Solución de actividades matemáticas sobre números enteros y estadística

Actividades
I Números enteros
Escribe el valor absoluto de los siguientes nú-
meros:
a) (ϩ5) ⇒
b) (Ϫ8) ⇒
c) (Ϫ12) ⇒
Calcula:
a) (Ϫ6) ϩ (+4) ϩ (Ϫ9) ϭ
b) (ϩ4) ϩ (Ϫ10) ϩ (ϩ7) ϭ
Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10
plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está?
Halla el valor de estas expresiones:
a) Ϫ7 Ϫ (Ϫ4 ϩ 9 Ϫ 5) ϩ (Ϫ3 ϩ 6)ϭ
b) (ϩ8 Ϫ 10 ϩ 7) Ϫ (Ϫ12 ϩ 3 Ϫ 2)ϭ
c) Ϫ15 Ϫ (9 ϩ 3 Ϫ 6 Ϫ 2) ϩ 4 Ϫ (5 Ϫ 7)ϭ
Halla el valor de las siguientes expresiones:
a) (ϩ4) · [(Ϫ3) Ϫ (Ϫ2) ϩ (ϩ5)] ϭ
b) [(Ϫ2) · (ϩ6)] : (Ϫ 4) ϭ
c) [(Ϫ8) : ( Ϫ2)] · (Ϫ4) ϭ
Calcula aplicando la propiedad distributiva:
a) (Ϫ4) · (5 Ϫ 3 ϩ 8) ϭ
b) (7 ϩ 6 Ϫ 2 Ϫ 5) · (Ϫ3) ϭ
c) (ϩ10) · (Ϫ6 ϩ 4 Ϫ 12 Ϫ 3) ϭ
d) [(Ϫ29) ϩ (ϩ34)] ϩ [(Ϫ47) ϩ (Ϫ73)] ϭ
e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] ϭ
Daniel pide prestado 5 € a cada uno de sus
padres y cada uno de sus 4 abuelos para irse de
excursión. ¿A cuánto asciende su deuda?
Calcula:
a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) ϭ
b) 3 · ( –2) : (–3) ϭ
c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) ϭ
d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) ϭ
Halla las sumas:
a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) ϭ
b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) ϭ
9
8
7
6
5
4
3
2
1
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 1
Matemáticas
0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 1

Escribe el valor absoluto de los siguientes nú-
meros:
a) (ϩ5) ⇒ |ϩ5| ϭ 5
b) (Ϫ8) ⇒ |Ϫ8| ϭ 8
c) (Ϫ12) ⇒|Ϫ12| ϭ 12
Calcula:
a) (Ϫ6) ϩ (+4) ϩ (Ϫ9) ϭϪ11
b) (ϩ4) ϩ (Ϫ10) ϩ (ϩ7) ϭϩ1
Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10
plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está?
(Ϫ2) ϩ (ϩ10) ϩ (Ϫ3) ϭ ϩ5
Está en la quinta planta.
Halla el valor de estas expresiones:
a) Ϫ7 Ϫ (Ϫ4 ϩ 9 Ϫ 5) ϩ (Ϫ3 ϩ 6)ϭ
ϭ Ϫ7 ϩ 4 Ϫ 9 ϩ 5 Ϫ 3 ϩ 6 ϭ Ϫ4
b) (ϩ8 Ϫ 10 ϩ 7) Ϫ (Ϫ12 ϩ 3 Ϫ 2)ϭ
ϭ 8 Ϫ 10 ϩ 7 ϩ 12 Ϫ 3 ϩ 2 ϭ ϩ16
c) Ϫ15 Ϫ (9 ϩ 3 Ϫ 6 Ϫ 2) ϩ 4 Ϫ (5 Ϫ 7)ϭ
ϭϪ15Ϫ9Ϫ3ϩ6ϩ2ϩ4Ϫ5ϩ7 ϭ
ϭ Ϫ13
Halla el valor de las siguientes expresiones:
a) (ϩ4) · [(Ϫ3) Ϫ (Ϫ2) ϩ (ϩ5)] ϭ
ϭ (ϩ4) · (ϩ4) ϭ ϩ16
b) [(Ϫ2) · (ϩ6)] : (Ϫ 4) ϭ
ϭ (Ϫ12) : (Ϫ4) ϭ ϩ3
c) [(Ϫ8) : ( Ϫ2)] · (Ϫ4) ϭ
ϭ (ϩ4) · (Ϫ4) ϭ Ϫ16
Calcula aplicando la propiedad distributiva:
a) (Ϫ4) · (5 Ϫ 3 ϩ 8) ϭ
ϭ Ϫ20 ϩ 12 Ϫ 32 ϭ Ϫ40
b) (7 ϩ 6 Ϫ 2 Ϫ 5) · (Ϫ3) ϭ
ϭ Ϫ21 Ϫ 18 ϩ 6 ϩ 15 ϭ Ϫ18
c) (ϩ10) · (Ϫ6 ϩ 4 Ϫ 12 Ϫ 3) ϭ
ϭ Ϫ60 ϩ 40 Ϫ 120 Ϫ 30 ϭ Ϫ170
d) [(Ϫ29) ϩ (ϩ34)] ϩ [(Ϫ47) ϩ (Ϫ73)] ϭ
ϭ (ϩ5) ϩ (Ϫ120) ϭ Ϫ115
e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] ϭ
ϭ (ϩ52) ϩ (ϩ33) ϭ ϩ85
Daniel pide prestado 5 € a cada uno de sus
padres y cada uno de sus 4 abuelos para irse de
excursión. ¿A cuánto asciende su deuda?
(Ϫ5) · (ϩ6) ϭ Ϫ30; Daniel debe 30 €.
Calcula:
a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) ϭ 15 : (Ϫ5) ϭ Ϫ3
b) 3 · ( –2) : (–3) ϭ (Ϫ6) : (Ϫ3) ϭ ϩ2
c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) ϭ
ϭ (Ϫ2) · (ϩ3) ϭ Ϫ6
d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) ϭ
ϭ (Ϫ35) : (Ϫ5) ϭ ϩ7
Halla las sumas:
a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) ϭ
ϭ (ϩ128) ϩ (Ϫ88) ϭ ϩ40
b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) ϭ
ϭ (Ϫ102) ϩ (ϩ76) ϭ Ϫ26
9
8
7
6
5
4
3
2
1
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
I Números enteros
Solución de las actividades
2
Matemáticas

Actividades
XV Estadística
Di de qué tipo es cada una de las siguientes
variables estadísticas:
a) El color del pelo.
b) Los valores de la tirada de un dado.
c) Las causas de los incendios forestales.
d) La estatura de un determinado colectivo.
e) Las notas obtenidas en un examen.
Se ha preguntado a 50 socios de una asociación
cultural formada por 2000 socios acerca de una
nueva propuesta de actividades para el año pró-
ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente.
a) ¿Cuál es la población?
b) ¿Cuál es la muestra?
c) ¿Qué porcentaje de la población supone
esta muestra?
d) ¿Cuántos individuos de los encuestados han
respondido afirmativamente?
e) ¿A cuántos socios representan los que han
aceptado las propuestas de las actividades
del próximo año?
Gloria ha estado esperando a su amiga durante
un rato y se ha entretenido en ir anotando el
color del vestido de las chicas que pasaban
delante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo, 4
de azul, de verde solo ha anotado 1, y de negro,
6. Muestra estos datos en una tabla indicando
las frecuencias absolutas, las relativas y el
porcentaje.
Representa los datos de la actividad anterior en
un diagrama de sectores, calculando previa-
mente la amplitud de cada sector.
4
3
2
1
Matemáticas

XV Estadística
Rodríguez está muy contento con su nueva
agencia de viajes. Ya en la primera semana
ha gestionado las vacaciones de 5 familias
que irán a las Islas Canarias, 4 han preferido
las Baleares, 3 han optado por los Pirineos y
5 prefieren las costas valencianas.
Para poder planear mejor las ofertas quiere
confeccionar un gráfico de barras y detectar los
destinos más solicitados. Confecciónaselo tú.
El profesor de Matemáticas acaba de termi-
nar de corregir los últimos exámenes de sus
alumnos y ha anotado los resultados en esta
tabla. Complétala y calcula la nota media de
la clase, la mediana de la distribución y la
moda.
un diagrama de barras y otro de sectores.
En la gráfica se muestran las temperaturas
máximas diarias de 20 días. Calcula la tempera-
tura media.
8
7
6
5
Actividades
34
Matemáticas
xi ni xi· ni Ni fi
3 4
5 5
6 6
7 8
8 5
10 2
Tot
0
14º
1
2
3
4
5
6
7
temperatura
13º 12º 11º 9º
días

Di de qué tipo es cada una de las siguientes
variables estadísticas:
a) El color del pelo.
Cualitativa
b) Los valores de la tirada de un dado.
Cuantitativa
c) Las causas de los incendios forestales.
Cualitativa
d) La estatura de un determinado colectivo.
Cuantitativa
e) Las notas obtenidas en un examen.
Cuantitativa
Se ha preguntado a 50 socios de una asociación
cultural formada por 2000 socios acerca de una
nueva propuesta de actividades para el año pró-
ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente.
a) ¿Cuál es la población?
La población la forman los 2 000
socios.
b) ¿Cuál es la muestra?
La muestra está formada por los
50 socios encuestados.
c) ¿Qué porcentaje de la población supone
esta muestra?
La muestra representa al 2,5 % de
la población.
d) ¿Cuántos individuos de los encuestados han
respondido afirmativamente?
Han respondido afirmativamente
30 individuos.
e) ¿A cuántos socios representan los que han
aceptado las propuestas de las actividades
del próximo año?
Representan a 1 200 socios.
Gloria ha estado esperando a su amiga durante
un rato y se ha entretenido en ir anotando el
color del vestido de las chicas que pasaban
delante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo,
4 de azul, de verde solo ha anotado 1, y de
negro, 6. Muestra estos datos en una tabla
indicando las frecuencias absolutas, las
relativas y el porcentaje.
un diagrama de sectores, calculando previa-
mente la amplitud de cada sector.
El sector rojo (A) : 360 ·
7
–––
18
ϭ 140º
El sector azul (C) : 360 ·
4
–––
18
ϭ 80º
El sector verde (D) :
360
––––
18
ϭ 20º
El sector negro (B) : 360 ·
6
–––
18
ϭ 120º
4
3
2
1
XV Estadística
35
Matemáticas
Modalidad
xi
Frecuencia
absoluta, ni
Frecuencia
relativa, fi
Porcentaje
%
Rojo 7 0,39 39 %
Azul 4 0,22 22 %
Verde 1 0,05 5 %
Negro 6 0,34 34 %
Total 18 1 100 %
(B)
(C)
(D) (A)

Rodríguez está muy contento con su nueva
agencia de viajes. Ya en la primera semana
ha gestionado las vacaciones de 5 familias
que irán a las Islas Canarias, 4 han preferido
las Baleares, 3 han optado por los Pirineos y
5 prefieren las costas valencianas.
Para poder planear mejor las ofertas quiere
confeccionar un gráfico de barras y detectar los
destinos más solicitados. Confecciónaselo tú.
El profesor de Matemáticas acaba de termi-
nar de corregir los últimos exámenes de sus
alumnos y ha anotado los resultados en esta
tabla. Complétala y calcula la nota media de
la clase, la mediana de la distribución y la
moda.
La nota media de la clase es:
ϭ 6,3 puntos.
La mediana es:
6 ϩ 7
ᎏ᎐ᎏ
2
ϭ 6,5 puntos.
La moda es 7 puntos.
un diagrama de barras y otro de sectores.
Sector de 3 puntos: 360 ·
4
Ϫ
30
ϭ 48º
5
Ϫ
30
ϭ 60º
6
Ϫ
30
ϭ 72º
8
Ϫ
30
ϭ 96º
5
Ϫ
30
ϭ 60º
2
Ϫ
30
ϭ 24º
En la gráfica se muestran las temperaturas
máximas diarias de 20 días. Calcula la tempera-
tura media.
La media es:
ϭ
ϭ
225
––––
20
ϭ 11,25 ºC
8
7
6
5
XV Estadística
36
Matemáticas
0
Canarias
1
2
3
4
5
6
Baleares Pirineos C.Valenciana
xi ni xi ؒ ni
Ni fi
3 4 12 4 0,13
5 5 25 9 0,17
6 6 36 15 0,2
7 8 56 23 0,26
8 5 40 28 0,17
10 2 20 30 0,07
Tot. 30 189 1
5
0
8
3 6 87 10
1
2
3
4
5
6
7
0
14º
1
2
3
4
5
6
7
temperatura
13º 12º 11º 9º
días
189
30
14 · 2 ϩ 12 · 3 ϩ 13 · 4 ϩ 11 · 5 ϩ 9 · 6
20
60º
60º
72º96º
48º
24º

