2. MAGASSÁGPONT
A háromszög magasságpontját a
csúcsokból a szemközti oldalakra
ma,mb,mc magasságvonalak bocsátott merőleges szakaszok
metszéspontja határozza meg
mb
ma
mc
3. BIZONYITÁS:
Az ABC háromszögben az A csúcshoz tartozó magasság m_a, B-hez
tartozó pedig m_b. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül
párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új A'B'C' háromszöget
kapunk, amiben ABCB', AC'BC, ABA'C négyszögek paralelogrammák. Az
eredeti ABC háromszög oldalai az A'B'C' háromszög középvonalai, mivel
B'C' felezőpontja A, A'C' felezőpontja B, A'B' felezőpontja pedig C. A'B'C'
háromszög származtatása miatt m_c az A'B' oldalfelező merőlegese, m_b
az A'C' felezőmerőlegese, m_a pedig B'C'-nek. Mivel ezek egy pontban
metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.
4. MAGASSÁG TALPPONTJA ÉS TALPPONTI
HÁROMSZÖG
• A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal
metszéspontja.
• A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által
meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt
háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a
hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt
körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a
talpponti háromszögének körülírt köre, ugyanis a magasságvonalak
felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.
• A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög
Feuerbach-körén.
5. SÚLYPONT
A súlypont a csúcsok és a szemközti
A1,B1,C1 oldalfelező oldalakat összekötő szakaszok
pontok metszéspontja
B1 A1
C1
6. BIZONYITÁS:
• A háromszög súlypontja a súlyvonalak (a csúcsokat a szemközti
oldalak felezőpontjával összekötő vonalak) metszéspontja. A
súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a
csúcstól távolabb van. Ahogy a jobb oldali ábra mutatja, a
súlypont az oldal és a szemközti csúcs közötti merőleges
távolság 1/3-ánál található.
• A súlypont megegyezik a háromszög tömegközéppontjával, ha a
háromszöglap állandó sűrűségű anyagból készült. A súlypont
koordinátái Descertes-féle derékszögű koordináta-rendszerben
a csúcspontok koordinátáinak számtani közepével egyezik meg.
7. A KÖRÉÍRT KÖR KÖZÉPPONTJA
Egy háromszög köréírt körének
A1,B1,C1 oldalfelező középpontját az oldalak oldalfelező
pontok merőlegeseinek metszéspontja
határozza meg.
B1
R köréírt
kör sugara A1
R
C1
8. TÉTEL, BIZONYITÁS:
Tétel: A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegeseinek
metszéspontja.
Bizonyítás: A háromszög AB oldalának felező merőlegesének minden pontja
egyenlő távolságra van a háromszög A és B csúcsától. Hasonlóan, a BC
oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a B és a C
csúcstól. Ezért ez a metszéspont egyenlő távolságra van mindhárom
csúcstól, tehát ez a köré írt kör középpontja, és a harmadik felezőmerőleges
is ezen a ponton megy át.
Jelölje a beírt kör sugarát r, a köré írt kör sugarát R! Ekkor a két kör
középpontjának távolsága /gyök{R(R-2r)}.
9. A BEIRT KÖR KÖZÉPPONTJA
fa,fb,fc szögfelező Egy háromszög beírt körének
egyenesek középpontját a háromszög
szögeinek szögfelező egyeneseinek
metszéspontja határozza meg.
fc
r beírt
kör sugara
r
fb
fa
10. • A geometriában a háromszög beírt köre vagy a háromszögbe írt kör olyan
kör, amely a háromszög minden oldalát érinti, középpontja a belső
szögfelezők metszéspontja, sugara a kör középpontját és az érintési
pontokat összekötő szakasz (azaz a középpontból az oldalakra állított
merőleges szakasz hossza). A beírt körnek nagy a jelentősége a
háromszögek geometriájában.
11. TÉTEL, BIZONYITÁS:
• Tétel: A háromszög beírt körének középpontja a háromszög három
szögfelezőjének közös metszéspontja.
• Bizonyítás: Az α szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az AB
és a CA oldalaktól. Hasonlóan, a β szög felezőjének pontjai egyenlő távolságra
fekszenek a BC és az AB oldalaktól. A két szögfelező metszéspontjai tehát
egyenlő távolságra vannak mindhárom oldaltól, ezért a harmadik szögfelezőnek
is át kell mennie ezen a ponton.
• A beírt kör a háromszög minden oldalát belülről érinti, míg a hozzá írt körök
kívülről érintenek egy-egy oldalt, és a két oldalegyenest a háromszögön kívül.
Mindegyik kör középpontja a háromszög nevezetes pontjai közé tartozik.
