lado,cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, ∆V1= I1R1 y ∆V2 = I2R2. Sin embargo ladiferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia de potencial enel resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que ∆V ∆V ∆V  1 1 1  I = + I 2 + I3 = + I1 + =V  + ∆ +  (7.9) R1 R2 R3  R1 R2 R3 Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con ∆V = IReq como semuestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistenciasconectadas en paralelo está dada por la ecuación 1 1 1 1 = + + (7.10) Req R1 R2 R3Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose 301
  6. 6. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. N 1 1 1 1 1 1 = + Req R1 R2 + ..... + + ... + Ri RN = ∑R i =1 (7.11) i Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia Ri, entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R1. En el caso de dos resistencias se tiene. R1 R2 RR =Req = R1  1 2 (7.12) R1 + R2 R2 Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor sea más pequeño y por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción de corriente- En la figura 7.9, se muestra la instalación de resistencia en el laboratorio (a) (b) (c) Figura 7.9. (a) Instalación de resistencias en paralelo utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias en paralelo utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en paralelo usando terminalesIV. TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10. Figura 7.10. Circuito para transformar resistencias de estrella a triángulos Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades: 302
  7. 7. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Resistencia entre los nudos 1 y 2: RC ( RA + RB ) R1 + R2 RC //( RA + = = RB ) (7.13) RA + RB + RC Resistencia entre los nudos 2 y 3: RA ( RB + RC ) R2 + R3 RA //( RB + = = RC ) (7.14) RA + RB + RC Resistencia entre los nudos 1 y 3: RB ( RA + RC ) R1 + R3 RB //( RA + = = RC ) (7.15) RA + RB + RC Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de RA, RB y RC, y deseamos calcular los valores de R1, R2 y R3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones anteriores obtendremos: RB RC RA RC RA RB =R1 = = ; R2 ; R3 (7.16) RA + RB + RC RA + RB + RC RA + RB + RC Que responden a la forma genérica de Producto de las resistencias conectadas al nudo i Ri = (7.17) Suma de las resistencias del triángulo Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R1,R2 y R3, y queremos calcular los valores de RA, RB y RC del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos: R2 RA R3 RA R3 RB = = = ; ; (7.18) R1 RB R1 RC R2 RC Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos: R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R R + R2 R3 + R3 R1=RA = = 1 2 ; RB ; RC (7.19) R1 R2 R3 Que responden a la forma genérica de Suma de los productos de las resitencias de la estrella tomadas por parejas Ri = (7.20) Resistencia de la estrella conetada al nudo opuesto a R iV. LEYES DE KIRCHHOFF Con una o mas fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica. 303
  8. 8. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que esrecorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos un nudo eléctrico).Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrienteseléctricas.Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicaspara resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff, las cuales a su vez, seinfieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocencomo la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma algebraica de las corrientes en todo nudo eléctrico debe ser siempre igual a cero”, es decir, Figura 7.11. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff Matemáticamente esta ley se expresa en la forma ∑ I ingreasan = ∑ I salen (7.21) I I1 + I 2 = (7.22)5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los elementos de un circuito que forman un circuito cerrado es nulo”. Esto es ∑ circuito ∆Vi = 0 (7.23) cerrado Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose − R1 I1 + E1 − R4 I 4 + E4 − E3 + R3 I 3 − E2 − R2 I 2 = 0 (7.24) Figura 7.12. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff 304
  9. 9. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.VI. CIRCUITOS RC. 6.1 Proceso de carga de un capacitor Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de fem ε, una resistencia R, un condensador C y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a. (a) (b) Figura 7.13. (a) diagrama del circuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circuito RC para t > 0 Cuando el interruptor S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [q(t = 0) =0]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S, comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es ε I0 = (7.25) R En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus bornes comienza a aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo q (t ) VC (t ) = (7.26) C Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene q (t ) ε − I (t ) R − = 0 C dq q ε = R + (7.27) dt C Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt. Debido a que la corriente I debe ser la misma en todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la forma. dq q R = ε− (7.28) dt C Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma dq 1 q = (ε − ) (7.29) dt R C Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir 305