Actividades
II Fracciones y decimales
Escribe la expresión decimal:
a) ᎏ
1
2
3
8
ᎏϭ
b) ᎏ
1
3
4
0
ᎏϭ
c) ᎏ
1
8
5
ᎏϭ
Halla la fracción generatriz:
a) 25,8៣៣ ϭ
b) 250,61៣៣ ϭ
Simplifica:
a) ᎏ
1
3
2
6
6
ᎏ ϭ
b) ᎏ
1
1
2
3
0
5
ᎏ ϭ
c) ᎏ
1
8
0
4
5
ᎏ ϭ
d)
630
–––––
1008
ϭ
Calcula las sumas:
a) ᎏ
7
9
ᎏ ϩ ᎏ
3
4
ᎏ ϩ ᎏ
5
2
ᎏ ϭ
b) ᎏ
5
4
ᎏ ϩ ᎏ
2
5
ᎏ ϩ ᎏ
3
8
ᎏ ϭ
c) ᎏ
2
3
ᎏ ϩ ᎏ
5
6
ᎏ ϩ ᎏ
1
2
1
4
ᎏ ϭ
d) ᎏ
6
5
ᎏ ϩ ᎏ
8
3
ᎏ ϩ ᎏ
7
4
ᎏ ϭ
Resuelve:
a) ᎏ
1
1
3
7
ᎏ и ᎏ
4
5
ᎏ ϭ
b) ᎏ
6
2
1
5
ᎏ : ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ
c) ᎏ
3
4
ᎏ и ᎏ
7
2
ᎏ : ᎏ
5
3
ᎏ ϭ
d) ᎏ
3
7
2
ᎏ и ᎏ
8
3
ᎏ ϭ
Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra-
do un CD que le ha costado las dos quintas par-
tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda?
Calcula:
a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ
b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ
c) 5,38 и 44,9 ϭ
d) 63,78 : 3,123 ϭ
e) 80,39 : 5,2 ϭ
Ordena de mayor a menor las siguientes frac-
ciones:
a) ᎏ
7
4
ᎏ; ᎏ
3
5
ᎏ; ᎏ
2
7
ᎏ
b) ᎏ
1
8
3
ᎏ; ᎏ
1
9
1
ᎏ; ᎏ
1
5
4
ᎏ
c) ᎏ
5
6
ᎏ; ᎏ
1
2
0
0
0
ᎏ; ᎏ
3
3
0
1
ᎏ
Redondea a las centésimas:
a) 408,3207 Х
b) 6,04978 Х
c) 726,5843 Х
Averigua el valor de x para que estas fracciones
sean equivalentes
a) ᎏ
1
1
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
x
5
ᎏ ⇒
b) ᎏᎏ
8
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
x
ᎏ ⇒
c) ᎏᎏ
48
x
ᎏ ϭ
32
ᎏᎏ
10
⇒
Una familia de tres personas consume cada día
para desayunar ᎏ
3
4
ᎏ de litro de leche. ¿Cuántos
litros necesitan para toda la semana?
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

a) ᎏ
1
2
3
8
ᎏϭ 0,464...
b) ᎏ
1
3
4
0
ᎏϭ 0,46៣៣
c) ᎏ
1
8
5
ᎏϭ 1,875
a) 25,8៣៣ ϭ ᎏ
258
9
Ϫ 25
ᎏ ϭ ᎏ
23
9
3
ᎏ
b) 250,61៣៣ ϭ ᎏ
2506
9
1
9
Ϫ 250
ᎏ ϭ ᎏ
24
99
811
ᎏ
Simplifica:
a) ᎏ
1
3
2
6
6
ᎏ ϭ ᎏ
1
4
4
ᎏ
b) ᎏ
1
1
2
3
0
5
ᎏ ϭ ᎏ
2
2
4
7
ᎏ ϭ ᎏ
8
9
ᎏ
c) ᎏ
1
8
0
4
5
ᎏ ϭ ᎏ
3
28
5
ᎏ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ
d)
630
–––––
1008
ϭ
70
–––
112
ϭ
35
–––
56
ϭ ᎏ
5
8
ᎏ
Calcula las sumas:
a) ᎏ
7
9
ᎏ ϩ ᎏ
3
4
ᎏ ϩ ᎏ
5
2
ᎏ ϭ ᎏ
28 ϩ
3
2
6
7 ϩ90
ᎏ ϭ ᎏ
1
3
4
6
5
ᎏ
b) ᎏ
5
4
ᎏ ϩ ᎏ
2
5
ᎏ ϩ ᎏ
3
8
ᎏ ϭ ᎏ
50 ϩ
4
1
0
6 ϩ15
ᎏ ϭ ᎏ
4
8
0
1
ᎏ
c) ᎏ
2
3
ᎏ ϩ ᎏ
5
6
ᎏ ϩ ᎏ
1
2
1
4
ᎏ ϭ ᎏ
16 ϩ
2
2
4
0 ϩ11
ᎏ ϭ ᎏ
2
4
4
7
ᎏ
d) ᎏ
6
5
ᎏ ϩ ᎏ
8
3
ᎏ ϩ ᎏ
7
4
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
337
60
ᎏ
Resuelve:
a) ᎏ
1
1
3
7
ᎏ и ᎏ
4
5
ᎏ ϭ ᎏ
8
5
5
2
ᎏ
b) ᎏ
6
2
1
5
ᎏ : ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ ᎏ
3
3
0
0
0
5
ᎏ ϭ ᎏ
6
6
0
1
ᎏ
c) ᎏ
3
4
ᎏ и ᎏ
7
2
ᎏ : ᎏ
5
3
ᎏ ϭ ᎏ
4
6
0
3
ᎏ
d) ᎏ
3
7
2
ᎏ и ᎏ
8
3
ᎏ ϭ
256
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ
21
tes de sus ahorros. ¿Cuanto dinero le queda?
ᎏ
2
5
ᎏи 120 ϭ 48
Alfonso ha gastado 48 € y le quedan
72 €
Calcula:
a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ 4,292
b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ 41,739
c) 5,38 и 44,9 ϭ 241,562
d) 63,78 : 3,123 ϭ 20,422...
e) 80,39 : 5,2 ϭ 15,459...
ciones:
a) ᎏ
7
4
ᎏ; ᎏ
3
5
ᎏ; ᎏ
2
7
ᎏ ᎏ
4
7
ᎏϾᎏ
3
5
ᎏ Ͼᎏ
2
7
ᎏ
b) ᎏ
1
8
3
ᎏ; ᎏ
1
9
1
ᎏ; ᎏ
1
5
4
ᎏ ᎏ
1
5
4
ᎏϾᎏ
1
9
1
ᎏ Ͼᎏ
1
8
3
ᎏ
c) ᎏ
5
6
ᎏ; ᎏ
1
2
0
0
0
ᎏ; ᎏ
3
3
0
1
ᎏ ᎏ
3
3
0
1
ᎏ Ͼᎏ
6
5
ᎏ Ͼᎏ
1
2
0
0
0
ᎏ
a) 408,3207 Х 408,32
b) 6,04978 Х 6,05
c) 726,5843 Х 726,58
sean equivalentes
a) ᎏ
1
1
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
x
5
ᎏ ⇒ x ϭ 6
b) ᎏᎏ
8
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
x
ᎏ ⇒ x ϭ 2,25
c) ᎏᎏ
48
x
ᎏ ϭ ᎏ
3
10
2
ᎏ ⇒ x ϭ 15
para desayunar ᎏ
5
6
ᎏ litros de leche. ¿Cuántos
ᎏ
4
3
ᎏи 7 ϭ
21
–––
4
que son 5 litros y ᎏ
4
1
ᎏ
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
II Fracciones y decimales
4
Matemáticas
a) ᎏ
1
2
3
8
ᎏϭ
b) ᎏ
1
3
4
0
ᎏϭ 0,46៣៣
c) ᎏ
1
8
5
ᎏϭ
a) 25,8៣៣ ϭ ᎏ
258
9
Ϫ 25
ᎏ ϭ ᎏ
23
9
3
ᎏ
b) 250,61៣៣ ϭ ᎏ
2506
9
1
9
Ϫ 250
ᎏ ϭ ᎏ
24
99
811
ᎏ
Simplifica:
a) ᎏ
1
3
2
6
6
ᎏ ϭ ᎏ
1
4
4
ᎏ
b) ᎏ
1
1
2
3
0
5
ᎏ ϭ ᎏ
2
2
4
7
ᎏ ϭ ᎏ
8
9
ᎏ
c) ᎏ
1
8
0
4
5
ᎏ ϭ ᎏ
3
28
5
ᎏ ϭ ᎏ
4
5
ᎏ
d)
630
–––––
1008
ϭ
70
–––
112
ϭ
35
–––
56
ϭ ᎏ
5
8
ᎏ
Calcula las sumas:
a) ᎏ
7
9
ᎏ ϩ ᎏ
3
4
ᎏ ϩ ᎏ
5
2
ᎏ ϭ ᎏ
28 ϩ
3
2
6
7ϩ90
ᎏ ϭ ᎏ
1
3
4
6
5
ᎏ
b) ᎏ
5
4
ᎏ ϩ ᎏ
2
5
ᎏ ϩ ᎏ
3
8
ᎏ ϭ ᎏ
50 ϩ
4
1
0
6 ϩ15
ᎏ ϭ ᎏ
4
8
0
1
ᎏ
c) ᎏ
2
3
ᎏ ϩ ᎏ
5
6
ᎏ ϩ ᎏ
1
2
1
4
ᎏ ϭ ᎏ
16 ϩ
2
2
4
0 ϩ11
ᎏ ϭ ᎏ
2
4
4
7
ᎏ
d) ᎏ
6
5
ᎏ ϩ ᎏ
8
3
ᎏ ϩ ᎏ
7
4
ᎏ ϭ ᎏ
72ϩ
60
160ϩ105
ϭ ᎏ
337
60
ᎏ
Resuelve:
a) ᎏ
1
1
3
7
ᎏ и ᎏ
4
5
ᎏ ϭ ᎏ
8
5
5
2
ᎏ
b) ᎏ
6
2
1
5
ᎏ : ᎏ
1
5
2
ᎏ ϭ ᎏ
3
3
0
0
0
5
ᎏ ϭ ᎏ
6
6
0
1
ᎏ
c) ᎏ
3
4
ᎏ и ᎏ
7
2
ᎏ : ᎏ
5
3
ᎏ ϭ ᎏ
4
6
0
3
ᎏ
d) ᎏ
3
7
2
ᎏ и ᎏ
8
3
ᎏ ϭ
256
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ
21
tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda?
ᎏ
2
5
ᎏи 120 ϭ 48
Alfonso ha gastado 48 € y le quedan
72 €
Calcula:
a) 3,782 ϩ 0, 51 ϭ
b) 50,04 Ϫ 8,301 ϭ
c) 5,38 и 44,9 ϭ
d) 63,78 : 3,123 ϭ
e) 80,39 : 5,2 ϭ
ciones:
a) ᎏ
7
4
ᎏ; ᎏ
3
5
ᎏ; ᎏ
2
7
ᎏ ᎏ
4
7
ᎏϾᎏ
3
5
ᎏ Ͼᎏ
2
7
ᎏ
b) ᎏ
1
8
3
ᎏ; ᎏ
1
9
1
ᎏ; ᎏ
1
5
4
ᎏ ᎏ
1
5
4
ᎏϾᎏ
1
9
1
ᎏ Ͼᎏ
1
8
3
ᎏ
c) ᎏ
5
6
ᎏ; ᎏ
1
2
0
0
0
ᎏ; ᎏ
3
3
0
1
ᎏ ᎏ
3
3
0
1
ᎏ Ͼᎏ
6
5
ᎏ Ͼᎏ
1
2
0
0
0
ᎏ
a) 408,3207 Х
b) 6,04978 Х
c) 726,5843 Х
sean equivalentes
a) ᎏ
1
1
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
x
5
ᎏ ⇒ x ϭ 6
b) ᎏᎏ
8
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
x
ᎏ ⇒ x ϭ 2,25
c) ᎏᎏ
48
x
ᎏ ϭ
32
ᎏᎏ
10
⇒ x ϭ 15
para desayunar ᎏ
3
4
ᎏ de litro de leche. ¿Cuántos
ᎏ
4
3
ᎏи 7 ϭ
21
–––
4
que son 5 litros y ᎏ
4
1
ᎏ
11
10
726,58
6,05
408,32
9
8
15,459...
20,422...
241,562
41,739
4,292
7
6
5
4
3
2
1,875
0,464...
1

