1. 2.3.4.2 유향트리
아꿈사
이재정

2. 유향그래프
• 방향성이 있는 그래프 (directed graph)
• 시작정점 V = init(e)
• 종착정점 V’ = fin(e)
V V’
e

3. 유향그래프 용어
• 외차수(out-degree) : init(e) = V인 호들의
개수
• 내차수(in-degree) : fin(e) = V인 호들의 개
수

4. 유향그래프 용어
• 유향경로 (oriented path)
– 호들이 e1, e2, …en 일때 (n>=1), 만일
V=init(e1), V’=fin(en)이며 1<=k<n에 대해
fin(ek)=init(ek+1)이면 그러한 (e1,e2,..en)을 V
에서 V’로의 길이가 n인 유향경로라고 한다.
• 단순 유향 경로
– 유향경로에서 init(e1), … ,init(en)들이 서로 다
르며 fin(e1), … ,fin(en)들이 서로 다르면 단순
유향경로이다.

5. 유향 그래프
• (e17, e19, e18, e22)는 J에서 P로가는 길이 4
의 유향경로 이다.
• 단순경로는 아니다. init(e19) = L = init(e22)

6. 강하게 연결된 유향 그래프
• 강하게 연결된 유향 그래프(strongly
connected)
– 유향 그래프에서 서로 다른 모든 두 정점 V,V1
에 대해 V에서 V1로의 유향 경로가 하나 존재
할 때

7. 루트
• V!=R에 대해 V에서 R로의 유향경로가 존
재할 때 그런 정점 R을 루트라고 부른다.
루트가 적어도 하나 있는 그래프를 루트있
는 유향 그래프라고 부른다.

8. 유향 트리
• 유향트리 성질
– A) 각 정점 V!=R이 정확히 하나의 호(e[V]로
표기)의 시작 정점이다.
– B) R은 어떠한 호의 시작 정점도 아니다.
– C) R은 앞에서 정의된 의미
(즉, 각 정점 V!=R에 대해
V에서 R로의 유향 경로가 존재)
에서 하나의 루트이다.

9. 유향 트리
• 호들의 방향을 무시할 때, 유향 트리는 자
유트리 이다.

10. 세 트리 구조들
• 순서트리 : 세 트리 모두 다르다.
• 유향트리: 첫번째, 두번째는 동일하다.
• 자유트리: 세 트리 모두 동일하다.

11. 오일러 경로
• 오일러 경로(eulerian trail):
– 어떤 유향 그래프에서 모든 호가 정확히 한 번
씩만 나타나며, 그 유향 그래프의 유향 경로
(e1,e2,..,em)에서 fin(em)=init(e1)일 때, 그러한
유향 경로를 오일러 경로라고 부른다.

12. 균형 유향 그래프
• 유향 그래프의 모든 정점들에서 내차수와 외
차수가 같을 때, 그런 유향 그래프를 균형 잡
힌(balanced) 유향 그래프라고 한다.
• 유향 그래프에 오일러 경로가 존재하면 그 유
향 그래프는 반드시 균형 유향 그래프 이다.

13. 유향 그래프는 균형 잡힌 경우에만
오일러 경로를 가진다.
• 증명:
– G가 균형 유향 그래프라고 하자.
– P = (e1, … , em)
– Init(ej)=V이고 j>1이면 fin(ej-1)=V이다. 따라
서 G는 균형 잡힌 유향 그래프 이므로,
init(e1)=V=fin(em)이다.

14. 오일러 경로와 유향 트리
• 보조정리 E:
– (e1, … , em)이 유향 그래프 G의 한 오일러 경
로라고 하자. R=fin(em)=init(e1)이라고 하자.
각각의 정점 V!=R에 대해 e[V]가 그 오일러 경
로의 V에서 마지막으로 나가는 호라고 하자.
즉, e[V]=ej, 만일 j<k<m에 대해 init(ej)=V이
고 init(ek)!=V이면, 호 e[V]들을 가진 G의 정점
들은 루트가 R인 유향 트리를 형성한다.

15. 끝