  10. 10. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. dq dt dq 1 = ⇒ = − dt (7.30) q (ε − ) R q − Cε RC CAhora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites correspondientes. q dq 1 t ∫0 q − Cε =− RC ∫0 dt (7.31)De donde se obtiene  q − Cε  t ln  = − (7.32)  −Cε  RCDespejando la carga se tiene q (t ) =ε (1 − e − t / RC ) =(1 − e − t / RC ) C Q (7.33)Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas del capacitor. La carga en función del tiempo puedegraficarse como se muestra en la figura 7.14Figura 7.14. Carga en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitorUna vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre susplacas en cualquier instante esto es q (t ) Cε (1 − e ) − t / RC = VC (t ) = = ε (1 − e − t / RC ) (7.34) C CLa grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función deltiempo. De la figura se observa que después de un tiempo suficientemente largo, la carga sobre el capacitor será q (t =∞) =Q (1 − e −∞ / RC ) =Q (7.35)En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a travésdel circuito será nula q (t = ∞) Cε = VC = = ε (7.36) C CLa corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la cargaobteniéndose ε = Cε (1 − e − t / RC )  = e − t / RC dq (t ) d I (t ) = (7.37) dt dt   R 306
  11. 11. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. I (t ) = I 0 e − t / RC (7.38)El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I0. La gráfica corriente en función deltiempo se observa en la figuraFigura 7.15. Intensidad de corriente en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitorDe la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC, sedenomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcanceaproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en lasplacas del capacitor (figura 7.16), esto es VC (t ) ε (1 − e − t /τ ) = (7.39)Figura 7.16. Voltaje en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor6.2. Proceso de descarga de un capacitor. Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, esdecir t >>> RC. Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzandouna carga Q, siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C. Por otro lado, la diferencia de potencialen el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0. Ahora supongamos que elinterruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.Figura 7.17. Circuito utilizado durante el proceso de descarga de un capacitorEn estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente através del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo decorriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular ladependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando lasegunda ley de Kirchhoff, como se muestra q (t ) ∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0 (7.40) C 307
  12. 12. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto dq I= − (7.41) dtEl signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional alnegativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentradisminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuacióndiferencial de primer orden q dq +R = 0 (7.42) C dtEsta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir, dq 1 = − dt (7.43) q RCLa misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose q dq 1 t q t ∫Q q RC ∫0 = dt ⇒ ln   = − Q − RC (7.44)O también q (t ) = Qe − t / RC (7.45)El voltaje a través del capacitor será q (t ) Q − t / RC = VC (t ) = e (7.46) C CUna grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18Figura 7.18. Diferencia de potencial en las placas de un capacitor en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitorLa intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decaeexponencialmente y se encuentra que I (t ) = = ( Qe − t / RC ) = )e − t / RC dq d Q − − ( (7.47) dt dt RCLa gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en lafigura 7.19 se muestra esta situación. 308
  13. 13. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Figura 7.19. Intensidad de corriente en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitorVII. MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c. Figura 7.20. Instalación de un amperímetro para medir la intensidad de corriente que fluye en un circuito 7.2. Medición de diferencias de potencial Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito eléctrico mostrado en la figura 7.21a. Para ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho elemento como se muestra en la figura 7.21b. Figura 7.21. Instalación de un voltímetro para medir la diferencia de potencial en un elemento de un circuito 7.3. Medición de resistencias 309