Actividades
III Potencias y raíces
Matemáticas
Calcula las potencias:
a) (ϩ4)2
ϭ d) (Ϫ4)4
ϭ
b) (Ϫ3)2
ϭ e) (ϩ5 )3
ϭ
c) (Ϫ2)3
ϭ f) (Ϫ6 )2
ϭ
Expresa y calcula las siguientes potencias:
a) 6Ϫ3
ϭ
b) (Ϫ4)Ϫ4
ϭ
c)
΂
3
––
5΃
2
ϭ
d)
΂
6
––
7 ΃
5
ϭ
Calcula:
a) (+4)2
· (+4)3
ϭ
b) (–3) · (–3)3
ϭ
c) (+5)4
: (+5)2
ϭ
d) (–2)5
: (–2)2
ϭ
Halla el resultado de estas potencias:
a) (4 – 6)3
ϭ
b) (2 + 3)2
ϭ
c) [(–3) · (+2)]3
ϭ
Calcula:
a) 380 ϭ
c)
΂
3
––
7 ΃
1
ϭ
d) 421
ϭ
Escribe las potencias de la unidad seguida o
precedida de ceros:
a) 107
ϭ d) 10Ϫ4
ϭ
b) 1003
ϭ e) 10Ϫ3
ϭ
c) 1 0002
ϭ f) 10Ϫ2
ϭ
Expresa en notación científica:
a) 7 353 000 ϭ
b) 0,00421 ϭ
c) 40 200 000 ϭ
Escribe con todas las cifras:
a) 3,4 · 10– 4
ϭ
b) 2,6 · 107
ϭ
c) 7,02 · 10– 6
ϭ
d) 5,389 · 109
ϭ
e) 6,001 · 10– 5
ϭ
Halla las raíces posibles:
a) √
––
+4 ϭ d) 3
√
––
–8 ϭ
b) √
––
–4 e) 5
√
––––
–2
––
43 ϭ
c) 4
√
–––
–16 f) 3
√
––
+8 ϭ
Calcula aproximando a las décimas:
a) √
––––
345 ϭ
b) ϭ
c) √
––––
7,32 ϭ
d) √
––––
94
––––
3,28 ϭ
e) √
––––
0,0
–––
481 ϭ
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
e)
΂
2
––
5΃
0
ϭ
b)
΂
1
––
3 ΃
–2
=
Ί4᎐
ᎏ
7

Calcula las potencias:
a) (ϩ4)2
ϭ ϩ16 d) (Ϫ4)4
ϭ ϩ256
b) (Ϫ3)2
ϭ ϩ9 e) (ϩ5 )3
ϭ ϩ125
c) (Ϫ2)3
ϭ Ϫ8 f) (Ϫ6 )2
ϭ ϩ36
Expresa y calcula las siguientes potencias:
a) 6Ϫ3
ϭ
b) (Ϫ4)Ϫ4
ϭ
d)
΂
6
––
7 ΃
5
ϭ
Calcula:
a) (+4)2
· (+4)3
ϭ (ϩ4)5
ϭ 1 024
b) (–3) · (–3)3
ϭ (Ϫ3)4
ϭ 81
c) (+5)4
: (+5)2
ϭ (ϩ5)2
ϭ ϩ25
d) (–2)5
: (–2)2
ϭ (Ϫ2)3
ϭ Ϫ8
Halla el resultado de estas potencias:
a) (4 – 6)3
ϭ (Ϫ2)3
ϭ Ϫ8
b) (2 + 3)2
ϭ (ϩ5)2
ϭ 25
c) [(–3) · (+2)]3
ϭ Ϫ27 · 8 ϭ Ϫ216
Calcula:
a) 380 ϭ 1
c)
΂
3
––
7 ΃
1
ϭ
d) 421
ϭ 42
Escribe las potencias de la unidad seguida o
precedida de ceros:
a) 107
ϭ 10000000 d) 10Ϫ4
ϭ 0,0001
b) 1003
ϭ 1000000 e) 10Ϫ3
ϭ 0,001
c) 1 0002
ϭ 1000000 f) 10Ϫ2
ϭ 0,01
Expresa en notación científica:
a) 7 353 000 ϭ 7,353 · 106
b) 0,00421 ϭ 4,21 · 10Ϫ3
c) 40 200 000 ϭ 4,020 · 107
Escribe con todas las cifras:
a) 3,4 · 10– 4
ϭ 0,000 34
b) 2,6 · 107
ϭ 26 000 000
c) 7,02 · 10– 6
ϭ 0,000 00702
d) 5,389 · 109
ϭ 5 389 000 000
e) 6,001 · 10– 5
ϭ 0,000 060 01
Halla las raíces posibles:
a) √
––
+4 ϭ Ϯ2 d) 3
√
––
–8 ϭ Ϫ2
b) √
––
–4 No es posible e) 5
√
––––
–2
––
43 ϭ Ϫ3
c) 4
√
–––
–16 No es posible f) 3
√
––
+8 ϭ 2
Calcula aproximando a las décimas:
a) √
––––
345 ϭ 18,57 ϭ 18,6
b) ϭ ϭ ϭ 0,80
c) √
––––
7,32 ϭ 2,70
d) √
––––
94
––––
3,28 ϭ 30,7
e) √
––––
0,0
–––
481 ϭ 0,2
10
9
8
7
6
3––
7
5
4
3
2
1
2,64
ϭ 32
ϭ 9
III Potencias y raíces
6
Matemáticas
65
7 776––
75
ϭ –––
16
–––
8
–––
07
c)
΂
3
––
5΃
2
ϭ
32
9–––
5
2 = –––
25
22
–––
√
–
7
e)
΂
2
––
5΃
0
ϭ 1
b)
΂
1
––
3 ΃
–2
=
΂
1
––
3΃
2
1
Ί4᎐
7
1 1
–––
(Ϫ4)4
= ––––
256
1 1
––
63
= –––
216

Actividades
IV Proporcionalidad
Matemáticas
Expresa en forma de razón las siguientes afirma-
ciones:
a) 70 de cada 100 personas utilizan el
transporte público para ir a trabajar.
b) 16 de los 20 alumnos de una clase
están apuntados a un equipo
deportivo.
Interpreta estas razones:
a) En un equipo de fútbol, ᎏ
1
6
4
ᎏ son extranjeros.
b) En una tienda de mascotas, ᎏ
3
6
2
0
ᎏ son perros.
Escribe las razones inversas a las dadas:
a) ᎏ
8
5
ᎏ
b) ᎏ
1
2
7
4
ᎏ
c) ᎏᎏ
1
9
1
ᎏ
d) ᎏᎏ
3
5
7
2
ᎏ
e) ᎏᎏ
33
102
ᎏ
Comprueba que los siguientes pares de razones
forman una proporción aplicando la propiedad
fundamental de las proporciones:
a) ᎏ
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
3
2
2
0
ᎏ
b) ᎏ
3
4
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
8
4
ᎏ
c) ᎏ
1
3
2
ᎏ ϭ ᎏ
1
4
ᎏ
d) ᎏ
1
7
4
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ
Calcula el valor de x:
Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos
litros verterá en ᎏ
3
4
ᎏ de hora?
Para extraer el agua de una cisterna utilizando un
cubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar-
lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle-
nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L.
Una fuente que vierte 15 L por hora llena un
depósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda-
ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle-
nar un depósito el doble de grande.
8
7
6
5
4
3
2
1
a) ᎏ
5
x
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
5
1
ᎏ
b) ᎏ
2
3
5
0
ᎏ ϭ ᎏ
1
x
2
ᎏ
c) ᎏ
2
x
0
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
5
0
ᎏ

Expresa en forma de razón las siguientes afirma-
ciones:
a) 70 de cada 100 personas utilizan el
transporte público para ir a trabajar.
b) 16 de los 20 alumnos de una clase
están apuntados a un equipo
deportivo.
Interpreta estas razones:
a) En un equipo de fútbol, ᎏ
1
6
4
ᎏ son extranjeros.
b) En una tienda de mascotas, ᎏ
3
6
2
0
ᎏ son perros.
Escribe las razones inversas a las dadas:
Comprueba que los siguientes pares de razones
forman una proporción aplicando la propiedad
fundamental de las proporciones:
a) ᎏ
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
3
2
2
0
ᎏ ⇒ 8 и 20 ϭ 32 и 5 ϭ 160
b) ᎏ
3
4
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
8
4
ᎏ ⇒ 3 и 24 ϭ 18 и 4 ϭ 72
c) ᎏ
1
3
2
ᎏ ϭ ᎏ
1
4
ᎏ ⇒ 3 и 4 ϭ 12 и 1 ϭ 12
Calcula el valor de x:
Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos
litros verterá en ᎏ
3
4
ᎏ de hora?
La cantidad de agua y el tiempo son
magnitudes directamente
proporcionales.
Para extraer el agua de una cisterna utilizando un
cubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar-
lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle-
nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L.
La capacidad del cubo y el número de
veces que tiene que llenarlo son
magnitudes inversamente
proporcionales.
Una fuente que vierte 15 L por hora llena un
depósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda-
ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle-
nar un depósito el doble de grande.
El tiempo es directamente
proporcional al volumen del depósito
e inversamente proporcional
a la cantidad de agua.
8
7
6
5
4
3
32 son perros.
De cada 60 animales,
6 son extranjeros.
De cada 14 jugadores,
2
ᎏᎏ
2
16
0
ᎏ
ᎏ
1
7
0
0
0
ᎏ
1
IV Proporcionalidad
8
Matemáticas
a) ᎏ
5
x
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
5
1
ᎏ x ϭ ᎏ
5
1
и
5
21
ᎏ ϭ 7
b) ᎏ
2
3
5
0
ᎏ ϭ ᎏ
1
x
2
ᎏ x ϭ ᎏ
25
30
и 12
ᎏ ϭ 10
c) ᎏ
2
x
0
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
5
0
ᎏ x ϭ ᎏ
25
1
и
0
20
ᎏ ϭ 50
ᎏ
2
15
5
ᎏ ϭᎏ
20
x
0
ᎏ ⇒
⇒ x ϭᎏ
15 и
2
2
5
00
ᎏϭ120 veces
1 depósito ᎏ 7 h ᎏ 15 L/h
2 depósitos ᎏ x h ᎏ 17,5 L/h
ᎏ
7
x
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
ᎏ и ᎏ
1
1
7
5
,5
ᎏ ⇒ x ϭ ᎏ
7 и
1
2
7,5
и 15
ᎏ ϭ 12 h
·
42 L ᎏ 5 min
x L ᎏ 45 min
⇒ ⇒
⇒ x ϭᎏ
42
5
и 45
ᎏ ϭ378 L
ᎏ
4
x
2
ᎏ ϭᎏ
4
5
5
ᎏ·
d) ᎏ
1
7
4
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ ⇒ 7 и 2 ϭ 14 и 1 ϭ 14
15 L ᎏ 200 veces
25 L ᎏ x veces
⇒·
a) ᎏ
8
5
ᎏ ᎏ
8
5
ᎏ
b) ᎏ
1
2
7
4
ᎏ ᎏ
2
17
4
ᎏ
c) ᎏ
1
9
1
ᎏ ᎏ
1
9
1
ᎏ
d) ᎏ
3
5
7
2
ᎏ ᎏ
5
3
2
7
ᎏ
e) ᎏ
1
3
0
3
2
ᎏ ᎏ
1
3
0
3
2
ᎏ

