Presentazione per la mia tesi di laurea triennale.

1. SOLUZIONE NUMERICA DI
EQUAZIONI DIFFERENZIALI A
GRANDI DIMENSIONI SU GPUs
Relatore: Candidato:
Dajana Conte Vitale Luca

2. • Calcolo parallelo
• CUDA
• Librerie di ottimizzazione
• Equazioni Differenziali

3. • Calcolo parallelo
• CUDA
• Librerie di ottimizzazione
• Equazioni Differenziali

4. • Cos’è?
• Vantaggi
• Applicazioni

5. GPGPU – General-Purpose Computing on
Graphics Processing Units

6. Legge di Amdahl
• Algoritmi Paralleli
• Speedup

7. • Calcolo parallelo
• CUDA
• Librerie di ottimizzazione
• Equazioni Differenziali

8. CUDA - Compute Unified Device Architecture
• Vantaggi

9. Algoritmi Paralleli principali:
• Prodotto scalare tra Vettori
• Norma Infinito
• Prodotto Matrice Vettore
• Prodotto Matrice Matrice

10. • Calcolo parallelo
• CUDA
• Librerie di ottimizzazione
• Equazioni Differenziali

11. Basic Linear Algebra Subprograms
• BLAS - Seriale
• cuBLAS - Parallelo
THRUST

12. • Calcolo parallelo
• CUDA
• Librerie di ottimizzazione
• Equazioni Differenziali

13. Sistemi di ODEs a grandi dimensioni:
Con
!′ ! = ! !, ! ! , !" !!, !
! !! = !!
!
! !: !!, ! !!ℝ!
→ ℝ!
!
Applicazioni:
• Circuiti integrati su larga scala
• Semidiscretizzazione spaziale di equazioni alle derivate
parziali

14. Metodi Waveform Relataxion
Si costruisce una successione che soddisfa:
Con
• Approssimazione iniziale y(0)(t)
• Funzione di Splitting
• Condizione di consistenza
• Convergenza
! !!!
(!) !!!
!
!(!!!)!
! = ! !, ! !!!
, !(!)
!
!(!!!)
!! = !!
!
!: !!, ! !!ℝ!
!ℝ!
→ ℝ!
!
! !, !, ! = !(!, !)!
lim
!→!
! !
! = !!(!)!

15. Picard
Che porta al seguente sistema:
Per Picard bisogna scegliere la funzione F
! !, !, ! = !(!, !)!
!!
(!!!)!
! = !" !, ! !
(!) !! = 1,2 … !!
!(!!!)
! = !!
!
! !, !(!!!)
, !(!)
= !(!, !(!)
)!

16. Nel caso in cui f è lineare abbiamo:
Con derivano dalla
semidiscretizzazione parziale di PDEs dipendenti dal tempo.
Scriviamo la matrice A = N – M :
WR Picard: M= 0, N=A
!!
! = !" ! + !(!)
! !! = !!
!
Α ∈ ℝ!"!
, !, !: [!!, !] → ℝ!
!
! !!! !
! + !! !!! ! = !! ! + ! ! !
!

17. Discretizzazione temporale
Metodi lineare multistep
Metodi WR a tempo discreto
!!!!!! = ℎ !!!(!!!!, !!!!)
!
!!!
!
!!!
!
con!!!j,!!! ∈ ℝ, ! = 0,1, … , !!!! ≈ ! !! , !! = !! +
!ℎ, ! = 0, … , !!
!!!!!!
(!!!)
+ ℎ !!!!!!!
(!!!)
!
!!!
!
!!!
= ℎ !!!!!!!
(!)
+ ℎ !!! !! + ! !"#!! ≥ 0
!
!!!
!
!!!
!
!

18. Analisi della convergenza
!
1
ℎ
!!
!!
! + !
!!
! < 1!

19. Equazione del calore 2D
0
2
4
6
8
10
12
14
256 512 1024 2048 4096 8192 16384
Picard Ottimizzato
vs Picard CUDA
Picard ottimizzato
vs Picard seriale
Picard CUDA vs
Picard seriale

20. FINE