  14. 14. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura Figura 7.22. Instalación de un multímetro para medir la resistencia de elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura Figura 7.23. (a)Circuito para medir la resistencia de una bombilla, (b) diagrama del circuito y (c) circuito utilizado para medir la resistencia de un elemento de cerámica.VIII. MEDIDORES ELÉCTRICOS. 8.1. El galvanómetro. Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a través de la bobina pasa una intensidad de corriente Ig, la bobina sufre una desviación angular que es proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está provista de una escala calibrada especialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el diseño básico de un galvanómetro. 310
  15. 15. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Figura 7.24. Galvanómetro de bobina móvil utilizado como base en el diseño de medidores eléctricos.8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere. Figura 7.25. (a) Instalación de un amperímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir corrientes. El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña RP llamada SHUNT como se muestra en la figura 7.25b. Si la resistencia del galvanómetro es Rg y la intensidad de corriente que pasa por el es Ig, la corriente en la resistencia en derivación será Ish. Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da = I g + I sh I (7.48) Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de potenciales en estos elementos serás ∆Vg =Rg Ig (7.49) ∆Vsh =Rsh I sh (7.50) 311
  16. 16. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Figura 7.26. Intensidades de corriente en los elementos del amperímetro construido. Igualando estas diferencias de potencial se obtiene Rg I sh = Ig (7.51) Rsh Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene Rg  Rsh  I = Ig + Ig ⇒ Ig = I   (7.52) Rsh R +R   sh g  De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene I  Rsh  I g= I / n ⇒ = I   n  Rsh + R6  Rg Rsh = (7.53) n −18.3. El voltímetro Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el paso de la corriente (véase la figura 7.27b). Figura 7.27. (a) Instalación de un voltímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir voltajes en un circuito. Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia mostrada en la figura 7.28, tenemos 312
  17. 17. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. ∆V = V2 − V1 (7.54) Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala ∆VR = ( Rs + Rg ) I g (7.54) Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg), se tiene ∆VR ∆VR Rs = − Rg ≅ (7.55) I mas I mas La resistencia equivalente del voltímetro será R( Rs + Rg ) RRs =Re ≅ (7.56) R + Rs + Rg R + Rs Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la resistencia del voltímetro construido, se tiene Req ≅ R (7.57)8.4. El puente de Wheatstone. Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx Figura 7.28. (a) instalación de un voltímetro construido usando un galvanómetro para medir la diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia. Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene ε − R2 ( I a − I b ) − Rx ( I a − I c ) − rI a = 0 − R1 I b − Rg ( I b − I c ) − R2 ( I b − I a ) = 0 (7.58) − R3 I c − Rx ( I c − I a ) − Rg ( I c − I b ) = 0 313
  18. 18. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene ( r + R2 + Rx ) I a − R2 I b − Rg I c = ε R2 I a − ( R1 + R2 + Rg ) I b + Rx I c = 0 (7.59) Rx I a + Rg I b − ( R3 + Rx + Rg ) I c = 0 Resolviendo dichas ecuaciones se tiene ε R2 R3 + ε R2 Rx + ε R2 Rg + ε Rx Rg Ib = ∆ (7.60) ε R2 Rg + ε R1 Rx + ε Rx R2 + ε Rx Rg Ic = ∆ La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será ε I g = Ib − Ic = [ R2 R3 − R1Rx ] (7.61) ∆ Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto R2 R3 − R1 Rx = 0 (7.62) R2 Rx = R3 (7.63) R18.5. El potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc, comparándolas con fems patrones. La batería E1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx . Figura 7.29. Circuito denominado potenciómetro utilizado para determinar fems desconocidas. Para determinar la fem desconocida εx se procede de la siguiente manera: Se conecta el conmutador S a la fem ε0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no fluya corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R1, entonces la diferencia de potencial entre T y T’ será ∆VTT = R1 I1 314