Actividades
V Aplicaciones de la proporcionalidad
Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno de
estas expresiones:
a) 6 de cada 20
b) 18 de cada 25
Calcula mentalmente:
a) 25 % de 800 ϭ
b) 40 % de 1500 ϭ
Halla en cada caso el valor de x:
a) 33 % de x ϭ 501,60 ⇒
b) 0,65 % de x ϭ 5,85 ⇒
c) 125 % de x ϭ 437,5 ⇒
Para elegir al presidente de una comunidad de
vecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de los
votos emitidos fue contrario al candidato elegi-
do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor?
Calcula el precio de estos objetos rebajados:
a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento.
b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento.
Calcula el coste de estas facturas después de
aplicarles el IVA del 16 %:
a) Mudanza: 760 €
b) Pintura de paredes y techos: 525 €
¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresados
al 2,5 % durante 6 años?
¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % para
obtener unos intereses de 600 € en 50 meses?
Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo que
en 7 años ha producido unos intereses de 336 €.
¿Cuántos días estuvo depositado un capital de
38 450 € al 5 % si proporcionó unos intereses
de 1869 €?
Se debe repartir una donación de 64 kg de
patatas entre 3 familias en partes proporciona-
les al número de hijos de cada una. Si tienen 3,
4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra-
mos recibirá cada familia?
El plano de una casa está realizado a una escala
de 1:150. Averigua las dimensiones del salón-
comedor si en el plano mide 4 cm de largo
y 3 cm de ancho.
¿Cuál es la escala de un plano si 250 km reales
están representados por 12,5 cm?
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno de
estas expresiones:
a) 6 de cada 20 ᎏ
2
6
0
ᎏ ϭ 0,3 ⇒ 30 %
b) 18 de cada 25 ᎏ
2
18
5
ᎏ ϭ 0,72 ⇒ 72 %
Calcula mentalmente:
a) 25 % de 800 ϭ 200
b) 40 % de 1500 ϭ 600
Halla en cada caso el valor de x:
a) 33 % de x ϭ 501,60 ⇒ x ϭ 1 520
b) 0,65 % de x ϭ 5,85 ⇒ x ϭ 900
c) 125 % de x ϭ 437,5 ⇒ x ϭ 350
Para elegir al presidente de una comunidad de
vecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de los
votos emitidos fue contrario al candidato elegi-
do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor?
100 Ϫ 36 ϭ 64; luego votó a su favor
el 64 %
Es decir, и 75 ϭ 48 personas
Calcula el precio de estos objetos rebajados:
a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento.
15 % de 450 ϭ 67,50 €. Luego
el precio rebajado es de 382,50 €
b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento.
12 % de 375 ϭ 45 €. Por tanto, la
lavadora en rebajas cuesta 330 €
Calcula el coste de estas facturas después de
aplicarles el IVA del 16 %:
a) Mudanza: 760 €
16 % de 760 ϭ 121,60.
Factura: 881,60 €
b) Pintura de paredes y techos: 525 €
16 % de 525 ϭ 84. Factura: 609 €
¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresados
al 2,5 % durante 6 años?
i ϭ ᎏ
3000
10
и
0
2,5 и 6
ᎏ ϭ 450 €
¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % para
obtener unos intereses de 600 € en 50 meses?
C ϭ ᎏ
60
3
0
,5
и
и
1
5
2
0
00
ᎏ ϭ 4114,29 €
Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo que
en 7 años ha producido unos intereses de 336 €.
r ϭ ᎏ
3
1
3
2
6
00
и 1
и
0
7
0
ᎏ ϭ 4 %
¿Cuántos días estuvo depositado un capital de
38 450 € al 5 % si proporcionó unos intereses
de 1869 €?
t ϭ
и
ϭ 355 días
Se debe repartir una donación de 64 kg de
patatas entre 3 familias en partes proporciona-
les al número de hijos de cada una. Si tienen 3,
4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra-
mos recibirá cada familia?
ᎏ
3
x
ᎏ ϭ ᎏ
4
y
ᎏ ϭ ᎏ
6
z
ᎏ ϭ ᎏ
10
13
4
ᎏ ϭ 8
1.ª familia: x ϭ 3 и 8 ϭ 24 kg
2.ª familia: y ϭ 4 и 8 ϭ 32 kg
3.ª familia: z ϭ 6 и 8 ϭ 48 kg
El plano de una casa está realizado a una escala
de 1:150. Averigua las dimensiones del salón-
comedor si en el plano mide 4 cm de largo
y 3 cm de ancho.
Largo: 150 и 4 ϭ 600 cm ϭ 6 m
Ancho: 150 и 3 ϭ 450 cm ϭ 4,5 m
¿Cuál es la escala de un plano si 250 km reales
están representados por 12,5 cm?
250 km ϭ 25000 000 cm
x ϭ ϭ 2 000 000
Luego el plano está realizado a una
escala de 1:2 000 000.
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
MATERIAL FOTOCOPIABLE © Oxford University Press España, S. A.
V Aplicaciones de la proporcionalidad
10
Matemáticas
64
100
25000 000
12,5
38 450 и 5
1 896 36 000

Actividades
VI Expresiones algebraicas
Expresa algebraicamente:
a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo
que es 3 años menor que Raúl, que tiene
x años.
b) El precio inicial de unas zapatillas deporti-
vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salen
por x euros.
Escribe el enunciado de estas expresiones alge-
braicas:
a) 3x2
Ϫ x
b) 5 и (x ϩ y)2
Reduce términos semejantes:
a) 4x2
ϩ 2x3
Ϫ 5x2
ϩ 7x3
Ϫ x ϭ
b) z2
ϩ 3z Ϫ ᎏ
z
3
2
ᎏ ϩ ᎏ
5
2
z
ᎏ ϭ
Calcula los siguientes productos:
a) 4x2
и (2x)2
ϭ
b) 3xy2
и 5x2
y ϭ
c) ᎏ
3
x
ᎏ и ᎏ
x
4
y2
ᎏ ϭ
Realiza las siguientes operaciones:
P(x) ϭ x3
Ϫ 2x ϩ 5
Q(x) ϭ 3x3
Ϫ 6x2
ϩ 4x Ϫ 8
R(x) ϭ 7x3
Ϫ 4x2
ϩ x Ϫ 3
a) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ
b) ϪQ(x) ϪP(x) ϭ
c) Q(x) Ϫ R(x) ϭ
d) R(x) Ϫ P(x) ϭ
e) R(x) Ϫ Q(x) ϩ P(x) ϭ
a) (x2
ϩ 3x) и (x Ϫ 2x3
) ϭ
b) 5x2
и (3x2
Ϫ 4x ϩ 5) ϭ
c) (2x4
ϩ 6x3
Ϫ 4x2
Ϫ x) и ᎏ
2
x
ᎏ ϭ
d) (3x3
Ϫ 4x2
) и (2x2
Ϫ 5x ϩ 4) ϭ
e) (2x3
ϩ 3x2
Ϫ x ϩ 4) и (x Ϫ 2) ϭ
Aplica los productos notables:
a) (2x ϩ 3y) и (2x Ϫ 3y) ϭ
b) (5x ϩ 6y)2
ϭ
c)
΂ᎏ
2
x
ᎏ Ϫ ᎏ
3
y
ᎏ
΃
2
ϭ
Opera y reduce:
a) 3x и (x Ϫ 2) ϩ 4 и (x2
ϩ 6x) ϭ
b) (2x2
Ϫ 3x) и x Ϫ 2x и (x ϩ 3x3
) ϭ
c) 2x2
и (x2
Ϫ 3x) ϩ 3x и (x Ϫ 2) ϭ
d) x3
и (2x ϩ 2x2
) Ϫ x2
и (2x3
Ϫ 2x) ϭ
Saca factor común:
a) 3x3
Ϫ ᎏ
x
3
2
ᎏ ϩ 6x ϭ
b) 2x2
y ϩ 4xy2
Ϫ x2
y2
ϭ
c) 4x3
y2
Ϫ 12x2
y3
ϩ 8x2
y2
ϭ
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Expresa algebraicamente:
a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo
que es 3 años menor que Raúl, que tiene
x años.
Edad de Eva: x Ϫ 3 ϩ 5
b) El precio inicial de unas zapatillas deporti-
vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salen
por x euros.
Precio inicial:
Escribe el enunciado de estas expresiones alge-
braicas:
a) 3x2
Ϫ x
El triple del cuadrado de un
número menos ese mismo número.
b) 5 и (x ϩ y)2
Cinco veces el cuadrado de la
suma de dos números.
Reduce términos semejantes:
a) 4x2
ϩ 2x3
Ϫ 5x2
ϩ 7x3
Ϫ x ϭ Ϫx2
ϩ 9x3
Ϫ x
b) z2
ϩ 3z Ϫ ᎏ
z
3
2
ᎏ ϩ ᎏ
5
2
z
ᎏ ϭ ᎏ
2
3
z2
ᎏ ϩ ᎏ
1
2
1z
ᎏ
a) 4x2
и (2x)2
ϭ 4x2
и 4x2
ϭ 16x4
b) 3xy2
и 5x2
y ϭ 15x3
y3
c) ᎏ
3
x
ᎏ и ᎏ
x
4
y2
ᎏ ϭ ᎏ
x
1
2
2
y2
ᎏ
Realiza las siguientes operaciones:
P(x) ϭ x3
Ϫ 2x ϩ 5
Q(x) ϭ 3x3
Ϫ 6x2
ϩ 4x Ϫ 8
R(x) ϭ 7x3
Ϫ 4x2
ϩ x Ϫ 3
a) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ 11x3
Ϫ10x2
ϩ3xϪ6
b) ϪQ(x) ϪP(x) ϭ Ϫ4x3
ϩ6x2
Ϫ2xϩ3
c) Q(x) Ϫ R(x) ϭϪ4x3
Ϫ 2x2
ϩ 3x Ϫ 5
d) R(x) Ϫ P(x) ϭ 6x3
Ϫ 4x2
ϩ 3x Ϫ 8
e) R(x) Ϫ Q(x) ϩ P(x) ϭ 5x3
ϩ 2x2
Ϫ 5x ϩ 10
a) (x2
ϩ 3x) и (x Ϫ 2x3
) ϭ
ϭ x3
ϩ 3x2
Ϫ 2x5
Ϫ 6x4
b) 5x2
и (3x2
Ϫ 4x ϩ 5) ϭ
ϭ 15x4
Ϫ 20x3
ϩ 25x2
c) (2x4
ϩ 6x3
Ϫ 4x2
Ϫ x) и ᎏ
2
x
ᎏ ϭ
ϭ x5
ϩ 3x4
Ϫ 2x3
Ϫ ᎏ
x
2
2
ᎏ
d) (3x3
Ϫ 4x2
) и (2x2
Ϫ 5x ϩ 4) ϭ
ϭ 6x5
Ϫ 15x4
ϩ 12x3
Ϫ 8x4
ϩ 20x3
Ϫ
Ϫ 16x2
ϭ 6x5
Ϫ23x4
ϩ 32x3
Ϫ 16x2
e) (2x3
ϩ 3x2
Ϫ x ϩ 4) и (x Ϫ 2) ϭ
ϭ 2x4
ϩ 3x3
Ϫ x2
ϩ 4x Ϫ 4x3
Ϫ
Ϫ 6x2
ϩ 2x Ϫ 8 ϭ 2x4
Ϫ x3
Ϫ 7x2
ϩ
ϩ 6x Ϫ 8
Aplica los productos notables:
a) (2x ϩ 3y) и (2x Ϫ 3y) ϭ 4x2
Ϫ 9y2
b) (5x ϩ 6y)2
ϭ 25x2
ϩ 60xy ϩ 36y2
c)
΂ᎏ
2
x
ᎏ Ϫ ᎏ
3
y
ᎏ
΃
2
ϭ ᎏ
x
4
2
ᎏ Ϫ ᎏ
x
3
y
ᎏ ϩ ᎏ
y
9
2
ᎏ
Opera y reduce:
a) 3x и (x Ϫ 2) ϩ 4 и (x2
ϩ 6x) ϭ
ϭ 3x2
Ϫ 6x ϩ 4x2
ϩ 24x ϭ 7x2
ϩ 18x
b) (2x2
Ϫ 3x) и x Ϫ 2x и (x ϩ 3x3
) ϭ
ϭ 2x3
Ϫ 3x2
Ϫ 2x2
Ϫ 6x4
ϭ
ϭ 2x3
Ϫ 5x2
Ϫ 6x4
c) 2x2
и (x2
Ϫ 3x) ϩ 3x и (x Ϫ 2) ϭ
ϭ 2x4
Ϫ 6x3
ϩ 3x2
Ϫ 6x
d) x3
и (2x ϩ 2x2
) Ϫ x2
и (2x3
Ϫ 2x) ϭ
ϭ 2x4
ϩ 2x5
Ϫ 2x5
ϩ 2x3
ϭ 2x4
ϩ 2x3
Saca factor común:
a) 3x3
Ϫ ᎏ
x
3
2
ᎏ ϩ 6x ϭ x и (3x2
Ϫ ᎏ
3
x
ᎏ ϩ 6)
b) 2x2
y ϩ 4xy2
Ϫ x2
y2
ϭ xy и (2x ϩ 4y Ϫ xy)
c) 4x3
y2
Ϫ 12x2
y3
ϩ 8x2
y2
ϭ
ϭ 4x2
y2
и (x Ϫ 3y ϩ 2)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
VI Expresiones algebraicas
12
Matemáticas
x
0,85

