Math

1. 2024/1/4
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
东北大学信息学院 1
第 1 章
计算机数学语言概述
薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的
MATLAB求解》，清华大学出版社2004
CAI课件开发：薛定宇

2. 2024/1/4 2
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
本章主要内容
 数学问题计算机求解概述
 计算机数学语言概述
 关于本书及相关内容
 本章要点简介
 网络资源简介

3. 2024/1/4 3
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.1 数学问题计算机求解概述
 1.1.1为什么要学习计算机数学语言？
 1.1.2 数学问题的解析解与数值解
 1.1.3数学运算问题软件包发展概述

4. 2024/1/4 4
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.1.1 为什么要学习
计算机数学语言？
 数学问题求解
手工推导
借助计算机
用数值分析技术，从底层编写起
应用现成软件进行计算机求解
解析解与数值解

5. 2024/1/4 5
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
先考虑下面一些例子
【例1-1】高等数学问题：已知函数，如何
求导及高阶导数？
思路：① 由分式求导公式，得出
② 逐次求导则可以得出
问题：求导过程很繁杂，容易出错

6. 2024/1/4 6
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
计算机求解结果
不是最简

7. 2024/1/4 7
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
基于计算机的化简结果
 靠手工推导的方法难以准确得出
手工无从推导，计算机能，<1秒

8. 2024/1/4 8
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
【例1-2】代数方程求根
 古典方法
 一、二、三、四阶：直接方法
 五阶或以上 Abel定理，认为无解
 现代数值方法
 林士谔-Bairstrow 算法，又称为劈因子法
 具体实例

9. 2024/1/4 9
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
 双精度变量的数值方法
 代入方程后的误差
 精确解

10. 2024/1/4 10
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
【例1-3】 矩阵行列式求解问题
 代数余子式
 1 个 n 阶行列式可以表示成 n 个 n-1 阶行列式的
和，…
 可以将高阶矩阵行列式转换成1阶矩阵行列式
 结论：任意矩阵行列式解析解存在
 问题：忽略了可计算性
 n=20, 银河机，3000年

11. 2024/1/4 11
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
 实例：Hilbert 矩阵，n=20
 传统数值分析结论：矩阵奇异
 双精度级别下的数值解 -1.1004e-195

12. 2024/1/4 12
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
该矩阵行列式的精确结果
 近似值
 计算时间 0.2 秒

13. 2024/1/4 13
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
【例1-4】非线性常微分方程组
 没有解析解
 传统数值方法
 计算步长选择
 计算时间
 变步长
 刚性方程专用方法
Van der Pol方程

14. 2024/1/4 14
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
传统数学书上没有的微分方程解法
 延迟微分方程例子
 分数阶微分方程
 解决方法：计算机数学语言＋算法

15. 2024/1/4 15
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
【例1-5】 最优化问题
 求解方法：一般线性规划
 若找不到全局最优解，可以试遗传算法
 若要求 为整数 －－ 整数规划

16. 2024/1/4 16
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
其他课程的关系
 其他数学分支
 积分变换、复变函数、偏微分方程、数据插值
与拟合、概率论与数理统计、数值分析
 其他相关课程
 电路、电子技术、电力电子技术、电机与拖动、
自动控制原理

17. 2024/1/4 17
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.1.2 数学问题的解析解与数值解
 数学家和其他科学技术工作者的区别
 数学家：理论严格证明、存在性
 工程技术人员：如何直接得出解
 解析解不能使用的场合
 不存在
 数学家解决方法，引入符号erf(a)
 工程技术人员更感兴趣积分的值 数值解

18. 2024/1/4 18
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
 解析解不能使用的场合
 解析解不存在：无理数，无限不循环小数 p
 数学家：尽量精确地取值，小日本60亿位
 工程技术人员：足够精确即可
 祖充之 3.1415926，阿基米德的~3.1418
 解析解存在但不实用或求解不可能
 高阶矩阵行列式

19. 2024/1/4 19
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
数值解应用场合
 在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程；
 在航空、航天与自动控制领域，经常用到数值线性
代数与常微分方程的数值解法等解决实际问题；
 工程与非工程系统的计算机仿真中，核心问题的求
解也需要用到各种差分方程、常微分方程的数值解
法；
 在高科技的数字信号处理领域，离散的快速Fourier
变换 (FFT) 已经成为其不可或缺的工具。
 …… ……

20. 2024/1/4 20
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.1.3 数学运算问题软件包发展概述
 享有国际声望的软件包
 线性代数LINPACK
 矩阵特征值计算 LINPACK
 NAG (Oxford: Numerical Algorithm Group)
 Press W H, Flannery B P, Teukolsky S A, and
Vitterling W T. Numerical recipes, the art of
scientific computing. Cambridge: Cambridge
University Press, 1986

