1. PROPORCIONALIDADE DIRECTA E INVERSA

2. PROPORCIONALIDADE DIRECTA Dúas magnitudes a e a’ son directamente proporcionais cando o cociente ou razón a/a’ entre dúas cantidades correspondentes das mesmas é constante ¿Cómo recoñecer se son directamente proporcionais? Se unha das magnitudes aumenta o dobre, o triplo,..as cantidades correspondentes da outra tamén aumentan o dobre , o triplo, ..; E se unha das variables diminúe, a outra tamén diminúe K = constante de proporcionalidade

3. EXEMPLO Se un automóbil percorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cantos kilómetros percorre en 10 horas? Solución:

4. EXERCICIOS PARA PRACTICAR Tres metros de tea custan 8 €. ¿Canto custan oito metros da mesma téa? Unha moto percorre 120 metros en 4 segundos. ¿Que distancia percorre en 52 segundos se mantén a súa velocidade constante? Seis operarios cavan nun día unha zanxa de 80 metros de lonxitude. ¿Cantos metros cavarán, nun día, 42 operarios traballando nas mesmas condicións? Teresa traballou 3 horas e gañou 30 € . ¿Canto tempo tardará en gañar 27.000 €?

5. TABOAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2 (é o que corresponde a 1) Nunha taboa de proporcionalidade directa, o cociente de cada parella de valores correspondentes é constante. Isto serve para comprobar se unha taboa é de proporcionalidade directa e para completar taboas incompletas  Nunha taboa de proporcionalidade directa (os cocientes son iguais)  2 Constante de proporcionalidade = 10 8 6 4 Prezo (€) 5 4 3 2 Laranxas (kg) 30 24 18 12 B 5 4 3 2 A 50 10 20 B 5 4 A 50 25 10 20 B 10 5 2 4 A

6. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS Repartir unha cantidade C en partes directamente proporcionais a uns números a,b,c consiste en repartir a cantidade C en tres partes x,y e, z que sexan directamente proporcionais aos números a,b ,e,c. Ao maoir dos números a,b,c correspóndelle a maior parte e ao menor nº a menor parte

7. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS PROCEDEMENTO C a b c x y z

8. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS EXEMPLO: Nunha herdanza repártense 483 000 m2 entre tres irmáns en partes directamente proporcionais aos anos que teñen : 20,24 ,e, 26 .¿Cantos m2 corresponden a cada un? 483 000 20 24 26 x y z 70 Igualando cada unha das razóns á última calculamos x,y,e, z

9. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

10. PORCENTAXES E PROPORCIONALIDADE Un porcentaxe é unha proporcionalidade na que o denominador é 100. Exprésase como % Permite comparar facilmente os resultados O tanto por 1 obténse dividindo ao % entre 100 Exemplo: unha máquina A fabrica 280 parafusos e saen 14 defectuosos.¿Cal é a % de parafusos defectuosos fabricados pola máquina? Sol:

11. PORCENTAXES E PROPORCIONALIDADE Exemplo: Unha mochila ten marcado un prezo de 36 €, pero a esa cantidade hai que engadirlle un 16% de I.V.E.. ¿Cal é o custo final da mochila?

12. PROPORCIONALIDADE INVERSA Dúas magnitudes a e a’ son inversamente proporcionais cando o produto a·a’ de dúas cantidades correspondentes das mesmas é constante ¿Cómo recoñecer se son inversamente proporcionais? Se unha das magnitudes aumenta o dobre, o triplo,..as cantidades correspondentes da outra diminúen á metade, terceira parte,… E se unha das variables diminúe, a outra aumenta K = constante de proporcionalidade

13. EXEMPLO Unha cuadrilla de 6 obreiros constrúen unha casa de campo en 12 semanas. ¿Canto tardarían 8 obreiros traballando nas mesmas condicións? Solución: obreiros semanas 6 12 8 x Invertimos a segunda razón I