Actividades
VII Ecuaciones
Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro-
puestas:
a) x ϩ 5 ϭ 7 Ϫ 2x
b) 4 и (2x Ϫ 3) ϭ 10
Comprueba cuál de los valores propuestos es
solución de la ecuación:
a) Ϫ2x ϩ 1 ϭ 7; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3; x ϭ Ϫ2
b) 6 ϩ 4x ϭ Ϫ6; x ϭ Ϫ1; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3
Encuentra una solución para las siguientes
ecuaciones:
a) 5 Ϫ x ϭ 3 ⇒
b) 3x Ϫ 4 ϭ 11 ⇒
c) 8 ϭ 2x ϩ 4 ⇒
Resuelve estas ecuaciones:
a) (x Ϫ 2) и 4 ϭ 5x ϩ 8
b) 3 и (3x ϩ 2) Ϫ 4x ϭ (2x Ϫ 4) и 2 ϩ 3x
c) 5x ϩ 2 и (2x Ϫ 1) ϭ 3x ϩ 4
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) 2x ϩ ᎏ
3
5
ᎏ ϭ ᎏ
7
2
ᎏ
b) ᎏ
2x
3
ϩ 4
ᎏ ϩ ᎏ
3
2
x
ᎏ ϭ 8
Resuelve las ecuaciones de segundo grado:
a) 3x2
ϭ 48
b) x2
Ϫ 12x ϭ 0
c) 4x2
ϩ 45 ϭ Ϫx2
d) 7x2
Ϫ 14x ϭ 0
e) x2
Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0
f) 3x2
ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0
El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene-
dores de recogida de vidrio de dos barrios de la
ciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene-
dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo-
res hay en cada barrio?
El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Si
uno de los lados es 10 cm mayor que el otro,
calcula la longitud de los lados del rectángulo.
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro-
puestas:
a) x ϩ 5 ϭ 7 Ϫ 2x
b) 4 и (2x Ϫ 3) ϭ 10
Comprueba cuál de los valores propuestos es
solución de la ecuación:
a) Ϫ2x ϩ 1 ϭ 7; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3; x ϭ Ϫ2
x ϭ Ϫ3
b) 6 ϩ 4x ϭ Ϫ6; x ϭ Ϫ1; x ϭ 2; x ϭ Ϫ3
x ϭ Ϫ3
Encuentra una solución para las siguientes
ecuaciones:
a) 5 Ϫ x ϭ 3 ⇒ x ϭ 2
b) 3x Ϫ 4 ϭ 11 ⇒
c) 8 ϭ 2x ϩ 4 ⇒ x ϭ 2
Resuelve estas ecuaciones:
a) (x Ϫ 2) и 4 ϭ 5x ϩ 8
4x Ϫ 8 ϭ 5x ϩ 8 ⇒ x ϭ Ϫ16
b) 3 и (3x ϩ 2) Ϫ 4x ϭ (2x Ϫ 4) и 2 ϩ 3x
9x ϩ 6 Ϫ 4x ϭ 4x Ϫ 8 ϩ 3x ⇒
⇒ 14 ϭ 2x ⇒ x ϭ 7
c) 5x ϩ 2 и (2x Ϫ 1) ϭ 3x ϩ 4
5x ϩ 4x Ϫ 2 ϭ 3x ϩ 4 ⇒
⇒ 6x ϭ 6 ⇒ x ϭ 1
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) 2x ϩ ᎏ
3
5
ᎏ ϭ ᎏ
7
2
ᎏ
20x ϩ 6 ϭ 35 ⇒ 20x ϭ 29 ⇒
b) ᎏ
2x
3
ϩ 4
ᎏ ϩ ᎏ
3
2
x
ᎏ ϭ 8
4x ϩ 8 ϩ 9x ϭ 48 ⇒ 13x ϭ 40 ⇒
Resuelve las ecuaciones de segundo grado:
a) 3x2
ϭ 48
b) x2
Ϫ 12x ϭ 0
x и (x Ϫ 12) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 y x ϭ 12
c) 4x2
ϩ 45 ϭ Ϫx2
5x2
ϩ 45 ϭ 0 ⇒ x2
ϭ Ϫ9
No tiene solución.
d) 7x2
Ϫ 14x ϭ 0
7x и (x Ϫ 2) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 y x ϭ 2
e) x2
Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0
f) 3x2
ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0
El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene-
dores de recogida de vidrio de dos barrios de la
ciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene-
dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo-
res hay en cada barrio?
Llamamos x al número de contenedores
de un barrio, luego en el otro habrá x ϩ 5.
x ϩ x ϩ 5 ϭ 45 ⇒ 2x ϭ 40 ⇒ x ϭ 20
En uno de los barrios hay 20
contenedores, y en el otro, 25.
El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Si
uno de los lados es 10 cm mayor que el otro,
calcula la longitud de los lados del rectángulo.
Llamamos x al lado menor, luego el otro
lado medirá x ϩ 10.
P ϭ 2x ϩ 2 и (x ϩ 10) ϭ 60 ⇒
⇒ 4x ϩ 20 ϭ 60 ⇒ 4x ϭ 40 ⇒ x ϭ 10
Los lados miden 10 cm y 20 cm.
8
7
⇒ x ϭ ᎏ
3
1
ᎏ y x ϭ Ϫ2
x ϭ ᎏ
Ϫ5 Ϯ͙
6
25 ϩෆ24ෆ
ᎏ ⇒
x ϭ ᎏ
1 Ϯ͙
2
1 ϩ 48ෆ
ᎏ ⇒ x ϭ 4 y x ϭ Ϫ3
x2
ϭ ᎏ
4
3
8
ᎏ ϭ 16 ⇒ x ϭ 4 y x ϭ Ϫ4
6
⇒ x ϭ ᎏ
4
13
0
ᎏ
⇒ x ϭ ᎏ
2
2
0
9
ᎏ
5
4
x ϭ 5
3
2
RESPUESTA ABIERTA
RESPUESTA ABIERTA
1
VII Ecuaciones
14
Matemáticas

Actividades
VIII Sistemas de ecuaciones
Expresa en la forma general las siguientes ecua-
ciones:
a) 5 Ϫ 2y ϩ 4x ϭ 0
b) 3y ϩ 6 ϭ 2x
Encuentra tres soluciones para cada una de
estas ecuaciones:
a) x Ϫ 3y ϭ 6
b) 2y Ϫ 3x ϭ Ϫ4
Expresa mediante una ecuación con dos incóg-
nitas las siguientes afirmaciones:
a) La suma de dos números menos su diferen-
cia es igual a 10.
b) La mitad del producto de dos números es
120.
Comprueba cuál de estas parejas de valores son
solución de las ecuaciones propuestas:
1) x ϭ Ϫ1, y ϭ Ϫ2
2) x ϭ Ϫ3, y ϭ 1
3) x ϭ 1, y ϭ 0
a) 2x ϩ 5y ϭ Ϫ1
b) Ϫ7y ϩ x ϭ 13
c) 6y Ϫ 4x ϩ 4 ϭ 0
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
aplicando el método de sustitución:
a) 3x Ϫ y ϭ 5 ⇒
5x ϩ 3y ϭ 13·⇒
b) 4x Ϫ 2y ϭ 6 ⇒
4x ϩ y ϭ 9·⇒
Encuentra las soluciones de estos sistemas de
ecuaciones, empleando el método de reduc-
ción:
a) 2xϪ4yϭ10 ⇒
4xϩ2yϭ15 · ⇒
40
b) 3xϩ5yϭ21 ⇒Ϫ
2xϩ4yϭ16 ·⇒
En un garaje hay motos de dos cilindros y
coches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin-
dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay
en el garaje?
Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas un
agricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg de
arroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €,
¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de los
productos que vende el agricultor?
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Expresa en la forma general las siguientes ecua-
ciones:
a) 5 Ϫ 2y ϩ 4x ϭ 0 4x Ϫ 2y ϭ Ϫ5
b) 3y ϩ 6 ϭ 2x 2x Ϫ 3y ϭ 6
Encuentra tres soluciones para cada una de
estas ecuaciones:
a) x Ϫ 3y ϭ 6 RESPUESTA ABIERTA
b) 2y Ϫ 3x ϭ Ϫ4 RESPUESTA ABIERTA
Expresa mediante una ecuación con dos incóg-
nitas las siguientes afirmaciones:
a) La suma de dos números menos su diferen-
cia es igual a 10.
(x ϩ y) Ϫ (x Ϫ y) ϭ 10
b) La mitad del producto de dos números es
120.
Comprueba cuál de estas parejas de valores son
solución de las ecuaciones propuestas:
1) x ϭ Ϫ1, y ϭ Ϫ2
2) x ϭ Ϫ3, y ϭ 1
3) x ϭ 1, y ϭ 0
a) 2x ϩ 5y ϭ Ϫ1 La solución 2
b) Ϫ7y ϩ x ϭ 13 La solución 1
c) 6y Ϫ 4x ϩ 4 ϭ 0 La solución 3
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
aplicando el método de sustitución:
a) 3x Ϫ y ϭ 5 ⇒yϭ3xϪ5
5x ϩ 3y ϭ 13·⇒5xϩ3и(3xϪ5)ϭ13·
⇒ 5x ϩ 9x Ϫ 15 ϭ 13 ⇒ x ϭ 2
⇒ y ϭ 3 и 2 Ϫ 5 ⇒ y ϭ 1
b) 4x Ϫ 2y ϭ 6 ⇒yϭ9Ϫ4x
4x ϩ y ϭ 9·⇒4xϪ2и(9Ϫ4x)ϭ6·
⇒ 4x Ϫ 18 ϩ 8x ϭ 6 ⇒ x ϭ 2
⇒ y ϭ 9 Ϫ 4 и 2 ⇒ y ϭ 1
Encuentra las soluciones de estos sistemas de
ecuaciones, empleando el método de reduc-
ción:
a) 2xϪ4yϭ10 ⇒2xϪ4yϭ10
4xϩ2yϭ15 · ⇒8xϩ4yϭ30
10x ϭ 40
·
⇒ x ϭ 4 ⇒ y ϭ Ϫᎏ
2
1
ᎏ
b) 3xϩ5yϭ21 ⇒Ϫ6xϩ10y ϭ42
2xϩ4yϭ16 ·⇒Ϫ6xϪ12y ϭϪ48
Ϫ2yϭϪ6
·
⇒ y ϭ 3 ⇒ x ϭ 2
En un garaje hay motos de dos cilindros y
coches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin-
dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay
en el garaje?
Llamamos x al número de motos e y al
número de coches.
2xϩ6yϭ80 ⇒ 2xϩ6yϭ 80
2xϩ4yϭ58·⇒Ϫ2xϪ4yϭϪ58
·
2yϭ22⇒ y ϭ 11 ⇒ x ϭ 7
Por tanto, hay 7 motos y 11 coches.
Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas un
agricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg de
arroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €,
¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de los
productos que vende el agricultor?
Llamamos x al precio del arroz e y al de
lentejas.
3x ϩ6y ϭ 9,75 ⇒
x ϩ 3y ϭ 4 ·⇒
⇒ x ϭ 4 Ϫ 3y
⇒ 3(4 Ϫ 3y) ϩ 6y ϭ9,75
⇒ y ϭ 0,75 ⇒ x ϭ 1,75
Luego el kilogramo de arroz cuesta
1,75 €, y el de lentejas, 0,75 €.
8
7
6
5
4
ᎏ
x
2
и y
ᎏ ϭ 120
3
2
1
VIII Sistemas de ecuaciones
16
Matemáticas
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
2yϭ 22
40

