4. 유향그래프 용어 유향경로 (oriented path) 호들이 e1, e2, …en 일때 (n>=1), 만일 V=init(e1), V’=fin(en)이며 1<=k<n에 대해 fin(ek)=init(ek+1)이면 그러한 (e1,e2,..en)을 V에서 V’로의 길이가 n인 유향경로라고 한다. 단순 유향 경로 유향경로에서 init(e1), … ,init(en)들이 서로 다르며 fin(e1), … ,fin(en)들이 서로 다르면 단순유향경로이다.
5. 유향 그래프 (e17, e19, e18, e22)는 J에서 P로가는 길이 4의 유향경로 이다. 단순경로는 아니다. init(e19) = L = init(e22)
6. 강하게 연결된 유향 그래프 강하게 연결된 유향 그래프(strongly connected) 유향 그래프에서 서로 다른 모든 두 정점 V,V1에 대해 V에서 V1로의 유향 경로가 하나 존재할 때
7. 루트 V!=R에 대해 V에서 R로의 유향경로가 존재할 때 그런 정점 R을 루트라고 부른다. 루트가 적어도 하나 있는 그래프를 루트있는 유향 그래프라고 부른다.
8. 유향 트리 유향트리 성질 A) 각 정점 V!=R이 정확히 하나의 호(e[V]로 표기)의 시작 정점이다. B) R은 어떠한 호의 시작 정점도 아니다. C) R은 앞에서 정의된 의미 (즉, 각 정점 V!=R에 대해 V에서 R로의 유향 경로가 존재) 에서 하나의 루트이다.
10. 세 트리 구조들 순서트리: 세 트리 모두 다르다. 유향트리: 첫번째, 두번째는 동일하다. 자유트리: 세 트리 모두 동일하다.
11. 오일러 경로 오일러 경로(eulerian trail): 어떤 유향 그래프에서 모든 호가 정확히 한 번씩만 나타나며, 그 유향 그래프의 유향 경로 (e1,e2,..,em)에서 fin(em)=init(e1)일 때, 그러한 유향 경로를 오일러 경로라고 부른다.
12. 균형 유향 그래프 유향 그래프의 모든 정점들에서 내차수와 외차수가 같을 때, 그런 유향 그래프를 균형 잡힌(balanced) 유향 그래프라고 한다. 유향 그래프에 오일러 경로가 존재하면 그 유향 그래프는 반드시 균형 유향 그래프 이다.
13. 유향 그래프는 균형 잡힌 경우에만 오일러 경로를 가진다. 증명: G가 균형 유향 그래프라고 하자. P = (e1, … , em) Init(ej)=V이고 j>1이면 fin(ej-1)=V이다. 따라서 G는 균형 잡힌 유향 그래프 이므로, init(e1)=V=fin(em)이다.
14. 오일러 경로와 유향 트리 보조정리 E: (e1, … , em)이 유향 그래프 G의 한 오일러 경로라고 하자. R=fin(em)=init(e1)이라고 하자.각각의 정점 V!=R에 대해 e[V]가 그 오일러 경로의 V에서 마지막으로 나가는 호라고 하자. 즉, e[V]=ej, 만일 j<k<m에 대해 init(ej)=V이고 init(ek)!=V이면, 호 e[V]들을 가진 G의 정점들은 루트가 R인 유향 트리를 형성한다.