2. Princípio da Dualidade
●
Em álgebra Booleana a dualidade pode ser obtida
trocando operadores · e + e substituindo 0s por 1s e
vice-versa.
Exemplo:
(a · b) + c' = (a' + b') · c
2
3. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 1 – Operações:
A álgebra Booleana tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas
operações · e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:
a·b∈K
a+b∈K
●
Postulado 2 – Valores Neutros:
Existem valores 0 e 1 tais que:
a+0=a
a·1=a
3
4. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 3 – comutatividade:
a+b=b+a
a·b=b·a
●
Postulado 4 – associatividade:
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
●
Postulado 5 – distributividade:
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
4
5. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 6 – existência de complemento:
Para todo a ∈ K, existe um e apenas um a' ∈ K,
chamado de complemento de a, tal que:
a + a' = 1
a · a' = 0
5
6. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 1 (Idempotência):
A soma ou o produto de um valor por ele mesmo é igual
a ele mesmo.
a+a=a
a·a=a
____________________________
Prova
6
7. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 2 (Aniquilação):
a+1=1
a·0=0
____________________________
Prova
7
8. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 3 (Involução):
●
Teorema 4 (Absorção):
a + (a · b) = a
a · (a + b) = a
____________________________
Prova
8
9. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 5:
a + a' · b = a + b
a · (a' + b) = a · b
____________________________
Prova
9
10. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 6 (Adjacência lógica):
a · b + a · b' = a
(a + b) · (a + b) = a
____________________________
Prova
10
11. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 7:
a · b + a · b' · c = a · b + a · c
(a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c)
____________________________
Prova
11
12. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 8 (Leis de DeMorgan):
(a + b)' = a' · b'
(a · b)' = a' + b'
____________________________
Prova
12
13. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 9 (Teorema do Consenso):
a · b + a' · c + b · c = a · b + a' · c
(a + b) · (a' + c) · (b + c) = (a + b) · (a' + c)
____________________________
Prova
13
28. Formas Canônica e Padrão
●
Precisamos considerar técnicas formais para a
simplificação de funções booleanas.
–
–
–
–
–
Funções idênticas terão exatamente a mesma forma
canônica;
Mintermos e maxtermos;
Soma dos mintermos e Produtos dos maxtermos;
Produto e soma de termos;
Soma de Produtos (SOP) e Produto de Somas (POS).
28
29. Definições
●
Literal: Uma variável ou o seu complemento;
●
Termo Produto: literais conectados por ·;
●
Termo Soma: literais conectados por +;
●
●
Mintermo: um termo Produto em que todas as
variáveis aparecem exatamente uma vez, seja
complementada ou não complementada;
Maxtermo: um termo de Soma em que todas as
variáveis aparecem exatamente uma vez, seja
complementada ou não complementada.
29
30. Mintermo
●
●
●
●
Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;
Denotado por mj, onde j é o equivalente decimal dos mintermos
correspondente à combinação binária (bj);
Uma variável em mj é complementada se seu valor em bj for 0, caso
contrário é não complementada;
Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e seu
mintermo correspondente é denotado por mj = A’BC.
30
31. Maxtermo
●
●
●
●
Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;
Denotado por Mj, onde j é o equivalente decimal dos maxtermos
correspondente à combinação binária (bj);
Uma variável em Mj é complementada se seu valor em bj for 1,
caso contrário é não complementada;
Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e
seu maxtermo correspondente é denotado por Mj = A+B'+C'.
31
32. Tabela verdade para a notação de Mintermos e
Maxtermos
●
●
Mintermos e Maxtermos são fáceis de denotar usando
uma tabela verdade;
Examplo: Assuma 3 variáveis A,B,C (com ordem fixa).