• A beírt kör középpontjának trilineáris koordinátái 1:1:1, baricentrikus koordinátái
a:b:c, ahol a : arra utal, hogy ezek a koordináták csak konstans szorzó erejéig
vannak meghatározva.
12. A HOZZÁÍRT KÖR KÖZÉPPONTJA
A háromszög hozzáírt körének
f1,f2,f3 középpontját két külső szögének
szögfelező szögfelezője és a harmadik csúcs
egyenesek belső szögfelezőjének
metszéspontja határozza meg.
f3
r f1
hozzáírt kör
r
sugara f2
13. A háromszög két külső szögének szögfelezője és a harmadik
szög belső szögfelezője egy pontban metszi egymást.
Ez a metszéspont egyenlő távolságra van a háromszög három
oldalegyenesétől, ezért ebből a pontból, mint középpontból
olyan kört szerkeszthetünk, amely érinti a háromszög
mindhárom oldalegyenesét.
Ezt a háromszög hozzáírt körének vagy más néven
érintőkörének nevezzük.
14. Tudjuk, hogy a háromszög három szögfelezője egy pontban
metszi egymást, és hogy ez a pont a beírható kör
középpontja. Azt is tudjuk, hogy ez a pont egyforma
távolságra van a háromszög mindhárom oldalegyenesétől.
Felmerül a kérdés, léteznek-e még hasonló tulajdonságú
pontok? A válasz igen, a háromszög hozzáirt köreinek
középpontjai. Ahhoz, hogy ezeket a pontokat meg tudjuk
szerkeszteni, tudnunk kell, hogy a háromszög bármely két
külső szögfelezője, valamint a harmadik csúcson áthaladó
belső szög szögfelezője is egy pontra illeszkedik.
15. EULER EGYENES:
• Leonhard Euler 1707-ben született Svájcban, Baselban. 1727-ben meghívták
Oroszországba, a szentpétervári Akadémiára. 1747-ben Berlinbe ment, hogy
elfoglalja a Porosz Akadémia matematika székét. 1766-ban visszatér
Szentpétervárra, és ott élt 1783-ban bekövetkezett haláláig.
• Rendkívül termékeny tudós volt. A matematika majd minden területén
kimagasló tevékenységet fejtett ki. 473 dolgozata még életében
megjelent, 200 dolgozat nem sokkal halála után látott napvilágot, míg 61
egyéb írásának várnia kellett a publikálásra. A matematika mellett még
csillagászattal és fizikával is foglalkozott. S ha ehhez még azt is
hozzávesszük, hogy élete utolsó évtizedében teljesen vakon dolgozott, akkor
érzékelhetjük igazán rendkívül sokirányú munkásságát és eredményeit.
• Többek között ő bizonyította be először, hogy a háromszög három nevezetes
pontja egy egyenesen van. Ezt az egyenest később róla nevezték el.
16. Leonard Euler megmutatta, hogy bármely háromszögben ez a
négy pont egy egyenesre esik. A Feuerbach-kör középpontja
felezi a magasságpont és a háromszög körülírt körének
középpontja által meghatározott szakaszt. A súlypont 1:2
arányban osztja a körülírt kör középpontját és a magasságpontot
összekötő szakaszt.
17. A HÁROMSZÖG SZÖGFELEZŐI
• A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső
szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a
háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.
• A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a
következőképpen: Az csúcson és a csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja
egyenlő távol van a és oldalegyenestől (mivel az csúcson átmenő szögfelező pontja)
valamint a és oldalegyenesektől is (mivel a csúcson átmenő szögfelezőnek is
pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így -tól és -től is, ezért
rajta van a -n átmenő szögfelezőn.
• A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért
ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a
középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.
18. AZ IZOGONÁLIS PONT
• Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában az a
pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok
együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta
Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését.
• Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont
egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt
látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.)
Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a
háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti
háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban
metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos
háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)
19. TÉTEL, BIZONYITÁS:
• Tétel: Egy háromszög Fermat-pontjából a háromszög minden oldala 120 fok alatt látszik.
• Bizonyítás: a matematikai optimalizálást, a Lagrange-szorzókat és a koszinusztételt
használja.
• A háromszög belsejében felvett pontot összekötjük a háromszög csúcsaival, és rendre X-
nek, Y-nak, és Z-nek nevezzük ezeket a szakaszokat. Jelölje ezeknek a hosszát rendre
x, y, z. Az X és Y által bezárt hegyesszög legyen α, az Y és a Z által bezárt szög β; ekkor
az X és a Z szakasz szöge (2π − α − β).
20. FEUERBACH-KÖR
• A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes
kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy
át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem
tompaszögű. Ezek:
• a háromszög oldalfelező pontjai,
• a háromszög magasságainak talppontjai,
• a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.
• A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a
gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a
tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.
• A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a
talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből
a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.