Actividades
IX Funciones
La relación entre el radio de una circunferencia
y su longitud es una función. Indica cuál es la
variable independiente, la variable dependien-
te y expresa algebraicamente la función.
Realiza una tabla de valores de la función de la
actividad anterior y represéntala gráficamente.
Calcula el valor de f ( –3), f(4) y f
΂
1
––
2 ΃para las
siguientes funciones:
a) f(x) ϭ –––––
2x + 3
–––––
3
⇒
b) f(x) ϭ
4
–––––
x + 2
⇒
c) f(x)ϭ 3x2
Ϫ 4 ⇒
Halla los puntos de corte con los ejes de coor-
denadas de la función y ϭ x2
– x – 6
Representa gráficamente la función de la activi-
dad anterior e indica las zonas de crecimiento y
decrecimiento, así como los puntos máximos y
mínimos.
Indica los valores de la pendiente y la ordenada
en el origen de las siguientes funciones. Luego
represéntalas en los ejes de coordenadas.
a) y ϭ 4x – 2
b) y ϭ –3x + 1
c) y ϭ
1
––
2
x + 3
¿Qué tipo de funciones son las de la actividad
anterior? ¿Cómo es su representación gráfica?
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

IX Funciones
Indica dos magnitudes que se relacionen
mediante una función lineal.
Analiza la siguiente gráfica.
Representa la función y ϭ
Halla los valores que toma la función
y ϭ Ϫx2
+ 4 para los siguientes valores de x:
a) x ϭ Ϫ3 y ϭ
b) x ϭ 4 y ϭ
c) x ϭ Ϫ6 y ϭ
d) x ϭ
1
––
2
y ϭ
En las siguientes funciones señala la ordenada
en el origen y la pendiente.
a) y ϭ x ϩ
1
––
3
b) y ϭ Ϫ2x
c) y ϭ 15 x – 10
d) y ϭ –
2
––
5
x
Representa la función y ϭ . ¿Qué tipo de
función es? ¿Cómo se llama su gráfica?
13
12
11
10
9
8
Actividades
18
Matemáticas
5
x + 1
3
2x
8
6
4
2
-2
-4
-6
-2-4-6 642

La relación entre el radio de una circunferencia
y su longitud es una función. Indica cuál es la
variable independiente, la variable dependien-
te y expresa algebraicamente la función.
La variable independiente es el radio y
la variable dependiente es la longitud
de la circunferencia: y ϭ 2␲x
Realiza una tabla de valores de la función de la
actividad anterior y represéntala gráficamente.
Calcula el valor de f ( –3), f(4) y f
΂
1
––
2 ΃para las
siguientes funciones:
a) f(x) ϭ –––––
2x + 3
–––––
3
⇒ f(Ϫ3) ϭ Ϫ1,
f(4) ϭ
11
–––
3
, f ΂
1
––
2 ΃ϭ
4
––
3
b) f(x) ϭ
4
–––––
x + 2
⇒ f (Ϫ3) ϭ Ϫ4,
f (4)ϭ
2
––
3
, f ΂
1
––
2 ΃ϭ
8
––
5
c) f(x)ϭ 3x2
Ϫ 4 ⇒ f (Ϫ3) ϭ 23,
f (4) ϭ 44, f ΂
1
––
2 ΃ϭ Ϫ
13
–––
4
Halla los puntos de corte con los ejes de coor-
denadas de la función y ϭ x2
– x – 6
Corte con el eje X : y ϭ 0 x ϭ 3 y x ϭϪ2
Corte con el eje Y : x ϭ 0 y ϭϪ6
Cortaalosejesen:(3,0),(Ϫ2,0)y(0,6)
Representa gráficamente la función de la acti-
vidad anterior e indica las zonas de crecimien-
to y decrecimiento, así como los puntos máxi-
mos y mínimos.
La función es decreciente hasta x ϭ
1
––
2
y creciente en el resto. Presenta un
mínimo en el punto Ϫ
25
–––
4
.
Indica los valores de la pendiente y la ordenada
en el origen de las siguientes funciones. Luego
represéntalas en los ejes de coordenadas.
a) y ϭ 4x – 2
Pendiente 4, ordenada en el origen Ϫ2.
b) y ϭ –3x + 1
Pendiente Ϫ3, ordenada en el origen 1.
c) y ϭ
1
––
2
x + 3
Pendiente
1
––
2
, ordenada en el origen 3.
¿Qué tipo de funciones son las de la actividad
anterior? ¿Cómo es su representación gráfica?
Son funciones afines. Sus
representaciones gráficas son rectas.
7
6
5
4
3
2
1
IX Funciones
19
Matemáticas
20
18
16
14
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4
x 0 1 2 3
y 0 6,28 12,56 18,84
1
4O 1 2
Y
X
2
3
4
3Ϫ2Ϫ4
Ϫ2
Ϫ3
Ϫ4
Ϫ5
Ϫ6
X
Y
O 1 2Ϫ6Ϫ5Ϫ4
1
Ϫ2
2
3
Ϫ3
Ϫ3Ϫ2

Indica dos magnitudes que se relacionen
mediante una función lineal.
Respuesta libre.
Analiza la siguiente gráfica.
Corta al eje de abcisas en el punto
(Ϫ4, 0) y al eje de ordenadas en el
punto (0, 2). Presenta un máximo en el
punto (Ϫ2,5, 9) y un mínimo en el
punto (0, 2).
Es creciente hasta el punto (Ϫ2,5, 9)
y desde el punto (0, 2), y es decreciente
entre estos dos puntos.
Representa la función y ϭ
Halla los valores que toma la función
y ϭ Ϫx2
+ 4 para los siguientes valores de x:
a) x ϭ Ϫ3 y ϭ Ϫ9 ϩ 4 ϭ Ϫ5
b) x ϭ 4 y ϭ Ϫ16 ϩ4 ϭ Ϫ12
c) x ϭ Ϫ6 y ϭ Ϫ36 ϩ 4 ϭ Ϫ32
d) x ϭ
1
––
2
y ϭ Ϫ ϩ 4 ϭ
En las siguientes funciones señala la ordenada
en el origen y la pendiente.
a) y ϭ x ϩ
1
––
3
Pendiente 1 y ordenada en el origen
1
––
3
b) y ϭ Ϫ2x
Pendiente Ϫ2 y ordenada en el origen 0
c) y ϭ 15 x – 10
Pendiente 15 y ordenada en el origen Ϫ10
d) y ϭ –
2
––
5
x
Pendiente Ϫ
2
––
5
y ordenada en el origen 0
Representa la función y ϭ . ¿Qué tipo de
función es? ¿Cómo se llama su gráfica?
Es una función de proporcionalidad
inversa, y su gráfica es una hipérbola.
13
12
11
10
9
8
IX Funciones
20
Matemáticas
8
6
4
2
-2
-4
-6
-2-4-6 642
2 X
Y
O 4 6Ϫ8Ϫ6Ϫ4
Ϫ4
Ϫ6
Ϫ8
2
4
6
Ϫ10
Ϫ10
8
8
8
6
4
2
-4
-6
642 8 10
-8
-2
-2-4-6-8
x Ϫ11 Ϫ6 0 4
y Ϫ Ϫ1 5 1
9
x Ϫ3 Ϫ Ϫ Ϫ
y Ϫ Ϫ3 Ϫ 3Ϫ
Ϫ3
5
x + 1
1
2
3
2x
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
1
4
15
4