  19. 19. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.  Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene − I1 R + ε1 − I1 R =0 ⇒ ( R + R ) I1 =ε1 (a)  Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener − R2 I 2 − R1 ( I 2 − I1 ) − ε 0 = 0  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a R1 I1 = ε 0 (b)  Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene  ε  R1  1  = ε 0 (c)  R´+ R   A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la resistencia la resistencia entre T y T’ es R2, la diferencia de potencial es ∆VTT =1 R2 I  La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da − I1 R + ε1 − I1 R =0 ⇒ ( R + R ) I1 =ε1 (d) − Rg I 2 − R2 ( I 2 − I1 ) − ε x = 0  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a R2 I1 = ε x (e)  Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta  ε1  R2   = εx  R´+ R   De las ecuaciones (c) y (f) se tiene ε x R2 = (7.64) ε 0 R1 315
  20. 20. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. R1 = 1 Ω y R2 = 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre losIX. PROBLEMAS RESUELTOS terminales se conectan las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente deProblema 01 6 A. Determine la fem ε de la pila y su correspondiente resistencia interna r. Una pila de fem ε = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 6 Ω conectada Solución entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la En la figura se muestra el circuito cuando se pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia instalan las dos resistencias en serie con la pila. disipada en la pila. Solución En la figura se muestra el diagrama del circuito. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene ∆Vε + ∆Vr + ∆VR1 + ∆VR2 = 0 Parte (b) Primero se determina la intensidad de +ε − rI1 − R1 I1 + R2 I1 =0 corriente en el circuito, para esto se aplica la segunda ley de Kirchhoff. Es decir, ε − r (2 A) =1Ω(2 A) + 2Ω(2 A) ∆Vε + ∆VR + ∆Vr = 0 ε −2 r = 6 (1) +ε − RI − rI = 0 En la figura se muestra el circuito cuando las dos ε 1, 06 V resistencias son conectadas a los extremos de la = = I pila pero ahora la conexión es en paralelo. R + r 6 Ω + 1,8 Ω I = 0,136 A Parte (a) Diferencia de potencial en los extremos de la pila Va − rI + ε = Vb Vb − Va =ε − rI =1, 06 V − 1,8 Ω(0,136 A) Vb − Va = 0,815 V Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo por tanto su resistencia equivalente será Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta R1 R2 1Ω(2Ω) 2 potencia se disipa en la resistencia interna Re= = = Ω (2) (calentamiento de la pila). R1 + R2 1Ω + 2Ω 3 = rI 2 1,8 Ω(0,136 A) 2 P = En la figura se muestra el circuito equivalente en donde se indica las polaridades en cada uno de los P = 33, 29 W elementos.Problema 02 Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r. Cuando se conectan en serie dos resistencias de 316
  21. 21. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. En el nudo b, la corriente se divide en Ibe e Ibd. Esto es I ab I be + I bd = I = I be + I bd (2) 2 En forma análoga la corriente Iac en el nudo c se Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito divide en dos corrientes se tiene I= I cd + I ce ac ∆Vε + ∆VRe + ∆Vr = 0 I +ε − Re I 2 − rI 2 =0 = I cd + I ce (3) 2 2 ε − Ω(6 A) − r (6 A) =0 3 Por razones de simetría se tiene ε −6 r = 4 (3) I bd = I cd (4) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y I be = I ce (5) (3) resulta Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d, = 0,5 Ω r se tiene. ε =7 V I= I bd + I cd de (6)Problema 02 Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta En la red indicada todas las resistencias tienen el mismo valor R. La corriente I entra en el nudo a y I de = I bd + I bd = 2 I bd (7) sale por el nudo e. Halle las corrientes en las ramas ab, bd y be. La diferencia de potencial entre los punto be se puede calcular por la rama be o por la rama bde, es decir. ∆Vbe =be RI (8) ∆Vbe = ∆Vbd + ∆Vde ∆Vbe = RI bd + RI de ∆Vbe = RI bd + 2 I bd ∆Vbe = 3I bd (9) Solución El circuito presenta una simetría respecto a la línea Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta ade. I be = 3I bd (10) La corriente que entra en el nudo a se reparte por igual por las ramas ab y ac. Es decir por cada una Remplazando la ecuación (10) en (2) de estas ramas pasa una corriente I I I = I bd + 3I bd ⇒ I bd = (11) I= I= ab ac (1) 2 8 2 La sustitución de la ecuación (11) en la ecuación (10) nos da 317
  22. 22. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. I 3 I ∆V6V + ∆V3Ω + ∆VR = 0 I be= 3   ⇒ I be= 8 8 6V − 3 Ω( I1 ) − Lecturavoltimetro = 0Problema 03 6 V − 3 Ω( I1 ) − 5 V = 0 1 Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas I1 = A (3) del voltímetro indica 5,00 V mientras que el 3 amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem ε. 1 7 2 A + A = I2 ⇒ I2 = A (4) 3 3 Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene ∆VR = I2 R 7 5 V [ A]( R) ⇒ R 2,14 Ω = = 3 Problema 04 Solución Para el circuito mostrado en la figura. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b) En la figura se muestra el sentido de las corrientes si laos puntos a y b están conectados por un cable escogidas y las polaridades en las resistencias. con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se tiene Solución I A + I1 = I2 Parte a. En la figura se muestra el sentido de la corriente y las polaridades en las resistencias. 2A + I1 = I2 (1) Observe que como los puntos a y b no se Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo abcefga se tiene de corriente ∆Vε + ∆V10 Ω + ∆V2 Ω + ∆VR = 0 ε − 10Ω( I A ) − 2 I A − LecV = 0 ε − 10 Ω(2 A) − 2(2 A) − 5 V = 0 ε = 29 V (2) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla defgh se tiene Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cdefc se tiene 318