Decimal A
0
0
1
0
2
0
3
0
4
1
5
1
6
1
7
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
f(A,B,C)
1
0
1
1
0
0
1
1
Mintermos
m0 = A'B'C'
m1 = A'B'C
m2 = A'BC'
m3 = A'BC
m4 = AB'C'
m5 = AB'C
m6 = ABC'
m7 = ABC
Maxtermos
M0 = A + B + C
M1 = A + B + C'
M2 = A + B' + C
M3 = A + B' + C'
M4 = A' + B + C
M5 = A' + B + C'
M6 = A' + B' + C
M7 = A' + B' + C'
32
33. Formas Canônicas (Únicas)
●
●
Qualquer função Booleana f( ) pode ser expressada
como uma soma única de mintermos ou um produto
único de maxtermos (sob uma ordem de variáveis fixa);
Em outras palavras, toda função f( ) possui duas formas
canônicas:
–
–
Soma de Produtos Canônica (soma de mintermos);
Produto de Somas Canônico (produto de maxtermos).
33
34. Formas Canônicas (cont.)
●
Soma de Produtos Canônica:
Os mintermos incluídos são os mj tal que f( ) = 1 na
linha j da tabela verdade para f( ).
Produto de Somas Canônico:
–
●
–
Os maxtermos incluídos são os Mj tal que f( ) = 0 na
linha j da tabela verdade para f( ).
34
35. Exemplo
●
Tabela verdade para f(A,B,C);
●
A forma canônica de soma de produtos para f é:
–
●
A forma canônica de produto de somas para F é:
–
●
f(A,B,C) = m1 + m2 + m4 + m6 = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’
f(A,B,C) = M0 · M3 · M5 · M7 = (A+B+C) · (A+B’+C’) · (A’+B+C’) ·
(A’+B’+C’)
Observe que: mj = Mj’.
0
1
2
3
4
5
6
7
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
1
0
1
0
1
0
35
36. Abreviatura: ∑ e ∏
●
●
●
f(A,B,C) = ∑ m(1,2,4,6), onde ∑ indica que é a forma Soma de
Produtos, e m(1,2,4,6) indica que os mintermos que devem ser
incluídos são m1, m2, m4, e m6.
f(A,B,C) = ∏ M(0,3,5,7), onde ∏ indica que é a forma Produto
de Somas, e M(0,3,5,7) indica que os maxtermos que devem ser
incluídos são M0, M3, M5, e M7.
Como mj = Mj’ para todo j,
∑ m(1,2,4,6) = ∏ M(0,3,5,7) = f(A,B,C)
36
37. Conversão entre Formas Canônicas
●
●
Substitua ∑ por ∏ (ou vice versa) e substitua os j’s que estão na forma
original pelos que não estão.
Example:
f(A,B,C) = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’
= m1 + m2 + m4 + m6
= ∑(1,2,4,6)
= ∏(0,3,5,7)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B+C’)·(A’+B’+C’)
37
38. Formas Padrão (Não Únicas)
●
●
●
Formas Padrão são “como” Formas Canônicas, exceto
que nem todas as variáveis precisam aparecer nos
termos produto (SOP) ou soma (POS) individuais;
Exemplo:
f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’
é uma forma padrão de soma de produtos.
f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)
é uma forma padrão de produto de somas.
38
39. Conversão de SOP da forma padrão para a
forma canônica
●
●
●
Expanda os termos não-canônicos inserindo o
equivalente a 1 em cada variável x ausente:
(x + x’) = 1
Remova os mintermos duplicados
f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’
= A’B’C + (A+A’)BC’ + A(B+B’)C’
= A’B’C + ABC’ + A’BC’ + ABC’ + AB’C’
= A’B’C + ABC’ + A’BC + AB’C’
39
40. Conversão de POS da forma padrão para a
forma canônica
●
●
●
Expanda os termos não-canônicos adicionando 0 nos termos
com variáveis faltantes (e.g., xx’ = 0) e use a lei distributiva.
Remova os maxtermos duplicados.
f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)
= (A+B+C)·(AA’+B’+C’)·(A’+BB’+C’)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·
(A’+B+C’)·(A’+B’+C’)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·(A’+B+C’)
40