Actividades
X La medida del tiempo y de los ángulos
Expresa en minutos:
a) 59º ϭ
b) 16 h ϭ
c) 22,43 h ϭ
Expresa en forma compleja:
a) 829 s ϭ
b) 128,81Ј ϭ
c) 2 568,29 min ϭ
Expresa en la unidad indicada:
a) En minutos 3 h 29 min 48 s ϭ
b) En horas 48 min 15 s ϭ
c) En segundos 2 h 25 min 17 s ϭ
d) En minutos 213º 38Ј 29ЈЈ ϭ
Calcula las sumas y diferencias:
a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s ϭ
b) 73º 39Ј 52ЈЈ + 102º 27Ј 31’’ ϭ
c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s ϭ
d) 153º 28Ј 12ЈЈ – 74º 32Ј 43ЈЈϭ
Calcula los productos y cocientes:
a) (7º 12Ј 34ЈЈ) · 18 ϭ
b) (15 h 31 min 42 s) : 6 ϭ
c) (22 h 24 min 17 s) · 9 ϭ
d) (208º 33Ј 47ЈЈ) : 11 ϭ
Calcula y expresa en grados:
(132º 51Ј 18ЈЈ) : 4 ϭ
Uno de los ángulos de un trapecio isósceles
mide 132º 45Ј 28ЈЈ. Dibuja la figura y averigua
la medida de la amplitud de los otros ángulos.
Ana y su madre salen en avión, desde Frank-
furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan a
la ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día
15 de junio a las 16 h 40 min hora local.
Sabiendo que entre las dos ciudades hay una
diferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿qué
hora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura-
do el vuelo?
Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió de
Barcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, y
después de hacer varias escalas llegó a Valencia
el día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán-
tos días horas y minutos duró el crucero?
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Expresa en minutos:
a) 59º ϭ 3 540Ј
b) 16 h ϭ 960 min
c) 22,43 h ϭ 1 345,8 min
Expresa en forma compleja:
a) 829 s ϭ 13 min 49 s
b) 128,81Ј ϭ 2º 8Ј 48,6ЈЈ
c) 2 568,29 min ϭ 42 h 48 min 17,4 s
Expresa en la unidad indicada:
a) En minutos 3 h 29 min 48 s ϭ 209,8 min
b) En horas 48 min 15 s ϭ 0,804 16 h
c) En segundos 2 h 25 min 17 s ϭ 8 717 s
d) En minutos 213º 38Ј 29ЈЈ ϭ 12 818,483Ј
Calcula las sumas y diferencias:
a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s ϭ
ϭ 1 h 55 min 45 s
b) 73º 39Ј 52ЈЈ + 102º 27Ј 31’’ ϭ 176º 7Ј 23ЈЈ
c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s ϭ
ϭ 64 h 29 min 5 s
d) 153º 28Ј 12ЈЈ – 74º 32Ј 43ЈЈϭ 78º55Ј 29ЈЈ
Calcula los productos y cocientes:
a) (7º 12Ј 34ЈЈ) · 18 ϭ 129º 46Ј 12ЈЈ
b) (15 h 31 min 42 s) : 6 ϭ 2 h 35 min 17 s
c) (22 h 24 min 17 s) · 9 ϭ 201 h 38 min 33 s
d) (208º 33Ј 47ЈЈ) : 11 ϭ 18º 57Ј 37ЈЈ
Calcula y expresa en grados:
(132º 51Ј 18ЈЈ) : 4 ϭ 33º 12Ј 49,5ЈЈ ϭ
ϭ 33,213 75º
Uno de los ángulos de un trapecio isósceles
mide 132º 45Ј 28ЈЈ. Dibuja la figura y averigua
la medida de la amplitud de los otros ángulos.
En un trapecio isósceles los lados son
iguales dos a dos, luego:
A^ ϭ B^ ϭ 132º 45Ј 28ЈЈ
La suma de los ángulos es igual a 360º
360º Ϫ 2 · (132º 45Ј 28ЈЈ)ϭ94º29Ј3ЈЈ
C^ ϭ D^ ϭ ϭ 47º 14Ј 31,5ЈЈ
Ana y su madre salen en avión, desde Frank-
furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan a
la ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día
15 de junio a las 16 h 40 min hora local.
Sabiendo que entre las dos ciudades hay una
diferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿qué
hora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura-
do el vuelo?
El reloj de Ana marcará:
16 h 40 min Ϫ 6 h ϭ 10 h 40 min
La duración del vuelo será:
24 h Ϫ 22 h 35 min ϭ 2 h 25 min
10 h 40 min ϩ 2 h 25 min ϭ 13 h 5 min
Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió de
Barcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, y
después de hacer varias escalas llegó a Valencia
el día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán-
tos días horas y minutos duró el crucero?
Días de agosto: 31 Ϫ 23 ϭ 8.
Días de septiembre, 5.
Total: 8 ϩ 5 ϭ 13 días.
Horas del 23 de agosto: 3 h 30 min.
Horas del 6 de septiembre: 11 h 45 min.
Total horas: 15 h 15 min. Duración del
crucero: 13 días 15 h 15 min.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X La medida del tiempo y de los ángulos
22
Matemáticas
A B
DC
94º 29Ј 3ЈЈ
2

Actividades
XI Semejanza
Matemáticas
O
A B
D
C
Construye y calcula el segmento cuarto propor-
cional a los tres dados:
a) m ϭ 2 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm
b) m ϭ 5 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm
Observa la siguiente figura y completa las pro-
porciones indicadas:
a)
AC
–––
AE
ϭ
b)
AE
–––
CE
ϭ
c)
CE
–––
AC
ϭ
De dos segmentos proporcionales cuya razón
es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá-
les pueden ser las medidas del otro.
Indica si los siguientes pares de triángulos son,
o no semejantes:
a) AB ϭ 3 cm, AC ϭ 9 cm y CB ϭ 5 cm
AЈBЈϭ 5 cm, AЈCЈϭ 13 cm y CЈBЈϭ 7 cm
b) AB ϭ 6 cm, AC ϭ 3 cm y CB ϭ 15 cm
AЈBЈ ϭ 2 cm, AЈCЈ ϭ 1 cm y BЈCЈϭ 5 cm
Construye un polígono semejante al dado des-
de un punto exterior con razón de semejanza 2.
¿Qué relación tienen entre sí OA y OAЈ, OB y
BBЈ, OC y CCЈ, OD y DDЈ?
En el plano que llevamos a la excursión la esca-
la es de 1:500.
a) Dibuja una escala gráfica que la represente.
b) Calcula los kilómetros recorridos si en el
plano la distancia es de 12 cm.
c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan-
cia de dos puntos que en la realidad distan
12 km entre sí?
Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º y
otro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme-
jantes? Razona la respuesta.
Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados
miden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene un
ángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm.
¿Son semejantes?
8
7
6
5
4
3
2
1
B
D
F
A
C
E
3
5

3 cm
5 cm
4 cm
x
Construye y calcula el segmento cuarto propor-
cional a los tres dados:
a) m ϭ 2 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm
2
––
3
ϭ
4
––
x
x ϭ 6 cm
b) m ϭ 5 cm, n ϭ 3 cm y p ϭ 4 cm
5
––
3
ϭ
4
––
x
x ϭ 2,4 cm
Observa la siguiente figura y completa las pro-
porciones indicadas:
a)
AC
–––
AE
ϭ
BD
–––
BF
b)
AE
–––
CE
ϭ
BF
–––
DF
c)
CE
–––
AC
ϭ
DF
–––
DB
De dos segmentos proporcionales cuya razón
es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá-
les pueden ser las medidas del otro.
3
––
5
ϭ
21
–––
x
; x ϭ 35 cm
3
––
5
ϭ
y
–––
21
; y ϭ 12,6 cm
Indica si los siguientes pares de triángulos son,
o no semejantes:
a) AB ϭ 3 cm, AC ϭ 9 cm y CB ϭ 5 cm
AЈBЈϭ 5 cm, AЈCЈϭ 13 cm y CЈBЈϭ 7 cm
No son semejantes, porque:
3
––
5
9
–––
13
5
––
7
b) AB ϭ 6 cm, AC ϭ 3 cm y CB ϭ 15 cm
AЈBЈ ϭ 2 cm, AЈCЈ ϭ 1 cm y BЈCЈϭ 5 cm
Sí son semejantes, porque:
6
––
2
ϭ
3
––
1
ϭ
15
––
5
Construye un polígono semejante al dado des-
de un punto exterior con razón de semejanza 2.
¿Qué relación tienen entre sí OA y OAЈ, OB y
BBЈ, OC y CCЈ, OD y DDЈ?
OA ϭ AAЈ , OB ϭ BBЈ,
OC ϭ CCЈ, OD ϭ DDЈ
En el plano que llevamos a la excursión la esca-
la es de 1:500.
a) Dibuja una escala gráfica que la represente.
b) Calcula los kilómetros recorridos si en el
plano la distancia es de 12 cm.
Distancia: 500 · 12ϭ6000 cm ϭ
ϭ 6 km
c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan-
cia de dos puntos que en la realidad distan
12 km entre sí?
12 000 : 500 ϭ 24 cm
Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º y
otro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme-
jantes? Razona la respuesta.
1.er
triángulo: 180 Ϫ (73 ϩ 58) ϭ 49
2.º triángulo: 180 Ϫ (73 ϩ 49) ϭ 58
Los dos triángulos son semejantes
por tener los ángulos respectivamente
iguales.
Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus lados
miden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene un
ángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm.
¿Son semejantes?
Sí, son semejantes, por tener un
ángulo igual y los lados que lo
comprenden proporcionales.
18
–––
24
ϭ
3
––
4
8
7
6
5
4
3
2
1
XI Semejanza
24
Matemáticas
3 cm
2 cm
4 cm
x
B
D
F
A
C
E
O
A
D
C
A’
D’
C’
B
B’
3
5
0 2 km

Actividades
XII Triángulos rectángulos
Matemáticas
La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós-
celes mide 54 cm. Calcula los catetos.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula:
a) El otro cateto.
b) El área.
Comprueba en cada caso si los números dados
forman una terna pitagórica:
a) 5, 12, 13.
b) 6, 7, 10.
c) 8, 16, 17.
d) 7, 24, 25.
El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula:
a) Su diagonal.
b) Su perímetro.
c) Su área.
El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm.
Calcula:
a) La altura.
b) El perímetro.
c) El área.
El lado de un hexágono regular mide 26 cm.
Calcula:
a) Su apotema.
b) Su perímetro.
c) Su área.
Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y
16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula:
a) La medida de los lados oblicuos.
b) El perímetro.
c) El área.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden
15 y 20 cm. Calcula:
a) La hipotenusa.
b) Las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
c) La altura correspondiente a la hipotenusa.
d) Su área.
Las proyecciones de los catetos sobre la hipote-
nusa de un triángulo rectángulo miden 12
y 15 cm. Calcula:
a) Los lados del triángulo.
b) La altura correspondiente a la hipotenusa.
c) El área del triángulo formado por el cateto
de 18 cm, su proyección sobre la hipotenusa
y la altura:
9
8
7
6
5
4
3
2
1

La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós-
celes mide 54 cm. Calcula los catetos.
Por ser isósceles los catetos son
iguales. 542
ϭ 2 c2
⇒ c ϭ 38,18 cm
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula:
a) El otro cateto.
C2
ϭ 452
Ϫ 362
ϭ 729 ⇒ c ϭ 27 cm
b) El área. S ϭ
c · cЈ
ϭ
36 · 27
ϭ486 cm2
Comprueba en cada caso si los números dados
forman una terna pitagórica:
a) 5, 12, 13. Sí, porque: 132
ϭ122
ϩ52
b) 6, 7, 10. No, porque: 102
72
ϩ62
c) 8, 16, 17. No, porque: 172
162
ϩ82
d) 7, 24, 25. Sí, porque: 252
ϭ242
ϩ72
El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula:
a) Su diagonal.
D2
ϭ2 I2
ϭ1 152 ⇒ D ϭ33,94 cm
b) Su perímetro. P ϭ4l ϭ96 cm.
c) Su área. S ϭI2
ϭ576 cm2
El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm.
Calcula:
a) La altura.
aϭ l2
Ϫ ϭ 122
Ϫ62
ϭ10,39cm
b) El perímetro. P ϭ3lϭ36 cm.
c) El área. Sϭl· ϭ ϭ
ϭ62,34cm2
El lado de un hexágono regular mide 26 cm.
Calcula:
a) Su apotema. A2
ϭl2
Ϫ ϭ507⇒
l ϭ 22,51cm
b) Su perímetro. P ϭ6 · l ϭ156 cm
c) Su área. S ϭP ·
a
––
2
ϭ1 755,78 cm2
,
Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y
16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula:
a) La medida de los lados oblicuos.
ϭ 3 cm
l2
ϭ 42
ϩ 32
ϭ 25 ⇒ l ϭ 5 cm
b) El perímetro. Pϭ16ϩ10ϩ5ϩ5ϭ36cm
c) El área. S ϭ(16 ϩ10) ·
4
––
2
ϭ52 cm2
Los catetos de un triángulo rectángulo miden
15 y 20 cm. Calcula:
a) La hipotenusa.
a2
ϭ152
ϩ202
ϭ625 ⇒ a ϭ25 cm
b) Las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa. 152
ϭ25 · m ⇒mϭ9cm
202
ϭ25 · n ⇒ n ϭ16 cm
c) La altura correspondiente a la hipotenusa.
h2
ϭ9 · 16 ϭ144 ⇒ h ϭ12 cm
d) Su área. S ϭ ϭ150 cm2
Las proyecciones de los catetos sobre la hipote-
nusa de un triángulo rectángulo miden 12
y 15 cm. Calcula:
a) Los lados del triángulo.
a ϭ12 ϩ15 ϭ27 cm
b2
ϭ27 · 15 ϭ405 ⇒ b ϭ20,12 cm
c2
ϭ27 · 12 ϭ324 ⇒ c ϭ18 cm
b) La altura correspondiente a la hipotenusa.
h2
ϭ12 · 15 ϭ180 ⇒ h ϭ13,41 cm
c) El área del triángulo formado por el cateto
de 18 cm, su proyección sobre la hipotenusa
y la altura:
S ϭ ϭ80,46 cm2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
XII Triángulos rectángulos
26
Matemáticas
2 2
΂
l
––
2΃
2
a
––
2
12 · 10,39
2
12·13,41
2
΂
l
––
2΃
2
16 Ϫ10
2
25 · 12
2
Ί ͱ