  23. 23. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.∆V1 V + ∆V Ω + ∆V2Ω + ∆V2Ω + ∆V1Ω + ∆V8V + ∆V2Ω + ∆V1Ω =0 21 I1 = 0, 465 A I 2 = 0, 430 A1 V − 12 I − 2Ω I − 2Ω I − 1Ω I − 8V − 2Ω I − 1Ω I = Ω 0 I 3 = 0, 020 A 4 V = 9Ω( I ) Es decir la corriente que pasa a través de la batería I = 0, 44 A (1) de 12 V es I1 = 465 mA.Aplicando el Teorema de la trayectoria se tiene Problema 05Va − 2 I − 1I − 8V − 2 I − 3(0) + 10V − 1(0) = Vb En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I1, I2 e I3; (b) la Va − Vb = 5 I − 2V = 5(0, 44) − 2V diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) Va − Vb =22 V 0, la potencia disipada en la resistencia de 5 Ω. Desprecie las resistencias internas de las baterías.Parte B. Cuando los puntos a y b se encuentranconectados por un alambre se tiene el circuitosiguiente. Solución Parte (a). Para resolver el problema se usa las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell.Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a setiene Malla I. I= I 2 + I 3 1 24V − 6 I1 − 5( I1 + I 2 ) − 13( I1 + I 3 ) = 0 24 − 24 I1 − 5 I 2 − 13I 3 = 0Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la mallaabcda se tiene 24 I1 + 5 I 2 + 13I 3 = 24 12V − 1I1 − 2 I1 − 1I 3 − 10V − 3I 3 − 1I1 = 0 Malla II. 2= 4 I1 + 4 I 3 V 10V − 3I 2 − 5( I 2 + I1 ) − 2( I 2 − I 3 ) = 0 2 I1 + 2 I 3 = 1 10 − 5 I1 − 10 I 2 + 2 I 3 = 0Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 5 I1 + 10 I 2 − 2 I 3 = 10abcda se tiene Malla III. 10V + 1I 3 − 2 I 2 − 1I 2 − 8V − 2 I 2 + 3I 3 = 0 30V − 2( I 3 − I 2 ) − 13( I 3 + I1 ) − 20 I 3 = 0 5I 2 − 4 I3 = 2 30 − 13I1 + 2 I 2 − 35 I 3 = 0Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene 13I1 − 2 I 2 + 35 I 3 = 30 Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta 319
  24. 24. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 24 5 13 cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del 10 10 −2 interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine 30 − 2 35=I1 = 0,382 A la corriente en función del tiempo que pasa a través 24 5 13 del resistor de 600 kΩ 5 10 −2 13 − 2 35 24 24 13 5 10 −2 13 30 25=I2 = 0,963 A 24 5 13 Solución 5 10 −2 Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor 13 − 2 35 se comporta como un conductor pues no tiene resistencia. El circuito entonces queda en la forma 24 5 13 5 10 10 13 − 2 30=I3 = 0, 770 A 24 5 13 5 10 −2 13 − 2 35 Parte (b). Determinación de la diferencia de Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de la trayectoria. Esto es 50V − 1, 2.106 I 0 = 0 VA − 20 I 3 + 30V = VB I 0 = 4,17.10−5 A Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen VB − VA= 30V − 20Ω(0, 77 A) estacionario. El capacitor después de un tiempo VB − VA = 4 V 15, largo se carga completamente y por la rama donde se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se dibuja en la forma Parte (c). Para determinar la potencia disipada en R = 5Ω, se determina primero la intensidad de corriente en dicho resistor. I 5Ω = I1 + I 2 = 0,382 A + 0,963 A I 5Ω = 1.345 A = I= (1.345 A) 2 (5Ω) P5Ω 2 5 Ω R5 Ω P5Ω = 9, 05 W Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tieneProblema 06 50V − 1, 2.106 Ω( I ∞ ) − 0, 6.106 Ω( I ∞ ) = 0 En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál = 1,8.106 Ω( I ∞ ) 50V es la corriente eléctrica inicial suministrada por la fuente inmediatamente inmediatamente después de I ∞ = 2, 78.10−5 A 320
  25. 25. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Se procede a determinar el voltaje y la carga en el si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la capacitor resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω. ∆VC == ∆VR 600 k Ω ∆VC I ∞ ( R) 2, 78.10−5 A(600.103 Ω) = = ∆VC = 68 V 16, Qmax = c ) = (2,5.10−6 F ) ∆VC (C 16, 68V Qmax = 41, 70 µ F Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador cargado completamente se descarga a través del resistor R = 600 kΩ. Por tanto se tiene Solución En la figura se muestran las corrientes y las polaridades en las resistencias. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene q ∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0 C q dq dq dt − R(− ) =⇒ 0 =− C dt q RC Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se q dq 1 t tiene ∫Qmax q RC ∫0 dt = − I A I1 + I 2 =  q  t 6 A I1 + I 2 = ln  = −  Qmax  RC Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo q = Qmax e − t / RC por lo que sus diferencias de potenciales entre sus extremos serán iguales. Es decir q = [41, 70e − t /1,5 ]µ F ∆VR2 = R1 ⇒ R2 I 2 =I1 ∆V R1 La intensidad de corriente será 30 I 2 = 60 I1 dq d I 2 = 2 I1 I = = [41, 70e − t /1,5 ]µ F  − −   Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se dt dt tiene I = 2, 78.10−5 e − t /1,5 A 6 A I1 + 2 I1 = I1 = 2 AProblema 07 La potencia eléctrica disipada en la espiral R1 es El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La espiral R1 se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se = I= (2 A) 2 (60Ω) P1 2 1 R1 calentarán 480 g de agua con que se llena el P = 240 W 1 calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, 321