21. 2024/1/4 21
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
软件包作用
 从历史发展角度，起了不可替代的作用
 对计算机数学语言的强有力支持
 但不能过多依赖
 使用烦琐
 应该在计算机数学语言的意义下利用之

22. 2024/1/4 22
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
举例：求取矩阵特征值
 EISPACK 软件包解法
 计算机数学语言解法：eig(A)

23. 2024/1/4 23
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
考虑一个实际编程例子
 如何编写一个能求出两个矩阵相乘的计算
机通用子程序？
该程序正确吗？ 错误，未考虑矩阵是否可乘

24. 2024/1/4 24
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
是否正确？ 错误，未考虑其一为标量
加入标量判定，是否就是通用程序了？
错误，考虑其一或二者为复数矩阵
可见，用最底层的编程语言需要考虑的内容要
多得多，所以调试起来不容易，容易出现漏洞
MATLAB 实现：C=A*B

25. 2024/1/4 25
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.2 计算机数学语言概述
 1.2.1 计算机数学语言
 MATLAB 1984 v1 The MathWorks Inc
 MATrix LABoratory
 1980 Cleve Moler, New Mexico University
 自动控制学科的应用
 Mathematica
 Maple
 SciLAB：免费，全部源代码公开

26. 2024/1/4 26
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.2.2 三个代表性计算机数学语言
 “三个代表”：MATLAB, Mathematica, Maple
 MATLAB
 数值运算、程序设计，广泛应用
 Mathematica、Maple
 数学机械化，编程侧重于模式匹配
 MATLAB+符号运算工具箱+Maple
 可以推导公式，可以调用Maple功能

27. 2024/1/4 27
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
MATLAB 语言的优势
 编程简单，类似于其他语言，如C
 集成度更高，扩展性更好
 数学问题数值解能力强大
 由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继
承Maple所有解析解的求解能力
 在数学、工程领域各种“工具箱”
 强大的系统仿真能力，Simulink建模
 在控制界是国际首选的计算机语言

28. 2024/1/4 28
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.3 关于本书及相关内容
1.3.1 本书框架设计及内容安排
 第1章(本章)，综述MATLAB等计算机数学语
言的发展概况
 第2章 MATLAB语言程序设计基础
 第3章 微积分问题的计算机求解
 第4章 线性代数问题的计算机求解
 第5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
 第6章 代数方程与最优化问题的计算机求解

29. 2024/1/4 29
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
 第7章 微分方程问题的计算机求解
 第8章 数据插值、函数逼近问题的计算机求解
 第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解
 第10章 数学问题的非传统解法
 模糊逻辑与模糊推理
 神经网络在数据拟合中的应用
 遗传算法在最优化求解中的应用
 小波理论在数据处理中的应用
 粗糙集理论与应用
 分数阶微积分理论与计算

30. 2024/1/4 30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.3.2 本课程与其他相关课程的关系
 和数学的关系
 应用数学和纯数学，数学问题机械化
 侧重直接获得问题的解，而不是存在性
 和数值分析的关系
 不是数值分析的MATLAB语言求解，从算法上看，选
择的算法更有效，变步长、自适应的算法实现
 可以求解析解
 求解的面也更大，更全面
 和其他后续课程的关系
 利用计算机数学语言更好解决后续课程中的数学问题
和相关计算问题

31. 2024/1/4 31
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1.4 本章要点概述
 本章通过一些看起来用先修课程知识难以解
决的数学问题求解来介绍学习计算机数学语
言的重要性，并对当前国际上最好的计算机
数学语言做出综述，并解释了本课程选择
MATLAB语言的原因。
 本章还回顾了数学软件包和计算机数学语言
的发展过程，并入门性地介绍了数学问题的
解析解、数值解的基本概念，并举例说明了
什么时候应该使用解析解，什么时候应该使
用数值解。
 本章还介绍了本课程的框架以及本课程与其
他相关课程之间的关系。

32. 2024/1/4 32
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
本课程的互联网资源
 The MathWorks公司官方网站
 产品与全套工具箱手册下载
http://www.mathworks.com
 第三方工具箱下载
http://www.matlabcentral.com
 产品在中国独家代理 (北京九州恒润公司)
 http://www.hirain.com

33. 2024/1/4 33
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
 MATLAB大观园 (薛定宇维护)
 本书及相关内容资源
 http://www.matlab-world.com
 MATLAB与应用论坛 (薛定宇维护)
 http://matlab.netsh.net
 博士家园论坛网站 (各类数学问题)
 http://www.bossh.net
 一些高校的bbs
 清华大学、哈工大、上海交大、西安交大等