Actividades
XIII Cuerpos geométricos
Responde a las siguientes cuestiones:
a) Si una recta r está contenida en el plano p y
otra recta rЈ en el plano pЈ y son paralelos
los planos p y pЈ, ¿son paralelas también r y
rЈ?
b) Considera una recta r contenida en un pla-
no p. ¿Qué posición con respecto al plano p
tendrá otro plano pЈ que contiene una recta
rЈ paralela a r?
c) Si tres planos están formando un ángulo
triedro, ¿se puede trazar una recta que ten-
ga algún punto en cada uno de los planos?
Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calcula
la medida del ángulo opuesto por la arista.
Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli-
nas de colores con forma de triángulo isósceles,
cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos de
ellos puede unir por este ángulo para obtener
ángulos poliedros?
En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto miden
los ángulos diedros que se forman en la unión
de las caras laterales?
Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices,
¿cuántas aristas tiene?
Observa el siguiente cuerpo geométrico y res-
ponde.
a) ¿Es cóncavo o convexo?
ϭ
b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
c) ¿Es poliedro o no?
ϭ
d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todos
iguales?
e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene?
Indica si los siguientes objetos tienen forma de
poliedro o de cuerpos de revolución.
a) Un vaso.
ϭ
b) Un libro.
c) Un obelisco.
d) Una campana.
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Describe los siguientes poliedros regulares
explicando cómo son sus caras, vértices, ángu-
los diedros y poliedros.
a) Tetraedro:
b) Octaedro:
c) Icosaedro:
Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyas
dimensiones sean diferentes.
¿En qué se semejan y en qué se diferencian un
paralelepípedo y un ortoedro?
Dibuja el cuerpo geométrico de revolución
engendrado al girar este rombo alrededor de
su diagonal mayor.
¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismo
radio? ¿Y los meridianos?
Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar-
celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca de
Barcelona, si la primera se encuentra en la lon-
gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130º
Oeste, y las dos están en el mismo paralelo?
Nombra los cuerpos geométricos que corres-
ponden a estos desarrollos planos.
a)
b)
c)
14
13
12
11
10
9
8
Actividades
28
Matemáticas

Responde a las siguientes cuestiones:
a) Si una recta r está contenida en el plano p y
otra recta rЈ en el plano pЈ y son paralelos
los planos p y pЈ, ¿son paralelas también r y
rЈ?
Solo serán paralelas si están en un
mismo plano pЈЈ. En caso contrario,
se cruzarán.
b) Considera una recta r contenida en un pla-
no p. ¿Qué posición con respecto al plano p
tendrá otro plano pЈ que contiene una recta
rЈ paralela a r?
El plano pЈcortará al plano p y sus
puntos comunes serán la recta r.
c) Si tres planos están formando un ángulo
triedro, ¿se puede trazar una recta que ten-
ga algún punto en cada uno de los planos?
Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calcula
la medida del ángulo opuesto por la arista.
El ángulo medirá:
360º Ϫ 210º ϭ 150º
Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli-
nas de colores con forma de triángulo isósceles,
cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos de
ellos puede unir por este ángulo para obtener
ángulos poliedros?
Puede unir desde 3 hasta 8 triángulos
por el ángulo de 40º, porque 40º · 9 ϭ
ϭ 360º y ya no formaría ángulo
poliedro.
En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto miden
los ángulos diedros que se forman en la unión
de las caras laterales?
Medirán lo mismo que los ángulos del
polígono de la base, esto es:
180 · ϭ 120º
Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices,
¿cuántas aristas tiene?
c ϩ v ϭ a ϩ 2 ⇒ a ϭ c ϩ v Ϫ 2 ϭ 36
Tiene 36 aristas.
Observa el siguiente cuerpo geométrico y res-
ponde.
a) ¿Es cóncavo o convexo?
Es cóncavo. ϭ
b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Tiene 14 caras, 24 vértices
y 36 aristas.
c) ¿Es poliedro o no?
Sí es poliedro porque sus caras
son polígonos.ϭ
d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todos
iguales?
Tiene 36 ángulos diedros.
Hay 32 convexos que son rectos
y 4 cóncavos que miden 270º.
e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene?
Tiene 24 ángulos triedros, uno en
cada vértice. No tiene ángulos
tetraédricos.
Indica si los siguientes objetos tienen forma de
poliedro o de cuerpos de revolución.
a) Un vaso.
Cuerpo de revoluciónϭ
b) Un libro.
Poliedro
c) Un obelisco.
Poliedro
d) Una campana.
Cuerpo de revoluciónϭ
7
6
5
4
3
2
No.
1
29
Matemáticas
6Ϫ2
6

Describe los siguientes poliedros regulares
explicando cómo son sus caras, vértices, ángu-
los diedros y poliedros.
a) Tetraedro:
Formado por 4 caras que son
triángulos equiláteros, 4 vértices
donde concurren 3 caras formando
ángulos triedros iguales, y 6 aristas
ángulos diedros, todos ellos de 60º.
b) Octaedro:
ángulos tetraédricos, o de orden 4,
iguales y 12 aristas donde
concurren 2 caras formando
ángulos diedros iguales.
c) Icosaedro:
donde se unen 5 caras formando
ángulos poliedros de orden 5, y 30
aristas donde concurren 2 caras
formando ángulos diedros iguales.
Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyas
dimensiones sean diferentes.
¿En qué se semejan y en qué se diferencian un
paralelepípedo y un ortoedro?
Se parecen en que tienen sus caras
paralelas dos a dos y se diferencian en
que el ortoedro tiene los ángulos
diedros rectos.
Dibuja el cuerpo geométrico de revolución
engendrado al girar este rombo alrededor de
su diagonal mayor.
¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismo
radio? ¿Y los meridianos?
Los paralelos no tienen el mismo radio,
este va disminuyendo según se van
acercando a los polos. Los meridianos
sí tienen todos el mismo radio.
Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar-
celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca de
Barcelona, si la primera se encuentra en la lon-
gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130º
Oeste, y las dos están en el mismo paralelo?
Las dos ciudades se encontrarán a la
misma distancia de Barcelona.
Nombra los cuerpos geométricos que corres-
ponden a estos desarrollos planos.
a) Pirámide pentagonal regular
b) Hexaedro regular
c) Cilindro recto
14
13
12
11
10
9
8
30
Matemáticas

Actividades
XIV Áreas y volúmenes de cuerpos
Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son 3, 4 y 5 cm.
Calcula el área total de un prisma triangular
recto, sabiendo que la base es un triángulo
equilátero de 3 cm de lado y la altura del pris-
ma es de 8 cm.
Averigua el área lateral de un tronco de pirámi-
de hexagonal, sabiendo que la arista lateral
mide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res-
pectivamente.
Calcula el volumen de un cono de 2 m de radio
y 3 m de altura.
Una taladradora hace un agujero de 10 cm de
radio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula el
volumen extraido por la taladradora en una
hora de trabajo.
Halla el volumen de una esfera sabiendo que
su circunferencia máxima mide 30 ␲ dm.
Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu-
men e igual radio. Si la altura de cilindro es de
8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera?
Completa las siguientes equivalencias:
a) 25 dm3
ϭ
b) 13 m3
ϭ
c) 100 cm3
ϭ
d) 12 500 mm3
ϭ
Una pirámide de base hexagonal mide de perí-
metro básico 18 m y el área lateral de la pirá-
mide es 10 veces el área de la base. Calcula la
apotema de la pirámide.
Calcula el área y el volumen de una esfera de
5 dm de radio.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Matemáticas

Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son 3, 4 y 5 cm.
D = √
–––––
32 ϩ
–––––
42 ϩ
–––
52 ϭ √
–––
50 ϭ 7,071 cm
Calcula el área total de un prisma triangular
recto, sabiendo que la base es un triángulo
equilátero de 3 cm de lado y la altura del pris-
ma es de 8 cm.
Área de la base ϭ 3 · ϭ 3,89 cm2
Área lateral ϭ 3 · 3 · 8 ϭ 72 cm2
Áreatotalϭ72ϩ2·3,89ϭ 79,78cm2
Averigua el área lateral de un tronco de pirámi-
de hexagonal, sabiendo que la arista lateral
mide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res-
pectivamente.
Apotema de la cara lateral ϭ
ϭ ap ϭ √
–––––
102 Ϫ
––
52 ϭ 8,66 dm
Área de una cara lateral ϭ
ϭ ΂B ϩ b
–––––
2 ΃· ap ϭ 7 · 8,66 ϭ 60,62 dm2
Área lateral ϭ 6 · 60,62 ϭ 363,72 dm2
Calcula el volumen de un cono de 2 m de radio
y 3 m de altura.
V ϭ ab ·
h
––
3
ϭ 22
· 3 ·
␲
––
3
ϭ 4 ␲ m3
Una taladradora hace un agujero de 10 cm de
radio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula el
volumen extraido por la taladradora en una
hora de trabajo.
El agujero tiene forma de cilindro de
radio 10 cm y altura:
0,02 · 60 cm ϭ 1,2 cm
V ϭ 102
· 1,2 · ␲ ϭ 376,8 cm3
Halla el volumen de una esfera sabiendo que
su circunferencia máxima mide 30 ␲ dm.
Circunferencia ϭ 2 · r · ␲ ϭ 30 ␲
r ϭ 15 dm
V ϭ 4 · 153
·
␲
––
3
ϭ 4 500 π dm3
Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu-
men e igual radio. Si la altura de cilindro es de
8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera?
Vc ϭ ␲r2
· h ϭ ␲ r2
· 8
Ve ϭ 4 · r3 ␲
––
3
␲ r2
· 8 ϭ 4 · r3
·
␲
––
3
r ϭ 8 ·
3
––
4
ϭ 6 cm
Completa las siguientes equivalencias:
a) 25 dm3
ϭ 25 L
b) 13 m3
ϭ 13 000 L
c) 100 cm3
ϭ 0,1 L
d) 12 500 mm3
ϭ 0, 0125 L
Una pirámide de base hexagonal mide de perí-
metro básico 18 m y el área lateral de la pirá-
mide es 10 veces el área de la base. Calcula la
apotema de la pirámide.
Apotemabase ϭ l
√
–
3
––
2
ϭ 3
√
–
3
––
2
ϭ 2,59 m
Abase ϭ 18 ·
2,59
––––
2
ϭ 23,31m2
Alateral ϭ 233,1 m2
Apotemapirámide ϭ 2 ·
Alateral
–––––
p
ϭ 25,9
Calcula el área y el volumen de una esfera de
5 dm de radio.
A ϭ 4␲r2
ϭ 314,16 m2
V ϭ
4␲r3
––––
3
ϭ 523,4 m3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
XIV Áreas y volúmenes de cuerpos
32
Matemáticas
3√3
2

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