  26. 26. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. La energía disipada en la espiral será 200V − R1 ( I a − I b ) − R2 ( I a − I b ) − rI a = 0 = 240 t (240 J / s )(300 s ) Ep = 200 − ( R1 + R2 + r ) I a + ( R1 + R2 ) = 0 = 7200 J 0, 24(7200)cal EP = 5015 I a − 5000 I b = 200 EP = 17280 J Malla b. En el caso de que se deprecien las pérdidas de − R3 I b − R2 ( I b − I a ) − R1 ( I b − I a ) − R4 I b = 0 energía, esta energía es utilizada en el calentamiento del agua. Es decir, ( R1 + R2 ) I a − ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I b = 0 5000 I a = 10000 I b Q = EP I a = 2Ib mwce, w ∆T = 17280 J Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 480 g (1cal / g .°C )∆T = 17280 J anteriores resulta ∆T = 36°C 5015(2 I b ) − 5000 I b = 200Problema 08 I b = 0, 039 A En la figura se muestran dos voltímetros V1 y V2 cuyas resistencias son R1 = 3 kΩ y R2 = 2 kΩ, I a = 0, 079 A respectivamente, Sabiendo que R3 = 3 kΩ; R4 = 2 kΩ; ε = 200 V y r = 15 Ω. Determine las lecturas La lectura del voltímetro V1 será las lecturas de los voltímetros así como del amperímetro de resistencia despreciable cuando: V1 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](3000Ω) (I [0, (a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el interruptor S se encuentra cerrado. V1 = 120 V La lectura del voltímetro V2 será V2 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](2000Ω) (I [0, V1 = 80 V Parte (b) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir, el circuito se grafica en la forma mostrada en la figura Solución Parte (a) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra abierto. Note que los voltímetros tienen resistencias considerables comparadas con las dos resistencias R3 y R4. Uniendo los puntos de igual potencial se observa que R1 se encuentra en paralelo con R4 de igual forma los resistores R2 y R3 están en paralelo. Entonces sus resistencias equivalentes serán Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell, se tiene 322
  27. 27. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. R1 R4 3000(2000) = Re ,1 = = 1200 Ω R1 + R4 3000 + 2000 R2 R3 2000(3000) = Re ,2 = = 1200 Ω R2 + R3 2000 + 3000Aplicando las leyes de Kirchhoff 200V = (1200 + 1200 + 15) I A I A = 0, 083 ALas lecturas de los voltímetros serán V1 = A = Ω(0, 083 A) = V Re.1 I 1200 99, 6 V2 =I A = Ω(0, 083 A) = V Re.2 1200 99, 6 323
  28. 28. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. PROBLEMAS PROPUESTOS1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 60 Ω conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de potencial existente entre las terminales de la batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c) la potencia disipada e la batería. 6. El amperímetro que se muestra en la figura da una lectura de 2 A. Determine I1, I2 y ε.2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r. Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conecta las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Halle la fuerza electromotriz ε y la resistencia interna de la pila.3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V y una resistencia interna r = 1 ,4 Ω se conectan en serie entre los terminales de una batería desconocida de fem ε2 y resistencia interna r2. Sabiendo que la 7. Una batería de 6 V suministra corriente al circuito resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La que se muestra en la figura. Cuando el interruptor corriente observada en el circuito es 1,17A. Cuando de doble posición S está abierto como se muestra, se invierten las conexiones a los terminales de la la corriente en la batería es de 1 mA. Cuando el batería, se observa que la corriente es 0,26 A en interruptor S se cierra a la posición 1, la corriente sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, en la batería es 1,2 mA. Cuando el interruptor se (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2 terminales de la batería con las conexiones mA. Determine las resistencias R1, R2 y R3 originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería después de invertir las conexiones?.4. Considere el circuito que se muestra en la figura. Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 8. Una tetera eléctrica tiene un interruptor multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando sólo una de las bobinas está conectada, la tetera, bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en un intervalo de tiempo Δt. Cuando sólo se encuentra conectada la segunda bobina, es necesario un intervalo de tiempo 2Δt, para hervir la misma cantidad de agua. Determine el tiempo que se requiere para hervir el líquido cuando ambas5. Tres resistores de 100 Ω están conectados como se bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en muestra en la figura. La potencia máxima que paralelo. puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de 25 W. (a) ¿Cuál es el voltaje 9. En la figura se muestra una red infinita de máximo que se puede aplicar a los terminales a y resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre b?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a), ¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, los bornes a y b. ¿Cuál es la potencia total entregada?. 324
  29. 29. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 400Ω 300Ω 3 5 R3 150Ω 1 V2 17 V V1 115 V V3 95 V 6 R4 600Ω R6 800Ω10. Sabiendo que la intensidad de corriente en la 0 resistencia de 13,8 Ω. Determine las intensidades de corriente en las demás resistencias 14. En el circuito mostrado determine la corriente I1, I2 e I311. En el circuito indicado en la figura la lectura del 15. En cada una de las disposiciones mostradas en la amperímetro es la misma cuando ambos figura, encuentre la resistencia equivalente. interruptores están abiertos o ambos están cerrados. Determine el valor de la resistencia R. 16. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.12. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye Determine: (a) las intensidades de corriente en R1, a través de cada una de las fuentes, (b) la diferencia R2, R3; (b) la potencia liberada en la resistencia R6. de potencial entre los puntos a y b. 700Ω 900Ω 3 1 V1 R3 R4 V2 125 V 1.1kΩ 1.4kΩ 150 V 6 4 R5 5 R6 400Ω 200Ω 17. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.13. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye Determine: (a) las intensidades de corriente en cada a través de las resistencias de 4 y 6Ω, (b) la Ω una de las resistencias, (b) la potencia liberada en la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) resistencias R4 y R2 y (c) el potencial eléctrico del la potencia disipada en cada resistor. nodo 4 325
  30. 30. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 22. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito mostrado en la figura.18. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine la resistencia equivalente. 23. En el circuito mostrado en la figura, determine el valor de R para que por ella pase una corriente de 2 A. 24. Determine la potencia disipada en la resistencia R19. Determine la caída de tensión y la potencia de la figura si ésta toma los valores de: 3, 5, 7, 15 y disip da en el resistor d e 2 0 Ω le circuito a d 20 Ω. mostrado. 25. En el circuito mostrado determine: (a) La potencia entregada por la fuente, (b) la resistencia20. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) equivalente del circuito. La caída de tensión y la potencia disipada en el resistor de 5 Ω y (b) la potencia entregada por la fuente de tensión. 26. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos.21. Determine el valor de R para que la batería entregue una potencia de 50W. 27. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la 326
  31. 31. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) la diferencia de potencial entre los puntos a y b28. El amperímetro instalado en el circuito indica 300 mA. Determine: (a) la resistencia interna r de la fuente, (b) la lectura del voltímetro y (c) la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Ω. 31. (a) Utilizar los argumentos de simetría para determinar la resistencia equivalente de la red mostrada en la figura. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia si R es 10 Ω y un a diferencia de potencial se aplica entre los bornes a y b?.29. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) 32. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la la intensidad de corriente en cada una de las potencia suministrada por la cada fem, (c) la resistencias, (b) la diferencia de potencial entre los potencia disipada en cada uno de los elementos puntos A y B y (c) ¿Cuál de los puntos se resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los encuentra a mayor potencial A o B?. puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 33. En el circuito eléctrico determine las intensidades de corriente I1, I2 e I3.30. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem, (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 34. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las batería, (b) la diferencia de potencial entre las terminales de las baterías de 1,5 y 2Ω, Ω 327

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