TIPS GUIDE

1. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views
only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS)
2015-1-ES01-KA219-015719_1
Teaching Innovative Practices in STEM
Wiskunde
Van den Eynde, K.
Sint Donatus Bovenbouw (Merchtem)
1. Inleiding
Een veelhoek of polygoon is een meetkundige
vlakke figuur, gevormd door een gesloten keten
van een aantal lijnstukken. Indien deze veelhoek
zes gelijke hoeken en gelijke zijden heeft is het
een regelmatige zeshoek of hexagon. Een
regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige
driehoeken (1).
Flexagons zijn vlakke figuren gemaakt van
gevouwen stroken papier, die kunnen omgebogen
worden, zodat een aantal verborgen aanzichten
zichtbaar worden (2).
Een flexagon ziet eruit als een stuk papier,
gevouwen in een zeshoek met een bepaald voor-
en achteraanzicht. Binnenin de structuur zit
echter nog een derde aanzicht, dat door het
ombuigen van de flexagon zichtbaar kan gemaakt
worden. (2).
In deze workshop zullen we een tri-hexa-flexagon
construeren. Dit is een flexagon die zes unieke
patronen omhult. Elk van de drie aanzichten die
hierboven werden beschreven kan immers op
twee manieren verschijnen bij het ombuigen
2. Materiaal en methode
Materiaal:
 Papier
 Potlood
 Lat
 Passer
 Lijm
 Schaar
Methods:
 Om een tri-hexa-flexagon te construeren
is een correct sjabloon onontbeerlijk.
Dit sjabloon wordt verkregen door te
beginnen met een rechthoekige strook
papier.
Hiervan wordt eerst een
30° , 60° driehoek afgeknipt aan een zijde.
Vervolgens plooit men de strook in de
lengte in twee gelijke delen.
Deze twee delen worden elk verdeeld in
gelijkzijdige driehoeken (hoeken van 60°).
Het langste deel resulteert in tien
gelijkzijdige driehoeken, de rest mag
afgeknipt en verwijderd worden. Het
kortste deel resulteert in acht gelijkzijdige
driehoeken, waarna het resterende papier
eveneens afgeknipt en verwijderd wordt.
Tot slot worden beide delen genummerd.
Hiervoor houdt men de strook
opengevouwd voor zich, met het langste
deel bovenaan en uiterst linkse driehoek
van de bovenste rij met zijn punt naar
beneden. De volgorde van de nummers
die geplaatst moeten worden in de
bovenste rij is 3 – 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 1
– 1 – 2.De volgorde voor de kortste,
onderste rij is 2 -3 – 3 – 1 – 1 – 2 – 2 – 3.
Vanwege het grote belang van de
nauwkeurigheid bij het tekenen van het
sjabloon om uiteindelijk tot een flexibele
flexagon te komen, geeft figuur 1 een
sjabloon die voldoet aan deze beschrijving
weer. Om verder onregelmatigheden te
voorkomen wordt aangeraden dit
sjabloon te gebruiken.
Het sjabloon moet met grote precisie
worden uitgeknipt om verdere constructie
vqn de flexagon uit te voeren. Vervolgens
wordt het sjabloon op alle lijnen van de
gelijkzijdige driehoeken in beide
richtingen goed geplooid om verder
vouwen in de volgende stappen te
vergemakkelijken.

2. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views
only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS)
2015-1-ES01-KA219-015719_1
Figuur 1: Sjabloon: het sjabloon om een flexagon te
bouwen, dat uitgeknipt kan worden om de workshop
verder te zetten.
 Stap een: Draai het sjabloon en plooi het
in de lengte in twee, zodat de twee blanco
driehoeken tevoorschijn komen en lijm de
twee helften samen.
Figuur 2: Achteraanzicht: Het eenmaal
gevouwen sjabloon, achteraanzicht. De twee
blanco driehoeken moeten gelijmd worden.
 Stap twee: Vouw naar achter op de
zwarte lijn.
Figuur 3: Achteraanzicht tweede vouw.
Sjabloon na tweede vouw. Gevouwen op de lijn
tussen de groenen en blauwe driehoek, uiterst
links op figuur 2.

3. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views
only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS)
2015-1-ES01-KA219-015719_1
 Stap drie: Vouw nogmaals, nu voorwaarts,
op de horizontale lijn.
Figuur 4: Achteraanzicht van het driemaal
gevouwen sjabloon. Sjabloon na tweede plooi,
met een horizontale lijn die aanduid waar de
derde plooi moet komen. Links: Voor de derde
vouw. Rechts: Na de derde plooi.
 Stap vier: Plooi een laatste maal,
voorwaarts, om een hexagon te
verkrijgen. Nu zouden vijf blauwe
driehoeken met nummer drie op
zichtbaar moeten zijn.
Figuur 5: Hexagon: Het sjabloon van figuur 4
kan nog eenmaal geplooid worden, tussen de
twee oranje driehoeken met nummer 1, zodat
een hexagon wordt gevormd.
 Stap vijf: De zeshoek die op deze manier
werd bekomen bevat, zoals in de vorige
stap werd beschreven, nog een blanco
driehoek. Trek de blauwe driehoek die
verborgen zit achter deze blanco driehoek
naar voor, zodat aan de voorzijde zes
blauwe driehoeken met nummer 3
zichtbaar worden en aan de achterzijde
zes groene driehoeken met nummer 2.
 Stap zes: Kleef de blanco zijde van de
driehoeken die in stap vijf van positie
wisselden aan elkaar.
 Laat de lijm gedurende vijf minuten
drogen. Volgende manipulaties zorgen
voor het los komen van de driehoeken
indien de lijm nog niet volledig is
gedroogd.
 Maak de verborgen zijde zichtbaar door
de structuur te buigen op volgende
manier:
o Duw twee zijden samen
waartussen een papiervouw zit.
Deze zijden liggen dus wel naast
elkaar maar hangen niet aan
elkaar vast.
o Duw vervolgens met je andere
hand de tegenoverliggende hoek
van de flexagon die aan de
onderzijde ligt naar boven en trek
het centrum van het flexagon
naar boven.
o Laat de twee driehoeken die je
samenduwde los, zodat ze
bovenaan openen en de structuur
binnenste buiten klapt.
Uiteindelijk zou aan de bovenzijde
een hexagon zichtbaar moeten
zijn dat bestaat uit de groene
gelijkzijdige driehoeken met
nummer 2.
Ombuigen van de ene naar de andere
hexagon kan eerst moeizaam
verlopen, aangezien het papier nog
stijf is. Na enige tijd zal het aan
flexibiliteit winnen en verloopt dit
vlotter. Toch moet dit steeds met de
nodige nauwkeurigheid en
voorzichtigheid gebeuren, zodat het
papier niet scheurt. Het ombuigen
wordt geïllustreerd in figuur 6.
Figuur 6: Ombuigen: Aangezien de flexibiliteit
van het papier toeneemt, verloopt na een
poosje het ombuigen van de ene naar de
andere flexagon vlot.

4. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views
only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS)
2015-1-ES01-KA219-015719_1
 Na constructie van een hexagon met dit
sjabloon kunnen ook andere flexagons
worden ontworpen met zijden die logo’s,
de kleuren van vlaggen en dergelijke
onthullen. Figuur 7 toont hiervan enkele
mogelijkheden.
Figuur 7: Flexagon freestyle: Bouwen van flexagon
met verschillende logo’s of kleuren dan het
beschreven sjabloon.
3. Discussie
Deze workshop helpt studenten tot het inzicht
komen dat wiskunde meer is dan theoretische
formules en abstracte cijfers.
Door de geometrie te visualiseren zullen
studenten haar beter onthouden, hun
eigenschappen ontdekken en leren ze nieuwe
geometrische ontwerpen kennen.
Het flexagon kan gebruikt worden om een
boodschap of figuur te onthullen door deze op de
verborgen zijde te noteren.
4. Referenties
(1) Conway, J. H. ; Burgiel H.; Goodman-Strauss C.
Types of symmetry of a polygon. The Symmetries
of Things. 275-278 (2008)
(2) Oakley, C. O.; Wisner, R. J. Flexagons. The
American Mathematical Monthly. 64, 143–154
(1957)
(3) Video will be posted on
https://tipssintdonatus.wixsite.com/tips