14. TABOAS DE PROPORCIONALIDADE INVERSA Nunha taboa de proporcionalidade inversa, o produto de cada parella de valores correspondentes é constante. Isto serve para comprobar se unha taboa é de proporcionalidade inversa e para completar taboas incompletas 144 Constante de proporcionalidade = Ex: completa a seguinte taboa de proporc. inversa 18 4 3 2 1 24 16 18 2 Magnitude 2 6 9 8 72 Magnitude 1 36 24 8 18 B 4 9 72 A

15. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Repartir unha cantidade C en partes inversamente proporcionais a uns números a,b,c equivale a repartir a cantidade C en tres partes x,y e, z que sexan directamente proporcionais aos inversos de a,b,e,c. Ao maoir dos números a,b,c correspóndelle a menor parte e ao menor nº a maior parte

16. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS EXEMPLO: Nunha volta ciclista repártense 600 € en partes inversamente proporcionais aos tempos empregados polos tres primeiros en chegar á meta, que son Xoan 120 min, Pedro 100 min,e, Lucas 80 min.¿Canto lle corresponde a cada un? 600 x y z 37 Buscamos tres fraccións equivalentes que teñan por denominador o m.c.m dos denominadores . m.c.m(120,100,80) =1200 Facemos o reparto en partes directamente proporcionais aos numeradores das fraccións equivalentes

17. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

18. REPARTOS PROPORCIONAIS A DÚAS OU MÁIS SERIES DE NÚMEROS Se tódalas series son directamente proporcionais Multiplícanse entre si os termos correspondentes das series ,e, repártese en partes directamente proporcionais aos produtos deses valores Ex: Repartir 2875 € en partes directamente proporcionais aos capitais investidos por tres socios: 720€,1500€,e, 1200€ e aos días de traballo de cada un: 10,20,e, 15 respectivamente 2875 720·10 = 7200 1500·20 = 30 000 1200·15 = 18 000 x y z 55 200

19. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS A VARIAS SERIES DE NÚMEROS

20. REPARTOS PROPORCIONAIS A DÚAS OU MÁIS SERIES DE NÚMEROS Se unhas series son directamente proporcionais e outras inversamente proporcionais Multiplícanse os termos da serie directamente proporcional polos inversos dos termos correspondentes da serie inversamente proporcional ,e, repártese en partes directamente proporcionais aos produtos deses valores Ex: Dous pobos A ,e B queren construir unha ponte que vale 1 200 000 €. Cada pobo paga unhas cantidades directamente proporcionais ao nº de habitantes ,e, inversamente proporcinais á distancia á ponte. A ten 13 000 Habitantes ,e, dista 4 Km B ten 8000 habitantes ,e, dista 3 Km. ¿Cantos € pagará cada pobo?

21. REPARTOS PROPORCIONAIS: UNHA SERIE DIRECTA ,E, OUTRA INVERSA 1 200 000 x y 71 000 Multiplicamos os termos dunha serie polos inversos da outra Reducimos a común denominador calculando o m.c.m Repartimos a cantidade en partes directamente proporcionais aos numeradores

22. REPARTOS PROPORCIONAIS: UNHA SERIE DIRECTA ,E, OUTRA INVERSA

23. PROPORCIONALIDADE COMPOSTA Na prorcionalidade composta interveñen tres ou máis magnitudes entre as cales se poden dar relacións de proporcionalidade directa ou inversa Pasos para a resolución de problemas: Escribimos as magnitudes que interveñen Escribimos os datos do problema no lugar adecuado Estudamos o tipo de proporcionalidade comparando cada unha das magnitudes coa magnitude da incógnita supoñendo que as demáis permanecen constantes Iguálase a razón que contén a incógnita co produto das outras magnitudes, tendo en conta que hai que invertir ás inversas

24. PROPORCIONALIDADE COMPOSTA Exemplo: 9 obreiros traballando 80 días, contrúen unha parede de 120 m de ancha.¿Cantos días necesitarán 5 obreiros para construir unha parede de 150 m de ancha e das mesmas características cá primeira? Obreiros Días Ancho 9 80 120 5 x 150 I D

25. PROPORCIONALIDADE COMPOSTA 2 2